初二数学 等腰三角形

等腰三角形
一．学习目标
1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；
2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；二．重难点分析
重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。

难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。

三．知识梳理
四．精讲精练
等腰三角形的性质
1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．
3．等腰三角形的性质：
(1)两腰相等．
(2)两底角相等．
(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．
例1.如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB度数为（）
A．70° B．55° C．40° D．35°
【答案】C
【解析】解：∵∠ACD=110°，∴∠BCA=70°，
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=70°，
∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD=110°，
∴∠EAC=110°﹣70°=40°．
例2.等腰三角形两边长分别是4cm和1cm，则这个三角形周长是（）
A．9cm B．6cm C．9cm或6cm D．10cm
【答案】A
【解析】解：当腰长是1cm时，因为1+1＜4，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是4cm时，因为4+4＞1，符合三角形三边关系，此时周长是9cm；
例3.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，
练习.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（）
A．23° B．46° C．67° D．78°
【答案】B
【解析】解：根据题意得：AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，
∵直线l1∥l2，∴∠2=∠ABC=67°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°．
例4.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF 与EF的长度相等，则∠C的度数为（）
A．48° B．40° C．30° D．24°
【答案】D
【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，
∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，
∴∠C=∠1=×48°=24．
练习1. 如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=70°30'，则∠2的度数是（）
A．40°30'B．39°30'C．40° D．39°
【答案】C
【解析】∵QR∥OB，∠AOB=40°，∴∠AQR=∠AOB=40°，
∵OP=QP，∴∠PQO=∠AOB=40°，
∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．
练习2. 如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）
A．55° B．45° C．35° D．65°
【答案】A
【解析】解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．
例5.已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】解：根据题意得，解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．
练习.一个三角形的三个内角的度数的比是1：2：3，这个三角形是三角形；一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm，则它的周长是．
【答案】直角;37cm
【解析】解：∵一个三角形的三个内角的度数的比是1：2：3，∴最大的角=180×=90°，∴这个三角形是直角三角形；
①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7cm、7cm、15cm，∵7+7=14＜15，∴不能组成三角形，
②7cm是底边时，三角形的三边分别为7cm、15cm、15cm，能组成三角形，周长=7+15+15=37cm，综上所述，它的周长是37cm．
例6.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．
【解析】证明：延长AO交BC于点D，
在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，∴AO⊥BC．
练习.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，
∵∠CAD=20°，∴∠ACD=70°，
∵EF垂直平分AC，∴AM=CM，
∴∠ACM=∠CAD=20°，∴∠MCD=50°．
例7.如图1，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，
则AC+BC= cm．
【解析】解：1、∵DE为AB边的垂直平分线，∴AD=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+CD+BD=AC+BC=7cm．
练习.如图2，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有个等腰三角形．
【答案】 3
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC==72°，
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，
∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C，
∴BC=BD，△CDB是等腰三角形，
例8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．
求证：AB平分∠EAD．
【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，
∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．
练习1.在△ABC 中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：
∠CBE=∠CAD．
【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°
∴∠CBE=∠CAD．
练习2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE=DF．【解析】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定：
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．
例1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（）
A．∠A：∠B：∠C=1：1：3 B．a：b：c=2：2：1
C．∠B=50°，∠C=80°D．2∠A=∠B+∠C
【答案】D
【解析】解：A、∠A：∠B：∠C=1：1：2，∴∠A=∠B，故A是等腰三角形；
B、a：b：c=2：2：1，∴a=b，故B是等腰三角形；
C、∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=∠B=50°，故C是等腰三角形；
D、2∠A=∠B+∠C，∠A=60°，∠B+∠C=120°，故D不是等腰三角形；
练习.在下面的三角形，不可能是等腰三角形的是（）
A．有两个内角分别为110°，40°的三角形
B．有两个内角分别为70°，55°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形
D．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
【答案】 A
【解析】解：A、有两个内角分别为110°，40°的三角形，第三个角是30°，不可以构成等腰三角形，故本选项错误；
B、有两个内角分别为70°，55°的三角形，第三个角是55°，可以构成等腰三角形，故本选项正确；
C、有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形，与外角相邻的内角是80°，可以构成等腰三角形，故本选项正确；
D、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形，故本选项正确．
例2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，两条角平分线BD、CE相交于点
F，则图中的等腰三角形共（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】 C
【解析】解：由题意得：∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，
∠CBE=∠CEB=∠BDC=DCB=72°
∴△ABC，△CBD，△BCE，△ABD，△ACE，△CDF，△BEF，△BCF均为等腰三角形．
题中共有8个等腰三角形．
