期权中希腊字母的含义

3. 期货的 期货的Delta:
F0 = S0 e
rT ∗
⇒∆=e
rT ∗
期货合约的Delta v.s. 远期合约的 远期合约的Delta 期货合约的
Greeks
10
Delta对冲 对冲——使用期货 对冲 使用期货
4. Delta对冲需要的期货头寸 对冲需要的期货头寸
标的资产不分红
H F = H Ae
2. 基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险 3. 期权合成技术——动态复制 动态复制 期权合成技术
似曾相识——在推导 在推导BSM过程中采用的 过程中采用的Delta对冲就是 似曾相识 在推导 过程中采用的 对冲就是 用标的股票与买权动态复制无风险资产
4. 动态复制
标的资产+无风险资产 标的资产 无风险资产 股指期货+无风险资产 股指期货 无风险资产
Θp = −
S 0 N ′(d1 )σ 2 T
+ rXe
− rT
N (d 2 )
Greeks
13
Theta——欧式股票期权 欧式股票期权
Theta与股价的关系 与股价的关系 X
Greeks
14
Theta——欧式股票期权 欧式股票期权
Theta与时间的关系 与时间的关系
in the money at the money out of the money
BS采用 采用Delta对冲方法，建立起包含期权的 对冲方法， 采用 对冲方法 建立起包含期权的Delta中性 中性 头寸
Greeks
9
Delta对冲 对冲——使用期货 对冲 使用期货
1. 实践中，对冲工具多选用期货 实践中，
期货流动性好、 期货流动性好、交易成本低
2. 符号
期货到期时间： * 期货到期时间：T Delta对冲需要的标的资产头寸： A 对冲需要的标的资产头寸： 对冲需要的标的资产头寸 H Delta对冲需要的期货头寸： F 对冲需要的期货头寸： 对冲需要的期货头寸 H
Greeks
16
Gamma——欧式股票期权 欧式股票期权
欧式股票期权的Gamma 欧式股票期权的
Γc = Γ p =
N ′(d1 ) S0σ T
Greeks
17
Gamma——欧式股票期权 欧式股票期权
Gamma与股价的关系 与股价的关系
X
Greeks
18
Gamma——欧式股票期权 欧式股票期权
Greeks
23
Rho
1. Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权 是期权价值对无风险利率的偏导数， 是期权价值对无风险利率的偏导数 价值对利率变化的敏感性
rho
2. 标的股票不支付红利的欧式期权
∂Π ∂r
rho c = XTe − rT N ( d 2 )
rho p = − XTe − rT N ( − d 2 )
∆
2. 图示
∂Π ∂S
S(0)
Greeks
4
Delta——欧式股票期权 欧式股票期权
1. 利用 公式，可以推导出 利用BS公式， 公式 ∆ c = N ( d1 ) ∆ p = N ( d1 ) − 1 < 0 2. Delta与股价的关系 与股价的关系 1
X
Greeks
S( 0 )
5
Delta——欧式股票期权 欧式股票期权
Greeks
27
投资组合保险——定义 定义 投资组合保险
1. 投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险 投资组合保险： 2. 股票投资组合+股票指数卖权 股票投资组合 股票指数卖权 P/L
股价
Greeks
28
投资组合保险——合成期权 合成期权 投资组合保险
1. 投资组合保险对期权的要求
流动性 执行价格 到期时间
∂S
2. 在一定条件下，复制卖权的投资组合是自融资的 在一定条件下，复制卖权的投资组合是自融资 自融资的
Greeks
30
投资组合保险——标的资产 无风险资产 标的资产+无风险资产 投资组合保险 标的资产
Greeks
31
投资组合保险——标的资产 无风险资产 标的资产+无风险资产 投资组合保险 标的资产
∆ = ∑ wi ∆ i
i =1 n
w 其中， 表示组合包含第I中期权的数量 其中， i 表示组合包含第 中期权的数量
Greeks
8
Biblioteka Baiduelta对冲 对冲
1. 定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保 定义：建立对冲工具头寸， 护的头寸的Delta等于零 护的头寸的 等于零
Delta中性：资产(或者组合 的Delta等于零 中性：资产 或者组合 或者组合)的 中性 等于零
H F = H Ae
H F = H Ae
− rT ∗
标的资产为股票指数
−( r − q )T ∗
标的资产为外汇
− r −rf T ∗
(
)
Greeks
11
Theta——定义 定义
1. Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值 是期权价值对时间的偏导数， 是期权价值对时间的偏导数 随时间衰减的速度
∂Π ∂σ
3. 欧式期权的 欧式期权的Vega
Vegac = Vega p = S0 T N ′(d1 )
Greeks
21
Vega——与股价的关系 与股价的关系
X
Greeks
22
Vega——与到期时间的关系 与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
第7章 章
期权的希腊字母
教学内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. Delta Theta Gamma Vega Rho Portfolio Insurance
Greeks
2
希腊字母
1. 希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理 希腊字母度量期权的风险，
期权做市商 金融机构地期权交易员
2. 期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个： 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个：
Θ
∂Π ∂t
2. 与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全 与股价呈随机波动不同， 确定的量， 确定的量，无需进行对冲
Greeks
12
Theta——欧式股票期权 欧式股票期权
1. 欧式股票期权的 欧式股票期权的Theta
买权
Θc = −
卖权
S0 N ′( d1 )σ 2 T
− rXe − rT N ( d 2 )
2. 动态对冲
由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 通常是时间的函数，因此， 由于资产的 通常是时间的函数 对冲目标， 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
3. 例子：BSM随机微分方程的推导 例子： 随机微分方程的推导
1个单位衍生工具空头， ∂f 份股票 个单位衍生工具空头， 个单位衍生工具空头 ∂S
Greeks
