南山中学和南山中学实验学校年自主招生考试数学试题

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南山中学和南山中学实验学校2016年自主招生考试

数 学 试 题

本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）．第I 卷第II 卷共6页．满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，请将本试题卷、答题卡一并交回．

第I 卷（选择题，共36分）

注意事项:

必须使用2B 铅笔在答题卡将所选答案标号涂黑．

第I 卷共12个小题．

一．选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、南山中学（含实验校区），2015年高考本科硬上线人数高达8083人，以绝对优势雄踞就全省第一，数字8083用科学计数法表示为（ ）

A 、8.08×103

B 、8.083×102

C 、8.083×103

D 、8.083×104

2、64的立方根是 （ ）

A 、 2

B 、±2

C 、±4

D 、4

3、班长统计参加校运动会比赛各项目人数得到六个数据：3,2,1,3,2,3，则这组数据的中位数是 （ ）

A 、2

B 、2.5

C 、3

7 D 、3 4、在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=30o ，AB 是⊙O 直径，在直线CD 与⊙O 的位置关系为 （ ）

A 、相交

B 、相切

C 、相离

D 、相交或相切或相离

5、全国青少年信息学奥林匹克竞赛（简称NOI ），南山中学22名同学在32届NOI2015中荣获国家级一等奖（全省共71人，全市共32人），学校现正紧锣密鼓的筹备将于今年7月在南山中学举办的33届NOI2016.我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数。这两者可以相互换算。如将二进制数1101换算成十进制数应写为1×23+1×22+0×21+1×20=13，按此方式，则将十进制数33换算成二进制数应该写成（ ）

A 、101001101

B 、110000

C 、100001

D 、10001

6、南山中学与火车站之间有不同的5条路可走，火车站与南山实验之间有不同的4条路可走。某人由南山中学经火车站到南山实验，再由南山实验经火车站返回到南山中学共有（ ）种不同的线路走法。

A. 400

B. 40

C. 20

D. 18

7、x 1,x 2是一元二次方程x 2-(k-2)x+(k 2+3k+5)=0的两个实根，则x 12+x 22的最

大值是（ ） A. 9190 B. 19 C. 18 D. 17 8、分式方程)

1(611--=-+-x x x k x x x x 只有一个实数解，则实数k=（ ） A. 1 B. -1 C. 7 D. 1或-1或7

9、如果，点C 是以AB 为直径的半圆上任意一点，以AC 、AB 为直径的半圆在以AB 为直径的半圆外的左右两半月状画斜线阴影部分的面积之和记作S 阴影，

∆ABC 的面积记作S ∆ABC ,则正确的是（ ）

。 A.S ∆ABC >S 阴影 B. S ∆ABC =S 阴影

C.S ∆ABC

D.只有当AC=CB 时，S ∆ABC =

S 阴影

10、如图，点E 、点F 分别是正方形ABCD

边BC 、CD 的重点，则EAF ∠tan =（ ）。

A. 54

B. 5

3 C. 3

4 D. 43

11、如图，在第一象限的点A 既在双曲线x

y 12=上又在直线22-=x y 上，且直线22-=x y 与x 轴相交于点B ，C(0,b)，D(0,b+2)，

当四边形ABCD 周长取得最小值时b=（ ）。

A. 21

B. 4

3 C. 1 D. 2

5 12、如图，A 、B 是O 为圆心，25为半径的圆周上两点，C 为圆内一点，BC=6，CA=8，BC ⊥CA ，则OC=（ ）。

A. 2

B. 2

2 C. 22 D.

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第II 卷（非选择题，共114分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应的区域作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔绘清楚，答在试题卷、草稿纸上答题无效。

第II 卷共13个小题。

二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

13. 因式分解：

=--+-+222222)()(y c bx ay x c by ax .

14. 不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-<--≥+x x x x 23712

11315的正整数解是 . 15. 若函数()132+--=x a ax y 的图象与x 轴只有一个交点，则实数a= .

16. 如图，在3×5的矩形方格图中，不包含画斜线阴影部分的所有矩形个数是 个。

17. 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是边长为1的正方形，则=∠+∠BFA BGA 度。

18. 如图，在ABC ∆中，523===BC AC AB ，，，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上非线段端点的点，若满足条件：.λ====∆∆DEF ABC S S CF CA BE BC AD AB （其中ABC S ∆表示ABC ∆的面积）下列结论：

①DEF ∆与ABC ∆的重心相同； ②ABC EFC S S ∆∆=29;

③3=λ; ④CEF BED ADF S S S ∆∆∆==.

其中正确结论的序号是 。（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：（本大题共7个小题，共90分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

19.（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答下列各题

（1）计算：133430cos 41227

8---+-- ；