专题训练四 平行四边形的存在性问题
中考数学总复习冲刺——平行四边形存在性问题 (共25张PPT)
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物 线于点F，设点P的横坐标为m．
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关(0, 1)、B(4, 3)两点．
（1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值；
3.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线
于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
3.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （4）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边
（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x 的代数式表示）；
（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形 EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．
A
F
P
B
E
C
（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形 EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．
A
F B
P H C （Q）
E
A(−1,0) ，B(3,0) ，C(0,3) ，抛物线的对称轴是x=1；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物 线于点F，设点P的横坐标为m．
【常考压轴题】平行四边形存在性问题—2023-2024学年八年级数学下册(浙教版) (解析版)
平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： 类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。
四边形存在性问题
四边形之存在性问题（一）平移法解决两定两动型平行四边形的存在性问题两定两动型的平行四边形存在性问题是9年级常见的试题，也是中考的热点题型，所以此类问题一定要重视。
平行四边形存在性问题最终就是求某点的坐标，传统的方法一般是把直线和抛物线的解析式联立成方程组，求出方程组的解就可以得到点的坐标，这种方法往往涉及到繁复的计算。
而用平移法解决此类问题，构思巧妙，思路简洁流畅，计算量小，对一般学生都能够很轻松的接受。
平行四边形的平移，如下图，平行四边形ABCD在坐标系中，点A和B的坐标分别为,(ma、)b，根据平行四边形的性质和平移原理，B点怎么移动到A点，C点就怎么移),(n动到D点，比如若点B先向右平移7个单位，再向下平移5个单位得到点A，那么同样的把点C的“横坐标+7”“纵坐标-5”即可到点D的坐标。
这个方法可以在坐标系中求解有关平行四边形的坐标问题，很实用，下面就要用到。
【解题思路】1.存在性问题处理框架：①研究背景图形；②根据不变特征，确定分类标准；③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解；④结果验证；2.平行四边形存在性问题特征举例：（1）分析定点、动点；（2）①边或对角线，利用平移确定点的坐标；②两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标；（3）结合图形进行验证；附：（线段的中点坐标公式课本上没有，但对于9年级学生来说在刷题时要经常用到，所以必须熟记).）如果线段AB 的两个端点坐标分别为),(),,(2211y x y x ， 中点M 的坐标记作),(y x ,则221x x x +=，221y y y += 即中点坐标M )2,2(2121y y x x ++【典型例题】【例1】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】以AC 为边时，可作1ACBD 与B ACD 3；以AC 为对角线时，可作2ABCD ;故一共3个点；【解答】（1）将（2，3）代入2+=kx y221+=∴x y ， )2,0(),0,4(B A -∴,向下平移3个单位，得121-=x y ，∴直线l 的表达式为121-=x y ； （2）121-=x y∴C 点坐标为（2，0），当AB 为对角线时，D 点坐标为（-6，2）， 当AC 为对角线时，D 点坐标为（-2，-2）， 当BC 为对角线时，D 点坐标为（6，2）；【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3，0)，点B 的坐标为A (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标； （3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【分析】（1）直线AB 的解析式只要将点代入b kx y +=即可； （2）这是两定两动的题型，利用菱形的对角线垂直平分画图进行解决；（3）两定两动的题型，分别以BD 为边与对角线进行作图，以BD 为边作图，再以平移求点即可，以BD 为对角线作图，求点时需要运用中点公式进行求解比较方便； 【解答】（1）,AB y kx b =+设直线的解析式为3044344- 4.3k b b k b AB y x +=⎧∴⎨=⎩⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩∴=+直线的解析式为（2）,BCOD 四边形是菱形 ,,(0,2),2,4324,,323(,2),23(-,2).2OB CD OB CD OB C y y x x C D ∴⊥∴==-+=∴∴且与互相平分的中点坐标为点的纵坐标是把代入得点坐标为点坐标为（3）339(6)(,2)(,2).222P --点的坐标为，或或【例3】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标． 【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【分析】（1）以C 为线段的中点，求解点C 的坐标，再由点A 的坐标两个点求出函数解析式；（2）四边形ACPB 为平行四边形，ACPB 顺次联结，故只有一种情况AC//BP,AB//CP,利用平移求解点P 的坐标；（3）三定一动的题型，利用已知定线段作为边或者对角线时，利用平移的方法求解点P 的坐标；【解答】（1）212,y x =+函数的解析式为6,00,120,6,6061,6,6;A B OB C AC y kx b b k b k b AM y x ∴-∴=+=⎧∴⎨=-+⎩∴==∴=+（）,（）,点C 为线段的中点,（）,设直线的解析式为：直线的解析式为： （2）,ACPB 四边形是平行四边形 ,,,,,6,6,18,6,18;PC AB PC AB PB AC PB AC P y Q PQB AOC PQ AO BQ CO QO QB OB P ∴==∆≅∆∴====∴=+=∴且∥且∥如图过点作轴的垂线，垂足为可证（）（3）,BC 当为对角线时(6,18),,(6,6),,(0,6),(6,18)(6,6)(6,6).P AB P AC P P --∴---点坐标为当为对角线时点坐标为当为对角线时点坐标为点坐标为或或。
学案：平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题
平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题一、平面内已知三个点（不共线），作第四个点构成平行四边形.1、已知平面内A 、B 、C 三点.（1） 求作D 点，使四边形ABCD 为平行四边形；（2） 求作D 点，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.二、平面直角坐标系中已知三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标.2、如图，在平面直角坐标系中，若以A （2,3）、B （1,1）、C （4,1）、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，求D 点的坐标.变式：若将C 点坐标改成（4,0），其余不变，求D 点的坐标.B C三、平面直角坐标系中已知平行四边形两个顶点的坐标，探求另两个点的坐标.例题1：已知，在平面直角坐标系中，A(2，4)、B(4，2)，试在直线y=2x 上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.例题2：如图，抛物线322--=x x y 与x 轴交A(-1,0)，直线l ：y=-x-1与抛物线交于A 、C(2,-3) 两点，点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样求出．．所有满足条件的F 点坐标；如果不作业：1、已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 过点)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C 三点(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为P ， 若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.2、已知C 、D 在直线y=x+1的图像上，且D 点的横坐标比C 点的横坐标大2，点E 、F 在二次函数231y x x =-+的图像上，且CE 、DF 与y 轴平行，当以C 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标.xyO3、在平面直角坐标系中，已知抛物线c x x y ++=2-2过点A(-1，0)，直线343:+-=x y L 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ，抛物线的顶点为D.（1） 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2） 若N 为直线L 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，问：是否存在这样的点N ，使得以点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由.4、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4，0)、B (0，－4)、C (2，0)三点．y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能使Q 的坐标．。
