第4章 弹塑性力学全量理论的定解问题
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6弹塑性4_弹性基本问题与解法_2012课件第一部分
第四章一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于线弹性体小变形的线性问题，建立了一组线性方程组可以描述为在S 为边界的域V 上以u ,ε,σ作为求解变量的偏微分方程边值问题：微分提法2变分提法积分提法第四章第四章适定问题：第四章均匀变形状态()()1222111 1d d E c d d E c νν−=−=第四章弹性力学的基本方程和解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 适定问题与非适定问题简例蓝色：边界给定量红色：边界未知量6适定问题例一第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量7适定问题例二第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量8适定问题例三边界全部给定面力时约束刚体位移才能求得确定位移边界全部给定面力时给定面力和体积力必须整体平衡第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量9非适定问题例一有多余边界条件情况一般无解第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量10非适定问题例二边界条件识别（逆问题）复杂！第四章 1.3 界面连续条件第四章弹性力学的基本方程和解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件II I u u =IIIi i u u =位移面力3个条件0t t =+II I 0II II I I =+ji j ji j n n σσIII S IIS +−u3个条件+12∀X ∈S It I I t0)(II I I =−ji ji j n σσ界面连续条件应为边界条件个数的两倍I S第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章。
工程塑性力学(第四章)弹塑性力学边值问题的简单实例
σθ
−σr
=
2
p
b2 r2
在 r = a 时取最大值，则 r = a 处首先屈服
(σθ
− σ r ) max
=
2
p
b2 a2
=σs
求得弹性极限载荷（压力）为
pe
=
a2σ s 2b2
，
p
=
pe
=
b2 − a2 a2
pe
= σs 2
⎜⎜⎝⎛1 −
a2 b2
⎟⎟⎠⎞
（2）弹塑性解
（4-26）
p > pe 时，塑性区逐渐扩张。设弹、塑性区交界处 r = c ， a < c < b 。
b
弹性区
c
用边界条件σ r r=a = − p ，可确定出 C′ = − p − σ s ln a ，
a
所以
⎪⎧σ r ⎨ ⎪⎩σθ
= σ s ln r − p − σ s ln a = − p + σ s
=σs
+σr
=
−p
+ σ s (1 +
ln
r) a
ln
r a
（4-27）
塑性区 图 4-3
属静定问题，未用到几何关系。
ΔFi = F&iΔt ， ΔTi = T&iΔt ， Δui = u&iΔt
（4-10） （4-11）
式中 F&i ，T&i 和 u&i 分别称为体力率、面力率和位移率（速度）。引入率的表达形式
可以简化公式表达。 求解过程为：
已知时刻 t 时，位移 ui ，应变 εij ，应力σij ，加载面 f (σij ,ξ ) = 0 。在 ST 上给
弹塑性力学第四章
代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
xy l11l22 xy xy 2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k , l 1, 2.3
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。 张量记法：
1 v v ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹塑性力学___第四章_弹性力学的求解方法
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程
弹塑性力学弹性力学的求解方法模板
部分应力分量作为基本未知量混合求解。
位移法、应力法、混合法统称为直接求解法。
由于这些方法在数学上的困难和复杂性，人们又研究了 各种解题方法：（1）逆解法（2）半逆解法（或凑合解 法）（3）迭代法
? 求解物理量： 6个应力分量 6 个应变分量 3 个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为： 上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 为单值 连续函数（保持连续）的条件。
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数
则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：?平衡方 程 ；?几何方程 ；?本构方程
叠加原理成立的条件 ：小变形条件 （平衡、几何方程才 为线性的）， 弹性本构方程 （虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
位移法、应力法、混合法统称为直接求解法。
由于这些方法在数学上的困难和复杂性，人们又研究了 各种解题方法：（1）逆解法（2）半逆解法（或凑合解 法）（3）迭代法
? 求解物理量： 6个应力分量 6 个应变分量 3 个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为： 上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 为单值 连续函数（保持连续）的条件。
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数
则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：?平衡方 程 ；?几何方程 ；?本构方程
叠加原理成立的条件 ：小变形条件 （平衡、几何方程才 为线性的）， 弹性本构方程 （虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组
清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法
弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。
当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。
对于边界条件的提法就有严格的要求。
即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。
对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。
这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。
从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。
塑性力学讲义全量理论与增量理论
s
, s
212
3（42）12
3
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s,，s
又 s3 G s,sG s3 s G 13sG
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
2
3G
s
3G
s
2
0.707s
3
s
s
3G
