2.2 基本不等式ppt课件
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人教A版必修第一册2.2基本不等式课件
【预习自测】
通过以上结论可以得出，利用基本不等式求最值要注意哪几个方面？ 【提示】利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等” 的原则，即： (1)一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
易错警示 忽视基本不等式成立的前提“正数”
求 y＝x＋1x的取值范围．
错解：因为 y＝x＋1x≥2 {y|y≥2}．
x·1x ＝2，所以 y＝x＋1x 的取值范围为
易错防范：没有考虑为负数的情形．防范措施是运用基本不等式解
题切记“一正二定三相等”．
正解：由题意，y＝x＋1x有意义时 x 的取值范围为{x|x≠0}． 当 x＞0 时，y＝x＋1x≥2 x·1x＝2，当 x＝1 时取等号； 当 x＜0 时，y＝x＋1x＝－－x＋－1x≤－2 －x·－1x＝－2，当 x＝－ 1 时取等号． 综上，y＝x＋1x的取值范围是{y|y≤－2 或 y≥2}．
2．(1)已知 x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小值为________． (2)(2021 年唐山模拟)若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy 的 最大值是________．
【答案】(1)16 (2)2
【解析】(1)因为1x＋9y＝1，所以 x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝1＋9yx＋yx＋9＝
ab c.
上 述 三 个 不 等 式 两 边 均 为 正 ， 分 别 相 乘 ， 得 1a－1 1b－1 1c－1
≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8，当且仅当
a＝b＝c＝13时，等号成立．
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
2.2基本不等式(两个课时)课件(人教版)
的性质可得出结论.
【详解】 x
0 ，y 0 ，z 0 ，
由基本不等式可得 x y 2 xy ，y z 2 yz ，z x 2 zx ，
由不等式的性质可得 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 zx 8xyz ，
条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
章节：
第二章一元二次函数、方程和不等式
标题：2.2基本不等式
第2课时
1.基本不等式的应用
课堂例题
例3 (1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多
少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少
析问题解决问题的能力.
2.通过创设具体情景，启动观察、分析、归纳、总结、抽
象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念
的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动
探索基本不等式性质，体验成功的乐趣.
3.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，
培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，
天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.
项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，
其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”
转化为“和式”的功能.
基本不等式：
+
∀ > 0, > 0， ≤
2
当且仅当＝时，等号成立.
课本P46 练习
ab
1.已知 a 、 bR ，求证： ab
1 2 ( x 1)
【详解】 x
0 ，y 0 ，z 0 ，
由基本不等式可得 x y 2 xy ，y z 2 yz ，z x 2 zx ，
由不等式的性质可得 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 zx 8xyz ，
条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
章节：
第二章一元二次函数、方程和不等式
标题：2.2基本不等式
第2课时
1.基本不等式的应用
课堂例题
例3 (1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多
少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少
析问题解决问题的能力.
2.通过创设具体情景，启动观察、分析、归纳、总结、抽
象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念
的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动
探索基本不等式性质，体验成功的乐趣.
3.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，
培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，
天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.
项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，
其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”
转化为“和式”的功能.
基本不等式：
+
∀ > 0, > 0， ≤
2
当且仅当＝时，等号成立.
课本P46 练习
ab
1.已知 a 、 bR ，求证： ab
1 2 ( x 1)
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
2.2 基本不等式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二：由2x＋3y＝2 得，3x＋2y＝2xy， ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2 6xy，等号在 3x＝2y 时成立，
∴2xy≥2 6xy，∴xy≥6.
3x＝2y 由2x＋3y＝2
，得yx＝＝32 .
∴xy 的最小值为 6.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当____x_＝__y_____时，和x＋y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x ＋ y 等 于 定 值 S ， 那 么 当 ___x_＝__y______ 时 ， 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确 定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值； 求积的最大值，要确定和为定值．
数学 必修 第一册 A
人教版高中数学A版必修一2.2 基本不等式课件
提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
2.2基本不等式(第1课时)课件(人教版)
立.当且仅当 = 时，等号成立.把这个过程倒过来，就是证明的过程.
