311随机事件精讲

的大小,是一个稳定值.
(2)联系:
①概率是频率的科学抽象,是某一事件的本质属性,它从数量 上反映了随机事件发生的可能性的大小,概率可看做频率理论 上的期望值;
②频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概 率,即概率可以用频率作近似代替,可以说,概率是频率的稳定 值,而频率是概率的近似值; ③只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A 的概率; ④实践中常用“大量重复试验的前提下的频率值”来估计事 件的概率.
【拓展提升】概率的确定方法 (1)理论依据:频率在大量重复试验的条件下可以近似地作为 这个事件的概率.
频数 (2)计算频率:频率= 试验次数 .
(3)用频率估计概率.
【变式训练】在掷骰子游戏中,将一枚质地均匀的骰子共抛掷 6次,则点数4( A.一定会出现 C.出现的概率为
1 6
)
6 D.出现的频率为 2 3
2.下列随机事件中,一次试验各指什么?试写出试验的所有结 果. (1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次. (2)从集合A={a,b,c,d}中任取3个元素构成集合A的子集. 【解题探究】1.影响试验结果的因素有哪些? 2.怎样才算完成一次试验?
探究提示: 1.影响试验结果的因素有:(1)试验本身的性质.(2)试验进行 的条件、时机、顺序等.(3)事件发生的概率. 2.完成一次试验是指:在给定条件下,按照试验要求和试验步 骤,将试验一步一步全部完成,并能得出试验结果.
2.概率的性质 (1)必然事件的概率为1. (2)不可能事件的概率为0. (3)随机事件A的概率为0≤P(A)≤1. 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 .
3.“频率”和“概率”的区别和联系
(1)区别:频率反映的是某一随机事件出现的频繁程度 ,是随机
的,而概率是一个客观常数,它反映了随机事件发生的可能性
【解析】1.无放回地变走两个小球,所以小球的标号不同.当
m=1时,n=2,3;当m=2时,n=1,3;当m=3时,n=1,2.因此,这个试验
的所有结果是(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2).
答案:(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)
【解题指南】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义 , 对各个选项作出判断. 【解析】由于在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则 ①“在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品”,这件事 可能发生,也可能不发生,故是随机事件. ②“在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品”,这件事 根本不可能发生,故是不可能事件.
2 A. 5 3 B. 5
)
1 C. 5 7 D. 10
2.国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒
乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:
抽取球 数目 优等品 数目 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902
优等品 频率
(1)计算表中优等品的各个频率. (2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率 约是多少? 【解题探究】1.如何计算频率? 2.当试验次数较多时,频率是否就是概率?
探究提示: 1.某种试验结果出现的频率等于该试验结果出现的次数除以 总的试验次数的商.
2.频率是试验结果中某事件发生的次数与试验次数的比值,
提示:(1)错误.“投掷硬币三次,三次正面朝上”这个事件可
能发生也可能不发生,所以是随机事件.
(2)正确.“下次李华英语考试成绩在95分以上”可能发生也
可能不发生,是随机事件.
(3)错误.“一个三角形的内角和为280°”这件事不可能发生,
所以是不可能事件.
(4)正确.“投掷一枚硬币,正面向上或反面向上”这件事一定
类型 一
事件的分类
【典型例题】 1.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀 后从中随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃三种牌都抽到, 这件事件为( A.不可能事件 C.必然事件 ) B.随机事件 D.以上均不对
2.已知α ,β ,γ 是平面,a,b是两条不重合的直线,下列说法正 确的是( )
它随试验次数的改变而改变,概率是经过多次试验后推断出
的某一事件发生的可能性,概率是常数,不随试验次数而改变,
所以不能用频率代替概率,但可用试验次数较多时的频率估
计概率.
【解析】1.选B.标有1的号签出现4次,另外6次应抽到标有2,6
的号签.所以乘积12出现6次,频率为 .
2.(1)如下表 抽取球 数目 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902
(2)函数f(x)=2x+3,f(3)=9.
(3)“老张开车去东北,撞了„„” (4)宋代诗人叶绍翁《游园不值》: 应怜屐齿印苍苔, 小扣柴扉久不开. (5)若x∈R,则 x 2 =x. (6)同等体积的纯铁块和纯铜块质量相同.
【解题探究】1.必然事件具有什么特点?
