应用二重积分解决定积分问题
二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x a x --=-，可设t a a x s i n =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
二重积分的概念和性质
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
21
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3d, I2 y2x3d,
D
D
的大小顺序为 ( D)
I3 y12x3d
D
提示
(A )I1I2I3 ; (B )I2I1I3; (C )I3I2I1; (D )I3I1I2.
f(x,y)df(,)
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
16
以下仅证性质7（中值定理）
证明
f(x,y)是有D 上 界的 闭连 域续
必有最大、最 M、 小 m值
由估值性质得
由于 0
m f(x,y)dM m1Df(x,y)dM
[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.
25
26
§10.2 二重积分的计算法（一）
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
27
复习与回顾
n
(1)二重积分 Df(x,y)dl i0m i 1f(i,i) i
10
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点 (i,的i) 取法无关
二重积分的计算
0
1
2
x
注意：
当D {( x , y ) | a x b, c y d }, 且 f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y )，f1 ( x )，f 2 ( y ) 均为连续函数时，总有：
f ( x, y )dxdy a f1 ( x )dx c
y x 4 2 2
1 2
y
1
y y
e dx;
y x
解： e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
y x
原式 I 1dx
2
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
交换二次积分顺序时应注意： 先化为二重积分，然后再将二重积分化为 另一次序的二次积分。
原式 = dy 2 y 0
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dy y 2 f ( x , y )dx .
2a
或
D:
y
ax x y
ax
0 x 2a
I
2a
y ax
在直角坐标系下用平行于 坐标轴的直线网来划分区 域D，
则面积元素为 d dxdy
y
D
o x
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D D
1. ［X－型］区域 如果积分区域为： a x b,
二重积分计算及其应用（已处理）
二重积分计算及其应用包头师范学院本科毕业论文题目:二重积分的计算及其应用学生姓名:学院:数学科学院专业:数学与应用数学班级:08本一班指导教师: 讲师二 ? 一二年五月二重积分计算及其应用内容摘要在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
常用方法是化简二重积分为两次定积分或累次积分,又因为二重积分的计算与被积函数和积分区域有关。
掌握二重积分计算和它的性质的基础上,讨论如何利用函数的奇偶性与区域的对称性,探讨如何利用二重积分的性质解决二重积分的计算中的证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题。
对于这些问题我们可以利用二重积分的性质和函数的奇偶性与区域的对称性来解决问题,试图找到一些简便方法,简化二重积分的计算。
关于二重积分的应用它可以求曲面面积以外,二重积分在物理学当中的应用也极其广泛,尤其是在平面薄板当中巧妙而简练的利用二重积分来解决平面薄板的重心坐标、转动惯量以及对质点的引力等问题,二重积分的应用在物理学当中是一种不可忽视的知识。
关键词:二重积分; 直角坐标; 极坐标系; 曲面面积;平面薄片Abstract In the calculation of double integrals, due to the complex calculations and comparison functions, in accordance with the definition of double integral calculation of double integrals have a lot of limitations. A common approach to simplification double integrals are definite integral and repeated integral as twice, because the calculationof double integrals with integrand and integral region. Mastering double integral calculation and on the basis of its nature, discusses how to use functions of symmetry of parity with regional, nature of the discussion on how to use double integral to prove inequality solving double integral calculation, identifying symbols, estimated value of the integral, the integral values for limit and so on. These questions we can use the double integral and parity of the nature and functions of symmetry to solving problems of the region, trying to find some easy way to simplify the calculation of double integrals. But also concise and clear to problem conclusion. On the application of double integral it can be found outside of the surface area of, and applications of double integrals in physics are very widely, especially in a flat sheet, ingenious and simple to use double integral to solving Planar sheet of Barycentric coordinates, moments of inertia and gravitational energy of the particle, and other issues, applications of double integrals in physics is a knowledge that cannot be neglected.Key words: double integral;Cartesian; polar; surface area; flat blades目录内容摘要 (2)关键词 (2)引言 (7)二重积分的定义 (8)二. 二重积分的计算 (8)(一)直角坐标系下二重积分的计算 (8)(二)极坐标系下二重积分的计算 (9)三.利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分 (9)(一)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (9)若函数关于是奇函数 (9)若函数关于是偶函数 (9)(二)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (10)若函数关于是奇函数 (10)若函数关于是偶函数 (10)(三)计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,同时也是关于,对称的 (10)四.二重积分的性质 (13)五.应用二重积分的性质解题 (14)(一)证明不等式 (14)(二)确定积分值的符号 (14)(三)估计积分之值 (15)(四)求极限 (16)六.二重积分的应用 (17)(一)曲面的面积 (17)1.曲面由显函数给出的情形 (17)2.曲面由参数方程给出的情形 (18)(二)平面薄片的重心 (19)(三)平面薄片的转动惯量 (20)(四)平面薄片对质点的引力 (21)结语 (23)参考文献 (24)引言在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
