水静力学
1 水静力学
△
作用在ABD上 的静水压力 △ FPy 图 微元四面体受力分析
• ①表面力：
（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）
dPx dPy dPz dPn
1 px dAx px dydz 2 1 p y dAy p y dxdz 2 1 pz dAz pz dxdy 2 pn dAn
dU fxdx fydy fzdz dp ( fxdx fydy fzdz )
故，dp dU 积分得，p U C 若已知平衡液体边界压强为p0 , 力势函数为U 0，则积分常数为 C p0 U 0 则p （U U 0） p0
巴斯加原理：平衡液体中，边界上的压强
②.自由液面
2 C gz0 1 2 2 r g ( z z0 ) 2 1 2 2 r g ( zs z0 ) 2
式中， (x,y,z) 为液面任意点坐标
为使 z 坐标与液体内部点(x,y,z)区分，用
zs 表示自由液面的铅垂坐标
③.静水压强的分布规律
p p0 g ( zs z) p0 gh
液体的平衡状态
1 静止状态：相对于地球没有相对运动，处于相对静止状态；
2 相对平衡状态：整个液体对于地球而言具有相对运动，但是
液体对于容器或者液体内部质点之间没有相对运动，处于相对
平衡。
dv 0 da 0
水静力学中，无需区分理想液体与实际液体。
1-1 静水压强及其特性
一、静水压强
静水压力：是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指液体对固
(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压 强相等，即任一水平面都是等压面。
水力学 水静力学 水静力学
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
第二部分 水静力学
§2—2 液体平衡的微 分方程及其积分
1．液体平衡的微分方程
设正交六面体中心 点处的静水压强为p，是 坐标的连续函数，即 p=p(x,y,z)，用泰勒级数 展开得M和N点的压强为
pM
p 1 p dx 2 x
pN
p
1 p dx 2 x
ABCD面上的力（p 1 p dx)dydz 2 x
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
积分：p= —ρ（a x +g z）+ C
由边界条件x = z = 0 ,p = p0 C = P0对任一点B（x ，y ）
p p0 (ax gz)
p0
(a g
x
z)
p0
a g
x z
p0 (z z ) p0 h
pc p0 h2 p0 h1 (h2 h1) pA h
p p0 h
水静力学基本方程常用表达式 说明：
(1) 静水压强随深度按线性规律增加。
(2) 液体内任一点的静水压强由两部分组成， 一部分是自由液面上的表面压强po； 另一部分是单位面积上的垂直液柱重量γh 。
§2-3重力作用下静水压强的分布规律
思考： 点A质量为M的液体： 静止时有重力Mg，方向？与Z轴方向？？在X、Y轴方向的投影为？ 则：单位质量力为Mg / M = g ，方向？？
任一点的单位质量力均为g，方向？？
1 ．水静力学基本方程
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
液体平衡微分方程综合式
X 0, Y 0, Z g
思考： 平面上各点的静水压力方向？？ 曲面上各点的静水压力方向？？
2第二章 水静力学
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
水力学课件 第一章 水静力学
§1.1 静水压强及其特征
联立上面各式代入后得：
1 2
pxyz
1 2
pnyz
1 6
xyzf x
0
1 2
p y xz
1 2
pnxz
1 6
xyzf y
0
1 2
pz xy
1 2
pnxy
1 6
xyzf z
0
联立上面各式代入后得：
1 2
pxyz
1 2
pnyz
1 6
xyzf x
0
1 2
p y xz
1 2
pnxz
§1.4 等压面
一、等压面(Isobaric Surface)：在平衡的液体中， 由压强相等的各点所组成的面叫做等压面。 等压面的重要特性是： 1.在静止的或相对平衡的液体中，等压面同时也是
等势面(Isopotential Surface)。 dp dU
2.在相对平衡的液体中，等压面与质量力正交。
条件：只适用于静止、同种、连续液体
三、气体压强计算
p p0
§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡
z
gm h z
zs
o
x
以z轴为对称轴的旋转抛物面方程：
R
o
r
x
m
F
y 1 2rBiblioteka gz C 2§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡 平衡微分方程： dp ( fxdx f ydy fzdz) 质量力：离心惯性力和重力 F m 2r, mg 单位质量力： fx 2 x, f y 2 y, fz g 自由面上压强不变为大气压： dp 0
§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡
2、圆筒中液体内任一点静水压强分布规律：
水力学-第二章水静力学
13
水力学 液体平衡的全微分方程 2.
