离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
20春国家开放大学离散数学形考任务3资料参考答案
离散数学形考任务3-图论部分概念及性质单项选择题题目1以下结论正确的是( D )．选择一项：A. 无向完全图都是平面图B. 有n个结点n－1条边的无向图都是树C. 无向完全图都是欧拉图D. 树的每条边都是割边题目2设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( A )．图五选择一项：A. （a）是强连通的B. （d）是强连通的C. （c）是强连通的D. （b）是强连通的题目3无向完全图K4是（ C ）．选择一项：A. 非平面图B. 树C. 汉密尔顿图D. 欧拉图题目4设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．选择一项：（C）A.B.C.D.题目5设图G＝<V, E>，v V，则下列结论成立的是( B ) ．选择一项：A.B.C. deg(v)=2| E |D. deg(v)=| E |题目6如图二所示，以下说法正确的是( A )．图二选择一项：A. e是割点B. {a,e}是点割集C. {b, e}是点割集D. {d}是点割集题目7无向树T有8个结点，则T的边数为( D )．选择一项：A. 9B. 8C. 6D. 7图G如图四所示，以下说法正确的是( A ) ．选择一项：A. {(a, d) ,(b, d)}是边割集B. {(a, d)}是割边C. {(a, d)}是边割集D. {(b, d)}是边割集题目9图G如图三所示，以下说法正确的是( C )．选择一项：A. {b, d}是点割集B. {c}是点割集C. {b,c}是点割集D. a是割点若G是一个欧拉图，则G一定是( C )．选择一项：A. 平面图B. 对偶图C. 连通图D. 汉密尔顿图。
离散数学代数结构
因此当x 1/2时，x/(1+2x)是x的逆元，1/2无逆元.
1
群的性质：消去律
设G = {a1, a2, … , an}是n阶群，令aiG = {ai aj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n. 必有aj , ak∈G使得 ai aj = ai ak （j ≠ k） 由消去律得 aj = ak , 与 |G| = n矛盾.
4
子群判定定理3
设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当
a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i<j）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji>1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1∈H.
图2
14
6
陪集的基本性质
设H是群G的子群，则a,b∈G有 a∈Hb Ha=Hb 证 充分性. 若Ha=Hb，由ea∈Hb 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.
3
子群判定定理2
G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，由上步知b1∈H， 从而a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
国开形成性考核50501《离散数学(本)》形考任务(1-3)试题及答案
国开形成性考核《离散数学(本)》形考任务(1-3)试题及答案（课程ID：50501，整套相同，如遇顺序不同，Ctrl+F查找，祝同学们取得优异成绩！）形考任务1 集合论部分概念及性质一、单项选择题题目：1、设A={a，b}，B={1，2}，C={4，5}，从A到B的函数f={<a，1>, <b，2>}，从B到C的函数g={<1，5>, <2，4>}，则下列表述正确的是（）。
【A】：f°g ={<5，a >, <4，b >}【B】：g°f ={<a，5>, <b，4>}【C】：f°g ={<a，5>, <b，4>}【D】：g°f ={<5，a >, <4，b >}答案：g°f ={<a，5>, <b，4>}题目：2、设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为（）。
【A】：8、1、6、1【B】：无、2、无、2【C】：8、2、8、2【D】：6、2、6、2答案：无、2、无、2题目：3、设集合A={2, 4, 6, 8}，B={1, 3, 5, 7｝，A到B的关系R={<x, y>| y = x +1｝，则R= （）。
【A】：{<2, 1>, <4, 3>, <6, 5>}【B】：{<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}【C】：{<2, 3>, <4, 5>, <6, 7>}【D】：{<2, 2>, <3, 3>, <4, 6>}答案：{<2, 3>, <4, 5>, <6, 7>}题目：4、设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：（）。
离散数学形考任务3布尔代数部分概念及性质
离散数学形考任务3布尔代数部分概念及性质布尔代数是一种数学分支，研究的是逻辑运算以及相关的逻辑结构和代数系统。
它是以数学家___（___ Boole）的名字命名的。
布尔代数在计算机科学、电路设计、逻辑推理等领域有广泛的应用。
1.布尔代数的基础概念1.1 变量（Variable）在布尔代数中，变量可以取两个值中的一个，分别为0和1.这些值分别代表了真和假。
1.2 运算符（Operators）布尔代数使用运算符进行逻辑运算，常见的包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
这些运算符可以用来对变量进行逻辑操作。
2.布尔代数的性质2.1 结合律（Associative Law）在布尔代数中，与和或运算符满足结合律。
即，对于任意的布尔变量a、b和c，以下等式成立：a AND (b AND c) = (a AND b) AND ca OR (b OR c) = (a OR b) OR c2.2 分配律（Distributive Law）在布尔代数中，与和或运算符满足分配律。
即，对于任意的布尔变量a、b和c，以下等式成立：a AND (b OR c) = (a AND b) OR (a AND c)a OR (b AND c) = (a OR b) AND (a OR c)2.3 吸收律（n Law）在布尔代数中，吸收律是与运算和或运算之间的关系。
即，对于任意的布尔变量a和b，以下等式成立：a AND (a OR b) = aa OR (a AND b) = a2.4 互补律（Complement Law）在布尔代数中，非运算满足互补律。
