(完整版)奥数格点与面积
奥数-格点与面积
学科：奥数教学内容：第六讲格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
(完整版)小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例 2】 如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑹⑸⑷【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P P M F EDCBA【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．。
小学奥数格点与面积
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。
见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。
分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。
解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。
(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。
（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。
（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。
合起来有6个面积单位。
所以它的面积为6个面积单位。
（6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积为长方形面积的一半，所以梯形的面积是（2+4）×3÷2=9（个）面积单位。
三年级升四年级数学暑假奥数班第15讲 格点与面积
第十二站 格点与面积月 日 姓 名【知识要点】 1．格点的意义 如下图所示，是一张方格纸，这种方格纸是由水平线和垂直线相交而组成的。
图中水平 线和垂直线的交点称为格点。
E A D B D C D D2．面积单位的意义 面积相等的每个小正方形称为面积单位， 例如上图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
3．利用格点求面积 通常用到“扩展法”或“割补法” 。
“扩展法”通常是根据图形将其扩展为规则图形，利 用规则图形面积减去所求图形以外面积，从而得到图形的面积。
“割补法”通常是把图形通过 割补的方式变为规则图形，从而求得解。
同学们，下面是一道全国希望杯竞赛试题，看起来是不是很难？让我们一起来想想如何 解决它吧！ 请将图中所示的三角形 ABC 分成面积相等的六个部分，请给出三种不同的分法。
A A ABCBCBC有点难度是不是？不用怕，认真听讲、多动脑，学完本节课这道题就是小 Case 啦！【典型例题】 例 1 在下列格点里面分别连出一个正方形，一个长方形，一个三角形，一个平行四边形和 一个梯形，并且这些图形的所有顶点都要在格点上。
例 2 个。
下面的格点间距都是 1 厘米，请分别画出面积为 36 平方厘米的正方形、长方形各一例3用割补法求出下图中各个图形的面积。
（单位面积为 1）例4用扩展法求下列图中多边形的面积。
（单位面积为 1）随堂小测姓 名 成 绩1．用“割补”或“扩展”法求下图中各图形的面积。
（单位面积为 1）①②2．下图中四个图形的面积各是多少？（单位面积为 1）3．如图，每个小方格为 1 个单位，则阴影部分的三角形面积为单位面积。
课后作业姓 名 成 绩1．求下图中各图形的面积； （单位面积为 1）2．请在下面的格点中分别画出面积为 8 个单位、12 个单位的两个图形。
（单位面积为 1）3．求下图中各图形的面积。
（单位面积为 1）①②③。
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点
【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。
”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。
因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。
【篇⼀】 知识点： (⼀)正⽅形格点图⾯积 在⼀张纸上，先画出⼀些⽔平直线和⼀些竖直直线，并使任意两条相邻的平⾏线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了⼀个⽅格，其中的每个交点就叫做⼀个格点。
多边形的所有顶点都在格点上，在⽅格中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
多边形的顶点⾄少有⼀个顶点格点上，⽐如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。
(⼆)三⾓形格点图的⾯积 三⾓形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三⾓形都是等边三⾓形，规定它的⾯积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三⾓形格点多边形。
【篇⼆】 常见解题⽅法： 求格点图⾯积常见的⼏种⽅法：数格⼦法、分割法、扩展法、毕克定理。
（⼀）数格⼦法 对于格点图⾥⾯的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正⽅形⽅格或者三⾓形⽅格的个数得出规则图形的⾯积，或者由图形得出规则图形相应的⾯积公式需要的量，代⼊公式解出⾯积即可! 【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的⾯积运⽤公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就⾏了。
第(1)图是正⽅形，边长是4，所以⾯积是4×4=16(⾯积单位); 第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(3)图是三⾓形，底是5，⾼是4，所以⾯积是5×4÷2=10(⾯积单位); 第(4)图是平⾏四边形，底是5，⾼是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(5)图是直⾓梯形，上底是3，下底是5，⾼是3，所以⾯积是(3+5)×3÷2=12(⾯积单位); 第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，⾼是4，所以⾯积是(3+6)×4÷2=18(⾯积单位)。
小学奥数讲义4年级-16- 格点面积 -难版
生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
正方形格点阵中多边形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）三角形格点阵中多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。