Xdx Ydy Zdz
第 二 章 水 静 力 学
3、等压面
1
dp
Xdx Ydy Zdz 0
W X x W Y y W Z z
力势函数
W W W dx dy dz dp x y z
p g (
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
p p 0 g (
则
r
2 2
2g
z)
47
水力学
静水总压力Static Surface Forces
第 二 章 水 静 力 学
平面压力Forces on plane areas
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
pr pabs pa
真空压强
pv pa pabs
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
p 3、 z C 的物理意义和几何意义 g
第 二 章 水 静 力 学
p dxdydz Xdxdydz 0 x
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
11
作用 点…… 记住了 吗？ ？
[理学]2第二章水静力学
![[理学]2第二章水静力学](https://img.taocdn.com/s3/m/78563304dd36a32d7275810a.png)
2. 若平衡液体具有与大气相接触的自由表面，则自由表面 为等压面，因为自由表面上各点的压强都等于大气压强。 3. 不同流体的交界面也是等压面。 此外，应用等压面概念时，必须注意等压面以下的液体是相 连通的同种液体。
实际应用：
对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水压强 相等，故水平面即是等压面。但必须注意，这一结论只适用于 质量力只有重力的同一种连续介质。对于不连续的液体（如液 体被阀门隔开），或者一个水平面穿过了两种不同介质，则位 于同一水平面上的各点，压强并不相等，即水平面不一定是等 压面。
• 1. 表面力
作用于六面体的表面力，为周围液体对六面体各表面上 所作用的静水压力。 垂直于 x 轴的左右两 个平面中心点上的静 水压强分别为：
p 1 p 1 p dx 和 p dx 2 x 2 x
则静水压力分别为：
1 p p dx dydz 和 2 x 1 p dx dydz p 2 x
p A 98 9.8[ 0.98 (1.5) (1.0)] 109 .27 kPa 9.8
a x z )中的p=p0，得自由表面方程为ax+gz=0 g
再令
p p 0 (
从而它与水平面的夹角为 a 0.98 q arctg arctg 543 g 9.8
章节设置
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 静水压强 液体平衡微分方程 重力作用下的静力学基本方程 作用在平面壁上的静水总压力 作用在曲面壁上的静水总压力
学习要点
• 1、静水压强的两个重要的特性和等压面的性 质。 • 2、静水压强基本公式和物理意义，静水压强 计算。 • 3、静水压强的单位和三种表示方法： 绝对压强、相对压强和真空度；理解位置 水头、压强水头和测压管水头的物理意义和几 何意义。
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yzp ⊿⊿⊿zx xp p ynp xz ynACB 0证：取图示微分四面体，四个面上的平均静水压强分别为n z y x p p p p ,,,，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆sp y x p z x p z y p n z y x 212121 表面力⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆z y x Z z y x Y z y x X 616161ρρρ沿x 方向力的平衡方程：031=∆+-x X p p n x ρ取微分四面体无限缩至o 点的极限n x p p =同理n z y x n z n y p p p p p p p p ===∴==故任意点压强仅是空间坐标的函数而与受压面方位无关。
§2-2重力作用下静水压强的分布规律 一、水静力学的基本方程质量力只有重力：g Z Y X -===,0,0 或γγ2211p z p z +=+——重力作用下水静力学的基本方程。
对于液面点与液体内任意点h p p pz p h z γγγ+=→+=++00——水静力学基本方程的常用表达式说明：（1）当 2121z z p p ><，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。
