动态规划课程设计模板

实验报告
课程名称： 动态规划 实验名称： 产量与库存问题 专 业： 信息与计算科学 姓 名： 张睿 学 号： 02-16
一、 问题描述
产量与库存问题
（1） 某企业生产并销售某种产品，6个月每个月的销售量，单位数量费用，储存费用
见表6.10.初始，终结库存均为0.问应如何安排每月生产，才能充分保证供应而总费用最小？
（2）示。

假定：不论在任何时期，生产每批产品的固定费用F 为8（千元），单位产品的生产成本费用为2（千元），单位产品每时期（阶段）库存货H 为2（千元），最初库存量S1为1个单位，仓库容量为4个单位，计划期末库存量为0.任何一个时期生产能力所允许的最大生产批量B 不超过6个单位。

在满足上述给定条件下，该厂如何安排各个时期的生产与库存，才能使所花的总成本费最低？
二、 建立动态规划模型
问题（1）求解：
为了便于问题的求解，我们先做如下合理假设：
（1） 生产在每月初时进行，且生产完毕后，产品会立刻按照每月的销售量
出售，方便计算库存量。

（2） 工厂只生产整数单位的产品。

（3） 生产时不算库存费用
阶段变量：1,2,3,4,5,6k =，将问题中的六个月分为六个阶段，即阶段变量
1,2,3,4,5,6k =。

状态变量：k V ，k V 为第k 个月末的库存量。

决策变量：k x ，表示第k 个月的生产量。

()k k C x 为第k 个月的生产成本，k d 为第k 个月的销售需求，()k h V 为第k 个
月的库存费用。

状态转移方程：111k k k k V V x d +++=+-。

目标函数：(,)k k k G V x 表示第k 个月的总生产成本。

(,)()()k k k k k k G V x C x h V =+。

最优值函数：()k k f V 为第一个月到第k 个月的总的生产成本。

因此动态规划的基本方程为：
11000()min {(,)()},1,2,3,4,5,6()()0
k k k
k k k k k k k x V d f V G V x f V k DP f V --≤≤+=+=⎧⎪⎨
=⎪⎩ 其中：()=p k k k k C x x ⋅，p k 为第k 个月的单位生产费用。

()k k k h V s V =⋅，k s 为第k 个月的单位储存费用。

通过对上述模型进行编程求解（程序见三），则可得出最优的生产方案如下
在通过线性规划（程序见三），解出同是此解，说明此动态规划模型正确。

问题（2）求解
基本假设同问题（1）相同
阶段变量：,1,2,3k k =，表示题中所给的三个时期。

状态变量：,1,2,3,4k v k =，表示第k 个阶段的库存量，04k v ≤≤。

其中0v 表示第1个时期前的库存量，011v s ==。

决策变量：k x ，表示第k 个月的生产量，06k x ≤≤。

P 为单位产品的生产费用。

F 为生产每批产品的费用，k d 为k 时期的需求量，
H 为单位产品库存费用。

状态转移方程：111k k k k v v x d +++=+-
最优值函数：()k k f V 为第一个月到第k 个月的总的生产成本。

因此动态规划的基本方程为：
110min(,6)
001()min {()},1,2,3()()2
k k k k k k k k k x V d f V P x F H v f v k DP f V H s --≤≤+=⋅++⋅+=⎧⎪⎨
=⋅=⎪⎩当1k =时：
104v ≤≤，1110x d v v =+-
11001100(0){()}
(4){4()}
f P x F f v f P x H F f v =⋅++=⋅++
+
一次下去一直算到三个时期结束。

三、程序及结果
问题（1） Matlab 程序： function L global d;
d=[60,55,50,45,40,30];%定义需求矩阵 global p;
p=[825,775,850,850,775,825];%定义生产单位费用矩阵 global s;
s=[40,30,35,20,40,0];%定义单位储藏费用 V1=0:220;%第一个月 F1=[]; for i=1:221
F1(V1(i)+1)=825*(V1(i)+d(1))+40*V1(i); % F1(i)=f1(V1(i)); end
V2=0:165;%第二个月 F2=[]; for i=1:166 f2=[];
x2=0:(d(2)+V2(i)); for j=1:(d(2)+V2(i)+1)
f2(j)=775*x2(j)+30*V2(i)+F1(d(2)+V2(i)-x2(j)+1); end
F2(V2(i)+1)=min(f2); end
V3=0:115;%第三个月 F3=[]; for i=1:116 f3=[];
x3=0:(d(3)+V3(i)); for j=1:(d(3)+V3(i)+1)
f3(j)=850*x3(j)+35*V3(i)+F2(d(3)+V3(i)-x3(j)+1);
end
F3(V3(i)+1)=min(f3);
end
V4=0:70;%第四个月
F4=[];
for i=1:71
f4=[];
x4=0:(d(4)+V4(i));
for j=1:(d(4)+V4(i)+1)
f4(j)=850*x4(j)+20*V4(i)+F3(d(4)+V4(i)-x4(j)+1);
end
F4(V4(i)+1)=min(f4);
end
V5=0:30;%第五个月
F5=[];
for i=1:31
f5=[];
x5=0:(d(5)+V5(i));
for j=1:(d(5)+V5(i)+1)
f5(j)=775*x5(j)+40*V5(i)+F4(d(5)+V5(i)-x5(j)+1);
end
F5(V5(i)+1)=min(f5);
end
x6=0:30;%第六个月
f6=[];
for j=1:31
f6(j)=825*x6(j)+F5(d(6)-x6(j)+1);
end
%往回算出生产量
F6=min(f6);%第6月
c6=find(f6==F6);
F6%最小费用
c6=c6-1
c5=find(f5==F5(31));%第5月
c5=c5-1
f4=[];%第4月
x4=0:d(4);
for j=1:(d(4)+1)
f4(j)=850*x4(j)+F3(d(4)-x4(j)+1);
end
c4=find(f4==170175);
c4=c4-1
f3=[];%第3月
x3=0:(d(3)+45);
for j=1:(d(3)+45+1)
f3(j)=850*x3(j)+35*45+F2(d(3)+45-x3(j)+1);
end
w3=min(f3);
c3=find(f3==w3);
c3=c3-1
f2=[];%第2月
x2=0:(d(2)+95);
for j=1:(d(2)+95+1)
f2(j)=775*x2(j)+30*95+F1(d(2)+95-x2(j)+1);
end
w2=min(f2);
c2=find(f2==w2);
c2=c2-1
c1=d(2)+95-c2+d(1);
c1
运行结果：
F6 =225625（最小总费用）
c1=60,c2=150,c3=0,c4=0,c5=70,c6=0(分别为1—6月的生产量)
lingo程序：
model:
min=825*x1+775*x2+850*x3+850*x4+775*x5+835*x6+40*(x1-60)+30*(x1+x2-60 -55)+35*(x1+x2+x3-60-55-50)+20*(x1+x2+x3+x4-60-55-50-45)+40*(x1+x2+x3+x4 +x5-60-55-50-45-40);
x1>60;
x1+x2>60+55;
x1+x2+x3>60+55+50;
x1+x2+x3+x4>60+55+50+45;
x1+x2+x3+x4+x5>60+55+50+45+40;
x1+x2+x3+x4+x5+x6>60+55+50+45+40+30;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
@gin(x5);
@gin(x6);
End
仅作验证使用
四、附录
较大的数据等。