第06讲平行四边形存在性问题专题探究(原卷版)
第6讲 平行四边形存在性问题专题探究【知识点睛】❖ 知识储备：①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： ❖ 方法策略： （1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；（2）有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。
类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝12cm ，AC ＝6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm /s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm /s 的速度运动．若点E ，F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t ＝ 时，四边形AECF 是平行四)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若如，当A 、B 已知，点C 在直线y=x 上，点D 在另一直线上，则设C （a,a ）；分类还分别分①以AB 为对角线，②以AC 为对角线，③以BC 为对角线；依其性质分别表示出D 点坐标；将点D 坐标再分别带入另一直线解析式，即可求出a 的值，C 、D 坐标就都能求出来了。
边形．2．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DC＝6cm，AB＝9cm．点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形时，此时的运动时间为s．3．如图，在▱ABCD中，AB＝10cm，F是AB的中点，E为边CD上一点，DE＝4cm．点M 从D点出发，沿D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C；同时点N从点B出发，沿B→A 以2cm/s的速度匀速运动到点A．一个点停止运动后，另一个点也随之停止运动．当点M 运动时间是秒时，以点M，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM ＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点O也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．3B．3或5C．5D．4或55．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）AP＝，BQ＝，（分别用含有t的式子表示）；（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标1．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐标不能与A、B、C构成平行四边形的是（）A．（﹣3，0）B．（5，﹣2）C．（3，6）D．（﹣3，﹣2）2．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在x轴上方找到点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．3．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．4．如图，在平面直角坐标系的第一象限找一点A，第二象限找一点B，使OA＝，OB＝2，AB＝5，且A，B都是格点，连接OA，OB，AB．（画出一个△OAB即可）．（1）判断△OAB的形状，并说明理由；（2）是否存在点C，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx﹣4k（k≠0）．（1）求A，C的坐标；（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标1．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．2．在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），点D在直线y＝﹣1上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．3．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y＝x+1与y＝﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB 上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点坐标．若不存在，请说明理由．5．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A 在x轴上，点C在y轴上，OA＝6，∠CAO＝30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求点D的坐标；（2）在线段AC上有一动点P，连接EP和OP，求当△OPE周长最小时，点P的坐标，若M，N是x轴上两动点（M在点N左侧）且MN＝1，求当四边形CMNP周长最小时，M点的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
(完整版)压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11右，下D3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么MA ND MD NP =；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么GQ KA GA KP=．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
专题训练4 平行四边形的存在性问题
专题训练4 平行四边形的存在性问题针对训练1、 如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P.若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标2、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标3、 将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所示现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理曰如图，4、 抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为一点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴交直线AB 于点M ，交抛物线于点N 设OP 的长度为m ，连结CM 、BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的一动点，且满足O=2x，连结DE，以DE、DA 为边作平行匹边形DEFA（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12,0）（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O、B、M、Q为顶点的四边形是菱形？并求出此时t的值8、（19连云港26）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另一个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所示） （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点①求DE 的最大值 ②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x 2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A （-1,0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；（3）点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y=2x+2的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P 、Q 是否存在？若存在，分别求出点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在一点P，使得以P、A、 C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A （-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出△APC的面积的最大值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平面直角坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。
2024年九年级中考数学专题复习训练平行四边形的存在性问题
1.如图,已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为P.若以A、
C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.
4.如图,抛物线y= 54x 2+bx+c 与y 轴交于点A(0，1),过点A 的直线与抛物线交于另一点B （3，5
2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛 物线于点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN,当m 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?