二重积分的计算与应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1.二重积分的概念 (1)1.1二重积分的定义 (1)1.2可积条件 (2)1.3可积类 (2)1.4二重积分的性质 (2)2.二重积分的计算方法 (3)2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3)2.2二重积分的变量变换 (4)2.2.1普通情况下的变换 (4)2.2.2极坐标计算二重积分 (4)3.广义二重积分 (6)4.二重积分的应用 (6)4.1体积 (7)4.2曲面的面积 (8)4.3其它 (8)参考文献 (9)二重积分的计算与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：职称：摘要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法.关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method.Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder前言我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助.1.二重积分的概念1.1[]2二重积分的定义设(,)f x y是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D的任何分割T，当它的细度||T||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||ni i i i f J ξσσε=∆-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称为(,)f x y 的二重积分，记为(,)σDJ f x y d =⎰⎰.1.2[]1可积条件二重积分的可积条件与定积分类似(1)必要条件：函数(,)f x y 在D 上可积，则(,)f x y 在D 上必有界. (2)充要条件：①函数(,)f x y 在D 上可积s S =⇔(其中S ，s 分别为在上的上积分和下积分). ②函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得()().ε<-T s T S③函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得.1εσω<∑=∆ni i i1.3[]1可积类(1)有界闭区域D 上的连续函数必可积.(2)若(,)f x y 在有界闭区域D 上有界，且仅在D 内有限条光滑曲线上不连续，则(,)f x y 在D 上可积.1.4[]2二重积分的性质性质4.1（线性性） (,)σ(,)σDDkf x y d k f x y d =⎰⎰⎰⎰.性质4.2（线性性）[](,)(,)σ=(,)σ(,)σDDDf x yg x y d f x y d g x y d ±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.3（分段可加性）1212(,)σ=(,)σ+(,)σD D D D f x y d f x y d f x y d +⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.4（保不等式性） 设(,),(,)(,)x y D f x y g x y ∀∈<, 则 (,)σ(,)σDDf x y dg x y d <⎰⎰⎰⎰.性质4.5 设(,)m f x y M ≤≤,则(,)σDm f x y d M σσ≤≤⎰⎰其中σ表示D 的面积.性质4.6 (二重积分的中值定理)设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D S 是D 的面积，则∃（ζ，η）∈D 使得(,)Df x y ⎰⎰σd =(,)f ξηDS.其中中值定理的几何意义：以D 为底，z=(,)f x y ((,)f x y ≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于(,)f x y 在区域D 某点的函数值(,)f ξη.2.二重积分的计算方法定理1 设在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈积分存在，则累次积分(,)b d acdx f x y dy ⎰⎰也存在，且(,)σ=(,)b d acDf x y d dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰.另外，同理(,)σ=(,)db caDf x y d dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰.2.1[]4直角坐标系下的二重积分的计算此方法的关键就是化二重积分为累次积分，对于一般区域，通常可以分为以下两种区域进行计算：①X 型区域：平面点集12{(,)|()(),},D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ 则化二重积分为累次积分21()()(,)σ(,)bx a x Dy f x y d dx f x y dy y =⎰⎰⎰⎰. ②Y 型区域：平面点集{12(,)|()(),}D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤则化二重积分为累次积分21()()(,)σ=(,)dy c y Dx f x y d dy f x y dx x ⎰⎰⎰⎰. 例1 设D 是由直线0,1x y ==及x y =围成的区域，试计算22()y DI x e d σ-=⎰⎰.解 利用Y 型区域积分：231123001()3yy y I dy x e dx y e dy --==⎰⎰⎰.由分部积分法得 1163I e=-. 例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为由直线2,2y x x y ==及3x y +=所围的三角形区域.解 利用X 型区域，则相应的221()2(01),()3(12),2x y x x x y x x x y =≤≤=-<≤=所以 1223012212x x x x DD D d d d dx dy dx dy σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1201(2)(3)22x xx dx x dx =-+--⎰⎰ =32. 2.2[]5 二重积分的变量变换定理2 设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，变换T: (,),(,)x u v y u v ==将uv 平面由按段光滑闭曲线所围成的闭区域∆一对一的映成xy 平面上的闭区域D ,函数(,),(,)x u v y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的行列式 (,)0(,)(,)x y J u v u v ∂=≠∈∆∂， 则 (,)((,),(,))|(,)|D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰. 2.2.1普通情况下的变换例3 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围成的区域D 的面积S （0,0m n αβ<<<<）.解 D 的面积DS dxdy =⎰⎰为了简化积分区域，做变换2,,u ux y v v==则[][],,m n αβ∆=⨯.由于4(,)(,)(,)x y uJ u v u v v ∂==∈∆∂,所以 22334433()()6n m Du dv n m S dxdy dudv u du v v βαβααβ∆--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.2.2极坐标计算二重积分当积分区域是圆域或圆域的一部分时，或者背积函数的形式为22()f x y +时，采用极坐标变换T ：cos ,sin (0,02)x r y r r θθθπ==≤<+∞≤≤, 则 (,)(,)(,)x y J r r u v θ∂==∂.定理3 设(,)f x y 满足定理1的条件，且在极坐标变换下xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立(,)(cos ,sin )Df x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰.二重积分在极坐标下化为累次积分有以情况：1.θ型区域：若原点o D ∈，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交与两点,则必可表示为12()(),r r r θθαθβ≤≤≤≤, 于是有 2()1()(,)(cos ,sin )r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰.R 型区域：若平面上的圆r =常数与D 的边界至多交与两点，则∆必可表示为1212()(),r r r r r θθθ≤≤≤≤,于是有 2211()()(,)(cos ,sin )r r Dr f x y dxdy rdr f r r d r θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.2．若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆必可表示成为0(),02r r θθπ≤≤≤≤,于是有 2()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰.3．若原点O 在D 的边界上，则∆为0(),r r θαθβ≤≤≤≤, 于是有 ()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰.例4 计算I=D其中D 为圆域.122≤+y x解 由于原点为D 的内点故有210Dd πθ=⎰⎰[].212010202πθθππ=--=⎰⎰d d r例5 求球体2222x y z R ++≤被圆柱体22x y Rx +=所割下部分的体积（称为维维安尼体（Viviani ））.解 由所求立体的对称性，只要求出第一卦限的部分体积后乘以4即可.在第一卦限内的体积是一个曲顶柱体，其底为xy 平面内由0y ≥和22x y Rx +=所确定的区域，曲顶的方程为z =所以4DV σ=.其中D={}22(,)|0,x y y x y Rx ≥+≤，用极坐标变换后有cos33322004424(1sin )()3323R V d R d R ππθπθθθ==-=-⎰⎰⎰.3[]4.广义二重积分若在无界区域D 上(),0,≥y x f 则()σd y x f D⎰⎰,收敛⇔在D 的任何有界子区域上f 可积,且积分值有上界.例6 证明反常积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛,其中[)[);,0,0+∞⨯+∞=D 并由此计算概率积分.02dx e x ⎰+∞-证明 设(),,)(22y xe y xf +-= 则显然()y x f ,在[)[)+∞⨯+∞=,0,0D 上非负.