(完整版)奥数格点与面积

学科：奥数

教学内容：第六讲格点与面积

生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图：

这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

例1 计算下图中各图形的面积：

分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

解答：

（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。

（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。

（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。

（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。

（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积

一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。

（6）将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。

例2 计算下面这个格点多边形的面积。

分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。

解答：

方法一：3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面积单位）

方法二：1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面积单位）

例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。

分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？

算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。

分析：仔细观察图形：

横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；

竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。

图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。

图形编号①②③④

一周格点数 4 6 8

1

4

中间格点数0 0 0 0

面积（平方厘

米）

1 2 3 6

中间没有格点时，面积=一周格点数÷2－1

图形编号⑤⑥⑦⑧

一周格点数 4 6 8

1

4

中间格点数 1 1 1 1

面积（平方厘

米）

2 3 4 7

中间有一个格点时，面积=一周格点数÷2＋（1－1）

图形编号⑨⑩

一周格点数 4 6 8

1

4

中间格点数 2 2 2 2

面积（平方厘

米）

3 4 5 8

解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。

（2）各图形的面积见表格。

各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：图形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）

说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。

例4 下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：

分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。每一部分面积的求法，因图而异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，

11 12

而长方形只要直接数单位面积即可。

解答：左边三角形面积=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；

右边三角形面积=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；

长方形的面积为6×2=12；所以礼盒面积为：5＋4＋12=21

说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。

例5 在下图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。

分析：此题是一个三角形格点图。每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单位。三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。此题中三角形ABC 的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。

解答：方法一：给三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即可。

三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图4中的虚线平行四边形。这个平行四边形包含6个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷2=3

同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为4和8，所以三角形ABC的面积为：25

－3－4－8=10（面积单位）

方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图3）。Ⅰ的面积为1×3=3，Ⅱ的面积可直接数为1，Ⅲ的面积为1×2=2，Ⅳ的面积为2×2=4，于是三角形ABC的面积为：3＋1＋2＋4=10。

想一想：以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用1×3计算？可联系方法一中三角形Ⅰ面积的求法。

说明：关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。可以按照例3的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：三角形格点多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。

例6 在下图中有45个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形？

分析：如果要在图中找一个面积为8的格点三角形很容易，但是要求出有多少个这样的