9.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．(1)求B 、D 坐标，并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ AC ⊥？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A B 、的坐标； (2)求抛物线的对称轴；(3)平面内是否存在一点P ，使以P A O B 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()10A -，和()50B ，，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒()05t <<．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知二次函数213442y x x =--与x 数轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ． 发现：点A 的坐标为__________，求出直线BC 的解析式；拓展：如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，连接PB 、PC ，当PBC 面积最大时，求出P 点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D ，抛物线对称轴交BC 于点E ，M 是线段BC 上一动点（M 不与B 、C 两点重合），连接PM ，设M 点的横坐标为()08<<m m ，当m 为何值时，四边形PMED 为平行四边形？6．解答题如图，在平面直角坐标系中，二次函数24y ax bx =+-的图像交坐标轴于()1,0A -、()4,0B 两点，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点()30A -,和()4,0B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的函数解析式；(2)如图，点P 在直线BC 上方的抛物线上运动，过点P 作PD AC ∥交BC 于点D ，作PE x ⊥轴交BC 于点E ，求724PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中724PD PE +取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点G ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点Q 、G 、M 、N 为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是（4，0），与y 轴交于点C （0，－3），点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E 在x 轴上运动时，探究以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(30)A -，，()1，0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，直线122y x =+分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点D ，与直线相交于点E ，且:4:3CD DE =．(1)求点E 的坐标和二次函数表达式． (2)过点D 的直线交x 轴于点M ．①当DM 与x 轴的夹角等于2DCO ∠时，请直接写出点M 的坐标；①当DM CD ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点D ，E 重合），作DM 的平行线交直线CD 于点Q ，若以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于()()1,04,0A B C -、、三点，且OB OC =，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像与x 轴交于10()A B 、，两点，与y 轴交于点(03)C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求ACD 的面积最大时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标．（不写求解过程）13．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1．（1）求二次函数的解析式;（2）点P 为二次函数第一象限图象上一点，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k >0）的图象与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线1:l y x b k=-+交线段OC 于点M （不与O 、C 重合），过点T 作直线TN //y 轴交OC 于点N ，若在点T 运动的过程中，2ON OM =常数m ，求m 、k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于、、A B C 三点，其中点A的坐标为()0,8，点B 的坐标为()4,0-．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接AC CD 、，以AC CD 、为邻边作平行四边形ACDE ，设平行四边形ACDE 的面积为.S ①求S 的最大值；①当S 取最大值时，Р为该二次函数对称轴上--点，当点D 关于直线CP 的对称点E 落在y 轴上时，求点Р的坐标．参考答案1．【答案】(1)()4,0B - ()8,3D 211384y x x =--(2)当点P 运动到距离点52A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为8182．【答案】(1)4x =-(2)()4,16或()4,16--或()4,16-3．【答案】(1)()4,0A - ()0,16B (2)4x =-(3)()4,16或()4,16-或()4,16--． 4．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()712-，或()72-，或()14，或()23， 5．【答案】发现：()2,0-，直线BC 的解析式为1y x 42=-；拓展：()4,6P -；探究：当5m =时，四边形PMED 为平行四边形6．【答案】(1)234y x x =--(2)当P 点坐标为(2,6)-时，16(3)Q 的坐标为(2,6)--或(10,6)7．【答案】(1)211344y x x =-++(2)724PD PE +的最大值为12，此时522⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)1611632N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2471632N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，32147216N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．8．【答案】(1)239344y x x =--(2)(1,0)或(7,0)或41502⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或41502⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 9．【答案】(1)224233y x x =--+(2)存在，点M 的坐标为(2,2)-或---，(172)或(17,2)-+-10．【答案】(1)2722y x x =-++(2)①302⎛⎫- ⎪⎝⎭，或302⎛⎫⎪⎝⎭，；①3192-或3192+ 11．【答案】(1)234y x x =--(2)(2,6)P -，四边形PBOC 的最大面积为16(3)存在，Q 的坐标为(2,6)--或(10,6) 12．【答案】(1)223y x x =+-(2)315(,)24D --(3)存在，点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--13．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在 12(1,0),(5,0)Q Q -- 34(27,0),(27,0)+-Q Q ．14．【答案】（1）22y x x =-；（2）点P 的坐标(15,4)+或(13,2)+；（3）554m =12k =．15．【答案】（1）y =-14x 2+x +8，C 点坐标为(8，0)；（2）①32；①P （2，2）或（2，6）。
平行四边形,矩形,菱形的存在性问题(有答案)
平行四边形，矩形，菱形的存在性问题一、平行四边形存在性问题1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为．3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个．4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．第4题第5题第6题5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为．8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，；（2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为；（3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．9．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y 轴、x轴分别交于点D、F．（1）请直接写出线段BO的长；（2）求折痕所在直线BD的解析式；（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；否则，请说明理由．二、矩形存在性问题10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形11．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．12．平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．（1）写出点C的坐标；（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．三、菱形存在性问题13．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A．1个B．3个C．4个D．5个14．如图1，直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y＝x交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求∥BOC的面积；（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．∥当OA＝3MN时，求t的值；∥试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.