2
1 3
s
3G
2
s
3G
s
6
0.408s
200000 300
§4-4 全量理论的基本方程 与边值问题的提法
全量理论的边值问题与解法 设在物体V内给定体力 f i，在应力边界 上ST 给 定面力 ，f i在位移边界 上S给u 定 ，要u i 求物体 内部各点的应力 、应 变ij 、位 移ij 。确定u i 这 些未知量的基本方程组有：
1） ij,i fj 0
其本构方程为：deij
1 2G
dSij
dSij
d ii
1 2
E
d ii
例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
筒内应力为均匀应力状态，有
z
2Prt,z
M
2r2t
其余应力分量为零。现按照下列三种加载路 径（如图)，试用Prandtl—Reuss理论来计 算筒中的应力：
下才能保持物体内部各点都处于简单加载情 况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件， 只能是零位移边界条件； 2、材料的体积不可压缩，即 0.5,；ii0 3、应力强度与应变强度的关系 i A。im 二、偏离简单加载
弹塑性力学第4章
3
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点，平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面：
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为：
2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点： 优点：当主应力顺序已知时，表达式简单 缺点： 1）当主应力顺序未知时，表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面，棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示： 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2
x y
2
y z
2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx
即：
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式：
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点，平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面：
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为：
2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点： 优点：当主应力顺序已知时，表达式简单 缺点： 1）当主应力顺序未知时，表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面，棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示： 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2
x y
2
y z
2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx
即：
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式：
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2
哈工大断裂力学第四章
C[(11ux1112ux12)dx2(21ux1122ux12)dx1] (i 1,2)
根据格林公式
C(P1 dQ x 2 d )x A( Q x1 x P 2)d1d x2x
[ (11 2)1u1(1222 )u1
CTi u x1 idS
A
(
x1 x2 x1 x1 x2 x1 11 x 2u 12 112 x 2u 12 121 x1 2 ux 2222 x1 2 ux 22)d ]1d x2x
相等，则等效穿透裂纹的长度为
a# 2a
18
3.材料加工硬化的修正
考虑材料加工硬化，当 s 20~040M 0 P时a，低 碳钢取 f 12(s b) 代替 s 。其中 f 为流变应力。 b 为材料的抗拉强度。
综合考虑上述3部分内容
D－B模型的计算公式
a# lnsec[(M)]
E
2f
19
§4.5 J积分的定义和特性
D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型.当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间 有着一致性.
将 ln sec(2 s ) 按级数展开
8E sa ' (1 2(2 s )211(22 s )4......)
13
s
8Esa' 12(2s)2E2as
算公式
4 K2I 4 1I
Es s
J = G1 I
K
2 I
E'
4 J s
二.D-B带状塑性区模型导出的J和COD关系
s
sec11()2
2s
2 2s
7
近似表达式： a(Ｒ ＝ )2 2 2s
第四章-弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
dSx
dSx,
dexy
1 2G
d xy
d xy
dey
1 2G
dS y
dSy,
deyz
1 2G
d yz
d yz
dez
1 2G
dSz
dSz , dezx
1 2G
d
zx
d zx
d
1 K
d m
或简写形式：
dij
1 2G
dSij
d Sij
1 2
3E
d kkij
2021/6/9
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法 基本方程——本构方程之Levy-Mises流动法则
dx dSx , d xy d xy
d y
dSy,
d yz
d
yz
dz
dSz ,
d zx
d zx
或简写形式：
dij dSij
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法 基本方程——本构方程之依留申本构方程
x
i i
[
x
1 2
(
y
z )],
xy
3i i
xy
y
i i
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹塑性力学问题的微分提法——三类偏微分边值问题
工程实践中，一个实际的弹塑性力学问题是如何提出的呢？ 这里给出一个具体的表述：
设在固体内给定体力Xi，在应力边界上给定面力Xi，在 位移边界上给定位移ui，要求确定固体内各点的应力、应变和 位移。按照上一节的讨论，这些未知量满足一组偏微分方程 和边界条件。因此，从数学的观点来看，一个实际的弹塑性 力学问题总是可以归结为一个偏微分方程组的边值问题。这 就是所谓的微分提法。
塑性力学第四章(2)-增量理论(流动理论)
ij
0 e 0 ( ij ij )d ij 0
ij
ij
ij d ij
0 W 0 ( ij ij )d ijp 0
ij
1 0 ( ij d ij ij )d ijp 0 2
0 ij
( ij ) 0
p
等效塑性应变增量
2 d d ijp d ijp 3
p
2 1 p2 p2 p2 p p p d x d y d x (d xy2 d yz2 d zx2 ) 3 2
2 z
3 z s2
2
z z
z
2 6 s 9
d rp : d p : d zp : d p 1 : 1 : 2 : 4 6 z
例5 ：不可压缩弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， s s s 使用Mises条件，求当 及 时应 3G E 3G 力分量 , ?