设,0,0,:222≥≥≤+y x R y x D R 则).1(4r 2222020)(R Rr Dy x e e d d e--+--==⎰⎰⎰⎰πθσπ显然对D的任何有限子集'D ,只要R 充分大,总可使得,'R D D ⊂ 于是有.4'22'22)()(πσσ≤≤⎰⎰⎰⎰+-+-d e d e Dy xDy x即广义积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛.记,2dx e I x ⎰+∞-=则.))(()(022222dxdy e dy e dx e I Dy xy x ⎰⎰⎰⎰+-+∞-+∞-== 其中[)[),,0,0:+∞⨯+∞D 做极坐标代换,0,20,sin ,cos +∞<≤≤≤⎩⎨⎧==r r y r x πθθθ 则,4r 02022πθπ==⎰⎰∞+-dr e d I r .202π==⎰∞+-dx e I x 4.二重积分的应用二重积分在几何、物理等许多学科中有着广泛的应用，这里重点介绍它在几何方面的应用． 4.1体积根据二重积分的几何意义，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为曲顶，以),(y x f 在xOy坐标平面的投影区域D 为底的曲顶柱体的体积．因此，利用二重积分可以计算空间曲面所围立体的体积． 例7[]6 求椭球面1222222=++cz b y a x 所围之椭球的体积．解 由于椭球体在空间直角坐标系八个卦限上的体积是对称的．令D 表示椭球面在xOy 坐标面第一象限的投影区域，则D ,0,0,1),(2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥≤+=y x b y a x y x体积.),(8⎰⎰=Ddxdy y x z V 作广义极坐标变换θθsin ,cos br y ar x ==,则此变换的雅可比行列式abr J =，与D 相对应的积分区域{},20,10),(*πθθ≤≤≤≤=r r D 此时,1),(2r c y x z z -==从而 abrdr r c d drd J br ar z V D ⎰⎰⎰⎰-==2*1218)sin ,cos (8πθθθθ.34128102abc dr r r abc ππ⎰=-⋅= 例8[]6 求球面+2x 2224a z y =+与圆柱面)0(222>=+a ax y x 所围立体的体积.图1解 由对称性（图1（a ）给出的是第一卦限部分）.44222⎰⎰--=Ddxdy y x a V其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图1（b ））．在极坐标系中，与闭区域D 相应的区域*D {},20,cos 20),(πθθθ≤≤≤≤=a r r 于是⎰⎰⎰⎰-=-=Da rdr r a d rdrd r a V 20cos 2022224444πθθθ=.)322(332)sin 1(33220333⎰-=-ππθθa d a4.2曲面的面积设曲面S 的方程为),,(y x f z = 它在xOy 面上的投影区域为,xy D 求曲面S 的面积.A若函数),(y x f z =在域xy D 上有一阶连续偏导数，可以证明，曲面S 的面积.),(),(122dxdy y x f y x f A xyD y x ⎰⎰'+'+=（1）例9 计算抛物面22y x z +=在平面1=z 下方的面积．解 1=z 下方的抛物面在xOy 面的投影区域xy D {}.1),(22≤+=y x y x又,2x z x =',2y z y =' 221y x z z '+'+=,44122y x ++ 代入公式（1）并用极坐标计算，可得抛物面的面积 ⎰⎰⎰⎰+=++=xyxyD D rdrd r dxdy y x A *22241441θ=).155(6)41(201212-=+⎰⎰πθπrdr r d如果曲面方程为),(z y g x =或),(z x h y =，则可以把曲面投影到yOz 或xOz 平面上，其投影区域记为yz D 或xz D ，类似地有.),(),(122dydz z y g z y g A yzD zy ⎰⎰'+'+= 或.),(),(122dxdz x z h x z h A xzD z x⎰⎰'+'+= 4.3其它例10[]4 平均利润 某公司销售商品Ⅰx 个单位，商品Ⅱy 个单位的利润),(y x P .5000)100()200(22+----=y x现已知一周内商品Ⅰ的销售数量在150～200个单位之间变化，一周内商品Ⅱ的销售数量在80～100个单位之间变化．求销售这两种商品一周的平均利润．解 由于y x ,的变化范围{},10080,200150),(≤≤≤≤=y x y x D 所以D 的面积.10002050=⨯=σ 由二重积分的中值定理，该公司销售这两种商品一周的平均利润为[]σσσd y x d y x P DD⎰⎰⎰⎰+----=5000)100()200(10001),(122 []dy y x dx 5000)100()200(100012210080200150+----=⎰⎰ dx y y y x 100803220015050003)100()200(10001⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎰ 20015020015023292000)200(2030001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x x dx 4033300012100000≈=（元）． 参考文献：[1] 赵树原,胡显佑,陆启良.微积分学习与考试指导[M] .北京：中国人民大学出版社, 1999. [2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2004. [3] 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003. [4] 周应编著. 数学分析习题及解答[M]. 武汉：武汉大学出版社，2001. [5] 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法[M].北京：科学出版社，2008. [6] 吴良森等编著. 数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.。
应用二重积分解决定积分问题
应用二重积分解决定积分问题作者：寇冰煜张燕滕兴虎毛磊来源：《科技创新导报》 2011年第21期寇冰煜张燕滕兴虎毛磊(解放军理工大学理学院数理系应用数学教研室江苏南京 211101)摘要:在二重积分的计算中我们通常都是利用定积分的思想去解决问题，本文中笔者逆向思维，将结合具体实例介绍利用二重积分的计算去解决定积分中的问题。
关键词:二重积分的计算定积分的计算定积分的不等式中图分类号:O155 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)07(c)-0000-00二重积分的定义即对一个和式取极限，其思想“分割，近似，求和，取极限”沿用了定积分的定义中对和式去极限的思想，在二重积分的计算中将其化为累次积分进行计算的过程，本质上就是两个定积分的计算乘积的过程等等，这些我们都是采用定积分的思想去解决二重积分的问题。
但是，本文作者则将二重积分做为工具去解决定积分中的计算和不等式问题。
1 利用二重积分解决定积分中的计算问题在二重积分的计算中，我们通常采用的方法是化二重积分为累计积分进行计算，这一计算过程本质上是定积分的计算。
但是，反过来我们可以利用二重积分去解决一些不易找到原函数的定积分的计算，下面我们就结合具体实例来看看二重积分在这些方面的应用。
1.1利用二重积分计算瑕积分本文通过实例展现了二重积分在计算中的应用魅力，不仅可以帮助学生进一步加深对重积分概念的理解,同时有助于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力,从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
参考文献[1] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社.[2] 张景中. 数学与哲学[M]. 北京: 中国少年出版社, 2006, 08: 25-37.[3] 邓乐斌. 初等积分中的常见问题[M]. 北京:科学出版社，2009.。
二重积分详细解答
f ( x, y)dy
= ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ
y
1
则
0 ≤ x ≤ 1, D: 1 0 ≤ y ≤ 2x − x2 .
D1
1 ≤ x ≤ 2, D2 : 0 ≤ y ≤ 2 − x.
o
D2
1
y = 2− x
2 x
设
D = D + D2 1
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零 化整为零 2 以平代曲
z
∆ V i ≈ f ( x i , y i )∆ σ i
3 积零为整 V ≈ ∑ f ( x i , y i )∆σ i
i =1 n
4 取极限 令分法无限变细
0 y
∆σ i
.
V = lim ∑ f ( x i , y i )∆ σ i
i =1
D
特殊地
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ f ( x, y) dσ .
D D
性质６ 性质６ 设M、m分别 f ( x, y)在 是 闭区 D 上 最 域 的 大
值和最小值， 的面积， 值和最小值，σ 为 D 的面积，则
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ Mσ
D
（二重积分估值不等式） 二重积分估值不等式）
性质１ 性质１ 为常数时， 当 k 为常数时，
∫∫ kf ( x, y)dσ =k∫∫ f ( x, y)dσ .
D D
性质２ 性质２
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ
D
= ∫∫ f ( x, y)dσ ± ∫∫ g( x, y)dσ .