新知：基本不等式的理解
1、对公式
+
≥
+
及
≥ 的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求, 都是实数，而后者要求, 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 = 时取等号”．
2 + 2 ⩾ 2 ，③
①+②+③得；
2 2 + 2 2 + 2 2 ⩾ 2 + 2 + 2 ．
∴ 2 + 2 + 2 ⩾ + +
（当且仅当 = = 等号成立）．
典型例题
题型三：利用基本不等式证明不等式
【对点训练6】利用基本不等式证明：已知 , , 都是正数，求证： + + + ≥ 8
A ． 因 为 , 为 正实 数， 所以 +
≥2
C ． 因 为 < 0， 所以 4 + ≥ 2
4
⋅ =4
D ． 因 为 , ∈ R , < 0，所 以 +
⋅
=−
）
B ． 因 为 > 3， 所以 4 + ≥ 2
=2
−
+ −
【解析】∵ , , 都是正数，
∴ + ≥ 2 > 0 （当且仅当 = 时取等号）；
+ ≥ 2 > 0 （当且仅当 = 时取等号）；
2.2 不等式的基本性质(课件)八年级数学下册(北师大版)
用字母表示为：
若a>b,且c＜0,则a·
c＜b·c， ＜ ;若a<b,且c＜0,则a·c＞b·c， ＞ .
二、自主合作，探究新知
跟踪练习
判定下列各命题是否正确？并说明理由.
(1)如果a＞b,那么ac＞bc;
( ×)
(2)如果a＞b,那么ac2 ＞bc2;
( × )
(3)如果ac2＞bc2,那么a＞b;
4.用不等号填空:(1)若a>b,则 a
若3x-1<3y-1,则x >
b;(2)
y.
<
5.已知a>b,则− a+c
<
− b+c.(填“>”“<”或“=”)
6.实数a与b在数轴上所对应的点的位置如图所示,用“>”或“<”填空:
(1)a
< 0;
ab; (5)ab
>
(2)b
> 0;
b2; (6)a<2
＜−
D.a-1＜0
6.若a-b<0，则下列各式中一定成立的是（ D ）
A.a>b
B.ab>0
C.
<
D.-a>-b
三、即学即练，应用知识
7.已知x＜y,用“＜”或“＞”填空。
（1）x+2 <
(2) x <
（3） －x
>
(4)x－m
<
y+2 （不等式的基本性质 1 ）
2.2基本不等式课件(人教版)(3)
课程目标
学科核心素养
理解、掌握基本不等式的内容和
结构
通过由完全平方公式到基本不等
式的过程，培养逻辑推理素养
能够利用不等式的性质证明基本
不等式，初步理解分析法的证明
方法
借助基本不等式的证明过程，培
养逻辑推理、数学运算素养
复习回顾
问题1 什么是不等式的最基本性质？
> ⇔ − > ;
= ⇔ − = ; ≤Fra bibliotek
，当且仅当 =
时，上式等号成立，此时有最大值
最值定理及其应用
①当 + =
时，
2
≥ ， ≤
2
，
4
当且仅当 = 时，等号成立.
②当 =
+
时，
2
≥ , + ≥ 2 ，
当且仅当 = 时，等号成立.
基本不等式
练习：1.设0 x
2.函数f ( x)
x
2
1
2
x
2
由基本不等式知 x 2
2
当且仅当 x 2 2
1
能否用基本不等式求最小值？
2
1
x 2
2
2
x 2
2
1
x 2
2
2
即x 2 2 1时取等，而这是不可
x2 2
能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。
2.2基本不等式
教学目标
1 . 结合实例,从情境中抽象、归纳出算术平均数和几何平均数
的概念,从特殊到一般猜想、发现基本不等式 .