液面压强0p由γh 产生的压强（3）p 随h 作线性增大。
（4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强，取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。
（5）h p p ∆+=γ12二、等压面1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx质量力 （2）任一点压强由两部分组成 相互独立3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。
C W dW dp =→==0ρ （2）等压面与质量力正交证明：作用在等压面上的单位质量力k Z j Y i X f ρρρρ++=沿微小位移k dz j dy i dx s d ρρρρ++=移动所做功0=++=•Zdz Ydy Xdx s d f ρρ，即f ρ与s d ρ垂直。
只有重力作用的静止液体，就局部范围而言，等压面必是水平面。
4、举例三、绝对压强、相对压强、真空值1、绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强p '。
2、相对压强：以当地大气压强作为零点计量的压强p （可 正可负）。
二者关系：相差一个当地大气压p a ，p '=p +p a 或p =p '-p a 如图：若0p 为相对压强，a A A p rh p p rh p p ++=+=10/1若p 0为绝对压强，a A Ap h p p h p p -+=+=1010/γγ若开口（不封闭）1/1h p p h p a A A γγ+==以后无特殊说明，指相对压强。
3、真空值：当液体中某一点的绝对压强小于当地大气压强时，则称该点存在真空。
真空值p p p p a v ='-=（该点绝对压强小于当地大气压强的数值） 四、静水压强分布图根据静水压强的两个特性绘制压强随水深变化的几何图形， 称为静水压强分布图。
一般要求绘制相对压强分布图。
1、公式h p hp p γγ=+=02、原则：（1）按比例用线段长度表示某点静水压强的大小。
（2）用箭头表示静水压强的方向（垂直指向被作用面） （3）直线方程，两点可连线。
3、举例：五、测压管高度、测压管水头、真空度γhBhAA1h P 01、测压管高度γAA p h =——测压管高度γAA p z +——测压管水头（z A 为位置高度）γγBB AA p z p z +=+=常数压强表示方法：1个工程大气压=98kN/m 2=10m 水柱=736mm 水银柱 2、真空度：真空值的液柱高表示当0='p 时称完全真空，此时m h v 10=，为理论上的最大真空度，实际不存在。
思考题：图示1γ和2γ两种液体（2γ>1γ），试问处于同一水平线上的1、2、3、4、5点哪点压强最大哪点最小哪些点相等（P 3=P 4>P 1=P 2>P 5）§2-3测量压强的仪器在工程实践中，常根据水静力学基本原理设计和制造液体测压计。
液体测压计具有构造简单、直观、使用方便和精度较高等优点。
下面介绍几种简单的液体测压计。
一、测压管利用测压管量测某点压强是一种最简单的液柱式测压计，如图2-3-1所示。
当欲测容器中A 点的压强时，可在与A 点相同高度的器壁上开一小孔，并安装一根上端开口的玻璃管。
根据管内液面上升的高度h ，就可测出A 点的绝对压强或相对压强。
由静水压强基本方程可得h p p Aabs γ+=0或h p A γ=测得A 点压强后，再通过基本方程就可求得容器中任一点的静水压强。
为保证量测精度，测压管内径d 不宜太小，一般取d>10mm ，这样可消除毛细现象影响。
测压管的缺点是不能量测较大压强。
当压强超过(工程大气压)时，则需要长度2m 以上的测压管，使用很不方便。
所以量测较大压强时，一般采用U 形水银测压计。
二、水银测压计水银测压计的构造也很简单，是将装有水银的U 形管安装在需要量测压强的器壁上，管子一端与大气相通，如图2-3-2所示。
根据等压面条件，n —n 为等压面，则1、2两点压强相等，即12p p =。
从图中还可看出，1、2两点的相对压强分别为 所以 或在测压计上量得m h 和z 值，即可求得A 点压强，并可推算其他各点压强。
三、水银差压计用水银差压计可测出液体中两点的压强差。
图2-3-3所示水银差压计，U 形管内装有水银，使用时将U 形管两端分别与欲测点相接，待水银柱面稳定后即可施测。
其关系推导如下。
由图知根据等压面原理，12p p =。
于是得A 、B 两点压差为若预测两点位于同一高程上，则A B z z =，式(2-3-2)有如下形式，即 四、真空测压计水流在通过建筑物的某些部位时，有可能会产生真空。
