南师附中高三模拟考试

数学试卷

注意事项：

1、本试卷共160分，考试用时120分钟。

2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。

参考公式：样本数据2

2121

1,,,()n n i i x x x S x x n ==-∑ 的方差为，其中x 为样本平均数．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。请把答案填写在答题纸相应位置上） 1．sin(300)_____︒-=．

2．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =

．

3．已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B = ð ． 4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为 ．

5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线240x y --=与坐标轴的两个交点，则该椭圆的 离心率为 ．

6．右图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是 ．7．已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1， 2a +5，则数列{a n }的通项公式____n a =．

8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是

．9．已知向量，a b 满足||1||2()==⊥+，

，，则向a b a a b 量，a b 夹角 的大小为 ．

10．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是 ．11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是 ．

12．△ABC 中，若A =2B ，则

a

b

的取值范围是 ．

13．已知函数()1||

x

f x x =-，分别给出下面几个结论：

①()f x 是奇函数；

②函数()f x 的值域为R ；

③若x 1≠x 2，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =+有三个零点．

O

M

D A B C 其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

14．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立， 那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。已知数列

max 1{}||(2,)n n n x x x x n n N -=-≥∈满足，如果121,(,0)x x a a R a ==∈≠，

当数列{}n x 的周期最小时，该数列前2010项的和是

。

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答量应写出文

字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

已知向量(sin 2cos ,3cos )(sin ,cos )()x x x x x f x =+==⋅，，a b a b ． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

（Ⅱ）求函数()f x 在[0，π]上的单调递增区间．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥O —ABCD 中，AD//BC ，AB=AD=2BC ，OB=OD ，M 是OD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线MC//平面OAB ；

（Ⅱ）直线BD ⊥直线OA ．

17．（本小题满分14分）

某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，120ABC ︒∠=，

按照设计要求，其横截面面积为 长（梯形的底BC 与两腰长的和）必须最小，设水渠深h 米． （Ⅰ）当h 为多少米时，用料最省？

（Ⅱ）如果水渠的深度设计在[3的范围内，求横截面周长的最小值． 18．（本小题满分16分）

已知⊙C 1：5)5(22=++y x ，点A(1,－3)

（Ⅰ）求过点A 与⊙C 1相切的直线l 的方程；

（Ⅱ）设⊙C 2为⊙C 1关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切

P 的坐标；若不存在，试说明理由． 19．（本小题满分16分）

设函数432()2f x x ax x b a b =+++∈R ，，．

（Ⅰ）当10

3

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在x =0处有极值，试求a 的取值范围；

（Ⅲ）若对于任何[2,2]()1[10]a f x x ∈-∈-≤，不等式在，上恒成立，求b 的取值范围．

A

B

C

D

120°

P

20．（本小题满分16分）（本题中必要时可使用公式：2232(1)(21)

1236

n n n n ++++++= ）

设{}n a 是各项均为正数的无穷项等差数列．

（Ⅰ）记2221212n n n n

S a a a T a a a =+++=+++ ，， 已知32

413

n n n n

S n n T -+-≤≥，*()n ∈N ，试求此等差数列的首项a 1及公差d ；

（Ⅱ）若{}n a 的首项a 1及公差d 都是正整数，问在数列{}n a 中是否包含一个非常数列

的无穷项等比数列{}m

a '？若存在，请写出{}m a '的构造过程；若不存在，说明理由．

21．［选做题］在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A ．选修4—1：几何证明选讲

如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，P A 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ． 若PE =P A ，60ABC ︒∠=，PD =1，BD =8，求BC 的长．

B ．选修4—2：矩阵与变换 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A （1，2）变成了点A '（4，5），点B （3，-1） 变成了点B '（5，1），求矩阵M ．