根据题意得：D点的纵坐标一定是3；又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣5）＝6，故可得点D横坐标为﹣1+6＝5，即顶点D的坐标为（5，3）．2．由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，∥点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（1，2），∥点C，D的坐标分别是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），3．有3个点．4．解：∥B（﹣3，0），C（9，0），∥OB＝3，OC＝9，∥BC＝OB+OC＝12，∥E是BC的中点，∥BE＝CE＝BC＝6，分为两种情况：∥当P在E的左边时，∥AD＝PE＝5，CE＝6，∥BP＝12﹣6﹣5＝1；∥当P在E的右边时，∥AD＝EP＝5，∥BP＝BE+EP＝6+5＝11；即当BP为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；故答案为：1或11．5．如图，∥当BC为对角线时，易求M1（3，2）；∥当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；∥当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．6．根据题意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∥AB＝m﹣1，分三种情况：如图所示，∥以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；∥以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；∥以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．7．如图，由题意得：点C在直线y＝x上，∥如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC∥直线y＝x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣2，∥AF＝FB，∥点F坐标为（2，﹣1），∥CF∥直线y＝x，设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，∥直线CF为y＝﹣x+1，由，解得：，∥点C坐标（，）．∥CD＝2CF＝2×＝3．∥如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＝2＞3，∥CD的最小值为3．故答案为：3．8.（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1，2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案为：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为（5，7）；故答案为：（5，7）；（3）如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE∥BB1于E，DF∥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD＝BA，又∥BB1∥CC1，∥∥EBA+∥ABC+∥BCF＝∥ABC+∥BCF+∥FCD＝180°．∥∥EBA＝∥FCD．在∥BEA∥∥CFD中，，∥∥BEA∥∥CFD（AAS），∥AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．∥C（e+c﹣a，f+d﹣b），∥m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∥m+a＝e+c，n+b＝d+f．故答案为：m+a＝e+c，n+b＝d+f．9.解：（1）∥矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），∥OA＝6，AB＝8，∥OAB＝90°，∥OB＝＝10，即线段BO的长是10；（2）设点D的坐标为（0，d），则OD＝d，CD＝8﹣d，∥BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，∥，得d＝5，即点D的坐标为（0，5），设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，∥点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，∥，得，即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5；（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣8，1）；理由：∥点C（0，8），点D（0，5），∥OC＝8，OD＝5，∥CD＝3，∥以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点M在直线y＝﹣x上，点P在直线BD上，∥CD＝MP，CD∥MP，或CD为平行四边形的对角线，当CD＝MP，CD∥MP时，设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则P的坐标为（m，0.5m+5），则|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，当m＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，4），当m＝﹣8时，点P的坐标为（﹣8，1），当CD为平行四边形的对角线时，则点C和点D中点的坐标为（0，6.5），设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则点P的坐标为（﹣m，13+0.5m），∥点P在直线BD上，直线BD的解析式是y＝0.5x+5，∥13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，∥点P的坐标为（8，9），由上可得，点P的坐标为（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．10．D11．解：（1）过点A作AM∥CD于M，根据勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∥DM＝＝6，∥CD＝16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图1，由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t ∥10﹣3t＝2t，解得t＝2；（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，理由如下：∥AB∥CD，∥BCD＝90°，∥∥C＝90°，若要四边形BCQP是矩形，则当PB＝CQ时即10﹣3t＝16﹣2t，解得：t＝﹣6＜0，∥不存在．12.解：（1）∥四边形OACB是平行四边形，∥AC＝OB，∥A（1，3）、B（4，0），∥C（5，3）；（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，∥直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），∥，∥AB所在直线的解析式为y＝﹣4x+4，由于OC所在直线的表达式为y＝x，联立方程解得：即M的坐标是（2.5，1.5）；（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．分别过点A、O作AD∥BC于点D，OE∥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，∥四边形AOBC是平行四边形，∥AO∥BC，∥AD∥AO，∥四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，∥平行四边形AOBC的面积为12，∥矩形AOED的面积为12，由勾股定理知AO＝，∥OE＝，EB＝，∥EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，∥点E的坐标为（3.6，﹣1.2），∥点D的坐标为（4.6，1.8）．13．如图，∥A（﹣1，0），C（﹣1，5），∥AC∥x轴，且AC＝5﹣0＝5，过点D（﹣5，z）作作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝﹣5上，；∥A、B、C、D四个点构成的四边形是菱形，∥当DC＝DA，z有1个值，当DC＝AC，则42+（5﹣z）2＝52，z有两个值，当AD＝AC，则42+z2＝52，则z有两个值，综上所知，符合条件的z的值有5个．故选：D．14.解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0得到y＝3，令y＝0，得到x＝6，A（6，0）B（0，3）．（2）由，解得，∥C（2，2），∥S∥OBC＝×3×2＝3（3）∥∥M（6﹣t，﹣（6﹣t）+3），N（6﹣t，6﹣t），∥MN＝|﹣（6﹣t）+3﹣（6﹣t）|＝|t﹣6|，∥OA＝3MN，∥6＝3|t﹣6|，解得t＝或∥如图3中，由题意OC＝2，当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），∥t＝（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．。
(完整word版)平行四边形之存在性问题
中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△P AC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例2、如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例3、如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例4、如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例5、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例6、如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4。
平行四边形存在性(习题及答案).