d d
塑性功增量表示的 P－R 理论
1 3dW d z dsz sz 2 2G 2 s d z
1 3dW deij dsij s 2 ij 2G 2 s
d d (d d ) 3G s2
1 3dW d z z 2 G s
s
3d
xy
yz
s
3d
s
zx
L－M 理论的应用：
d ij
3d sij 2 s
1. 已知应变增量求应力偏量或主应力差：
d ij
s ij
s1 , s 2 , s3
1 , 2 , 3
?
1 2 , 2 3 , 3 1
0 e 0 ( ij ij )d ij 0
ij
ij
ij d ij
0 W 0 ( ij ij )d ijp 0
ij
1 0 ( ij d ij ij )d ijp 0 2
0 ij
( ij ) 0
p
等效塑性应变增量
2 d d ijp d ijp 3
p
2 1 p2 p2 p2 p p p d x d y d x (d xy2 d yz2 d zx2 ) 3 2
2 z
3 z s2
2
z z
z
2 6 s 9
d rp : d p : d zp : d p 1 : 1 : 2 : 4 6 z
例5 ：不可压缩弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， s s s 使用Mises条件，求当 及 时应 3G E 3G 力分量 , ?
d d
塑性功增量表示的 P－R 理论
1 3dW d z dsz sz 2 2G 2 s d z
1 3dW deij dsij s 2 ij 2G 2 s
d d (d d ) 3G s2
1 3dW d z z 2 G s
s
3d
xy
yz
s
3d
s
zx
L－M 理论的应用：
d ij
3d sij 2 s
1. 已知应变增量求应力偏量或主应力差：
d ij
s ij
s1 , s 2 , s3
1 , 2 , 3
?
1 2 , 2 3 , 3 1
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
工程弹塑性力学
4.3 弹性力学问题的基本解法
1.位移法 将几何方程代入本构方程， 得： u 3 x 2G x 1 2 m v 3 y 2G y 1 2 m w 3 z 2G m z 1 2
4.1基本方程
协调方程：
x y xy 2 2 2 x xy y 2 2 2 xz x z 2 2 2 x xz z 2 y 2 z 2 yz 2 2 2 y yz z
4.1基本方程
由几何方程推导出协调方程：
u v 1 u v x , y , xy x y 2 y x 2 2 2 xy x y 2 2 2 y x xy 2 x 2 z 2 xz 同理： 2 2 2 z x xz 2 y 2 z 2 yz 2 2 2 z y yz
4.1基本方程
3.本构方程
1 eij Sij 2G 弹性： 1 m m 3K 塑性： 1 deij dSij 2G d 1 d m m 3K
1 3 Sij deij dSij d Sij d deij 2G 2 s2 增量理论 d 1 d m m 3K 3 i e S ij ij 2 i 全量理论 1 m m 3K
Su : z 0, u vw0
x l x yxl y zx l z Tx xyl x y l y zy l z Ty zx l x zy l y z l z Tz
4.2 问题的提出与分类
问题的提法：给定作用在物体上全部边界或内部作 用（包括外力、温度变化等），求解物体内因此 产生的应力场和位移场。 具体：求解满足边界条件的方程的解。 反映了具体问题 反映了应力、应变与位移 间关系的普遍规律
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3-6 卸载定律
σ A • 从单向拉伸实验的应力应变曲线看: 从单向拉伸实验的应力应变曲线看 加载至过弹性极限达到A点 然后卸载 加载至过弹性极限达到 点,然后卸载 σ′ % 至B点, 此时总应变 ε 的弹性部分ε e 中 点 % σ 得到恢复,塑性应变部分 的部分应变 ε ′得到恢复 塑性应变部分ε p B 要被保留下来.此时的应力和应变的改 要被保留下来 此时的应力和应变的改 σ 变量, 即B点的应力和应变为 变量 点的应力和应变为 o ε % % σ = σ − σ ′, ε = ε − ε ′ p e ε ε 因为卸载要服从弹性本构关系, 因为卸载要服从弹性本构关系 ε ε′ 这就是说,我们可以 即 σ ′ = Eε.′ 这就是说 我们可以 % ε 由因为卸载引起的荷载的改变 % 按弹性计算得到. 量 P′ = P − P 按弹性计算得到 • 推广到复杂应力的卸载情况 即应力强度 σ i 减小 得到 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 减小)得到 得到: 卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 % 减去卸载时的荷载改变量 P′ = P − P 为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量 即卸载过程中应力或应变的改变量. 得之应力或应变 即卸载过程中应力或应变的改变量
V
Fi
O x
σ ij , j + Fi = 0
几何方程
1 − 2ν 3ε i ε ii = σ ii eij = Sij σ i = Φ ( ε i ) E 2σ i 其中 3 2 σi = Sij Sij ε i = eij eij 这就是塑性力学全量 2 3 理论的边值问题. 理论的边值问题 边界条件 Sσ : σ ij l j = pi , Su : ui = ui
这样定义的简单加载说明, 这样定义的简单加载说明 在加载时物体内应变和应力的主方 向都保持不变. 向都保持不变 • 但是物体内的内力是不能事先确定的 那么如何判断加载过 但是物体内的内力是不能事先确定的, 程是简单加载? 指出, 程是简单加载 Il’yushin指出 在符合下列三个条件时 可以证 指出 在符合下列三个条件时, 明物体内所有各点是处于简单加载过程: 明物体内所有各点是处于简单加载过程 (1) 荷载 包括体力 按比例增长 如有位移边界条件应为零 荷载(包括体力 按比例增长.如有位移边界条件应为零 包括体力)按比例增长 如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的 材料是不可压缩的. σ i = Aε im (3)应力强度和应变强度之间幂指数关系 即 应力强度和应变强度之间幂指数关系, 应力强度和应变强度之间幂指数关系 这就是Il’yushin简单加载定律 有人认为只有第 条就可以了 简单加载定律.有人认为只有第 条就可以了. 这就是 简单加载定律 有人认为只有第(1)条就可以了
eij + δ ij ε m = 1 (1 + ν ) ( Sij + δ ijσ m ) −νδ ijσ kk E 1 1 1 − 2ν = (1 + ν ) ( Sij + δ ijσ m ) − 3νδ ijσ m = Sij + δ 的关系. 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系
这是七个方程
1 − 2ν ε ii = σ ii E
1 eij = Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 所以有5个是独立的 个是独立的. 第二个式子是六个方程 但因为有 Sii = 0 , 所以有 个是独立的 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比 第二式也可以写成 Sij = 2Geij ,把它代入应力强度的表达式就 把它代入应力强度的表达式就 可以得到下面的第二式, 然后有 G = σ i / 3ε i 再代回上面第一 可以得到下面的第二式 式得到下面的第二式. 式得到下面的第二式 • 所以也可写成如下形式 e = 3ε i S σ i = 3Gε i ij ij 2σ i • 当应力从加载面卸载 也服从广义 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律 写成增量形式 定律,写成增量形式 定律 1 − 2ν 1 d ε ii = dσ ii deij = dSij E 2G
3-5 全量理论的适用范围
简单加载定律
• 全量理论适用小变形并且是简单加载 全量理论适用小变形并且是简单加载. • 那么上面是简单加载 理论上上指在加载过程中物体每一点 那么上面是简单加载? 0 的各个应力分量按比例增长. 的各个应力分量按比例增长 即 σ ij = α ( t )σ ij
0 σ ij 是某一非零的参考应力状态 α ( t )是单调增加的参数 是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数. 其中
3-2 广义 广义Hooke定律 定律 • 在弹性范围内 广义 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 定律可以表达为 1 ε ij = (1 +ν ) σ ij −νδ ijσ kk E 1 • 也可以表示为 ε = 1 − 2ν σ 也可以表示为: eij = Sij ii ii E 2G 我们来证明一下: 我们来证明一下 σ ij = Sij + δ ijσ m , ε ij = eij + δ ijε m 由应力和应变的分解式,即 由应力和应变的分解式 即 代入上面广义Hooke定律的公式 考虑到 G = E / 2 (1 + ν ) 定律的公式,考虑到 代入上面广义 定律的公式
• 使用卸载定律要注意两点: 使用卸载定律要注意两点 (1) 卸载过程必须时简单加载 即卸载过程中各点的应力分量 卸载过程必须时简单加载, 时按比例减少的; 时按比例减少的 (2) 卸载过程中不发生第二次塑性变形 即卸载不引起应力改 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 变符号而达到新的屈服. 变符号而达到新的屈服 • 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 而且还有残余应力. 变, 而且还有残余应力
