2019届高考数学(理)冲刺大题提分(7)立体几何建系困难问题(含答案)

[2019·长沙统测]已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： （1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值．

图一

图二

【答案】（1）见解析；（2）

533

33

． 【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．

由题意，得2PA PB PC ==1PO =， 1AO BO CO ===． ∵在PAC △中，PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥，

∵在POB △中，1PO =，1OB =，2PB =，222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥． ∵AC

OB O =，AC ，OB ⊂平面，∴PO ⊥平面ABC ，

精选大题

立体几何：建系困难问

大题精做

∵PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．

（2）由（1）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， ∴BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1

tan BO BMO OM OM

∠==

， ∴当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大． 由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，∴PO OB ⊥，PO OC ⊥，

于是以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，

则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，11,0,22M ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，

()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，3

1,0,2

2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．

设平面MBC 的法向量为()111,,x y z =m ，

则由0

BC MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得：1111030x y x z -=⎧⎨-=⎩．令11x =，得11y =，13z =，即()1,1,3=m ．

设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =n ，

由0

0BC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得：222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1=n ．

533cos ,33

⋅=

==⋅n m m n n m ．由图可知，二面角P BC M --533

1．[2019·安庆期末]矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE △折起至PBE △，如图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上．

（1）求证：面PCE ⊥面PBE ；

（2）求平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值．

模拟精做

2．[2019·南阳期末]如图1，在矩形ABCD中，35

AB=，25

BC=，点E在线段DC上，且5

DE=，现将AED

△沿AE折到AED'

△的位置，连结CD'，BD'，如图2．

（1）若点P在线段BC上，且5

BP=，证明：AE D P

⊥'；

（2）记平面AD E'与平面BCD'的交线为l．若二面角B AE D

--'为2π

3，求l与平面D CE

'所成角的

正弦值．

3．[2019·苏州调研]如图，在四棱锥P ABCD

-中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA PD

．

=，PA与平面PBC所成角的正弦值为21

7

（1）求侧棱PA的长；

（2）设E为AB中点，若PA AB

≥，求二面角B PC E

--的余弦值．

1．【答案】（1）详见解析；（2）

11

11

． 【解析】（1）在四棱锥P BCDE -中，2BE CE ==，2BC =，从而有CE BE ⊥， 又∵PO ⊥面BCDE ，而CE ⊂面BCDE ，∴CE PO ⊥，而PO 、BE ⊂面PBE ，且PO

BE O =，

由线面垂直定理可证CE ⊥面PBE ，又CE ⊂面PCE ，由面面垂直判断定定理即证面PCE ⊥面PBE ． （2）由条件知OP ⊥面BCDE ，过点E 做OP 的平行线EZ ，

又由（1）知EC ⊥面PBE ，以EB 、EC 、EZ 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：

22P ⎝⎭，()

2,0C ，22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2CP ⎛=- ⎝⎭，222DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

， 面PBE 的一个法向量为()10,1,0=n ， 设面PCD 的法向量为()2,,x y z =n ，则有22

20220x x y ⎧

+=⎪⎨

⎪=⎪，

从而可得面PCD 的一个法向量为()21,1,3=--n ，1211

cos ,11=n n ， 设平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角为θ，与12,n n 互补，则11cos θ， 故平面PCD 与平面PBE 11． 2．【答案】（1）详见解析；（215

． 答案与解析

【解析】证明：（1）先在图1中连结DP ，在Rt ADE △中，由25AD BC ==，5DE =， 得1

tan 2

DAE ∠=

，在Rt PCD △中，由35DC AB ==，5352522PC BC BP ===-=

， 得1

tan 2

PDC ∠=，∴tan tan PDC DAE ∠=∠，则PDC DAE ∠=∠，

∴90DOE ∠=︒，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有'AE OD ⊥，AE OP ⊥， ∴AE ⊥平面'POD ，则AE D P ⊥'；

解：（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q ，根据公理3得到直线'D Q 即为l ， 再根据二面角定义得到2π

'3

D OP ∠=

．在平面'POD 内过点O 作底面垂线， 以O 为原点，分别为OA ， OP ，及所作垂线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,3D '-，()1,0,0E -，()11,0,0Q -，()3,4,0C -， ('11,1,3D Q =--，()2,4,0EC =-，('1,3ED =-，

设平面D EC '的一个法向量为(),,x y z =n ，由240

'30

EC x y ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取1y =，得32,1,⎛= ⎝⎭n ． ∴l 与平面'D CE 所成角的正弦值为'15

cos ,'5

'D Q D Q D Q

⋅=

=

⋅n n n ． 3．【答案】（1）1PA =或21PA ；（242

． 【解析】（1）取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ，∵PA PD =，∴OP AD ⊥， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，OP 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，

∴OP ⊥平面ABCD ，∴OP OA ⊥，OP OM ⊥， 又∵ABCD 是正方形，∴OA OM ⊥，

以O 为原点OA ，OM ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -（如图），