异方差及其处理

X
这说明存在异方差
消费与收入（我国31个省市， 2011年）
2,000 1,500 1,000 500
RESID
0 -500 -1,000 -1,500 -2,000 12,000
横轴：收入； 纵轴：残差；
16,000 20,000 24,000 28,000 32,000 INC
消费与收入（我国31个省市， 2011年）


拒绝“没有异方差”的原假设！
点点滴滴：
EVIEWS设计的一个缺陷： （1）如果在进行怀特检验时，选择“不包 括交叉项”； （2）如果你的原始回归本身不带常数项；

在上述两种情况下，white检验的辅助回 归方程中都不会出现“解释变量的水平值 ”，只有其平方项。
异方差的诊断
2、正规的检验
注意：遗漏变量对异方差检验的影响
戈德菲尔德-匡特检验（GlodfeldQuandt test）
3/8个样本
24,000 22,000
¼ 个样本
两个回归 可以产生 两个残差 平方和
20,000 18,000
CONS
16,000 14,000 12,000
同方差时， 两个残差 平方和应 该差不多！
10,000 8,000 12,000
异方差的危害

OLS估计量依然是无偏的 但不再具有有效性！！ t检验、F检验无效 置信区间不可信



异方差的诊断
• 1.画图法： 以Xi或Yi为横坐标，以|ei|或ei2为纵坐标
|ei| ei
0 0 Xi或Yi
Xi或Yi
这说明没有异方差
异方差的诊断
|ei|
1.画图法：
ei
0 Xi或Yi
0
Xi或Yi
前者是后者的特例。
Generalized Least Squares
• 考虑如下数据生成过程：
Yi 0 1X i ui E(ui ) 0; Var(ui ) f(X i )
2
GLS: Transformed Data
Yi 0 f ( Xi ) 1 1 f ( Xi ) Xi f ( Xi )
异方差已经剔除！
异方差的处理
2、可行的广义最小二乘（Feasible GLS）
但通常di与Xi之间的关系并不能确定！ 假设：
2 h var( i ) Xi
那么h就是一个未知数！ 如何知道h的大小呢？
ln(ei ) ln( ) h ln( Xi ) i
2 2
异方差的处理
ˆ) White e.s.e.( 1
xi ei 2 2 (xi )
2 2
OLS Estimates of the Rent–Income Relationship with Robust Standard Errors
本例的戈里瑟检验(Glezser test)
形式1 Constant -315401.7 (-0.544771) 59.04966 (1.904133) 0.001192 (1.641916) 17973.54 (2.022699) -2.78E+10 (-2.294215) 0.111131 0.085055 0.123637 0.153616 形式2 336000.5 (1.146315) 形式3 -1646633 (-1.378615) 形式4 2372387. (3.291795)
加权最小二乘法
变形后做回归的结果：
Consumption Incomei
0.7067
Incomei Incomei
估计消费函数时，对异方差的处理
加权最小二乘法
对新方程再做“异方差检验”：
Heteroskedasticity Test: White Obs*R-squared Prob. Chi-Square(1) 0.934813 0.3336
异方差的诊断
2、正规的检验 （1）戈里瑟检验(Glezser test) ：
①原始回归，获得残差ei； ②用|e|对可疑变量做各种形式的回归；
ei 0 1 x i
h ji
③对原假设H0： δ1=0,进行检验 .
异方差的诊断
2、正规的检验 （1）戈里瑟检验(Glezser test) ： 回归的形式通常为如下几种：
2,000 1,600
1,200
ABRE
800 400
横轴：收入 纵轴：残差 的绝对值
0 12,000
16,000
20,000
24,000
28,000
32,000
INC
异方差的诊断
2、正规的检验
(1)戈里瑟检验(Glezser test)
(2)戈德菲尔德-匡特检验（GlodfeldQuandt test） (3)怀特检验（White test）
T统计量
9.05 4.42
R2=0.1555
案例：纽约的租金和收入
怀特的辅助回归 因变量：e2 （n=108）
变量 C Income Income2 系数 -14657900 1200.58 -0.01 T统计量 -1.58 2.42 -1.87
R2=0.082
案例：纽约的租金和收入

怀特统计量=108*0.082=8.87， 自由度为2的卡方统计量=5.99
1,200
ABRE
800 400
0 12,000
16,000
20,000
24,000
28,000
32,000
INC
案例：用截面数据估计消费函数