学科核心素养
理解、掌握基本不等式的内容和
结构
通过由完全平方公式到基本不等
式的过程，培养逻辑推理素养
能够利用不等式的性质证明基本
不等式，初步理解分析法的证明
方法
借助基本不等式的证明过程，培
养逻辑推理、数学运算素养
复习回顾
问题1 什么是不等式的最基本性质？
> ⇔ − > ;
= ⇔ − = ; ≤Fra bibliotek
，当且仅当 =
时，上式等号成立，此时有最大值
最值定理及其应用
①当 + =
时，
2
≥ ， ≤
2
，
4
当且仅当 = 时，等号成立.
②当 =
+
时，
2
≥ , + ≥ 2 ，
当且仅当 = 时，等号成立.
基本不等式
练习：1.设0 x
2.函数f ( x)
x
2
1
2
x
2
由基本不等式知 x 2
2
当且仅当 x 2 2
1
能否用基本不等式求最小值？
2
1
x 2
2
2
x 2
2
1
x 2
2
2
即x 2 2 1时取等，而这是不可
x2 2
能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。
2.2基本不等式
教学目标
1 . 结合实例,从情境中抽象、归纳出算术平均数和几何平均数
的概念,从特殊到一般猜想、发现基本不等式 .
2.2基本不等式(共2课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
2aa即－2＋2aabbb＋2＋≤－b0≥，abb2＝a＝方ab即＋a，2法＋ab当＋a2－一b－－且b22≥2仅ab(b作当＝aa2≥bb差a＝，a0＋＝法，当bb)只－a且2时2需2仅－，证当a2等b2＝2aa号b＝＋成abba立－时2－b．a，2－2＝等2ba号≤b＋a成0－，2立只只只只只只只只bb只只．2需需需需2需需需需＝需需≥证证证证证证证证证证0，－a222－22222－2(aa(aaaaaabbbab≤－bbbbba－－≤－≤－－－2aa≥a＋－aaaaa－b0－＋－＋－bbb，))b，≤2b2bbbb≤≤≤≤，≤，≤00，00000，，，，，，
例4.
求函数
y
x2
的4 最小值，并求出y取得最小值时x的值。 x2
解
所以y的最小值是4，y取得最小值时的x是
04 题型3－基本不等式的两类应用
例 5. 如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边， 并用平行于一边的篱笆隔开.
(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试将y表示成x的表达式； (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
练一练
例1.已知正数a，b满足ab＝10，求a＋b的最小值？
当且仅当 a＝b＝ 10时，等号成立. 所以a+b最小值是 2 10
03 新知3——和定积最大
2.当x，y是正数，积如x果y有x＋最y大等值于定14值S。S2，那么当x＝y时，
总结：和定积最大
练一练
A 例2.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是（ ）
解（1）由题意，得由x>0，且l－3x>0，
可得
x
的范围为
1 0<x<3l.
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
栏目导航
9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
栏目导航
10
合作探究 提素养
栏目导航
11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
栏目导航
[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
栏目导航
38
13
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14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2.2基本不等式 (第1课时)(课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1.教材P46练习第 2,5题；
2.P48-49习题2. 2,复习巩固第1,2题
（二）探究性作业：
教材P46 练习及参考答案
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等）
应用新知
12
练习(1) 当 x 0 时，求 4x 的最大值；
x
【解析】 x 0, x 0.
利用基本不等式求最值的注意事项
一正:各项必须都是正值.
12
12
( 4 x ) 2
(4 x) 8 3 ,
②
通常称不等式②为基本不等式（basicinequality）．
ab
其中，
叫做正数 a, b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数 a, b 的几何平均数．
文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。
认识新知
重要不等式： a 2 b 2 2ab ；
基本不等式：
ab
ab
2
.
问题3 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，
B.最小值 9 C.最大值-3 D.最小值-3
【答案】C
2
【解析】
x ,3x 2 0 ,
当遇见负数时，
3
先应该乘以负
1，再适当配
9
9
9
3 3 . 凑构造倒数型，
f ( x) 3 x 2
3 (2 3x)
3 2 (2 3x)
【解析】 x 0, x 0,
2
分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的
2
1
1
1
人教版高中数学必修第一册第二章2.2 基本不等式第2课时【课件】
+
( + ) ·
-1时取等号,所以x+y的最小值为2 -3.
