【高考数学专题复习】第八章 立体几何初步测试(解析版)

第八章 立体几何初步测试

一．单选题（每题5分，共12题，共60分）

1．在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ）

A ．43

B ．9

4 C ．9

2 D ．3

【答案】B

【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ， 且平面ABC I 平面EFGH GH =，平面ABD ⋂平面EFGH EF =

得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，

同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，

又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，

可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.

设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<，

则3FG x =，()31HG x =-，于是2

19

9(1)9,0124

EFGH S FG HG x x x x ⎛⎫=⋅=-=--+<< ⎪⎝⎭ 当12x =时，四边形EFGH 的面积有最大值9

4.

故选：B.

2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥ABCD ，NB ⊥ABCD ．且MD ＝NB ＝1．则下列结论中：

①MC ⊥AN

②DB ∥平面AMN

③平面CMN ⊥平面AMN

④平面DCM ∥平面ABN

所有假命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B

【解析】由题画出该几何体外接的正方体.

对①,因为//MC EB ,AN EB ⊥,故MC ⊥AN 成立.故①正确.

对②,因为//,DB MN MN ⊂平面AMN,故DB ∥平面AMN 成立.故②正确.

对③,连接AC 易得A MNC -为正四面体.故平面CMN ⊥平面AMN 不成立.故③错误.

对④,正方体中平面DCM 与平面ABN 分别为前后两面,故④正确.

故选：B

3．已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则

A ．m ∥l

B ．m ∥n

C ．n ⊥l

D ．m ⊥n

【答案】C

【解析】由题意知,l l αββ⋂=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥Q ．故选C ．

4．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）

A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂

B ．若//,//l ααβ，则l β⊂

C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥

D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥

【答案】C

【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．

5．已知正四棱柱中，，则CD 与平面所成角的正弦值等于（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】设 ，面积为

6．在Rt ABC V 中，90ABC ∠=o ，P 为V ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -中直角三角形的个数为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】A

【解析】由题意，知PA ⊥平面ABC 可得PAC PAB ∆∆，都是直角三角形，且PA BC ⊥，

又90ABC ∠=o ，所以V ABC 是直角三角形，且BC ⊥平面PAB ，

所以BC PB ⊥，即PBC △为直角三角形.

故四面体P ABC -中共有4个直角三角形.

7．已知直线//l α，直线a α⊂，则l 与α必定（ ）

A ．平行

B ．异面

C ．相交

D ．无公共点 【答案】D

【解析】已知直线//l α，所以直线l 与平面α无公共点，

又由a α⊂，所以直线l 与平面a 无公共点，故选D ．

8．如图,各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点,且MN //平面11ACC A ,则这样的MN 有 ( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．无数条

【答案】D 【解析】由题意得112A B CB a

==．在11,BA CB 上分别取,M N ，使1BM B N =，过,M N 作11,MM AB NN BC ⊥⊥，垂足分别为11,M N ，则1111,MM AA NN BB P P ，故11111,BM B N BN BM BA BA B C BC

==．

由于111B N BM BA B C =，故11

BM BN BA BC

=，从而11M N AC P ，可得11M N P 平面11ACC A ．又1MM P 平面11ACC A ，可得平面11MM N N P 平面11ACC A ．由于MN ⊂平面11MM N N ，

所以//MN 平面11ACC A ，从而满足条件的MN 有无数条．选D ．

9．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ）

A ．12

B ．32

C ．33

D ．63

【答案】C

【解析】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ∆为等边三角形，则1B 在平面11A BC 即为

11A BC ∆的中心，则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1，显然36=2=BO ⨯，因此2163=1()=3B O -，则1111103sin B B C O B C ∠==，故答案选C.

10． 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )