第4章 弹塑性力学全量理论的定解问题

V
Fi
O x
σ ij , j + Fi = 0
几何方程
1 − 2ν 3ε i ε ii = σ ii eij = Sij σ i = Φ ( ε i ) E 2σ i 其中 3 2 σi = Sij Sij ε i = eij eij 这就是塑性力学全量 2 3 理论的边值问题. 理论的边值问题 边界条件 Sσ : σ ij l j = pi , Su : ui = ui
eij + δ ij ε m = 1 (1 + ν ) ( Sij + δ ijσ m ) −νδ ijσ kk E 1 1 1 − 2ν = (1 + ν ) ( Sij + δ ijσ m ) − 3νδ ijσ m = Sij + δ ijσ m 2G E E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系
第3章 弹塑性力学全量理论的定 章 解问题
塑性本构关系—全量理论和增量理论 第三章 塑性本构关系 全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性 到目前为止这个塑性本构关系问 引言 塑性变形规律的复杂性, 塑性变形规律的复杂性 题还没有得到满意的解决.现在广义采用的理论分为两大类 现在广义采用的理论分为两大类: 题还没有得到满意的解决 现在广义采用的理论分为两大类 (1)全量理论 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 全量理论, 又称为形变理论 全量理论 和应变全量之间的关系. 亨奇)理论和 和应变全量之间的关系 有Hencky(亨奇 理论和 亨奇 理论和Il’yushin (伊柳 伊柳 理论. 辛)理论 理论 (2)增量理论 又称为流动理论 它认为在塑性状态下是塑性应 增量理论, 又称为流动理论, 增量理论 变增量和应力及应力增量之间随关系.有 莱维-米泽 变增量和应力及应力增量之间随关系 有Levy-Mises(莱维 米泽 莱维 理论和Prandtl-Reuss(普朗特 罗伊斯 理论 普朗特-罗伊斯 理论. 斯)理论和 理论和 普朗特 罗伊斯)理论 3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要 指出, 和 指出 初始屈服条件;(2)流动法则 流动法则;(3)加载条件。 加载条件。 素:(1)初始屈服条件 初始屈服条件 流动法则 加载条件 其中(1)和 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点 其中 和(3) 在第二章已经解决 本章要解决第 点.
3-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 在 年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律 在小 定律. 构关系 这是一个全量型的关系 类似于广义 定律 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定 1 − 2ν (1) 体积变形式弹性的 即 ε ii = 体积变形式弹性的, σ ii E eij = ψ Sij (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例 • 这个假定就是应力和应变的定性关系 即方向关系和 这个假定就是应力和应变的定性关系, 分配关系. 分配关系 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 重合 也即应变主轴和应力主轴重合 而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比. 应变偏量和应力偏量成正比 • 形式上和广义 形式上和广义Hooke定律相似 但这里的比例系数不是 定律相似, 定律相似 一个常数.这是一个非线性关系 这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系 一个常数 这是一个非线性关系 下面我们来看一下这个系 数等于什么? 数等于什么
这样定义的简单加载说明, 这样定义的简单加载说明 在加载时物体内应变和应力的主方 向都保持不变. 向都保持不变 • 但是物体内的内力是不能事先确定的 那么如何判断加载过 但是物体内的内力是不能事先确定的, 程是简单加载? 指出, 程是简单加载 Il’yushin指出 在符合下列三个条件时 可以证 指出 在符合下列三个条件时, 明物体内所有各点是处于简单加载过程: 明物体内所有各点是处于简单加载过程 (1) 荷载 包括体力 按比例增长 如有位移边界条件应为零 荷载(包括体力 按比例增长.如有位移边界条件应为零 包括体力)按比例增长 如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的 材料是不可压缩的. σ i = Aε im (3)应力强度和应变强度之间幂指数关系 即 应力强度和应变强度之间幂指数关系, 应力强度和应变强度之间幂指数关系 这就是Il’yushin简单加载定律 有人认为只有第 条就可以了 简单加载定律.有人认为只有第 条就可以了. 这就是 简单加载定律 有人认为只有第(1)条就可以了
3ε i 2σ i , 即按单一曲
综上所述, 综上所述 全量型塑性本构方程为 1 − 2ν 3ε i σ i = Φ (ε i ) ε ii = σ ii eij = Sij E 2σ i 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律 加 成单调增长. 载的标志是应力强度 σ i 成单调增长 σ i 下降时为卸载过 它时服从增量Hooke定律 定律. 程, 它时服从增量 定律