D D
性质３ 性质３
二重积分的解法技巧及应用研究
二重积分的解法技巧及应用研究摘要二重积分是多元函数积分学中的一部分，而二重积分的概念和解法技巧是多元函数微积分学的重要部分，二重积分是联系其他多元函数积分学内容的中心环节，故而它也是核心。
二重积分在多元函数积分学中有重要的作用，深入理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键。
本文主要研究的是二重积分的解法技巧，对于二重积分的解法主要利用在直角坐标系下求解，极坐标的方法，积分次序的交换与坐标系的转换的方法，选择适当的积分次序求二重积分，用适当方法计算二重积分（奇偶性，周期性等）的计算技巧。
本文首先主要介绍二重积分的概念以及性质；其次介绍二重积分的解法技巧；最后主要根据二重积分的概念和性质，给出实例分析二重积分在物理、经济以及工程上的一些应用问题。
二重积分是《数学分析》中的重要内容，它涉及到多个学科领域，并且起着至关重要的作用，在计算过程中通常寻求更好的解题技巧，从而在实际应用中获得更高的效率。
关键词：二重积分；性质；解法技巧；应用研究Double integral solution techniques and application researchAbstractThe double integral is part of a multivariate function in integral calculus. The concept of double integrals and the techniques of solutions are an important part of multi-variate calculus.The double integral is the center link with other multivariate function integration of content.Therefore ,it is also the core. The double integral is important in multivariate integral calculus. Understanding the concept of double integral and mastering the double integral calculation method are the key to learn the multivariate function in integral calculus.This paper mainly studies the solutions for double integral and application research.Dou- ble integral to the solution of the main use is solved in the Cartesian coordinate system, polar coordinates method, method of integral order exchange and coordinate system, selecting the integral order appropriate for calculation of double integral, double integral with the appropri- ate method (parity, periodic etc.) on the computational techniques.Firstly,this paper introduces the concept and properties of double integral solution skill; Secondly,it introduces the introdu- ction of double integral; finally, according to the concept and nature of the double integral, it gives examples to analyze some application problems in physics, economics and engineering of the double integral.The double integral is the important content of "mathematical analysis", which involves many fields and plays a vital role. we often seek better problem-solving skills in the process of calculation, so as to gain higher efficiency in practical application.Keywords:double integral; properties; solution techniques; application research目录引言 (1)第1章二重积分的概念与性质........................................... - 2 -1.1二重积分的概念...................................................... - 2 -1.2二重积分的性质...................................................... - 6 -第2章二重积分的解法技巧.............................................. - 7 -2.1计算二重积分的方法步骤.............................................. - 7 -2.2直角坐标中下二重积分的计算 .......................................... - 7 -2.3特殊类型的二重积分解题技巧.......................................... - 8 -2.4极坐标系下计算二重积分............................................. - 11 -2.5用变量替换计算二重积分............................................. - 12 -2.6无界区域上的二重积分............................................... - 13 -第3章二重积分的应用研究............................................ - 14 -3.1物理上应用研究..................................................... - 14 -3.2经济上的应用....................................................... - 16 -3.3工程力学上的应用 ................................................... - 18 -结论与展望 ............................................................ - 22 -致谢 ................................................................ - 23 -参考文献 .............................................................. - 24 -附录 .................................................................. - 25 -附录A外文文献及翻译 ................................................. - 25 -附录B 主要参考文献的题录及摘要 ....................................... - 33 -插图清单图1-1 直线网图 (3)图1-2 曲顶柱体图 (5)图1-3 曲顶柱体分割图 (5)引言目前，关于二重积分方面的讨论非常活跃，随着二重积分的不断发展与创新，为使二重积分在各个学科领域中得到更广泛的应用，还得继续探讨与研究。
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
二重积分计算
用一组平行于y轴且与y轴同方向的直线穿越D，入口
线方程为 y 1( x), 出口线方程为 则 1(x) y 2(x)，于是有：
a x b,
[X－型]区域D: 1( x) y 2( x)
y 2(x),
y 2(x)
D
y 1( x)
oa
b
对[Y－型]同样可用平行线穿越法
注意：1.有的区域可以看成X-型 区域,也可看成Y-型
z y 2(x)
z f(x, y)
其中：1(x),2(x) 在[a, b]上连续. y
D
由二重积分的几何意义，
f ( x, y)d V曲顶柱体
o a x y b1(x)x
D
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
b
V曲顶柱体 A ( x)d x. a
而A( x)
固定 x x0
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
例 3
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
oa
b
y 2(x)
D
y 1( x)
oa
b
X—型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与
区域边界相交不多于两个交点.
其中函数1( x)、2( x)在区间[a,b]上连续.
2.如果平面区域为：
c y d, 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
y (1 x)2
0 y 1
.1
1 y x 1 y
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
二重积分概念及计算
x
( 2) f ( x , y ) f ( x , y ), 则 D f ( x , y ) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 有类似结果.
在第一象限部分, 则有
D ( x y) d x d y 0
4 ( x 2 y 2 ) d x d y
则有
D f ( x, y) dx d y
b
y
d x
a
2 ( x)
1 ( x)
d
y 2 ( x) x 2 ( y)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
D y y 1 ( x) c o a x bx
则可按如下二次积分计算：
x
D
f ( x, y) d
[
c
d c
d
2 ( y)
1( y)
f ( x, y ) d x ]d y
f ( x, y ) d x
dy
2 ( y)
1 ( y)
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【注】 ④ 若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域
x 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2 , , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
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2)―常代变” 在每个 k 中任取一点 ( k ,k ),则第 k 小块的质量
3)―近似和”
y
( k , k ) k
求物体质量要准确把握积分概念
本文链接：/Periodical_zzsfgdzkxxxb200702027.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：732656aa-66f7-47f4-a624-9dca00a573b3 下载时间：2010年8月6日
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方法三： 利用三重积分来求解) 取球心为坐标原点， & 轴与 , 轴重合， 又设球 的半径为 /， 则球体所占空间闭区域 " 可用不等 ! ! 式 $ % + % &! - /! 来表示) 所求转动惯量即球体 对于 & 轴的转动惯量 - & ) -& " $ （$ % + ） "# . " ((( （ ’ *+, -.* ! % " (((
2.期刊论文 韩艳光 对二重积分解决定积分问题的探讨 -魅力中国2009,""(26)
定积分不等式的证明方法多种多样,一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性,最值等.在很多时候,我们也可以把定积分 的不等式问题化为二重积分进行处理,使问题迎刃而解.本文通过一些例子,进行对二重积分解决定积分问题的探讨.