直观感受：
存在异方差 （heteroskedasticity）
Homoskedasticity （同方差）
Heteroskedasticity（异方差）
但是该方法在研究者错误地设定异方差的 形式后，FGLS估计量仍然不是有效的！
基于FGLS估计的t检验、F检验仍然有问题。
异方差的处理
3、怀特异方差的一致标准误差 思想：仍然使用OLS，因此估计量是有 偏的，但如果标准差能够足够小，那么我 们的估计仍然是令人满意的。
White Robust Standard Errors
• However, we really used the homoskedasticity assumption only to simplify this formula.
White Robust Standard Errors
• If we do not impose homoskedasticity, we get a slightly more complicated formula:
i
异方差的处理

Yi f(X i )
对
1
f(X i )
和
Xi f(X i )
做回归
异方差的处理

异方差的处理

本例进行Glezser test时，有 如下结果

wenku.baidu.com
估计消费函数时，对异方差的处理

Yi X i ui Xi ui Y Xi Xi Xi
估计消费函数时，对异方差的处理
2、可行的广义最小二乘（Feasible GLS）
ln(ei 2 ) ln( 2 ) h ln( Xi ) i
估计出h后，再进行变换：
Yi X i ui Y Xi
ˆ h

Xi Xi
ˆ h

ui Xi
ˆ h
估计消费函数时，对异方差的处理
异方差的处理
2、可行的广义最小二乘
所以，可进行F检验。
异方差的诊断
2、正规的检验 （2）戈德菲尔德-匡特检验（GlodfeldQuandt test）
如果，
则拒绝“原假设”存在异方差
戈德菲尔德-匡特检验（GlodfeldQuandt test）
RSS1 / (n1 k ) F 2.4141 RSS 2 / (n2 k )
当原方程遗漏重要变量时，异方差检验 通常无法通过； 所以，在进行异方差检验时，先要保 证没有遗漏重要变量——拉姆齐检验
异方差的诊断
更多的时候，我们需要进行定 性的分析！！！！！！
异方差的处理
1、加权最小二乘法(WLS) Weighted Least Squares 广义最小二乘(GLS) Generalized Least Squares
ei 0 1 x ji i
ei 0 1x i2 i
ei 0 1 x ji i
ei 0 1 1 i x ji
对本例进行Glezser test

异方差的诊断
2、正规的检验 （2）戈德菲尔德-匡特检验（GlodfeldQuandt test） 先给原始数据进行排序，然后。。。
• For OLS with an intercept and a single explanator, Yi 0 1 X i i , we have derived the formula for the e.s.e:
2 e i ˆ) e.s.e.( 1 2 (n 2)xi
第二章：异方差及其处理
案例：用截面数据估计消费函数

上机实验：利用31个省市自治区的人均 收入与人均消费数据估计消费函数。
Consumption = 0.7042*Income t=(83.0652) R2=0.9289
案例：用截面数据估计消费函数

观察残差图（取残差绝对值）：
2,000 1,600
16,000
20,000
24,000
28,000
32,000
INC
异方差的诊断
2、正规的检验 （2）戈德菲尔德-匡特检验（GlodfeldQuandt test） 在同方差的情况下，有：
RSS1 / (n1 k ) F RSS 2 / (n2 k )
F(n1 k ,n2 k )
所以，拒绝原假设。即，认为存在异方差
异方差的诊断
2、正规的检验 （3）怀特检验（White test）： 由H. White 1980年提出 ①原始回归，获得残差ei； ②用ei2对 常数项、x，x2，交叉项同时 做回归；(回归方程称为：辅助方程 ausiliary equation) 该方程中，解释变量的个数为“p”(不 不包括常数项)
异方差的诊断
2、正规的检验 （3）怀特检验：
③ 由上述辅助方程的R2构成的统计量 nR2服从X2 (p)分布，可进行卡方检验； 大于临界值时，拒绝同方差假设 当然，也可以应用F检验。
案例：纽约的租金和收入
案例：纽约的租金和收入
因变量：RENT（n=108）
变量
C Income
系数
5455.48 0.06
i
f (Xi )
Yi 0 X 0 1 X1 i
E ( i ) E
Var ( i ) Var
0 f (Xi )
i
1 1 Var i 2 f (Xi ) 2 f (Xi ) f (Xi ) f (Xi )