【例1】★判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵ ⑶典型例题知识梳理【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例2】★计算下图中各图形的面积：【解析】先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例4】如图，计算各个格点多边形的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例9】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分7.4cm，求大正方形的面积．(线状)面积为2【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【例19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P EB【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
小学奥数 格点型面积
模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑶⑵⑴⑹⑸⑷【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 6】“乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 7】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFEDCBA【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【例 9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】4星【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【关键词】保良局亚洲区城市小学数学竞赛【例 11】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【例 12】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【考点】格点型面积 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】从小爱数学【例 13】 将边长为正整数n 的正方形平均分成2n 个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。
小学奥数格点型面积毕克定理
页眉内容小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使随意两条相邻的平行线的距离都相等( 往惯例定是1 个单位 ) ，这样在纸上就形成了一个方格网，此中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为极点画出的多边形叫做格点多边形，比如，右图中的农村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积怎样计算？它与格点数量有没相关系？假如有，这二者之间的关系可否用计算公式来表达？下边就让我们一同来商讨这些问题吧！用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积，请同学们剖析前几个例题的格点数．我们能发现以下规律： S N L1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的界限上有L 个格点，则它的面积为 S N L1 ．2【例 1】用9个钉子钉成互相间隔为 1 厘米的正方阵 ( 如右图 ) ．假如用一根皮筋将适合的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样获得的三角形中，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于 2 平方厘米的三角形有多少个？【例 2】如图，4 4 的方格纸上放了16 枚棋子，以棋子为极点的正方形有个．【例 3】判断以下图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷⑸⑹【稳固】假如两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？( 教师总结：面积数值均扩大 4 倍．)【例 5】如图( a)，计算这个格点多边形的面积．III III(a)(b)(c)【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”比赛试题) 右图是一个方格网，计算暗影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【稳固】求以下各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷【例 8】我们开始提到的“农村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个8 12 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．HGFA EDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【稳固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】( “小学数学奥林匹克”比赛试题) 5 5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的极点称为格点．请你在图上选7 个格点，要求此中随意 3 个格点都不在一条直线上，而且使这7 个点用直线连结后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】( “保良局亚洲区城市小学数学”比赛试题) 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21 日开幕，下边的图形中，每一个小方格的面积是1，那么 7、 2、 1 三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】( 第六届“从小爱数学”邀请赛试题) 两个边长相等的正方形各被分红25 个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的暗影部分 ( 块状 ) 面积为 5.12cm 2，右下角的暗影部分 ( 线状) 面积为 7.4cm2，求大正方形的面积．【例 14】( 第六届“华杯赛”试题 ) 图中正六边形ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF ，CQ=2BQ，求暗影四边形CEPQ 的面积．A P F A P FB E B EQ QC D C D板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为 1，以这样的点为极点画出的多边形为三角形格点多边形．对于三角形格点多边形的面积相同有它的计算公式：假如用S 表示面积， N 表示图形内包括的格点数， L 表示图形周界上的格点数，那么有 S 2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包括格点数的 2 倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】如图 ( a) ，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积．