平行四边形存在性（习题）巩固练习1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线323y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且12OB BC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．在坐标平面内是否存在点M ，使得以A ，P ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=+交=-+与3y x于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，则在直线AB上是否存在点E，使得以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA边上，点E在OC 边上，将长方形OABC沿直线DE折叠，点O恰好落在BC边上的点F处，且43CFCE ．已知OC=8，BC=12，OD=10，请解答下列问题．（1）求直线DE的解析式．（2）若M为直线DF上一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．思考小结1.存在性问题处理框架是什么？①研究背景图形；2分析不变特征，确定分类标准；3分析形成因素，画图求解；4结果验证．2.拿“两定两动”的平行四边形存在性为例，我们一起看看存在性框架分析怎么用：第一步，研究背景图形需要研究哪些内容？答：研究背景图形需要研究边、角、特殊图形；坐标、解析式．第二步，如何分析不变特征，确定分类标准？答：分析谁是定点，谁是动点，两个定点连成定线段，定线段可以作为平行四边形的边或对角线来进行分类．第三步，分析形成因素，画图，求解；根据特征，往往需要利用______（填“判定”或“性质”）分析？定线段为边和为对角线分类作图时，依据的原理是什么？求解坐标的操作手段是什么？答：判定；定线段为边时依据的原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定线段为对角线时依据的原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形；定线段为边时求解坐标：通过平移找点，“设→传→代”进行求解；定线段为对角线时求解坐标：通过旋转找点，利用中点坐标公式“设→传→代”进行求解．【参考答案】1．存在，点M 的坐标为(33-，3)，(33，9)或(3-，3-)．2．存在，点E 的坐标为(12，12)或(52-，72)．3．（1）152y x =-+．（2）存在，点N 的坐标为(345，85)或(665，85-)．。
平面直角坐标系下平行四边形存在性问题
平面直角坐标系下平行四边形存在性问题1、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，OA=8，OC=12，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点O恰好落在AB边上的点F处，M是直线DE上的一个动点，直线DF上是否存在点N，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形求符合题意的点N的坐标。
2、如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点E的坐标。
3、如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，且∠ABC=60°，若点D在直线AB上运动，点E在直线BC上运动，且以O，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点D的坐标。
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，把矩形沿直线DE翻折，使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，若点M是直线DE上一动点，点N是直线AC上一动点，且以O，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点N的坐标。
5、如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D．若在平面内存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点E的坐标。
6、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是直线AB上一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形（1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题( )；符合题意的点P有( )个；符合题意的点Q的坐标为( )。
7、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是y轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形（1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题( )A.△ABQ B.△ABP C.△APQ D.△BPQ符合题意的点P有( )个；符合题意的点Q的坐标为( )。
(完整版)平行四边形动点及存在性问题
环球雅思学科教师辅导讲义组长签字：学员编号： 年 级：八年级 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 赵文娜 授课日期及时段 教学目标重点难点教学内容平行四边形动点及存在性问题【例1】正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
MB CADNDO Cx yBA DO CxyB A【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.【例3】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 ；DBCA O xy P【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ，c ），C （b ，0），并且a ，b 满足212116b a a =-+-+．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （秒） （1）求B 、C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P 、Q 两点的坐标；（3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标．【例4】（1）如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为 ； （2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．MOE (4,3)x y FNCBAxy【练习3】如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）．（1）求G 点坐标；（2）求直线EF 解析式；（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．O xy AB CGBO (D )yxACF E【例5】在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts （0<t ≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由； （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．FBCA DE【练习4】如图，等腰三角形OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6，8），OA =OB ，动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动，动点Q 从原点O 出发，沿y 轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA ，AB 于E ，F ，设动点P ，Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也停止运动，他们运动时间为t 秒（0t ≥） （1）点E 的坐标为 ，F 的坐标为 ； （2）当t 为何值时，四边形POFE 是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．Q FE BA (6,8)OxyP【巩固练习】1、菱形ABCD 中，AB =2， ∠BAD =60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值为 。
平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A.（3，1）B.（﹣4，1）C.（1，﹣1）D.（﹣3，1）2.在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(5,3)，C(3，5)，在坐标系内是否存在点D，使得以点A,B,C,D 为顶点的四边形为平行四边形？3.在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（3m，4m+1），D 在x 轴上，若以A，B，C，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．4.在平面直角坐标系中，已知A(1，1),B(3，2)，点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形，求C,D 的坐标？5.在平面直角坐标系中，直线y=一x+4与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形.6.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系xOy 的原点O 在格点上，x 轴、y 轴都在网格线上，线段A、B 在格点上．（1）将线段AB 绕点O 逆时针旋转90°得到线段A 1B 1，试在图中画出线段A 1B 1．（2）在（1）的条件下，线段A 2B 2与线段A 1B 1关于原点O 成中心对称，请在图中画出线段A 2B 2．（3）在（1）、（2）的条件下，点P 是此平面直角坐标系内的一点，当以点A、B、B 2、P 为顶点的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P 的坐标：________．7.如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(-1，3)，B(-3，-1)，C(-3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的，若点Q在x轴上，点P在直线上，要使以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点P的坐标为8.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或59.如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,∠C=90°,CD=8cm,BC=24cm,AD=26cm,点P从点C出发,以1cm/s的速度向点B运动;点Q从点A同时出发,以3cm/s的速度向点D运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,从运动开始,需经过多少时间能使四边形ABPQ为平行四边形?并说明理由.10.如图，在Rt ABC △中，90∠= ，30B ∠= ，4AC =，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD BC ∥，交AB 于点D ，连接PQ 。
2020年中考数学复习专题——平行四边形动点及存在性问题
