专题训练四 平行四边形的存在性问题

专题训练四 平行四边形的存在性问题
解平行四边形的存在性问题一般分为三个步骤：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.
难点在与寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快.
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点
如果已知两定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.
1.如图，已知抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P.若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点
的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.
3.将抛物线21:c y =x 轴翻折，得到抛物线2c ，如图示.现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线2c 向右平移m 个单位长度，平移后得到新的抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E.在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形为矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.
4.如图抛物线254y x bx c =-
++与y 轴交于点A(0,1)，过点A 的直线与抛物线交于另一点B(3, 52
)，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C. （1）求抛物线的表达式；
（2）点P 是x 轴正半轴上一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 与点M ，交抛物线与点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？
5.如图，已知二次函数的图象M 经过A(-1,0)、B(4,0)、C(2,-6)三点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；
（3）设图象M 的对称轴为L ，点D(m,n)（-<m<2）是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为278
时，点D 关于L 的对称点为E ，能否在图象M 和L 上分别找到点P 、Q 使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由..
6.已知直线(0)y kx b k =+≠过点F(0,1)，与抛物线214
y x =相交于B 、C 两点. （1）如图1，当点C 的横坐标为1时，求直线BC 的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M 是直线BC 上的动点，过点M 作y 轴的平行线，与抛物线交于点D ，是否存在这样的点M ，使得以M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设B(m,n)（m<0），过点E(0,-1)的直线L//x 轴，BR ⊥L 于R ，CS ⊥L 于S ，连接FR 、FS.试判断△RFS 的形状，并说明理由.
7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2211()44
y x m m m =--+的顶点为A ，与y 轴的交点为B.连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，连接BD.作AE//x 轴，DE//y 轴.
（1）当m=2时，求点B 的坐标；
（2）求DE 的长；
（3）①设点D 的坐标为(x ,y)，求y 关于x 的函数关系式；
②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个
交点为P ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行
四边形？
8.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(-1,4)，且与直线112
y x =-+交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(-3,0).
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N 是二次函数图象上的一点（点N 在AB 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 互相垂直平分？并求出所有满足条件的点N 的坐标.
9.如图，顶点为(1,4)的抛物线2y ax bx c =++与直线12
y x n =+交于点A(2,2)，直线
12
y x n =+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C. （1）求n 的值及抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的点，点P 关于直线AB 的对称点在x 轴上，求
点P 的坐标；
（3）点D 为x 轴上方抛物线上的一点，点E 为x 轴上的一点，当以A 、B 、E 、D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点E 的坐标.
10.如图，已知抛物线2
3y ax ax c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为(1,0)，tan OBC ∠=3.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
（3）抛物线的对称轴与AC 交于点Q ，请说明以Q 为圆心，以OQ 为半径的圆与直线BC 的关系.
=60°，F、H分别是AB、CD的中点，E、G分别11.如图，菱形ABCD的边长为4，B
在AD、BC上，且AE=CG.
（1）求证四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；
（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长.。