练习. 在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，5）、（6，5），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】 C
【解析】解：∵点A、B的坐标分别为（0，5）、（6，5），
∴AB⊥y轴，AB=6，
①若AP=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有4个交
点，即满足△ABP是等腰三角形的P点有4个；
②若BP=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABP 是等腰三角形的P点有2个；
③若PA=PB，作AB的垂直平分线与坐标轴只有一个交点，即满足△ABP是等腰三角形的P 点有1个；
所以点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 7个．
例3、如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】解：∵∠A=36°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠ACB=∠B，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，
∴∠ACE=∠A=36°．∴AE=CE，∴△ACE是等腰三角形，
∴∠AEC=180°﹣36°﹣36°=108°，
∴∠BEC=72°．∴∠BEC=∠B，∴CE=BC．∴△BEC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC，△ACE，△BEC，
练习. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，那么图中的等腰三角形的个数是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】解：∵等腰三角形有△ABD，△CFB，△AFP，△PQS，△CDP，共5个
例4. 如图，点A、B分别在两条坐标轴上，在坐标轴上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P最多有_____个
【答案】8
【解析】解：当P在x轴上时，AB=AP时，P点有两个，BP=AP时，P点有一
个，AB=BP时，P点有一个
当P在y轴上时，AB=BP时，P点有两个，BP=AP时，P点有一个，AB=AP时，
P点有一个，
综上所述：符合条件的P点有8个，
练习. 如图所示，在直角坐标系中，O（0，0），P（2，1），Q是坐标轴上的一点，若△OPQ 成等腰三角形，则Q点所在的位置有（）
A．4处B．6处C．7处D．8处
【答案】D
【解析】解：如图，以点O为圆心，以OP为半径画弧，分别交x轴、y轴于两点；以点P 为圆心，以PO为半径画弧，分别交x轴、y轴于一点；作线段PO的垂直平分线，分别交x 轴、y轴于一点；
综上所述，若△OPQ成等腰三角形，则Q点所在的位置有8处，
例5、在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB=AC．【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF，
又∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠B=∠C，∴AB=AC．
练习1. 已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【解析】（1）证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠BDC=∠CEB=90°．
在△BDC和△CEB中，，
∴△BDC≌△CEB（AAS），∴∠EBC=∠DCB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：点O在∠BAC的平分线上，理由如下：
∵△BDC≌△CEB，∴BD=CE，
又∵OB=OC，∴OD=OE．
∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
练习2.已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】证明：∵∠B=∠3﹣∠1，∠C=∠4﹣∠2，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形．
练习3. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．
【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠EAB，
∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形．
练习4.已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
【解析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵DE⊥BC于E，∴∠FEB=∠FEC=90°，
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°，
∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）．
∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC=∠ADF．
∴△ADF是等腰三角形．
例6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
【解析】证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵BD、CE分别是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．
∴∠CEB=∠BDC=90°．∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∠DBC=90°﹣∠ACB．
∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．∴FB=FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴AF平分∠BAC．
练习.如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．
【解析】解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1=∠2，∠5=∠6，
∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，
∴∠1=∠3，∠4=∠5，
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE=ED，DF=FC，
故EF=ED+DF=BE+CF．
例7.如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形．
【解析】证明：∵∠1=∠2，
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
等边三角形
等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．
等边三角形的判定：
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．
例1.下列关于等边三角形的说法正确的有（）
①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；
②三边相等的三角形是等边三角形；
③三角相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【解析】解：根据等边三角形的每个角都是60°；故①正确．
根据等边三角形的概念：三边相等的三角形是等边三角形．故②正确；
根据等边对等角；故③正确；
根据等边三角形的判定；故④正确．
练习1.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（）
A．14 B．13 C．12 D．无法求出
【答案】A
【解析】解：∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，BD=CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴BE=AD，∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，
在Rt△APQ中，PQ=6，AP=2PQ=12，
∴BE=AD=AP+PD=12+2=14．
练习2.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是．
【答案】75°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，
∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠ADC=45°﹣15°=30°，
∴∠1=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°．
例2.如图，将边长为3cm的等边△ABC沿着边BC向右平移2cm，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）
A．15cm B．14cm C．13cm D．12cm
【答案】C
【解析】解：∵△ABC沿边BC向右平移2cm得到△DEF，
∴DF=AC，AD=CF=2cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，
=AB+BC+CF+AC+AD，=△ABC的周长+AD+CF，=9+2+2，=13cm．