% % 高等数学的具体应用部分非常重要， 学好它 有助于提高学生学习数学的兴趣和积极性& 同时 应用也常常是学生学习的薄弱环节， 特别是学习 了多元微积分后， 在应用中大家更是容易将一元 和多元的情况混淆起来& 这里就一道最常见的求 质量问题做一个归纳和探讨， 希望能帮助大家更 好的把握数学的相关概念， 促进大家对数学的应 用融会贯通&
关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结
关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结***（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分英文部分引言：微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、 定积分1、1利用定积分求极限：);321(1lim3334n n n ++++∞→ 解：)321(1lim3334n n n ++++∞→ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→333)()2()1(1lim n n n n n n =n ni n i n 1)(lim 31∑=∞→ 设3)(x x f =，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取ni n x i i ==∆ε,1为区间[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n i n i x x i i ,1,1的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数3)(x x f =在区间[0,1]上的一个积分的极限，从而有4141)21(1lim 104103334===+++⎰∞→x dx x n n n .回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).则BC 的方程为：x+20y-50=0.即y=5-101x. 由于在相同深度处水的静压力相同gx ρ,故当x ∆很小时，闸门上从深度x 到x+x ∆ 这一狭条A 上受的静压力为.)1015(22dx g x x x g x dx x y dp p ⋅⋅⋅⋅⋅-⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≈∆ρρ dx x x gdx x x x dp p )5110()1015(232002200200-=⋅⋅⋅⋅-⨯==⎰⎰⎰ρ =14373.33(kN).1、3 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带点电荷密度为δ，在圆心处有一单位E 电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取θ∆所对应的一段导线，电荷电量为.θδθd r d ⋅⋅= ，它圆心处电荷E 在垂直方向上的引力为θθθθsin sin 2r ks r sr k F ∆=∆⋅=∆ 则导线与电荷作用力为rk d r k δθθδπ2sin 0=⎰回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。
二重积分
二重积分可积性的等价条件及应用摘要：通过分析和研究现行教材中二重积分的定义及其可积性的等价条件，对其加以补充证明，在研究二重积分的方法与步骤用到与定积分的方法和步骤是类似的，即分割、代替、求和、取极限.那么在研究其等价条件及应用的时候依然用到了类比的方法，与定积分做比较，看相似与不同的地方，发现各定义及等价条件之间的关系，并巧妙的运用它们.从二重积分的定义入手，在证明中抓住取点()i i ηε,和分割T 的任意性，补充证明它们与二重积分可积性的等价性，从而在证明时更加简便，同时使二重积分在生活中应用的更方便。
关键词：二重积分；等价条件；任意性；应用一．预备知识我们要研究二重积分可积性的等价条件及应用，首先要了解二重积分的定义及相关概念，那么接下来我们对其进行一一介绍. （一）二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给正的数ε,总存在某个数σ，使对于D 的任意分割T ，当它的细度σ<T 时，属于T 的所以积分和都有()εσηε<-∆∑=Jf ni ii1,，则称(),f x y 在D 上可积，数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分.记J=(,)Df x y d σ⎰⎰.其中(),f x y 称为二重积分的被积函数，y x ,称为积分变量，D 称为积分域.由以上定义可看出，二重积分是一个较复杂的积分和的极限()ini iif σηε∆∑=1,的结构和分法T 及取法()i i i D ∈ηε,都有关，在这个定义中，找出(),f x y 可积的充要条件是困难的.为了寻找函数(),f x y 可积的充要条件，因此引入下面的概念.（二）上积分和下积分的定义 设函数(),f x y在D 上有界，对D 的任一分法{}n σσσ∆∆∆=∆，， 21,有()()(),,inf,1,ini iif f s i i σηεηε∆=∆∑=()()()ini iif f S ii σηεηε∆=∆∑=1,,sup , ,对D 的任意两个分法1∆与2∆，有()()21,,∆<∆f S f s .固定分法1∆，考虑D 的所有可能的分法2∆，得(){}(){}*2,inf ,2I f S f s =∆≤∆∆称*I 为(),f x y 在上D 的上积分.同理，在让1∆取遍所有可能的分法，得{}(){}**1,sup 1I I f s ≤=∆∆.称*I 为(),f x y 在D 上的下积分.应用上述1.1及1.2，接下来，我们可以证明下述几个定理的等价性，及类比定积分的等价条件及应用，有如下结论.二．证明二重积分可积性的等价条件引理设D 为有界可测集，(),f x y 在D上有界，则()*,lim I f S =∆→∆ ,()*,lim I f s =∆→∆.证明：我们现在只证明第一个式子.,0>∀ε由上积分定义，存在以分法{}**2*1*,n σσσ∆∆∆=∆ ，，.使得().2,***ε+≤∆≤I f S I 因集合()Ni i1*=∆∂=Γσ的面积为0，所以存在简单图形.2,,Ω<⊂ΓεmQ Q Q 使得其中()上的振幅在为D y x f ,Ω.令()0,>∂Γ=Q dist δ.对于D 的任意分割{}n σσσ∆∆∆=∆,21 ，，，满足.δ<∆把∆的元素分成两类，整个元素()N j j i ≤≤∆∆1*σσ包含在某一内的归为第一类；其余元素归为第二类，第二类元素()k j k j i ≠∆∆∆**σσσ和必与相交，又可将其分为两种情形：相交；或与Γ∆i σ.不相交或与Γ∆i σ这时i σ∆的一部分在*j σ∆内，内，一部分在*k σ∆但不管哪种情形，第二类元素*∆∆=∆'∆ 内，记包含在Q i σ.分法的第一类∆元素的元素，所以也是分法∆'∆i σ()()()()**,,,,0I f S f S f S I f S -∆'+∆'-∆=-∆≤()εεε=+Ω⋅Ω≤-∆'+⋅Ω≤22,*I f S mQ即()*,lim I f S =∆→∆.