A AECF DCB(a) B(b)【稳固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算ABC 的面积．ACB【例 16】求以下格点多边形的面积( 每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形) ．⑴⑵⑶⑷【例 17】把大正三角形每边八平分，构成如右图所示的三角形网．假如大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，假如每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别 5 平分、 7 平分 ( 如图 1，图 2) ，而后适合连结这些平分点，便获得了若干个面积相等的小三角形．已知图 1 中暗影部分面积是294 平方分米，那么图 2 中暗影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形切割成面积相等的三块．【例 21】如图涂暗影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】( 第五届“华杯赛”试题 ) 正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米． M 是 AB 中点， N 是 CD 中点，P 是 EF 中点．问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？A FA QF M PM P BEB ER S CDCDNN【例 23】假以以下图中随意相邻的三个点构成的三角形面积都是2 平方厘米．那么，三角形 ABC 的面积是 _____平方厘米．。
奥数——格点与面积
格点与面积
例1 下图是一个格点图。
图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出它们的面积各是多少？（每个小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？
例3 下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
例4、求下列图形的面积。
例5、如图，每个小正方形的面积都是1平方厘米。
则在此图中最多可以画出多少个面积是2平方厘米的格点正方形？
课堂练习
1、求下面各图形的面积。
2、求下图中各图形的面积。
3、求下图中各图形的面积。
4、下面是一个5*5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）。
5、图中每个小正方形的边长都是1厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形多少个？
课后作业
1、计算所给图形的面积。
2、求出下面格点图形的面积。
3、在下面5*10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积是1）。
4、下图是由8个边长为1厘米的正方形所组成的一个图形，共有15个格点。
请以15个格点中的3个为顶点作一个面积为3.5平方厘米的三角形。
四年级奥数---格点与面积 (学生版)
格点与面积一、知识要点（1）基本概念1、格点：在方格纸（平面）上，纵横两组平行线垂直相交的交点称为格点。
2、格点与多边形：以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形。
3、面积单位：以格点为顶点围成的小正方形称为面积单位。
（格点多边形面积的大小，与格点数有关，格点越多，面积越大。
）（2）常用技巧利用格点求图形的面积。
一是，直接将图形分成若干个面积单位，再通过计算有多少个面积单位求图形的面积。
二是，将复杂的图形转化成长、正方形来求。
（3） 格点图形面积的计算方法1、格点多边形的面积＝图内格点数＋周界上的格点数的一半－112L S N =+- 2、三角形格点多边形面积＝图内格点数的2倍＋周界上格点数－222S N L =+-二、例题精讲【例1】根据下组图填表（1） （2） （3）图形号 1 2 3周界格点数图内格点数面积（单位）【例2】求下图格点多边形的面积。
（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1 的等边三角形）【例3】下图中每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例4】如下图所示，在圆周上有5个钉，在这5个钉中，任取三个钉用皮筋可套出一个三角形，问以钉1为顶点的三角形有多少个？【例5】如图ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC长3厘米，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【例6】如下图中小猫图的面积是多少？••••••••••••••••••••••••••••••••••••【例7】下图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积是1，试计算四边形的面积。
•••••••••••••••••••••【例8】思考题小刚和小强比赛，用一条长36米的绳子在格点上看谁围出的面积最大，你知道他们是怎样围的吗？（每块土地的长宽均为1米）三、课后作业【作业1】右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)。
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学科：奥数教学内容：第六讲格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
（6）将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。
例2 计算下面这个格点多边形的面积。
分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。
可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。
解答：方法一：3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面积单位）方法二：1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面积单位）例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。
分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。
分析：仔细观察图形：横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。
图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。