3ε i 2σ i , 即按单一曲
综上所述, 综上所述 全量型塑性本构方程为 1 − 2ν 3ε i σ i = Φ (ε i ) ε ii = σ ii eij = Sij E 2σ i 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律 加 成单调增长. 载的标志是应力强度 σ i 成单调增长 σ i 下降时为卸载过 它时服从增量Hooke定律 定律. 程, 它时服从增量 定律
3-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 在 年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律 在小 定律. 构关系 这是一个全量型的关系 类似于广义 定律 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定 1 − 2ν (1) 体积变形式弹性的 即 ε ii = 体积变形式弹性的, σ ii E eij = ψ Sij (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例 • 这个假定就是应力和应变的定性关系 即方向关系和 这个假定就是应力和应变的定性关系, 分配关系. 分配关系 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 重合 也即应变主轴和应力主轴重合 而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比. 应变偏量和应力偏量成正比 • 形式上和广义 形式上和广义Hooke定律相似 但这里的比例系数不是 定律相似, 定律相似 一个常数.这是一个非线性关系 这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系 一个常数 这是一个非线性关系 下面我们来看一下这个系 数等于什么? 数等于什么
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V内给定体力 Fi ,在应 内给定体力 在应 力边界 Sσ 上给定面力 pi , 在位 移边界 Su 上给定位移为 ui , 要 求确定物体内处于塑性变形状态 的各点的应力 σ ij , 应变 ε ij 和位 按照全量理论,确定这些基 移 ui .按照全量理论 确定这些基 按照全量理论 本未知量的基本方程有 平衡方程 本构方程 Sσ : pi z y Su : ui 1 ε ij = ( ui. j + u j ,i ) 2
因为应力强度和应变强度的公式为: 因为应力强度和应变强度的公式为
3 σi = Sij Sij 2 2 εi = eij eij 3
把 eij = ψ Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到 ψ = (3)应力强度是应变强度的强度函数 σ i = Φ ( ε i ) 应力强度是应变强度的强度函数 线假定的硬化条件. 线假定的硬化条件
第3章 弹塑性力学全量理论的定 章 解问题
塑性本构关系—全量理论和增量理论 第三章 塑性本构关系 全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性 到目前为止这个塑性本构关系问 引言 塑性变形规律的复杂性, 塑性变形规律的复杂性 题还没有得到满意的解决.现在广义采用的理论分为两大类 现在广义采用的理论分为两大类: 题还没有得到满意的解决 现在广义采用的理论分为两大类 (1)全量理论 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 全量理论, 又称为形变理论 全量理论 和应变全量之间的关系. 亨奇)理论和 和应变全量之间的关系 有Hencky(亨奇 理论和 亨奇 理论和Il’yushin (伊柳 伊柳 理论. 辛)理论 理论 (2)增量理论 又称为流动理论 它认为在塑性状态下是塑性应 增量理论, 又称为流动理论, 增量理论 变增量和应力及应力增量之间随关系.有 莱维-米泽 变增量和应力及应力增量之间随关系 有Levy-Mises(莱维 米泽 莱维 理论和Prandtl-Reuss(普朗特 罗伊斯 理论 普朗特-罗伊斯 理论. 斯)理论和 理论和 普朗特 罗伊斯)理论 3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要 指出, 和 指出 初始屈服条件;(2)流动法则 流动法则;(3)加载条件。 加载条件。 素:(1)初始屈服条件 初始屈服条件 流动法则 加载条件 其中(1)和 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点 其中 和(3) 在第二章已经解决 本章要解决第 点.