例3. 图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图①，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图①，①，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为P n，则P n﹣P n﹣1的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：P1=1+1+1=3，P2=1+1+=，P3=1+++×3=，
P4=1+++×2+×3=，
…
∴p3﹣p2=﹣==，
P4﹣P3=﹣==，
则Pn﹣Pn﹣1==．
练习. 如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△A n B n A n+1的边长为．
【答案】2n﹣1
例4. 已知：如图，等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．【解析】解：AE=CD，AC=BC，∴EC=BD；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，
在△BEC与△ADB中，
∴△BEC≌△ADB（SAS），∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．
练习1. 如图，等边△ABC中，D是BC上一点，以AD为边作等腰△ADE，使AD=AE，∠DAE=80°，DE交AC于点F，∠BAD=15°，求∠FDC的度数．
【解析】解：∵∠DAE=80°，AD=AE，
∴∠ADE=（180°﹣80°）=50°，
∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°，
又∵∠ADE=50°
∴∠FDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣50°=25°．
练习2.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．
【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°
又∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE，
∴在△ABE和△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD．
练习3.△DAC和△EBC均是等边三角形，连AE、BD，△ACE与△BCD全等吗？请说明理由．【解析】解：△ACE≌△DCB；
理由：∵∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，
∵在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
含30°角的直角三角形
含30︒角的直角三角形的重要结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）
A． m B．4 m C．4 m D．8 m
练习1. 将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺边AC的长为（）
A．6 B．3 C．4 D．6
【答案】A
练习2.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】解：作PH⊥MN于H，∵PM=PN，
∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，
∴OH=OP=5，∴OM=OH﹣MH=4，
例2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠ABC=60°，EC=3，那么AE等于（）
A．6 B．6 C．3 D．9
【答案】A
【解析】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠CBE=30°，
∵∠ACB=90°, ∴∠A=30°
∴△AEB是等腰三角形∵ED⊥AB于D∴EC=ED=3
∴在Rt△EDB中，EB=6
∴EA=6
练习.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分
线分别交AB与AC于点D和点E．若CE=2，则AE的长是（）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，
又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．
在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，
∴AE=2DE=4，
例3.如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE=1，则△ABC的边长为（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，
垂足为点E．若AE=1，
∴在直角三角形ADE中，∠A=60°，∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴AD=2AE=2，又∵D为AB的中点，∴AB=2AD=4，
练习.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为（）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD=CD=3，∴AB=AC=AD+CD=6．
例4.如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动
点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是．
【答案】0＜CD≤5．
【解析】解：当点D与点E重合时，CD=0，
当点D与点A重合时，
∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD，CD=CB，∴CD=BE=5，∴0＜CD≤5，
练习1. 等腰三角形底角为15°，腰长为4，则三角形面积为．
【答案】4
【解析】解：作腰上的高CD，如图，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=15°，∴∠CAD=30°，
∴CD=AC=2，
∴三角形面积=AB•CD=×4×2=4．
练习2. 如图，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，若∠AOB=30°，PD=2cm，则PC= cm．
【答案】4
【解析】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP是∠AOB的平分线，PD=2cm，
∴PE=PD=2cm，
∵PC∥OB，
∴∠POD=∠OPC，
∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，
∴PC=2PE=2×2=4cm．
练习3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交AC于点E．（1）求∠CDE的度数；
（2）若BC=2，则AE的长是多少？
【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，
∴CD=AD=BD，∴∠DCA=∠A，
∵∠A=15°，∴∠DCA=15°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=30°，
∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，
∴∠CDE=90°﹣30°=60°；
（2）连接BE，
∵D为AB中点，DE⊥AB，∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=15•，
∴∠BEC=15°+15°=30°，∵BC=2
∴在Rt△BCE中，AE=BE=2BC=4
练习4.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？
【解析】解：由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在△BCD中，∠CBD=60°，
∴∠BCD=30°，∴BC=2BD，
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD=80海里，∴BC=160海里，
由∠CBD=60°，得∠ABC=120°，∵∠CAD=30°，
∴∠ACB=30°，∴AB=BC，
∴AB=160海里，
∵AD=AB+BD，
∴AD=160+80=240（海里）．
因此船从A到D一共走了240海里．
练习5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分
别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
（1）证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，在Rt△ABC中，BE=2CE，∴AE=2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：
∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
五．课堂总结
对于等腰三角形的概念与性质的学习，通过动手折纸，在操作过程中体会等腰三角形的概念及特征，探索等腰三角形的性质。

注意常用结论的适用范围，在分析题目时善于联想，完成题目后注意归纳总结题目特点，寻求多种解法。

在学习过程中，充分体会转化的数学思想，如“等边对等角”、“等角对等边”体现了三角形中边相等与角相等关系的转化。