运筹学课件排队论.ppt

构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。 这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到 服务员的服务强度。与忙期相对的是闲期，即服务机构连续 保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现 的。
前言
• 顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又 允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见 图1至图5。
图1 单服务台排队系统
前言
图2 单队列——S个服务台并联的排队系统 图3 S个队列——S个服务台的并联排队系统
前言
图4 单队——多个服务台的串联排队系统 图5 多队——多服务台混联、网络系统
一般来说，排队论所研究的排队系统中， 顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长短 都是随机的，因此这样的服务系统被称为随机 服务系统。
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1.基 本 概 念
一 排队系统的描述
（一）系统特征和基本排队过程 实际的排队系统虽然千差万别，但是它们 有以下的共同特征：
(1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
1.基 本 概 念
③随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就 是一例。
④优先权服务。如老人、儿童先进车站；危重病员先就 诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理 等，均属于此种服务规则。
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(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种服务规则， 一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来， 大致有三种：
s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无限
(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规 则。
某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中 的前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解 为系统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先 服务，单个服务的等待制系统。
1.基 本 概 念
二、排队系统的主要数量指标 研究排队系统的目的是通
(1) 服务台数量及构成形式。从数量上 说，服务台有单服务台和多服务台之分。从 构成形式上看，服务台有：
①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式,以及
多队——多服务台并串联混合式等等。 见前面图1至图5所示。
1.基 本 概 念
(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待 售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择 顾客进行服务时，常有如下四种规则：
①先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服 务，这是最普遍的情形。
②后到先服务。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都 先被领走，就属于这种情况。
射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t时，
若在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。 不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，
如记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失 制；当K=∞时，混合制即成为等待制。
1.基 本 概 念
3．服务台情况。服务台可以从以下3 方面来描述：
1.基 本 概 念
（二）排队系统的基本组成部分 通常，排队系统都有输入过程、服务规 则和服务台等3个组成部分： 1．输入过程．这是指要求服务的顾客是 按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也 把它称为顾客流．一般可以从3个方面来描 述—个输入过程。 (1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。 这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的， 也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾 客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的。
是随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常希望等待 时间越短越好。 从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间， 也是随机变量，同样为顾客非常关心。对这两个指标的研究当 然是希望能确定它们的分布，或至少能知道顾客的平均等待时 间和平均逗留时间。
1.基 本 概 念
3．忙期和闲期 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机
1.基 本 概 念
(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他 们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单 个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入 库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。 这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指
前言
例如，通讯卫星与地面若 干待传递的信息；生产线上的原 料、半成品等待加工；因故障停 止运转的机器等待工人修理；码 头的船只等待装卸货物；要降落 的飞机因跑道不空而在空中盘旋 等等。
前言
面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队， 通常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人 力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服 务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾 客会带来不良影响。
第十四章 排队论 Queuing Theory
本章内容重点
基本概念（掌握） 输入过程和服务时间分布（掌握） 泊松到达、负指数服务排队模型（掌握） 其他模型（了解） 排队系统的优化目标与最优化问题（了解）
前言
排队是我们日常生活和生产中经常遇到 的现象。例如，上、下班搭乘公共汽车；顾客 到商店购买物品；病员到医院看病；旅客到售 票处购买车票；学生去食堂就餐等就常常出现 排队和等待现象。除了上述有形的排队之外， 还有大量的所谓“无形”排队现象，如几个顾 客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要 车处等待，他们分散在不同地方，却形成了一 个无形队列在等待派车。排队的不一定是人， 也可以是物：
1.基 本 概 念
C— 表示服务台 (员)个数：“1”则表示单个服务台 ，
“s”。(s＞1)表示多个服务台。
D—表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量；如
系统有K个等待位子，则 0<K<∞，当 K=0
时，说明系统不允许等待，即为损失制。
K=∞ 时为等待制系统，此时∞般省略不 写。K为有限整数时，表示为混合制系统。
的服务时间都是独立同分布的)等等。