即，对于任意的布尔变量a，以下等式成立：NOT(NOT a) = a3.总结布尔代数是逻辑运算的数学基础，它提供了一套规则和性质，可以用来描述和分析逻辑问题。
熟悉布尔代数的概念和性质对于理解计算机科学和逻辑推理等领域的相关知识非常重要。
离散数学形考任务3集合论部分概念及性质
离散数学形考任务3集合论部分概念及性质本文档将介绍离散数学形考任务3中集合论部分的概念及性质。
以下是相关内容：集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何事物，如数字、字母、符号等。
一般使用大写字母表示集合，元素用小写字母表示，并用大括号{}将元素括起来。
集合的性质1. 互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的每个元素只出现一次。
2. 无序性：集合中的元素没有先后之分，元素的排列顺序不影响集合本身。
3. 确定性：一个元素要么属于集合，要么不属于集合，不存在中间状态。
4. 外延性：两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等。
5. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号{}或∅表示。
集合的运算1. 并集：将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
用符号∪表示。
例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。
2. 交集：两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
用符号∩表示。
例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。
3. 差集：从一个集合中排除掉与另一个集合中相同的元素，得到的新集合。
用符号-表示。
例如，A-B表示集合A和集合B的差集。
4. 补集：相对于全集U，集合A在全集U中未包含的元素组成的集合。
用符号A'表示。
例如，A'表示集合A的补集。
应用举例1. 假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}，A∩B = {2, 3}，A-B = {1}。
2. 如果全集U是整数集，A = {x | x > 0}表示大于0的整数集合，补集A' = {x | x ≤ 0}。
以上是离散数学形考任务3集合论部分的概念及性质。
希望本文档能对您有所帮助！。
离散数学中的代数结构和置换群
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的、非连续的数学对象和结构。
在离散数学中，代数结构是其中一个重要的概念，而置换群是代数结构的一个重要例子。
代数结构是研究对象间关系的一种数学工具。
它包括集合，运算和运算性质。
集合是代数结构的基础，是一个由元素组成的不重复的集合。
运算指的是将集合中两个元素映射到集合中的另一个元素的操作，常见的运算有加法、乘法等。
运算性质是指运算在代数结构中具有的性质，如结合律、交换律、单位元等。
在代数结构中，置换群是一种重要的结构。
置换是一种改变事物次序的方法，它可以是将事物重新排列，也可以是将某个事物替换为另一个事物。
置换群是一组置换构成的集合，并且具有封闭性，结合律和单位元等性质。
置换群可以描述物体的旋转、对称和变换等操作，也可以用于密码学和密码破解等领域。
置换群的运算是指将两个置换进行合成，可以通过将第一个置换的作用结果作为第二个置换的作用对象来实现。
例如，设置换π1表示将物体的位置1和位置2进行交换，置换π2表示将物体的位置2和位置3进行交换，那么置换π1和置换π2的合成操作即为将物体的位置1和位置3进行交换。
正如前所述，置换群具有封闭性、结合律和单位元等性质。
封闭性指的是任意两个置换的合成结果仍然是一个置换。
结合律是指对于置换群中的任意三个置换a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)，即合成的顺序不影响结果。
单位元是指存在一个特殊的置换，它与任意置换进行合成后结果仍然是原置换。
在置换群中，还有一个重要的概念是逆元。
对于每个置换a，都存在一个逆置换a'，使得a * a' = a' * a = e，其中e是置换群的单位元。
逆元表示将一个置换的操作逆向执行，可以将置换还原为原来的状态。
置换群不仅在离散数学中有重要应用，还在计算机科学、物理学和化学等领域中得到广泛应用。
在计算机科学中，置换群可以用于密码学中的置换密码，用于保护数据的安全性。
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
离散数学形考任务3模运算部分概念及性质
离散数学形考任务3模运算部分概念及性质模运算是离散数学中的重要概念之一。
本文旨在介绍模运算的概念及其相关性质。
模运算的概念模运算，又称为取模运算或求余运算，是一种对整数进行运算的方法。
它是指将两个整数相除后得到的余数作为运算结果。
符号表示：对于整数a和正整数n，a对n取模可表示为a mod n，读作"a模n"或"a被n取模"。
例如，当a=7，n=3时，7 mod 3 = 1。
这表示7除以3得到的余数是1，因此1就是7 mod 3的结果。
模运算的性质模运算具有以下一些重要性质：1. 交换律：对于任意整数a和正整数n，a mod n = n mod a。
2. 结合律：对于任意整数a、b和正整数n，(a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n。
3. 分配律：对于任意整数a、b和正整数n，(a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n。
4. 模与整数运算性质的关联：对于任意整数a、b和正整数n，如果a ≡ b (mod n)，则对于任意整数k，ka ≡ kb (mod n)。
5. 模与幂运算性质的关联：对于任意整数a、b和正整数n，如果a ≡ b (mod n)，则对于任意正整数k，a^k ≡ b^k (mod n)。
6. 模运算的取消律：对于任意整数a、b和正整数n，如果ab ≡ 0 (mod n)，则a ≡ 0 (mod n)或b ≡ 0 (mod n)。
这些性质在模运算的理论和实际应用中起到了重要的作用。
它们可以帮助我们简化运算过程，处理与模相关的问题。
总结模运算是离散数学中常用的一种运算方式，通过取余数来得到运算结果。
它具有交换律、结合律、分配律等性质，与整数运算和幂运算有着相关性。
了解模运算的概念和性质，能够在离散数学的研究和问题解决中起到积极的作用。
以上是对离散数学形考任务3模运算部分概念及性质的简要介绍。
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
离散数学第十二章代数结构基本概念及性质