-3=2
+
-3,当且仅当
【方法规律】
求解二元变量的最值，基本不等式是一个有力的工具，其基本思路
有二：
一是根据题目中表达式的特征，发现“正数”“定和”或“定值”，
进行整体处理，直接运用基本不等式求解；
二是“消元”，将其转化为一元变量的函数，再运用基本不等式求
【问题7】两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
【问题8】当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，应如何处理？
【活动3】明确不等式恒成立问题中参数取值范围的处
理策略
【问题9】甲、乙、丙三位同学对问题“当1≤x≤12时，关于x的不等式x2
＋4≥(a2＋3a)x恒成立，求实数a的取值范围．”提出了各自的解题思路
= ,
= − ,
൞ = − ,即൝
时,等号成立,从而xy≤12-4 ,即xy的最大值为12-4 .
= −
+ + = ,
(2) x+y=x+
x+1=
−
−(+)+
=x+1+
-1=x+1+ -3≥2
+
+
+
,即x=
,即x=-6时,等号成立,因此(x+2)+ ≤-8,即
+
+
+
=8,
≤-10,当且仅当x=-6时,等号成立,故所求代数式的最大值为-10,无
+
( + ) ·
-1时取等号,所以x+y的最小值为2 -3.
-3=2
+
-3,当且仅当
【方法规律】
求解二元变量的最值，基本不等式是一个有力的工具，其基本思路
有二：
一是根据题目中表达式的特征，发现“正数”“定和”或“定值”，
进行整体处理，直接运用基本不等式求解；
二是“消元”，将其转化为一元变量的函数，再运用基本不等式求
【问题7】两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
【问题8】当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，应如何处理？
【活动3】明确不等式恒成立问题中参数取值范围的处
理策略
【问题9】甲、乙、丙三位同学对问题“当1≤x≤12时，关于x的不等式x2
＋4≥(a2＋3a)x恒成立，求实数a的取值范围．”提出了各自的解题思路
= ,
= − ,
൞ = − ,即൝
时,等号成立,从而xy≤12-4 ,即xy的最大值为12-4 .
= −
+ + = ,
(2) x+y=x+
x+1=
−
−(+)+
=x+1+
-1=x+1+ -3≥2
+
+
+
,即x=
,即x=-6时,等号成立,因此(x+2)+ ≤-8,即
+
+
+
=8,
≤-10,当且仅当x=-6时,等号成立,故所求代数式的最大值为-10,无
+
基本不等式-ppt课件高中数学人教版
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
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2.2基本不等式课件(人教版)
1
取得最小值？最小值是多少？
2
≠ 0，也就是 ≠ 0，
1
1
2
+ 2 ≥ 2 ∙ 2,
1
2
+ 2 ≥ 2.
1
2
当 = ±1时， + 2 取得最小值2.
2
15
巩固练习
人教A版必修第一册
4.已知−1 ≤ ≤ 1,求1 − 2 的最大值。
解：当 = ±1时，1 − 2 = 0.
（2）如果和 + 等于定值，那么当 =
1 2
时，积有最大值 .
4
证明：因为, 都是正数，所以
+
≥ .
2
+
（1）当积等于定值时，
≥
,所以
（2）当和 + 等于定值时，
2 ≤ 2 ,所以
+ ≥12 2 ,
≤ ,
当且仅当 = 时，上式等号成立。于是，当
= 时，和 + 有
4
当且仅当.= 时，上式等号成立。于是，当 = 时，积有最
最小值2
1 2
大值 .
4
11
课堂小结
人教A版必修第一册
基本不等式：
• 基本不等式
• 求最大值和最小值
12
巩固练习
人教A版必修第一册
1.已知, ∈ ,求证 ≤
证明：
因为∀, ∈ , −
2.已知函数 =
A.2
B.4
2 2
8
+ 2 , 则函数的最小值为（
+1
C.6
）
D.8
Hale Waihona Puke 18课堂小测3.已知0 <