定理1 设D 为有界可测集，(),f x y 在D 上有界，则下列命题是等价的：()1(),f x y 在D 上可积； ()2()()[]0lim ,,lim 10=∆=∆-∆∑=→∆→∆i ni i w f s f S σ.其中i w 表示(),f x y 在i σ∆上的振幅；()30,ε∀>D ∃的一个分法∆，使()()ε<∆-∆,,f s f S ；()4**I I =.证明：()1()2⇒. 0,ε∀>由(),f x y 在D 上可积，即0,ε∀>0>∃δ,当δ<T 时，有()εσηεε+<∆<-∑=I f I i n i i i 1,.从而()()εε+≤∆≤∆≤-I f S f s I ,,，故()2成立.()()23⇒.显然.()()34⇒.由()()ε<∆-∆≤-≤,,0**f s f S I I ,故()4成立. ()()41⇒.记**I II ==.由引理知()*,l i m I f S =∆→∆ ,()*,lim I f s =∆→∆,则对下式()()()∆<∆<∆∑=,,,1f S f f s i n i i i σηε.令→∆取极限,得:()If i ni i i =∆∑=→∆σηε1,lim .综上证明过程，证得上述（1），（2），（3），（4）是等价的. 定理2 设D 为有界可测集，(),f x y 在D 上有界，则(),f x y 在D 上可积的充要条件为：对D 的一类特殊分法{}p n n n ++∆∆∆∆∆=∆σσσσσ,,,,,121 ，，其中n σσσ∆∆∆,,,21 的闭包是含于 D 内的可测集，称为分法的内部元素.pn n n +++∆∆∆σσσ,,,21 的闭包与边界D ∂相交称为分法的边界元素及任意取点()i i i σηε∆∈,()n i ,,2,1 =,极限()If i ni i i =∆∑=→∆σηε10,lim 存在，这时I=(,)Df x y d σ⎰⎰.证明：[必要性].由(),f x y 在D 上可积，对任意取点()i i i σηε∆∈,()p n i +=,,2,1 ,有极限()If i p n i i i =∆∑+=→∆σηε1,lim .因D ∂的面积为0，所以lim1=∆∑=+=→∆pn n i iσ.又因(),f x y 有界，故有()0,lim1=∆∑++=→∆ipn n i iif σηε.于是我们得到()If i ni i i =∆∑=→∆σηε1,lim .[充分性].由必要性证明可以看出，定理2中极限存在等价于()If i pn i i i =∆∑==→∆σηε10,lim .0,ε∀>0>∃δ对于一类特殊分法∆，当δ<∆时，有()εσηεε+<∆<-∑=I f I i ni i i 1,,从而有I ()εε+<∆<-I f S I ,,()εε+<∆<-I f s I ,,因此，存在分法∆，使()()ε2,,≤∆-∆f s f S ，得(),f x y 在D 上可积.通过上述定理2的证明，发现在重积分的定义中，取点()i i ηε,的任意性是本质的，而分法的任意性不是本质的.如我们可以只考虑用平行直线网分割D ，又重积分是黎曼积分和的极限，这个黎曼和可以只对分法的内部元素求和，边界元素可以忽略不计，而内部元素是些小正方形或小矩形，这对处理问题带来很大方便. 在二重积分定义中，有两个任意，即分割T 和点()i i ηε,的选取都是任意的，这两个任意性导致了积分和的不确定性和复杂性.这样就给用定义讨论问题带来了很大麻烦，那么这两个任意性能否改变，从而使二重积分定义更特殊化，简单化，应用起来更方便.很多典型例子中对任何分割T ，由于介点的选取不同而导致积分和的极限不存在，从而使函数不可积，这充分说明定义中点的选取的任意性是不变的，即选取点()i i ηε,的任意性是必要的.那么是否可以去掉分割T 的任意性的要求呢？答案是肯定的. 定理3函数(),f x y 在D 上可积的充要条件是：任给正数ηε、,总存在某一分割T ,使属于T 的所有小区域中，对应于振幅ε≥'k w 的那些小区域k '∆的总面积∑''<∆k k x η.证 [必要性] 设函数(),f x y 在D 上可积.由定理1，对于0>=εησ,存在某一分割T,使得∑<∆kkk xw σ.于是便有εηε<∆≤∆≤∆∑∑∑'''''k kk k k k k k x w x w x ,由此可得∑''<∆k k xη.[充分性] 任给0>'ε,取02>'=Dεε,()2>-'=m M εη.其中D 表示区域D 面积.由假设，存在某一分割T ，使得ε≥'k w 的那些小区域k '∆的总面积∑''<∆k k x η.设T 中其余满足ε<''k w 的那些小区域k ''∆,则有k k k k k k kkk x w x w xw '''''''''∆+∆=∆∑∑∑()∑∑''''''∆+∆<k k k k x x m M ε-()()a b m M -+-≤εηεεε'='+'≤22从而证得函数(),f x y 在D 上可积.三．两类重要的可积函数定理4 设D 是有界可测闭集，D E ⊂,且E 的面积为零，(),f x y 在D上有界，在D E 上连续，则(),f x y 在D 上可积.特别E =∅,得(),f x y 在D 上连续，则(),f x y 在D上可D 积.证明：0,ε∀>因集合E 的面积为零，故存在简单图形Q ,使得Q E ⊂,mD <4M ε,其中()()y x f M Dy x ,sup ,∈=,又 Q D 为有界闭集，(),f x y 在D 上一致连续，所以存在 QD 的一个分法{}n σσσ∆∆∆,,,21 ，使得(),f x y 在i σ∆上的振幅mDw i 2ε<()n i ,,3,2 =，令Q D =∆1σ,这样我们得到一个分法{}n σσσ∆∆∆=∆,,,21 .有()()εεεσεσ=+<∆+⋅≤∆=∆-∆∑∑==2222,,21ni ini i i mDmQ M w f s f S,由定理1，知(),f xy 在D 上可积.定理 5 设D 是有界可测闭集，(),f x y 在D 上可积，且ϕ在[],m M 上连续，则复合函数()()(),,h x y f x y ϕ=在D 上可积.证明：0,ε∀>由ϕ在[],m M 上一致连续，0δ∃>，当[],,s t m M ∈且s t δ-<时，有()()s t ϕϕε-<，又因f 在D 上可积，所以存在D 的分法{}n σσσ∆∆∆=∆,,,21 ，使()()∆-∆,,f s f S =()εσσ<∆-∑=i ni i im M 1,其中i M ,i m 为f 在i σ∆上的上、下确界，记**,i i m M ,为h 在i σ∆上的上、下确界，()n i ， ,2,1=.对指标i 分为两类：{}δ<-=i i m M i A |;{}δ≥-=i i m M i B |.()()()()()i M t m y x i s t y x f M ii iϕϕϕσ=≤=<<∆∈sup ,sup ,*，由于()()()()()i M t m y x i t t y x f m ii iϕϕϕσ=≥=<<∆∈inf ,inf ,*,(其中[]i i i i M m t s ,,∈)当i A ∈,有δ<-≤-i i i i m M t s ，故有()()εϕϕ≤-≤-i i i it s m M **. 当i B ∈,有k m M i i 2**≤-，()t k M t m ϕ<<=sup .又()δεσσδ<∆-≤∆∑∑∈∈B i i i i B i i m M ,推出εσ<∆∑∈Bi i .因而得:()()∆-∆,,f s f S ()ini i i m M σ∆-=∑=1**=()()iBi i i Ai i i im M m Mσσ∆-+∆-∑∑∈∈****.