15
Gamma
1. Gamma是期权的 是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 对标的资产价格的偏导数， 是期权的 对标的资产价格的偏导数 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数
Γ
2. Gamma度量了期权 度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏 度量了期权 对标的资产价格变化的敏 感性， 感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性
1. 上图有助于理解动态复制技术
曲线表示卖权与标的股票价格的关系 切线的斜率表示卖权的Delta 切线的斜率表示卖权的 截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额
2. 随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其 随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变， 斜率与截距都将发生变化
因此， 因此，动态复制需要经常性地调整头寸
rho c = Te
− rf T
S0 N ( − d1 )
Greeks
25
Rho——欧式股票 与股价的关系 欧式股票:与股价的关系 欧式股票
Greeks
26
Rho——欧式股票买权 与到期时间的关系 欧式股票买权:与到期时间的关系 欧式股票买权
out of the money at the money in the money
Gamma与到期时间的关系 与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
Greeks
19
Delta, Theta, Gamma的关系 的关系
1. 从BSM方程容易推导出三者的关系 方程容易推导出三者的关系
2. 如果投资组合是 如果投资组合是Delta中性的，则 中性的， 中性的
∂Π ∂Π 1 2 2 ∂ 2 Π + rS + σ S = rΠ 2 ∂t ∂S 2 ∂S 1 2 2 Θ + rS ∆ + σ S Γ = r Π 2
1 2 2 Θ + σ S Γ = rΠ 2
如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 是较大的正数， 就是很大的负数， 如果 是较大的正数 就是很大的负数 因此， 可以作为Gamma的替代指标使用 因此，Theta可以作为 可以作为 的替代指标使用
卖权
买权
Greeks
24
Rho——外汇期权 外汇期权
1. 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此， rho，一个对应于本币利率 见上一页 ，另一个对应 见上一页)， ，一个对应于本币利率(见上一页 于外币利率
买权
rho c = −Te
卖权
− rf T
S0 N ( d1 )
股价：Delta, Gamma 股价： 到期时间： 到期时间：Theta 波动率： 波动率：Vega 无风险利率： 无风险利率：Rho
Greeks
3
Delta
1. Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 是期权价值对标的资产价格的偏导数， 是期权价值对标的资产价格的偏导数 期权价值对标的资产价格变化的敏感性
2. 投资组合保险(股票 卖权)包含两个头寸 投资组合保险 股票+卖权 包含两个头寸 股票 卖权 股票头寸： 股票头寸： (1 + ∆ p ) S 无风险资产头寸: 无风险资产头寸 p − ∆ p S
∂∆ ∂ 2 Π = ∂S ∂S 2
1 2 ∆Π = Θ ∆t + Γ ∆S 2
3. Gamma中性与 中性与Gamma对冲 中性与 对冲
由于标的资产及其远期、期货合约的 都等于零， 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于零， 都等于零 因此，不能用来改变投资组合的Gamma 因此，不能用来改变投资组合的 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 要改变投资组合的 ， 资产价格呈非线性关系的工具， 资产价格呈非线性关系的工具，例如期权
Delta与到期时间的关系 与到期时间的关系
at the money in the money out of the money
Greeks
6
Delta——其它欧式期权 其它欧式期权
1. 股指期权 ∆ c = e − qT N ( d1 ) 2. 外汇期权
∆ c = e f N ( d1 ) 3. 期货期权 ∆ c = e − rT N ( d1 )
−r T
∆ p = e − qT N ( d1 ) − 1
∆p = e
− rf T
N ( d1 ) − 1
∆ p = e − rT N ( d1 ) − 1
4. 股票远期
f = S − Ke
− r (T − t )
⇒ ∆ =1
Greeks
7
Delta——线性 线性
考虑一个期权投资组合， 考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都 是同一种资产， 组合的Delta等于每种期权的 是同一种资产，则，组合的 等于每种期权的 Delta的线性和 的线性和
Greeks
29
投资组合保险——标的资产 无风险资产 标的资产+无风险资产 投资组合保险 标的资产
1. 欧式股票卖权 标的资产+无风险资产 欧式股票卖权=标的资产 无风险资产 标的资产
股票空头头寸，数量等于卖权的 股票空头头寸，数量等于卖权的Delta 无风险资产， 无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权 的价值 ∂p 股票头寸： 股票头寸： p = ∆ = N ( d1 ) − 1 无风险资产头寸： 无风险资产头寸： p − ∆ p S
Greeks
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Vega
1. Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度 是期权的价值对标的资产波动率的偏导数， 是期权的价值对标的资产波动率的偏导数 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
Vega
2. Vega中性与 中性与Vega对冲 中性与 对冲
由于标的资产及其远期、期货合约的 都等于零， 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 都等于零 因此，不能用来改变投资组合的Vega 因此，不能用来改变投资组合的 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些 必须使用那些Vega不等于 要改变投资组合的 不等于 零的工具， 零的工具，例如期权