小学数学中的抽象与推理(史宁中)

小学数学中的抽象与推理

东北师范大学史宁中

一、数学的基本思想

1. 课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）

过去的教育理念：以知识为本

教学大纲

关心问题是：

应当教那些内容；应当教到什么程度

考核内容是：

规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求

教学目标是：

基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）

基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）

教学形式是：

课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）

现代的教育理念：以人为本、育人为本（纲要）

课程标准

以学生的发展为本

人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法

不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能

还要培养学生的数学素养（素质教育）：让学生

感悟数学的基本思想，通过数学教学（数量、图形）

积累基本活动经验：会想问题、会做事情

课程目标：基础知识、基本技能+ 基本思想、基本活动经验分析问题、解决问题+ 发现问题、提出问题

解决问题→问题解决

2. 什么是数学的基本思想

数学是研究数量关系和空间形式的科学

研究对象：数量、图形

研究内容：数量关系、图形关系

数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想

学习过数学与没有学习数学的思维差异

抽象、推理、模型

数学教学的责任：会抽象、会推理

通过抽象：现实→数学

把研究对象、以及对象之间的关系形成概念

从现实世界到数学内部，数学具有一般性

通过推理：数学→数学

从假设前提出发，通过推理得到数学的结果

数学内部的发展，数学具有逻辑性

通过模型：数学→现实

解决现实世界中的与数量和图形有关的问题

从数学内部到现实世界，数学具有应用性

得到数学的基本特征：

一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）

二、小学数学中的抽象

1、数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟）教学要点：感悟什么？如何感悟？

抽象有两种方法：对应、定义

数是对数量的抽象，

同时抽象出关系，从数量的多少到数的大小。

对应：三个苹果、三只鸡→□□□←→3 （去掉物理属性）

定义：一个一个多起来（后继数）：

1 = 0 + 1，

2 = 1 + 1，

3 = 2 + 1，

4 = 3 + 1，…

小学阶段的数学教育：

开始用对应的方法，以后用定义方法

对应：负数量相等、意义相反

不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释

定义：如何认识10000：比9999 多1，

数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质

（基本概念与运算法则：小学数学核心问题，

高等教育出版社，2013年）读数的关键：十个符号+ 数位

如何读2002

符号0 很重要：1 ～10→1 ～9 →0 和10 相反数：a + b = 0，b 为相反数，表示为-a

数位与数不同

数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个”

“万”是十个“千”

数：10 = 9 + 1

10000 = 9999 + 1

抽象的小结

抽象出数学研究的对象：

把外部世界的数量和数量关系、

图形与图形关系引导数学内部。

概念：自然数、负数、点、线、面、体、角

关系：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线

法则：加法→减法、乘法、除法

抽象的东西不存在：现实中没有2，只有具体的两匹马、两头牛抽象的东西是理念的存在

三、小学数学中的推理

推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理

数学的结论都是命题

数学命题：可供正确或者错误判断的陈述

可以判断，下面陈述不是数学命题

这个三角形是美的

仅供判断，下面两个陈述都是数学命题

三角形内角和180度

三角形内角和120度

直接推理：对命题的直接判断

一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程逻辑推理

命题的内涵之间存在一条主线

凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。

非逻辑推理

命题的内涵之间不存在一条主线

苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。两种逻辑推理

演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。

归纳推理：命题内涵由小到大。从特殊到一般。

模型：

抽象：把现实世界（数量、图形、关系）引到数学。推理：数学内部的发展。

模型：从数学回归到现实世界。

模型是沟通数学与现实世界的桥梁。

模型讲述的是现实世界的故事。

课标中主要要求两个模型

总量模型（加法模型）：总量= 部分+ 部分

部分= 总量–部分

→系列模型：现在= 过去+ 变化

路程模型（乘法模型）：路程= 速度×时间

速度= 路程/ 时间