图形编号①②③④一周格点数 4 6 814中间格点数0 0 0 0面积（平方厘米）1 2 3 6中间没有格点时，面积=一周格点数÷2－1图形编号⑤⑥⑦⑧一周格点数 4 6 814中间格点数 1 1 1 1面积（平方厘米）2 3 4 7中间有一个格点时，面积=一周格点数÷2＋（1－1）图形编号⑨⑩一周格点数 4 6 814中间格点数 2 2 2 2面积（平方厘米）3 4 5 8解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。
（2）各图形的面积见表格。
各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：图形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。
例4 下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。
本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。
每一部分面积的求法，因图而异。
如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，11 12而长方形只要直接数单位面积即可。
解答：左边三角形面积=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；右边三角形面积=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；长方形的面积为6×2=12；所以礼盒面积为：5＋4＋12=21说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。
例5 在下图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
分析：此题是一个三角形格点图。
每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单位。
三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。
此题中三角形ABC 的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。
解答：方法一：给三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即可。
三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图4中的虚线平行四边形。
这个平行四边形包含6个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷2=3同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为4和8，所以三角形ABC的面积为：25－3－4－8=10（面积单位）方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图3）。
Ⅰ的面积为1×3=3，Ⅱ的面积可直接数为1，Ⅲ的面积为1×2=2，Ⅳ的面积为2×2=4，于是三角形ABC的面积为：3＋1＋2＋4=10。
想一想：以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用1×3计算？可联系方法一中三角形Ⅰ面积的求法。
说明：关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。
可以按照例3的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：三角形格点多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。
例6 在下图中有45个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。
问共有多少个这样的格点三角形？分析：如果要在图中找一个面积为8的格点三角形很容易，但是要求出有多少个这样的格点三角形就有些困难，不过功夫不负有心人，一定能找到方法。
注意到待计数的格点三角形的底与高的乘积为16，所以可以分类计数。
解答：因为16=4×4=2×8=8×2，所以可以分为以下几类来计数：（1）每个4×4的正方形中有4个直角三角形符合要求，总数为4×5=20（个）；（2）每个2×8的长方形中也有4个直角三角形符合要求，总数为4×3=12（个）；（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：4×4，状的有：5×7=35（个）；状的有：35个；状的有：5×3=15（个）；状的有：15个；8×2，状的有：3×7=21（个）；状的有：21个；2×8，状的有：3×3=9（个）；状的有：9个；共有：（35＋15＋21＋9）×2=160（个）所以符合要求的三角形一共有：20＋12＋160=192（个）阅读材料有形状的数最早把自然数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，寻找自然数与正三角形、正方形、正五边形……之间的关系。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做正五边形数……毕达哥拉斯还摆出了其它多边形数。
有趣的事，他还进一步发现了各种“形数之间的内在联系”。
比如，每个大于1的正方形数都可以表示成两个相邻三角形数的和。
4=1+3，9=3+6，16=6+10，……反过来，任意两个相邻的三角形数相加，必然是一个正方形数，也就是平方数。
这从下面的图形中可以得到证实。
毕达哥拉斯借助生动的几何直观发现，第n个三角形数等于1+2+3+…+n，第n个正方形数等于2n，……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数了。
练习题1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）分析与解答：（1）直接计数，图1中包含5个面积单位，所以它的面积为5；（2）直接计数，图2中包含6个面积单位，所以它的面积为6；（3）将图3分为上下两部分，上面的长方形包含有6个面积单位，下面的平行四边形可以转化为一个1×2的长方形，所以面积为2。
图3的面积为6＋2=8（面积单位）；（4）图中包含2个面积单位和4个单位面积的一半，所以图4的面积为4；（5）将图5按下图分割为上下两部分，上面的包含3.5个面积单位，下面的面积为3×1÷2=1.5（面积单位），所以图5的面积为5；（6）直接计数，图6中包含7个面积单位，所以它的面积为7。
2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？分析与解答：（1）喇叭图中包含2个面积单位和2个面积单位的一半，所以它的面积为3；（2）将小猫图分为左右两部分，头与身子部分的面积为（可直接计数）10，尾巴部分是一个平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积为11。
（3）小狗图面积的求法与小猫图形面积的求法相同，它的面积为6。
说明：此题还有其他的分割方法，请你自己想一想。
想一想：请你用格点图形面积的计算公式试求每一个图形的面积，你发现了什么？是不是每个图都可以用公式计算，哪个可以，哪个不可以，为什么？3．求下图中梯形的面积。
分析与解答：这个梯形图的一周共有6个格点，中间共有16个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6÷2＋16－1=18（面积单位）想一想：还有其他方法吗？请你试做。