3-6 卸载定律
σ A • 从单向拉伸实验的应力应变曲线看: 从单向拉伸实验的应力应变曲线看 加载至过弹性极限达到A点 然后卸载 加载至过弹性极限达到 点,然后卸载 σ′ % 至B点, 此时总应变 ε 的弹性部分ε e 中 点 % σ 得到恢复,塑性应变部分 的部分应变 ε ′得到恢复 塑性应变部分ε p B 要被保留下来.此时的应力和应变的改 要被保留下来 此时的应力和应变的改 σ 变量, 即B点的应力和应变为 变量 点的应力和应变为 o ε % % σ = σ − σ ′, ε = ε − ε ′ p e ε ε 因为卸载要服从弹性本构关系, 因为卸载要服从弹性本构关系 ε ε′ 这就是说,我们可以 即 σ ′ = Eε.′ 这就是说 我们可以 % ε 由因为卸载引起的荷载的改变 % 按弹性计算得到. 量 P′ = P − P 按弹性计算得到 • 推广到复杂应力的卸载情况 即应力强度 σ i 减小 得到 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 减小)得到 得到: 卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 % 减去卸载时的荷载改变量 P′ = P − P 为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量 即卸载过程中应力或应变的改变量. 得之应力或应变 即卸载过程中应力或应变的改变量
• 使用卸载定律要注意两点: 使用卸载定律要注意两点 (1) 卸载过程必须时简单加载 即卸载过程中各点的应力分量 卸载过程必须时简单加载, 时按比例减少的; 时按比例减少的 (2) 卸载过程中不发生第二次塑性变形 即卸载不引起应力改 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 变符号而达到新的屈服. 变符号而达到新的屈服 • 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 而且还有残余应力. 变, 而且还有残余应力
因为应力强度和应变强度的公式为: 因为应力强度和应变强度的公式为
3 σi = Sij Sij 2 2 εi = eij eij 3
把 eij = ψ Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到 ψ = (3)应力强度是应变强度的强度函数 σ i = Φ ( ε i ) 应力强度是应变强度的强度函数 线假定的硬化条件. 线假定的硬化条件
3-5 全量理论的适用范围
简单加载定律
• 全量理论适用小变形并且是简单加载 全量理论适用小变形并且是简单加载. • 那么上面是简单加载 理论上上指在加载过程中物体每一点 那么上面是简单加载? 0 的各个应力分量按比例增长. 的各个应力分量按比例增长 即 σ ij = α ( t )σ ij
0 σ ij 是某一非零的参考应力状态 α ( t )是单调增加的参数 是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数. 其中
这是七个方程
1 − 2ν ε ii = σ ii E
1 eij = Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 所以有5个是独立的 个是独立的. 第二个式子是六个方程 但因为有 Sii = 0 , 所以有 个是独立的 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比 第二式也可以写成 Sij = 2Geij ,把它代入应力强度的表达式就 把它代入应力强度的表达式就 可以得到下面的第二式, 然后有 G = σ i / 3ε i 再代回上面第一 可以得到下面的第二式 式得到下面的第二式. 式得到下面的第二式 • 所以也可写成如下形式 e = 3ε i S σ i = 3Gε i ij ij 2σ i • 当应力从加载面卸载 也服从广义 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律 写成增量形式 定律,写成增量形式 定律 1 − 2ν 1 d ε ii = dσ ii deij = dSij E 2G
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V内给定体力 Fi ,在应 内给定体力 在应 力边界 Sσ 上给定面力 pi , 在位 移边界 Su 上给定位移为 ui , 要 求确定物体内处于塑性变形状态 的各点的应力 σ ij , 应变 ε ij 和位 按照全量理论,确定这些基 移 ui .按照全量理论 确定这些基 按照全量理论 本未知量的基本方程有 平衡方程 本构方程 Sσ : pi z y Su : ui 1 ε ij = ( ui. j + u j ,i ) 2
3-2 广义 广义Hooke定律 定律 • 在弹性范围内 广义 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 定律可以表达为 1 ε ij = (1 +ν ) σ ij −νδ ijσ kk E 1 • 也可以表示为 ε = 1 − 2ν σ 也可以表示为: eij = Sij ii ii E 2G 我们来证明一下: 我们来证明一下 σ ij = Sij + δ ijσ m , ε ij = eij + δ ijε m 由应力和应变的分解式,即 由应力和应变的分解式 即 代入上面广义Hooke定律的公式 考虑到 G = E / 2 (1 + ν ) 定律的公式,考虑到 代入上面广义 定律的公式