力矩

力矩和力偶

【学习目标】

学习内容分析

（1）熟悉力矩的概念，掌握合力矩定理。

（2）掌握力偶的性质及力偶系的合成方法。

（3）掌握力偶系作用下物体的平衡条件及其应用。

【学习方法】

课堂讲授与多媒体相结合

一、【温故知新】

（1）掌握汇交力系合成的几何法与解析法。

（2）掌握汇交力系平衡的条件及其实际应用。

（3）合力投影定理及其应用。

二、【学习过程】

一）自主探究

（1）重点：力矩的计算，合力矩定理，力偶系作用下物体的平衡条件及其应用。

（2）难点：合力矩定理的应用，力偶的性质。

二）合作探究

任务一：力对点之矩

其定义为：力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线距离h的乘积。记作

M

（F）＝±Fh（2－10）

o

式中，点O称为矩心，h称为力臂，Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小，而正负号则表明：M o（F）是一个代数量，可以用它来描述物体的转动方向。通常规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。力矩的单位为牛顿·米（N·m）或牛顿·毫米（N·m m）。

根据定义，书图2.27中所示的力F1对点O的矩为

M

（F1）＝－F1h1＝－F1h sinα（2－11）

o

力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。

如图2.28所示,从几何上看,力F对点O的矩在数值上等于三角形OAB面积的两倍。力对点的矩在两种情况下等于零：（1）力为零；（2）力臂为零，即力的作用线过矩心。

前述扳手通过螺母中心的情况即属于第（2）种情况。

任务二：合力矩定理

在计算力系的合力对某点的矩时，除根据力矩的定义计算外，还常用到合力矩定理，即：平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有分力对同一点力矩的代数和。

若在A点有一平面汇交力系F1、F2、…、F n作用，合力矩定理的表达式为：

M o（F R）＝∑M o（F）（2－12）

上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，对于其他力系，如平面任意力系、空间力系等，也都同样成立。在计算力矩时，当力臂较难确定的情况下，用合力矩定理计算更加方便。

任务三：力偶

1. 力偶的三要素

在力学上，以F 与力偶臂d 的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并记作M （F ，F'）或M 。即

M （F ，F'）= M = ±Fd （2－13）

力偶矩的大小也可以通过力与力偶臂组成的三角形面积的二倍来表示，如图2.11所示，即 M = ±2△OAB （2―14） 一般规定，逆时针转动的力偶取正值，顺时针取负值。

力偶矩的单位为N·m 或N·mm。 力偶对物体的转动效应取决于下列三要素：

（1）力偶矩的大小；

（2）力偶的转向；

（3）力偶作用面的方位。

2.力偶的等效条件

凡是三要素相同的力偶则彼此等效，即它们可以相互置换，这一点不仅由力偶的概念可以说明，还可通过力偶的性质作进一步证明。

3. 力偶的性质

性质1 力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。 性质2 由图2.12可见，力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，故力偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。

力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是力系的两个基本元素。

由于上述性质，所以对力偶可作如下处理：

（1）力偶在它的作用面内，可以任意转

移位置。其作用效应和原力偶相同，即力偶对于刚体上任意点的力偶矩值不因移位而改变。

（2）力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下，可以同时改变力偶中两反向平行力的大小、方向以及力偶臂的大小。而力偶的作用效应保持不变。

力偶的力偶臂、力及其方向既然都可改变，就可简明地以一个带箭头的弧线并标出值来表示力偶。

4. 平面力偶系的合成

作用在物体上同一平面内的若干力偶，称为平面力偶系。设在刚体某平面上有力偶M 1 、M 2的作用，如图2.14a 所示，现求其合成的结果。

图2.14 力偶合成

在平面上任取一线段AB ＝d 作为公共力偶臂，并把每个力偶化为一组作用在A 、B 两点的反向平行力，如图2.14b 所示，根据力系等效条件，有 d

M F d M F 2211 ,== （2―15）

于是在A、B两点各得一组共线力系，其合力为F R与F'R′，如图2.14c所示，且有

F

R

＝F'R＝F1 －F2 （2－16）

F

R

与F'R为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，所以有

M＝F

R d ＝ (F

1

－F2) d ＝M 1＋M 2 （2－17）

若在刚体上有若干个力偶作用,采用上述方法叠加,可得合力偶矩为

M＝M

1

+ M2+…+ M n＝∑M （2－18）上式表明：平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩的代数和。

5. 平面力偶系的平衡条件

由合成结果可知，要使力偶系平衡，则合力偶的矩必须等于零，因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

∑M＝0 （2－19）平面力偶系的独立平衡方程只有一个，故只能求解一个未知数。

三、【总结提升】

（1）力矩的概念，掌握合力矩定理。

（2）力偶的性质及力偶系的合成方法。

（3）力偶系作用下物体的平衡条件及其应用

四、【作业】

课后练习题

五、【学习反思】

学习体会：

存在的问题：

想给老师说的话：