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（三）排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和 服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可给出很多 排队模型。为了方便对众多模型的描述，肯道尔 （D．G．Kendall）提出了一种目前在排队论中被广泛采用 的“Kendall记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并 取如下固定格式：
E—表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表 示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。
1.基 本 概 念
F—表示服务规则，常用下列符号：
FCFS：表示先到先服务的排队规则； LCFS：表示后到先服务的排队规则； PR：表示优先权服务的排队规则。
例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／
FCFS，则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有
(3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服 务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机 的。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长， 而另外一些时候服务员(台)又空闲无事。
1.基 本 概 念
任何一个排队问题的基本排队 过程都可以用图6表示。从图6可知， 每个顾客由顾客源按一定方式到达 服务系统，首先加入队列排队等待 接受服务，然后服务台按一定规则 从队列中选择顾客进行服务，获得 服务的顾客立即离开。
A/B/C/D/E/F 各符号的意义为：
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A—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
B—表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间 分布相同。
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek —表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
前言
一般的排队系统，都可由下 面图6加以描述。
图6-6 随机服务系统
前言
通常称由图6表示的系统为一随机聚散服 务系统，任一排队系统都是一个随机聚散服务 系统。这里，“聚”表示顾客的到达，“散” 表示顾客的离去。所谓随机性则是排队系统的 一个普遍特点，是指顾客的到达情况(如相继 到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时间往 往是事先无法确切知道的，或者说是随机的）。
1.基 本 概 念
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超
过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离
去，并不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超 过一定存储时间的元器件被自动认为失效。又如顾客到饭 馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用 餐。
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③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如用高
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(2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客 数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可 装载一批乘客就属于成批服务。
(3) 服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对 每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长
分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客
前言
排队论(Queuing Theory)，又 称 随 机 服 务 系 统 理 论 (Random Service System Theory),是一门研 究拥挤现象(排队、等待)的科学。具 体地说，它是在研究各种排队系统概 率规律性的基础上，解决相应排队系 统的最优设计和最优控制问题。
前言
显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得 到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要 求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”。不同的顾客与服务组成了各式 各样的服务系统。
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数 超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另 求服务，即系统的等待空间是有限的。例如最
多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时， 若系统中的顾客数(又称为队长)小于K，则可进
入系统排队或接受服务；否则，便离开系统， 并不再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的 床位是有限的。
于是，顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就 构成了随机服务系统中的一对矛盾。如何做到既保证一定 的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是随 机服务系统理论——排队论所要研究解决的问题。
前言
排队论是1909年由丹麦工程师 爱尔朗(A.K．Erlang)在研究电活系 统时创立的，几十年来排队论的应 用领域越来越广泛，理论也日渐完 善。特别是自二十世纪60年代以来， 由于计算机的飞速发展，更为排队 论的应用开拓了宽阔的前景。
队长和排队长一般都是随机变量。我们希望能确定它们 的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排 队长)及有关的矩(如方差等)。队长的分布是顾客和服务员
都关心的，特别是对系统设计人员来说，如果能知道队 长的分布，就能确定队长超过某个数的概率， 从而确定合理的等待空间。
1.基 本 概 念
2．等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间，
过了解系统运行的状况，对系统 进行调整和控制，使系统处于最 优运行状态。因此，首先需要弄 清系统的运行状况。描述一个排 队系统运行状况的主要数量指标 有：
1.基 本 概 念
1.队长和排队长（队列长） 队长是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与正在接 受服务的顾客数之和)， 排队长是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。
标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、
2、)的概率是多大。顾客流的概率分布一般有定长分布、
二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
1.基 本 概 念
2.服务规则。这是指服务台从队列中 选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损 失制、等待制和混合制等3大类。
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队 系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。典型例 子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等 待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔 号，这种服务规则即为损失制。