()εεεk D k mD 2m 2+=+≤故证得h 在D 上可积.之所以介绍这两类可积函数，是因为这两类可积函数在以后的证明、应用中比较常见，第一类是特殊的，第二类是一般的，以后会经常用到.通过上述证明，定理1，2，3，4，5我们发现二重积分可积性的等价条件的证明与定积分中的有些相似，那么下面，我们依然类比定积分可积性的应用，来看一下是否二重积分可积性的应用也有与之相似的地方.四.二重积分可积性的等价条件的应用我们知道，根据可积的充要条件，可以证明几个可积的充分条件：⑴若f 在[],a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[],a b 上可积；⑵若f 在[],a b 上是连续函数，则f 在[],a b 上可积；⑶若f 是[],a b 上的单调函数，则f 在[],a b 上可积.由上面补充的两类重要的可积函数，可知二重积分同样也适用于定积分的⑴，⑵，⑶这三个条件.下面我们类比定积分的可积性的充分条件，陈述二重积分可积的充分条件，并对此进行一一证明. 例1设(),f x y 是定义在有界闭区域D 上的有界函数，若(),f x y 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则(),f x y 在D 上可积.证明：不失一般性，可设(),f x y 的不连续点全部落在某一条光滑曲线L 上,记L 的长度为l ,于是对0,ε∀>把L 等分成1l n ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦段n L L L ,,,21 ，在每段上i L 取一点i p ,使i p 与其一端点的弧长为2l n ，以i p 为中心作边长为ε的正方形i ∆，则i i L ∆⊂，从而有 ni iL 1=∆⊂,记ni i1=∆=∆，则∆为一多边形，设∆的面积为W,那么()εεεεεεε+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤l l l n W 22211，现在把区间D 分成两部分,第一部分∆= D D 1,第二部分12D D D -=,由于(),f x y 在2D 上连续，根据定理1，存在2D 的分割2T 使()()ε<-22T s T S ,又记()(),,sup ,y x f M y x ∆∈∆=()(),,inf ,y x f m y x ∆∈∆=，以T 表示由2T 与多边形∆的边界所组成的区域D 的分割，则有：()()()()[][]wWW m W M T s T S T s T S +<-+-≤-∆∆ε22()()εεεεεw lw w l ++=++≤1（其中w 是(),f x y 在D 上的振幅）由于(),f x y 在D 上有界，故w 是有限值.于是由定理1就证得了(),f x y 在D 上可积.在证明例1的时候，我们看到要想证明(),f x y 在D 上可积，运用上面定理1求得在区域D 上大和与小和的关系，即当分割足够小的时候，大和与小和的差为0，再运用定理1，就可证得(),f x y 在D 上可积。
定积分与二重积分的互化
Ｉ＝
Ｄ
&
ｆ ２（ｘ）ｆ ３（ｙ）（ｙ－ ｘ）ｄｘｄｙ．
（ ２）
０≤ｙ≤１ ，故& ｅ ) ０≤ｘ≤ｙ
Ｄ － ｙ２
－ ｙ２
ｄｘｄｙ＝
!ｅ－ ｙ ｄｙ !ｄｘ
２ ０ ０
１
ｙ
将 （ １） 、 （ ２） 相加 ， 并注意到 （ ｘ－ ｙ） " ｆ（ ｘ） － ｆ（ ｙ） ’ ≥０， 故 ２Ｉ＝
＝
!ｙｅ
０
１
１ １ ｄｙ＝ １ ｅ－ ｙ２ １ ０＝ ２ （１－ ｅ ） ２
１ ０
＝－ １ ２
ｘ － ｓｉｎｘ ） ｄｘ !ｘ（ ｓｉｎ " ｙ ｘ !ｓｉｎ " ｘ ｄｘ＋ !ｓｉｎ ｘｄｘ
０ １ ０
１
! !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ｘ !ｆ（ ｔ） ｄｔ－ !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ） ＝ !（ ｘ－ ｕ） ｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ !ｔｆ（ ｘ－ ｔ） ｄｔ＝ !ｆ（ ｘ－ ｕ） ｕｄｕ＝右式，（ 令 ｔ＝ｘ－ ｕ ）
３ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ２
１
１
化二重积分为定积分
计算二重积分 ， 通常是将二重积分化为累次积 分。累次积分中积分变量的次序有两种 ， 一种是先 ｘ 后 ｙ， 另一种是先 ｙ 后 ｘ。一般而言 ， 由于积分区域不 是矩形区域 ， 选择不同积分次序的累次积分 ， 积分变
!ｅ ｄｙ， 显然 Ｆ（ １） ＝ ０， 且 Ｆ＇ （ ｘ） ＝ ｅ ， 所 以 原 式 Ｉ＝ !Ｆ （ ｘ） ｄｘ＝ｘＦ （ ｘ） １ ０－ !Ｆ＇ （ ｘ） ｄｘ＝Ｆ （ １） ＋ １ ｅ １＝ １ （ １－ １ ） ． !ｘｅ ｄｘ＝－ ２ ０ ２ ｅ
２ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ２ ２ ２ ａ ａ ａ
二重积分有积分中值定理
二重积分有积分中值定理【知识文章】二重积分有积分中值定理1. 引言2. 二重积分的基本概念3. 积分中值定理的概述4. 积分中值定理的证明5. 积分中值定理的应用6. 我对积分中值定理的个人观点和理解7. 总结1. 引言在数学中，积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它与二重积分密切相关。
二重积分作为定积分的扩展，其意义更为广泛。
而二重积分有积分中值定理则进一步深化了我们对积分概念的认识，提供了一种更加精确和灵活的方式来描述积分的特性和应用。
本文将通过解析二重积分有积分中值定理，探讨其背后的数学原理和应用场景，并分享我的个人观点和理解。
2. 二重积分的基本概念为了理解二重积分有积分中值定理，我们首先需要回顾二重积分的基本概念。
二重积分可以理解为对平面上的一个区域进行积分求和，以得到该区域上某个函数的平均值、面积或其他特征。
我们可以使用二重积分来计算平面上一个曲线下方的面积，或者计算该曲线围成的区域的面积。
3. 积分中值定理的概述积分中值定理是一种将函数的某种性质与其在某个区间上的平均值联系起来的定理。
对于一元函数来说，大家可能更熟悉积分中值定理的一维版本，即在闭区间上连续函数的平均值等于在该区间上某个点处的函数值。
而二重积分有积分中值定理则将这一概念推广到了二维平面上。
4. 积分中值定理的证明现在我们来解析一下二重积分有积分中值定理的证明过程。
对于一个在闭区域上连续的函数，我们可以将该区域划分为无数个小矩形，在每个小矩形上应用积分中值定理的一维版本。
通过对每个小矩形上的平均值进行钳制，我们可以得到一个围绕着函数的曲线的矩形。
将这些矩形的面积相加，就可以近似得到函数在闭区域上的平均值。
5. 积分中值定理的应用积分中值定理不仅仅是一个数学定理，它还具有广泛的应用价值。
在物理学、经济学、生物学等领域中，我们经常会遇到需要计算某个区域上的平均值或特征量的问题。
积分中值定理为我们提供了一个数学工具，使得我们可以更加准确地描述和解决这些实际问题。
应用二重积分解决定积分的不等式问题
承德民族师专学报1999年第2期应用二重积分解决定积分的不等式问题刘丽梅在二重积分的计算中,经常使用的方法是化二重积分为累次积分。
当积分区域为矩形、被积函数可分离变量时,有如下定理。