2.怎样才能断定一个事件为不可能事件?
第三章 概
率
3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率
一、事件的分类
会发生 不会发生 可能发生也可能不发生 A,B,C
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“投掷硬币三次,三次正面朝上”是不可能事件.( (2)“下次李华英语考试成绩在95分以上”是随机事件.( (3)“一个三角形的内角和为280°”是随机事件.( (4)“投掷一枚硬币,正面向上或反面向上”是必然事 件.( ) ) ) )
③“在这200件产品中任意选出9件,不全是一级品”,这件事 可能发生,也可能不发生,故是随机事件. ④“在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小 于100”,是一定要发生的事件,故是必然事件.
答案:④ ②
①③
类型 二
概率与频率的关系
【典型例题】 1.从标有数字1,2,6的号签中,任意抽取两张,抽出后将上面数 字相乘,在10次试验中,标有1的号签被抽中4次,那么结果“12” 出现的频率为(
【解析】1.选C.因为若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花 共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张, 则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会 有2张梅花.所以这个事件一定发生,是必然事件.故选C. 2.选D.A选项中,a∥b,a⊥α,则b⊥α一定成立,故此是一个必 然事件,说法不正确; B选项中,若a∥b,a⊂α,则b∥α不一定正确,因为线可能在面 内,故说法不正确;
可能性 的大小. (3)意义:概率从数量上反映了随机事件发生的_______
思考:随机事件的频率具有相对的稳定性,在大量重复试验时, 频率会在一个常数附近摆动.随机事件A在n次试验中发生了m 次,则这个常数一定就是
m 吗? n
提示:不一定.当试验的次数n很大时,这个常数才近似地认为 是
m . n
【知识点拨】 1.对事件类型的三点说明 (1)条件的不同与变化都会影响事件的发生及其结果 ,要注意 从问题的背景中体会条件的特点. (2)必然事件具有确定性,它在一定条件下肯定发生. (3)对随机事件可作如下解释:在相同条件下观察试验,每一次 的试验结果不一定相同,且无法预测下一次的试验结果.
【变式训练】先后抛掷两枚骰子,至少有一个点数1出现的结
果有( )
A.4种
B.6种
C.8种
D.11种
【解题指南】分别考虑第一枚点数为1及第二枚点数是1,将含
有点数1的结果一一列出.
【解析】选D.含有点数1的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),共11种.
2.(1)一次试验是指“抛掷两枚硬币一次”,试验的可能结果
有4个:(正,反),(正,正),(反,反),(反,正). (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”,试验的结 果共有4个:{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.
【拓展提升】分析试验结果的方法 (1)首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义 ,并能使用 它们判断一些事件,指出试验结果,这是后续学习求事件的概 率的前提和基础. (2)在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明确事件 发生的条件,根据日常生活的经验,按一定的次序一一列举,才 能保证没有重复,也没有遗漏.
【拓展提升】 1.根据事件发生的可能性判断事件类型的依据
2.判断事件类型的“两看” (1)看条件:在条件S下事件发生与否是与条件相对而言,没有 条件,无法判断事件是否发生. (2)看结果:根据事件的结果断定事件类型.有时结果较复杂, 要准确理解结果包含的各种情况.
【变式训练】在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则 下列事件: ①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品; ②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品; ③在这200件产品中任意选出9件,不全是一级品; ④在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小于 100, 其中 是必然事件, 是随机事件. 是不可能事件,
C选项中,若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β不一定成立,垂直于同一 个平面的两个平面其位置关系可以相交,也可以平行,故说法 不正确; D选项中,若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α不可能成立,故是不可能事 件,说法正确.
3.小张在等公交车时,所等待的时间可能少于10分钟,也可能 多于10分钟,也可能正好等于10分钟,所以事件“小张同学在 公交车站等车,10分钟后公交车到达”可能发生,也可能不发 生,即(1)为随机事件;同理由事件的定义知,(2)是必然事 件;(3),(4),(5)为随机事件;(6)是不可能事件.
A.“若a∥b,a⊥α ,则b⊥α ”是随机事件 B.“若a∥b,a⊂α ,则b∥α ”是必然事件 C.“若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ⊥β ”是必然事件 D.“若a⊥α ,a∩b=P,则b⊥α ”是不可能事件