2020年中考数学复习专题平行四边形动点及存在性问题【例1】正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标； （2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.【例2】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 ；【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足16b=．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．【例3】（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为；（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．【练习3】如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）． （1）求G 点坐标； （2）求直线EF 解析式；（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts （0<t 15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．xE【练习4】如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动时间为t秒（0t ）（1）点E的坐标为，F的坐标为；（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【巩固练习】1、菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P一个动点，则PE+PB的最小值为。
二次函数存在性问题--平行四边形
二次函数存在性问题 专题---------平行四边形存在性姓名：例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=（x ﹣m ）2﹣m 2+m 的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，连结AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD=AC ，连结BD ．作AE ∥x 轴，DE ∥y 轴．（1）当m=2时，求点B 的坐标；（2）求DE 的长？（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式？②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时，以，A ，B ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？1、已知二次函数c bx x y ++=2，其图像抛物线交x 轴的于点A （1，0）、B （3，0），交y 轴于 点C.直线l 过点C ，且交抛物线于另一点E （点E 不与点A 、B 重合）.(1)求此二次函数关系式；(2)若直线1l 经过抛物线顶点D ，交x 轴于点F ，且1l ∥l ，则以点C 、D 、E 、F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E 的坐标；若不能，请说明理由.(3)若过点A 作AG ⊥x 轴，交直线l 于点G ，连OG 、BE ，试证明OG ∥BE.例2：如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O ，A 两点，直线AC 交抛物线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．1、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x 轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．:3、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M 为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
专题04 二次函数中的平行四边形存在性问题(老师版)
专题04 二次函数中的平行四边形存在性问题【例题讲解】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），设BC的解析式为y＝kx+b，∵B（0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．（3）如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，∴N1（3，4）．当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），综上所述，满足条件的点N 的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．【模型解读】考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，→．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC DDCBAD A B D CAB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩A C B D +=+【题型分类】1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，，可得；（2）AC 为对角线时，，解得；（3）AB 为对角线时，，解得．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，，解得，故C （4，0）、D （0，3）；531352mn +=+⎧⎨+=+⎩()17,6D 135253mn +=+⎧⎨+=+⎩()21,4D -153235mn +=+⎧⎨+=+⎩()33,0D 1=D B C A +-2=D A C B +-3D A B C =+-130120m n +=+⎧⎨+=+⎩43m n =⎧⎨=⎩（2）当AC 为对角线时，，解得，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，，解得，故C （-2，0）、D （0，1）．“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．【模型实例】1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC ＝，OB ＝OC ＝3OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大，求出点P 的坐标；（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ，使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OC ＝3OA ，AC ＝，∠AOC ＝90°，∴OA 2+OC 2＝AC 2，即OA 2+（3OA ）2＝（）2，解得：OA ＝1，∴OC ＝3，∴A （1，0），C （0，3），∵OB ＝OC ＝3，∴B （﹣3，0），设抛物线解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣1），将C （0，3）代入，得：﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩21m n =⎧⎨=-⎩103120m n +=+⎧⎨+=+⎩21m n =-⎧⎨=⎩A CB DA CB D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，设直线BC解析式为y＝kx+n，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直线BC解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•（t+3）+PK•（0﹣t）＝PK＝（﹣t2﹣3t），S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t2﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴当t＝﹣时，四边形PBAC的面积最大，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）存在．如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，∴﹣x2﹣2x+3＝，解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），∴Q1（﹣，），②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得：x1＝﹣，x2＝，∴Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣），综上所述，Q点的坐标为Q1（﹣，），Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣）．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c 与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点，N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴C点坐标为（0，1），令y＝0，则，∴，∴A点坐标为（，0），令x＝6，则y＝，∴D点坐标为（），将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，，解得，∴抛物线的表达式为：y＝；（2）①设N（n，0），∵四边形CDMN为平行四边形，∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），∵点M在抛物线上，∴+1＝，∴n2+9n+4＝0，∴n＝，∴点M的坐标为（，）或（，）；3．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，∴抛物线的函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣＝1，故设点P（1，m），点Q（x，0），B（3，0），C（0，﹣3），①以PB为对角线时，，解得：，∴P（1，﹣3），Q（4，0）；②以PC为对角线时，，解得：，∴P（1，3），Q（﹣2，0）；故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；4．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）若AD为平行四边形的边，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD＝PQ，∴x D﹣x A＝x P﹣x Q或x D﹣x A＝x Q﹣x P，∴x P＝4﹣1+2＝5或x P＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；若AD为平行四边形的对角线，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD与PQ互相平分，∴，∴x P＝3，∴点P坐标为（3，0），综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的解析式．（2）点F是抛物线上的动点，在D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得到解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x轴，CK＝2，当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±，∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）存在，理由如下：抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：∴，解得，∴M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：∴，解得，∴M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：，解得，∴M（7，﹣16）；综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．。