[定理] 若f (x )在[a ,b ]可积,g (y )[c ,d ]可积,则二元函数f (x )g (y )在平面区域 D ={(x ,y ) a ≤x ≤b ,c ≤y ≤d }可积,且 κDf (x )g (y )dxdy =∫b af (x )dx ∫dcg (y )dy(1) 我们用该定理简化了一些函数的二重积分的计算。
实际上,(1)式还可应用在数学分析的其它部分。
本文就该定理在定积分不等式上的应用作一探讨。
考察下面例题。
[例1] 设f (x )是[a ,b ]上的正值连续函数,试证不等式 ∫b af (x )dx ・∫b a1f (x)dx ≥(b 2a )2[解] 设I =∫b af (x )dx ・∫b a1f (x )dx ,函数f (x )和1f (x)满足定理条件,由(1)式得I =∫b af (x )dx ・∫b a1f (y )dy =κDf (x )f (y )dxdy ,这里D ={(x ,y ) a ≤x ≤b ,a ≤y ≤b }。
同理可得I =∫b af (y )dy ・∫b a1f (x )dx =κDf (y )f (x)dxdy ,因此I =12κD [f (x )f (y )+f (y )f (x )]dxdy =κDf 2(y )+f 2(x )2f (x )f (y )dxdy 。
因为0<2f (x )f (y )≤f 2(x )+f 2(y ),即f 2(x )+f 2(y )2f (x )f (y )≥1,从而I ≥κD dxdy =(b 2a )2.证毕。
[例2] 设p (x )是[a ,b ]上的可积函数,且p (x )>0,f (x )和g (x )是[a ,b ]上的单调增加函数,则 ∫ba p (x )f (x )dx ∫ba p (x )g (x )dx ≤∫b ap (x )dx ∫bap (x )g (x )f (x )dx该不等式称为契比雪夫不等式。
利用二重积分解定积分问题
π
2
r
dθ e - r2 rd r
=
π lim (1 -
e- r2 )
π
=
,
x ≥0
r →+ ∞ 0
0
4 r →+ ∞
4
y ≥0
∫ 故 I =
+∞
e- x2 d x =
0
π 2.
参考文献
[1 ] 井爱雯. 利用二重积分证明积分不等式[J ]. 高等数学研究. 2000 ,3 (1) :24 - 25.
展示了二重积分与定积分在一定程度上的内在联系.
关键词 逆向思维 重积分 定积分
中图分类号 O172. 2
二重积分一般是通过转化为累次积分即两个定积分来计算的 ,但从逆向思维的角度来看 ,有些
定积分问题也可以转化为二重积分进行计算. 对于某些特殊结构的被积函数而言 ,化定积分为二重
积分可以使定积分问题大大简化《. 高等数学研究》曾两次刊登利用重积分证明定积分不等式的文
I,
故
I
π = 8 ln2.
∫+ ∞
例 3 计算广义积分 : I = e- x 2 d x. 0
解
∫ ∫ ∫ ∫ + ∞
+∞
+∞
+∞
I2 =
e- x2 d x · e- x2 d x =
e- x2 d x.
e- y2 dy =
0
0
0
0
∫∫ ∫∫ e- ( x2 +y2) = d xd y =
li m
[2 ] 王金金 ,马华. 利用二重积分证明积分不等式[J ]. 高等数学研究. 2004 ,7 (2) :34.
二重积分中值定理内容
二重积分中值定理内容二重积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它与定积分有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍二重积分中值定理的概念、原理以及应用。
一、二重积分中值定理的概念二重积分中值定理是对于二重积分的一个重要性质的描述。
它表明，在某些条件下，一个函数在某个区域上的平均值等于它在该区域上某一点的函数值。
具体来说，设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则存在一点(c,d)∈D，使得二重积分∬Df(x,y)dxdy等于f(c,d)乘以D的面积。
二、二重积分中值定理的原理二重积分中值定理的原理可以通过对二重积分的几何解释来理解。
在平面上，我们可以将闭区域D划分为无限多个小区域，每个小区域可以看作是一个小矩形。
根据二重积分的定义，我们可以将函数f(x,y)在D上的二重积分看作是将函数在每个小矩形上的面积相加得到的。
根据中值定理，存在一个小矩形，它的面积等于D的面积，并且该小矩形上的函数值等于f(x,y)在该点上的函数值。
三、二重积分中值定理的应用二重积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们通过两个具体的例子来说明其应用。
例1：求平面区域D上函数f(x,y)的平均值设函数f(x,y)在闭区域D上连续，要求求出f(x,y)在D上的平均值。
根据二重积分中值定理，我们可以先计算出函数f(x,y)在D上的二重积分，然后将其除以D的面积即可得到平均值。
例2：证明平面区域D上的恒等式设函数f(x,y)在闭区域D上连续，要证明恒等式∬Df(x,y)dxdy=0。
根据二重积分中值定理，我们知道存在一个点(c,d)∈D，使得f(c,d)乘以D的面积等于二重积分的值。
由于f(c,d)为常数，因此恒等式成立。
总结：二重积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在闭区域上的平均值与该函数在某一点的函数值之间的关系。
通过二重积分中值定理，我们可以求出函数在闭区域上的平均值，证明一些恒等式等。
二重积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它为我们解决实际问题提供了一种有效的方法。
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应用二重积分解决定积分问题
摘要:在二重积分的计算中我们通常都是利用定积分的思想去解决问题，本文中笔者逆向思维，将结合具体实例介绍利用二重积分的计算去解决定积分中的问题。
关键词:二重积分的计算定积分的计算定积分的不等式
二重积分的定义即对一个和式取极限，其思想“分割，近似，求和，取极限”沿用了定积分的定义中对和式去极限的思想，在二重积分的计算中将其化为累次积分进行计算的过程，本质上就是两个定积分的计算乘积的过程等等，这些我们都是采用定积分的思想去解决二重积分的问题。
但是，本文作者则将二重积分做为工具去解决定积分中的计算和不等式问题。
1 利用二重积分解决定积分中的计算问题
在二重积分的计算中，我们通常采用的方法是化二重积分为累计积分进行计算，这一计算过程本质上是定积分的计算。
但是，反过来我们可以利用二重积分去解决一些不易找到原函数的定积分的计算，下面我们就结合具体实例来看看二重积分在这些方面的应用。
1.1利用二重积分计算瑕积分
本文通过实例展现了二重积分在计算中的应用魅力，不仅可以帮助学生进一步加深对重积分概念的理解,同时有助于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力,从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社.
[2] 张景中. 数学与哲学[M]. 北京: 中国少年出版社, 2006, 08: 25-37.
[3] 邓乐斌. 初等积分中的常见问题[M]. 北京:科学出版社，2009.。