专题训练三平行四边形中的动态问题
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专题训练三平行四边形中
的动态问题
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专题训练(三)平行四边形中的动态问题
班别姓名
（教材P68习题第13题的变式与应用）
【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间为什么
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝
16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的
速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每
秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运
动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当
运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD
(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．
(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形
(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t 秒．
(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；
(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
备用图
5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；
(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
(3)四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP的
长；若不可能，请说明理由．
参考答案
【例】(人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB
＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1
cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间为什么
【解答】①设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形，
∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24－t，
∴DP＝CQ.∴24－t＝3t.
∴t＝6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ＝CD.
②设经过t s时，PQ＝CD，即四边形PQCD是等腰梯形，
∵AP＝t，BQ＝26－3t，
∴t＝26－3t＋2，t＝7.
综上所述当t＝6 s或7 s时，PQ＝CD.
【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝1
2
BC＝8.∵AD
∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形
是平行四边形．
当2t＜8，即t＜4时，点Q在C、E之间，如图
甲．此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，
由6－t＝8－2t得t＝2.
当8<2t<16，且t<6，即4 AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8，由6－t＝2t－8得t＝14 3 . ∴当运动时间为2s或14 3 s时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．图甲图乙 2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动． (1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD (2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米． 解：(1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AP∥DQ. ∵PQ∥AD， ∴四边形APQD是平行四边形． ∴AP＝DQ. ∴3x＝25－2x.解得x＝5.