平行四边形的存在性问题
\10平行四边形的存在性问题【真题典藏】1.(2008年青浦区第24题)如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，正比例函数y=kx(x2l为自变量)的图像与双曲线y=-一交于点A,且点A的横坐标为一.x(1)求k的值.(2)将直线y=kx(x为自变量)向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于B、图1图22.(2009年普陀区第25题)如图2,在平面直角坐标系xOy中，0为原点，点A、C的坐标分别为(2,0)、(1,3<3).将AAOC绕AC的中点旋转180°，点0落到点B的位置，抛物线y二ax2-2祀x经过点A,点D是该抛物线的顶点.(1)求证：四边形ABC0是平行四边形；(2)求a的值并说明点B在抛物线上；(3)若点P是线段0A上一点，且ZAPD=Z0AB，求点P的坐标；(4)若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上,写出点P的坐标.3.(2010年上海市第24题)参见《考典40几何计算说理与说理计算问题》第3题.4.(2011年上海市第24题)已知平面直角坐标系x0y(如图3),一次函数y二3x+3的图像与y4轴交于点A，点M在正比例函数y二3x的图像上，且M0七•二次函数y=X2+bx+c的图像经过点A、M.(1)求线段AM的长；C,如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P,使以0、B、D、P为顶点的四边形是菱形.(2)求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数y=3x+34的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标.图3【满分攻略】我们先来解读第1题（2008年青浦区第24题）的第（2）题，探求菱形的存在性：由第（1）题解得直线BC为y=-x+4，△BOC是腰长为4的等腰直角三角形.第一步，确定分类标准和分类方法．四个点0、B、D、P中，两个定点0和B,两个不确定的点D和P,点D在直线BC上，点P在平面直角坐标系中，你认为因D而P?还是因P而D?那么我们以0B为分类的标准，按照0B为菱形的对角线或者边分两种情况.第二步，拿起尺、规，确定点D和P的位置以及菱形的个数.①当0B为菱形的对角线时，0B的垂直平分线交直线BC于D,点D关于0B的对称点为P（如图4）；②当0B为菱形的边时，那么以0B为半径画圆，圆心是0还是B?如果以0为圆心，以0B为半径画圆（如图5）,那么圆与直线BC的两个交点在哪里？你能确定点P 吗？如果以B为圆心，以0B为半径画圆（如图6），那么圆与直线BC有几个交点？你能确定点P吗？数一数，总共确定了几个菱形？第三步，具体情况具体解决．①如图4,|如果以0B为菱形的对角线那么DP与0B互相垂直平分且相等.此时点P的坐标为（2,-2）.②如图5,|如果以OB、0D为菱形的邻边由0D=0B=4,可知点D与C重合. 此时点P的坐标为（4,4）.③如图6,|如果以BO、BD为菱形的邻边|,则点P在直线y=-x上.由0P=0B=4,可得x2+（一x）2=42.解得x=-2^2,x=2J2.12因此点P的坐标为（-2迈,2迈）或（2匹,-2迈）.关于这道题，我怎么都觉得它更像一道画图题，你认为呢？四个菱形中，不论你漏掉了哪一个，都说明你的思想很不成熟，这道题进行了三级（三次）分类：5为对角线[OB与OD为邻边<OB为边｛一斗朋、D在上BO与BD为邻边4亠十[[D在下我们再来解读第2题（2009年普陀区第25题），探求平行四边形的画法：根据抛物线的对称性，我们知道点D在0A的垂直平分线上.第一步，确定分类标准和分类方法．设平行四边形的另一个点为F,在四个点P、A、D、F中，两个定点A和D,两个不确定的点P和F,点P在x轴上，点F在y轴上，你认为因P而F?还是因F而P?那么我们以AP为分类的标准，按照AP为平行四边形的对角线或者边分两种情况.第二步，拿起尺、规，确定点P和F的位置以及平行四边形的个数.①当AP为平行四边形的边时，那么AP//DF，AP=DF.过点D画x轴的平行线交y轴于F；以A为圆心、DF为半径画圆与x轴有两个交点匚与P（如图7）.②当AP为平行四边形的对角线时，点D、F到x轴的距离相等.此时的点F与图7中的点F有什么位置关系呢？此时的点P3与图7中的点P1有什么位置关系呢（如图8）?第三步，具体情况具体解决了．如图7,P（1,0），P（3,0），如图8,P（—1,0）.123图7图8第4题（2011年上海市第24题）最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．根据MO=MA确定点M在0A的垂直平分线上（如图9）,并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．第（1）题求得M（i，3），AM二弓3•第（2）题解得抛物线的解析式为y=x2-5x+3•2第（3）题求点C的坐标，先把抛物线的大致位置描绘一下：开口向上，与y轴交于点A（0,3）,过点M,对称轴在点M的右侧.现在我们来描绘菱形ABCD的大致位置：如图10，点B在点A的下方，点C在抛物线上，那么点C应该在点B的右侧了，点D在点A的右侧偏上的位置.解法一，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m.如图10,设四边形ABCD为菱形，过点A作AE丄CD,垂足为E.在RtAADE中，设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.因此点C的坐标可以表示为（4m,3—2m）.将点C（4m,3—2m）代入y—x2—5x+3，得3—2m=16m2—10m+3.2解得m—1或者m=0（舍去）.2因此点C的坐标为（2,2）.x2+(—X)2二4 (3x+3)-(x2-5x+3)42 解得x=0或者x=2.x=0的几何意义是点C与点D重合，菱形解法二，设点C和点D的坐标分别为（x,x2-5x+3）、（x'l x+3）,由DA2=DC2'得ABCD不存在.如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：图9 图10 如图11,点C的坐标为（需・图11平行四边形的存在性问题31.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=—X2+2x+c过点A(-1,O),直线l：y=一二x+3与x4轴交于点B,与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点M；抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.(2)若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E.问：是否存在这样的点N,使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由.图12.已知平面直角坐标系xOy(如图2)，一次函数y二-x+3的图像与y轴交于点A,点M在正比例函4数y=3x的图像上，且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A、M.2(1)求线段AM的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数y=3x+34的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标.图23.将抛物线c：y二-J3x2+73沿X轴翻折，得到抛物线c,如图3所示.1丿2(1)请直接写出抛物线C的表达式；2(2)现将抛物线纟向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请4.如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒(t三0).(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=；(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度.图1①如图1,当E 在N 上方时,(—x 2+2x +3)-[--x +3I 4丿7整理，得4x 2—11x +7=0.解得x=—，或x=1(此时N 与M 重合，舍去).4 3 ()7②如图2,当N 在E 上方时，(一x +3)—'―x 2+2x +3丿=.4 4/…r 八11^.''233整理，得4x 2—ll x —7=0.解得x 二8综上所述，满足题意的点N 的横坐标为x =?,x =11+"233,142811233平行四边形的存在性问题1.(1)抛物线为y=—X 2+2X+3，顶点D 为(1,4). 399(2)当x=1时，y =--x +3=-.所以点M 的坐标为(1,-).4 44977所以DM=4--=-.因此NE=-.4442.(1)AM .(2)y =x 2—x +3-22(3) 如图3,设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE 丄CD,垂足为E.在RtAADE 中，设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.因此点C 的坐标可以表示为(4m,3—2m).将点C(4m,3—2m)代入y —x 2——x+3，得3—2m =16m 2—10m +3.2图1图2所以BQ =CB -CQ =824 y16 yBD =PQ =6. 解得m 二1或者m=0(舍去).因此点C 的坐标为(2,2).23.(1)抛物线c 的表达式为y =x 2-^3.2丿(2)在等腰三角形ABM 中，因为AB=2,AB 边上的高为，所以AABM 是等边三角形.同理ADEN 是等边三角形.当四边形ANEM 是矩形时，B 、D 两点重合. 因为起始位置时BD=2，所以平移的距离m=1.图44.(1)QB=8—21，PD =±t .3(2)当点Q 的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ 不可能为菱形.说理如下:在RtAABC 中，AC=6，BC=8，所以AB=10.已知PD//BC ，当PQ//AB 时，四边形PDBQ 为平行四边形. 所以C Q =C P ，即=6-t .解得t =12.CBCA865此时在RtACPQ 中，CQ =24，PQ 二CQ二24x -二6.5sin Z CPQ54因此BQMBD.所以四边形PDBQ 不是菱形.图3 ；NI如图5,作ZABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.在RtAAPE 中, 过点P 作PE 丄AB ，垂足为E,那么BE=BC=8. AE23cosA ==—=— APt5当PQ//AB 时，CQ =CP ，即CQ =CBCA 86解得CQ =罟 所以点Q 的运动速度为32十¥=护 图5。