定义 设<S，f1，f2，…，fm>是一代数结构，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作用下是封闭的，且T含有与S中相同的特异元，则称<T，f1，f2，…，fm>为代数结构<S，f1，f2，…，fm>的子代数。记为<T，f1，…><S，f1，…>。
例：设 E是所有偶数所组成的集合，则代数结构< E，＋>是< Z，＋>的一个子代数结构
3
2
1
例：我们可以构造下述的一个代数结构：
设有一个由有限个字母组成的集合∑ ，叫字母表，在∑上任意长的字母串，叫做∑上句子或字符串，串中字母的个数m叫这个串的长度，我们假定当一个字的长度m=0时用符号表示，它叫做空串。这样我们可以构造一个在∑上的所有串的集合∑*。
其次，我们定义一个在∑*上的运算“//”——并置运算或者连接运算，设， ∑*，则 //＝。通过并置运算将两个串联成一个新的串，而此联成的新串也在∑*内，这样构造的<∑*，//> 是一个代数结构
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。
1
2
定义 设S是个非空集合且fi是S上的ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1，f2，…，fm>。
例：设Z是整数集， “＋”是Z上的普通加法运算，则<Z，＋>是一个代数结构。
例：设R是实数集 ，“＋”与“×”是实数集R上的普通加法和乘法运算，则<R,＋,×>是一个代数结构。
1
证：对任意A P(S)，有A∪A=A和A∩A=A，故∪和∩是等幂的。
2
幺元或单位元
1
给定<S，⊙>且el，er，e∈S，则
离散数学 代数结构-代数系统
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
4、子代数系统
定义14 设V＝ <S，fl，f2，…，fk> 是代数系统, B⊆S， 如果B对fl，f2， …，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数 常数，则称<B，fl，f2，…，fk > 是V的子代数系统，简称子 代数． 有时将子代数系统简记为B． 例 <N，+>是<Z，+> 的子代数，因为N对加法运算+是封闭的． < N，+> 也是<Z，+，0> 的子代数，因为N对加法运算封闭， 且N中含有代数常数0 注：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构 成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同 的运算性质。 任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。 如果代数常数构成子代数，最小的子代数。 最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。 如果B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。
3 相同代数性质(同种类）的代数系统
引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同 代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
代数系统 V ＝ < S ， * >, 其中 * 是一个可结合的二元 运算, 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学第03章集合代数
四、集合的幂集
一个集合的幂集是指以该集合所有子集为元素的 集合，即是由这些子集所组成的集合族。 集合，即是由这些子集所组成的集合族。
定义3.1.5 定义3.1.5 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记 为一集合， 的 是一集合族， 为一集合
为ρ (A)， ρ (A) ={B|BA} ， { } 由定义可知， 由定义可知，∈ρ (A)，A∈ρ (A)。 ， ∈ 。 任给一个n元集，怎样求出它的全部子集？ 任给一个 元集，怎样求出它的全部子集？ 元集
定义3.1.2 定义3.1.2 设A和B是两个集合，若AB且 是两个集合， 和 是两个集合 且
A≠B，则称 是B的真子集，记为 B，也 ≠ ，则称A是 的真子集，记为A ， 真包含A。 称B真包含 。该定义也可表为 真包含
AB (AB∧A≠B) ∧ ≠
如果A不是 的真子集 则记作A 。 如果 不是B的真子集，则记作 B。 不是 的真子集，
图中的a， ， ， 也是集合 也是集合， 图中的 ，b，c，d也是集合， 由于所讨论的问题与a， ， ， 由于所讨论的问题与 ，b，c， d的元素无关，所以没有列出它 的元素无关， 的元素无关 们的元素。鉴于集合的元素是 们的元素。鉴于集合的元素是 集合这一规定，隶属关系可以 集合这一规定，隶属关系可以 这一规定 看作是处在不同层次上的集合 之间的关系。 之间的关系。
第三章
集合代数
集合论是现代数学的基础。德国数学家康 集合论是现代数学的基础。德国数学家康 是现代数学的基础 托尔（G.Cantor）被誉为集合论的创始人。 托尔（ ）被誉为集合论的创始人。 集合论在计算机科学、人工智能领域、逻 集合论在计算机科学、人工智能领域、 在计算机科学 辑学及语言学等方面都有着重要的应用， 辑学及语言学等方面都有着重要的应用 ， 对 于从事计算机科学的工作者来说， 集合论是 于从事计算机科学的工作者来说 ， 集合论 是 不可缺少的理论知识， 不可缺少的理论知识 ， 熟悉和掌握它是十分 必要的。 必要的。
离散数学代数结构-第九章 代数系统
27
运算性质比较
V1
V2
+ 可交换、可结合 + 可交换、可结合
·可交换、可结合 ·可交换、可结合
+ 满足消去律
+ 满足消去律
· 满足消去律
· 不满足消去律
·对 + 可分配
·对 + 可分配
+ 对 ·不可分配 + 对 ·不可分配
代数系统的定义
代数系统的定义: 一个代数系统< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成： • 一个集合S ，叫做代数的载体； • 定义在载体上的运算f1, f2, …, fm
代数系统
一个集合，叫做代数的载体 – 载体，是我们将要处理的数学目标的集合 如整数集合、实数集合、符号集合等 – 一般不讨论载体是空集合的代数结构
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
15
实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
+ 与 ·没有吸收律 + 与 ·没有吸收律
V3
∪可交换、可结合
∩可交换、可结合 ∪不满足消去律
∩不满足消去律 ∩对∪可分配 ∪对∩可分配 ∪与∩满足吸收律
28
子代数系统