量测真空压强的设备称为真空测压计，如图2-3-4所示，容器中液面压强小于大气压强，即0a p p <。
从容器外接一玻璃管插入水箱水面以下，在大气压强作用下，管内液面上升一高度v h ，如图2-3-4(a )所示，则A 点绝对压强为所以容器内液面压强(绝对压强)为 由上式得液面的真空值 则真空度为v vh p =γ（2－3－5）由图2-3-4可以看出，真空度即为测压管液面在自由液面以上的上升高度。
如果需要量测较大真空值，可采用U 形水银真空计，如图2-3-4(b )所示。
若容器内B 点压强小于大气压强，按上述分析方法，可得B 点的真空值总之，液柱式测压计具有构造简单，量测精度较高等优点，是实验室中的常备仪器。
其缺点是量测范围小，携带不方便等。
此外，还有金属测压计以及电测仪器等，本书不再作介绍。
§2-4作用在平面上的静水总压力 一、图解法（适用于矩形平面）1、大小小长条面积h p bdhd γω==（∵dh 无限小）结论：P =压强分布图的面积×平面宽2、方向：由平行力系合成原理，合力与各分力方向一致，垂直指向被作用面。
3、作用点（压力中心）：通过压强分布图的形心作用在受压面的纵对称轴上。
利用图解法求作用点位置常采用合力矩定理。
合力矩定理：合力对某一轴（点）之矩等于各分力对该轴（点）之矩的代数和。
图示：2111λ==e lb h P γ 注意：三心区别（受压面形心，压强分布图形心。
压力中心） 思考题：绘出下列第一图三心的位置；求第二图AB 平面上的静水总压力。
二、解析法（适用于任意形状的平面）首先复习材力知识 静矩=ωωωc y yd =⎰ 惯性矩ωωω22c c x y J d y J +==⎰1、大小ωγhd dP =（d ω很小，近似认为各点压强相等） p=形心点的压强⨯受压面的面积。
2、方向：垂直指向被作用面。
3、作用点：用合力矩定理说明各项意义，一般情况下D 在C 下方实际工程中的受压面多是轴对称面，总压力P 的作用点必位于对称轴上，这就完全确定了D 的位置。
例题：如图所示，闸门宽，铰在A 点，压力表G 的读数为BP2P1AP5.5m2.0m油A水1.5mP=0GB解：一、图解法kNP04.472.12196001=⨯⨯=，ml11=（距A）kNP52.232.12)1960039200(211=⨯⨯-='，ml342=右侧：2/1666083302mNpB=⨯=右（压强分布图）解得P=二、解析法：首先找出p=0的面-14700+γy=0 y=左侧：2/294005.4980014700mNpc=⨯+-=右侧：2/833018330mNpc=⨯=233.1992.1911.156.700⨯+⨯=⨯=∑PM解得P=P=0BBP 0<0CAγ1γ2V 1A B A抵消部分V 2⎰zz hd ωω——曲面AB 所托的液体的体积，称为压力体，其体积用V 表示作用在曲面上静水总压力的垂直分力z P 等于其压力体的重量。
2、压力体的绘制和z P 的方向其上为大气压（1）压力体是由曲面本身、过曲面边缘的铅直面、自由液面（或自由液面的延长面）包围而成的体积。
（2）压力体不一定由实际水体构成，故分为实压力体和虚压力体。
实压力体： 虚压力体：压力体和液 压力体和液 体处于曲面 体处于曲面的同一侧 的两侧（3）z P 的作用线通过压力体的体积形心 3、举例复杂柱面将曲 不同容重部分的 存在真空的情况面分成几部分 压力体应单独计算 （1）首先确定自由液面绘制，再叠加2211v v p z γγ+=（2）再按原则绘制四、静水总压力大小：22z x P P P +=方向xzP P tg =αBB AA5、绘图找AB 平面形心、压力中心绘静压分布图绘压力体 压强分布图形心二、复习第二章主要内容Z AP B /γZ BA B Z CP A /γp 0C0P C /γ气h 121Ahh 2水银133B2酒精ALLGHθeGo标出图示容器内A 、B 、C 三点的位置高度、测压管高度和测 压管水头，C 点的相对压强为负值。
1、 如图所示，已测得A 球压 力表读数为个工程大气压，测 压计内汞面之间充满酒精。
已知：h 1=20cm h 2=25cm h=70cm 求：?=Bp解：121h p h p pA 汞γγ+=+=3、一重量为G=19600N的闸门，用无摩擦的铰O 联接在岸墩上，闸门宽b=8m ，H=1m ，=30。
，为保持闸门的平衡，试计算闸门的长度L=解：P=b H b H H 2sin 21γθγ=⨯θsin 3H e p = G=19600N θcos 2L e G =00=∑M 解得：m G PH L 16.6cos sin 32==θθ 4、 如图所示一封闭水箱，下端有一1/4圆弧的钢板AB ，宽b=1m ，半径R =1m ，h 1=2m ，h 2=3m 。