中考数学专项复习平行四边形的存在性问题解题方法测试题试卷
平行四边形的存在性问题解题方法专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)C(0, 3)，所以P(－1, 4)D1(2, 7)．由于C(0, 3)A(－3,0)，所以P(－1, 4)D2(－4, 1)．由于P(－1, 4)C(0, 3)，所以A(－3,0)D3(－2,－1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-12222【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．2由y＝－x+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M(4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2图2-3图2-4例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C和C′，点C 和C′向左平移4个单位得到点D和D′．图3-2图3-3图3-4例❹如图4-1，已知抛物线与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C(－4,0)、E(0,－3)两点是确定的，点N的横坐标－2也是确定的．以CE为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE为平行四边形的边时，由于C、E两点间的水平距离为4，所以M、N两点间的水平距离也为4，因此点M的横坐标为－6或2．将x＝－6和x＝2分别代入抛物线的解析式，得M(－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE为平行四边形的对角线时，M为抛物线的顶点，所以M．图4-2图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax－2ax－3a（a＜0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP＝QD．所以2＋(26a)＝8＋(16a)．整理，得7a＝1．所以．此时P．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD＝PQ，得5＋(5a)＝1＋(11a)．整理，得4a＝1．所以．此时P．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么．图5-2图5-3例❻如图6-1，将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2．2222222222222222现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心．【解法一】如果∠ANE＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此时B、O 重合（如图6-4），所以m＝BO＝1．【解法二】如果对角线MN＝AE，那么OM＝OA，此时△MAO是等边三角形．所以等边三角形MAB与△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．【解法三】在平移的过程中，、，M，根据OA＝OM列方程(1＋m)＝m＋3．解得m＝1．图6-2图6-3图6-4例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．2222图7-2图7-3图7-4图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4,0)、B(0,3)，点C的坐标为(0,m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2图8-3图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5图8-6图8-7。
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专题训练四 平行四边形的存在性问题
解平行四边形的存在性问题一般分为三个步骤：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.
难点在与寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快.
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点
如果已知两定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.
1.如图，已知抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P.若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点
的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.
3.将抛物线21:c y =x 轴翻折，得到抛物线2c ，如图示.现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线2c 向右平移m 个单位长度，平移后得到新的抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E.在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形为矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.
4.如图抛物线254y x bx c =-
++与y 轴交于点A(0,1)，过点A 的直线与抛物线交于另一点B(3, 52
)，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C. （1）求抛物线的表达式；
（2）点P 是x 轴正半轴上一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 与点M ，交抛物线与点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？
5.如图，已知二次函数的图象M 经过A(-1,0)、B(4,0)、C(2,-6)三点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；
（3）设图象M 的对称轴为L ，点D(m,n)（-<m<2）是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为278
时，点D 关于L 的对称点为E ，能否在图象M 和L 上分别找到点P 、Q 使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由..
6.已知直线(0)y kx b k =+≠过点F(0,1)，与抛物线214
y x =相交于B 、C 两点. （1）如图1，当点C 的横坐标为1时，求直线BC 的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M 是直线BC 上的动点，过点M 作y 轴的平行线，与抛物线交于点D ，是否存在这样的点M ，使得以M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设B(m,n)（m<0），过点E(0,-1)的直线L//x 轴，BR ⊥L 于R ，CS ⊥L 于S ，连接FR 、FS.试判断△RFS 的形状，并说明理由.
7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2211()44
y x m m m =--+的顶点为A ，与y 轴的交点为B.连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，连接BD.作AE//x 轴，DE//y 轴.
（1）当m=2时，求点B 的坐标；
（2）求DE 的长；
（3）①设点D 的坐标为(x ,y)，求y 关于x 的函数关系式；
②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个
交点为P ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行
四边形？
8.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(-1,4)，且与直线112
y x =-+交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(-3,0).
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N 是二次函数图象上的一点（点N 在AB 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 互相垂直平分？并求出所有满足条件的点N 的坐标.
9.如图，顶点为(1,4)的抛物线2y ax bx c =++与直线12
y x n =+交于点A(2,2)，直线
12
y x n =+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C. （1）求n 的值及抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的点，点P 关于直线AB 的对称点在x 轴上，求
点P 的坐标；
（3）点D 为x 轴上方抛物线上的一点，点E 为x 轴上的一点，当以A 、B 、E 、D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点E 的坐标.
10.如图，已知抛物线2
3y ax ax c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为(1,0)，tan OBC ∠=3.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
（3）抛物线的对称轴与AC 交于点Q ，请说明以Q 为圆心，以OQ 为半径的圆与直线BC 的关系.
=60°，F、H分别是AB、CD的中点，E、G分别11.如图，菱形ABCD的边长为4，B
在AD、BC上，且AE=CG.
（1）求证四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；
（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长.。