立体几何的(向量法)—建系讲义

立体几何（向量法）—建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需

建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系” ，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系

例1（2012 高考真题重庆理19 ）（本小题满分12 分如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=4，AC=BC=，3 D 为AB的中点

Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离;

（Ⅱ）若AB1 A1C 求二面角的平面角的余弦值.

【答案】解：（1）由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又

CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点 C 到平面A1ABB1 的距离为CD＝BC2－BD2＝ 5.

（2）解法一：如图，取D1 为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由（1）知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠ A1DD 1为所求的二面角A1－CD－C1 的平面角．

因A1D 为A1C 在面A1ABB1 上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠ A1AB1、∠A1DA 都与∠ B1AB互余，因此∠ A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此A A A D1＝A A1A B1，即AA21＝AD·A1B1＝8，得AA1＝2 2.

从而 A 1D ＝ AA 12＋ AD 2＝2 3. 所以，在 Rt △A 1DD 1 中， DD 1

＝

AA1 ＝ 6.

A 1D ＝A 1D ＝

3 .

解法二：如图，过 D 作 DD 1∥AA 1交A 1B 1于点 D 1，在直三棱柱中，易知

DB ， DC ，DD 1两两垂直．以 D 为原点，射线 DB ，DC ，DD 1分别为 x 轴、y

轴、z 轴 的正半轴建立空间直角坐标系 D －xyz.

设直三棱柱的高为 h ，则 A （－2,0,0），A 1（－2,0，h ），B 1（2,0，h ）， C

（0， 5，

0），C 1（0， 5，h ），从而 A →

B 1＝（4,0，h ），A →

1C ＝（2， 5，－ h ）． 由

A →

B 1⊥ A →

1C ，有 8－ h 2＝0，h ＝2 2.

故D →A 1＝ （－2,0,2 2），C →C 1＝（0,0,2 2），D →

C ＝ （0， 5，0）． 设平面 A 1C

D 的法向量为 m ＝（x 1， y 1，z 1），则 m ⊥D →

C ，m ⊥

D →

A 1，即

5y 1＝0，

－2x 1＋ 2 2z 1＝ 0，

取 z 1＝ 1，得 m ＝ （ 2，0,1），

设平面 C 1CD 的法向量为 n ＝ （x 2，y 2， z 2），则 n ⊥D →

C ，n ⊥C →

C 1，即

5y 2＝0， 2 2z 2＝ 0，

取 x 2＝1，得 n ＝ （1,0,0），所以

m ·n

2 6

cos 〈 m ， n 〉＝ ＝ ＝ .

|m ||n | 2＋ 1·1 3

所以二面角 A 1－CD －C 1 的平面角的余弦值为 6.

、利用线面垂直关系构建直角坐标系

cos ∠A 1DD

1

例 2. 如图所示， AF 、 DE 分别是圆 O 、圆 O 1 的直径，

AD 8. BC 是圆 O 的直径， AB AC 6, OE // AD . （I ） 求二面角 B AD F 的大小；

（II ） 求直线 BD 与EF 所成的角的余弦值 . 19. 解：（ Ⅰ） ∵A D 与两圆所在的平面均垂直 ,

∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角 B — AD —F 的平面角， 依题意可知， ABCD 是正方形，所以∠ BAD ＝ 450. 即二面角 B —AD —F 的大小为 450；

（ Ⅱ） 以 O 为原点， BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则 O

0，0，0），A （0， 3 2 ，0）， B （ 3 2，0，0）,D （0， 3 2，8），E （0，0，8），F 0，3 2 ，0）

所以， BD ( 3 2, 3 2,8), FE (0, 3 2,8)

82

设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ，则cos |cos BD,EF | 直线 BD 与 EF 所成的

10

三、利用图形中的对称关系建立坐标系

例 3 （2013年重庆数学（理） ）如图,四棱锥 P ABCD 中, PA 底面ABCD ,

BC CD 2,AC 4, ACB ACD , F 为 PC 的中点, AF PB .

3

(1) 求 PA 的长 ; (2) 求二面角 B AF D 的正弦值 .

AD 与两圆所在的平面均垂直，

cos BD,EF

BD FE |BD ||FE |

0 18 64 100 82

82 10

角为余弦值为

82

10

解：（1）如图，联结 BD 交AC 于 O ，因为 BC ＝ CD ，即△ BCD 为等腰三角形，又 AC 平分∠ BCD ， 故 AC ⊥BD.以 O 为坐标原点， O →

B ，O →

C ，A →

P 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立

空间直角坐标系 O － xyz ，则OC ＝ CDcos 3π＝ 1，而 AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又 OD ＝

CD sin 3π

＝ 3，故 A （0，－3，0），B （ 3，0， 0）， C （0， 1， 0）， D （ － 3，0，0）．

因 PA ⊥底面 ABCD ，可设 P （0，－3，z ），由 F 为 PC 边中点， 得F 0，－ 1，2z ，又A →

F ＝ 0， 2， z 2 ，P →

B ＝（ 3，3，－ z ），因 AF ⊥ PB ，故A →

F ·P →

B ＝ 0，即 6－z 2＝0，z ＝2 3

（舍去－ 2

3），所以 |P →

A|＝ 2 3.

（2）由（1）知 A →

D ＝（－ 3，3，0），A →

B ＝（ 3，3，0），A →

F ＝（0，2， 3）．设平面 FAD 的法 向量为 1＝ （x 1，y 1，z 1），平面 FAB 的法向量为 2＝（x 2，y 2，z 2）．

→→

由 1·AD ＝ 0，1·AF ＝0，得 － 3x 1＋ 3y 1＝ 0，

因此可取

2y 1＋ 3z 1＝ 0，

由 2·AB ＝0， 2·AF ＝0，得

1

＝（3， 3，－ 2）．

答案】