定义9.8 设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，B是S的非空子 集，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代 数常数，则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代 数. 有时将子代数系统简记为B.
离散数学第十二章 代数结构基本概念及性质
代数结构概念及性质
12.1 代数结构的定义与例 12.2 代数结构的基本性质
12.3 同态与同构
12.4 同余关系 12.5 商代数 12.6 积代数
12.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说 明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个 概念是代数结构中不可缺少的基本概念。 定 义 12.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数 s n 或 f : Sn →S，则称 f 为一个n元运算。 f S 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1 时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算， 等等。
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是
谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交
是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元 和二元运算，将用'、┐或ˉ等符号表示一元运算 符；用、、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示 二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶
如果令∑+＝ ∑*－{}，则<∑+，//>也是一 个代数结构。 这两种代数结构都是计算机科学 中经常 要用到的代数结构。
例：设有一计算机它的字长是32位，它
以定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为
运算指令，并分别用01，02，…，06表示之。 则在该计算机中由232有限个不同的数字所组 成的集合S以及计算机的运算型机器指令就构 成了一个代数结构<S，01，02，…，06>。
2.交换律 给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律或 “⊙”是可交换的，即 (x)(y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。
《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件
解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。 证明： 假设 = e ，则 对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算*的左幺元； 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中 关于运算*的右幺元； 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运 算*的左零元； 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于 运算*的右零元； 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于 运算*的零元。
离散数学-第三部分-代数结构-第十章 群与环
6
7
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1.a
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
10
群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
对于阿贝尔群G，因பைடு நூலகம்G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
22
10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则
aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G.
证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n.
必有aj,ak∈G使得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散数学形考任务3代数结构部分概念及
性质
一、概念介绍
代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合
上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：
1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆
元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质
和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运
算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交
换性、维数等。
二、性质探讨
不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：
1. 群的性质：
- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：
- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：
- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结
合律、单位元和逆元的性质。
- 交换律：对于域F中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于域F中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
以上是对群、环和域代数结构的概念及性质的简要介绍，它们
在离散数学中扮演着重要的角色，并在数学和应用领域有广泛的应用。