用构造法求数列通项公式

用构造法求数列的通项公式

摘要:数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法备受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容,作为常归的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解。

关键词:归纳猜想构造

例1.(2006年福建高考题)在数列{an｝中,a1=1,an+1=2an+1,则an等于()

a.2n

b.2n+1

c.2n-1

d.2n-1

解:an+1=2an+1,所以an+1+1=2an+2=2(an+1),所以■=2,又

a1+1=2,{an+1｝是首项为2公比为2的等比数列an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1,所以选c.

归纳小结若数列{an｝满足an+1=pan+q(p≠1,q为常数),则令an+1+?姿=p(an+?姿)来构造等比数列,并利用对应项相等求?姿的值,求通项公式.

例2.在数列{an｝中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an= . 解:an+2-an+1=2(an+1-an),因为a2-a1=2,所以{an-an-1｝为首项为2公比也为2的等比数

列,an-an+1=2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…

+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=■=2n-1.

归纳小结:先构造{an-1-an｝等比数列,这是化归思想的具体应用,再用叠加法求出通项公式,当然本题也利用了等比数列求和公式。例3.(必修5教材69页)已知数列{an｝中

a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.

解:因为an=2an+3an-2,所以an+an-1=

3(an-1+an-2),又a1+a2=7,{an+an-1｝形成首项为7,公比为3的等比数列,则an+an-1=7×3n-2,①

又an-3an-1=-(an-1-3an-2),

a2-3a1=-13,{an-3an-1｝形成了一个首项为-13,公比为-1的等比数列,

则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2,②

①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,

所以an=■×3n-1+■(-1)n-1.

归纳小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的

方法确定出数列的通项公式。

例4.(2008四川省高考题)设数列{an｝的前项和为sn,若

b·an-2n=(b-1)sn成

立,求证:当b=2时,{an-n·2n-1｝是等比数列.

证明:当n=1,b·a1-2=(b-1)a1,

所以a1=2,

又因为b·an-2n=(b-1)·sn,①

所以b·an+1-2n+1=(b-1)·sn+1,②

②-①得b·an+1-b·an-2n=(b-1)·an+1,

所以an+1=b·an+2n,

当b=2时,有an+1=2an+2n,

所以an+1-(n+1)×2n=2an+2n-(n+1)×2n=2·(an-n·2n-1), 又a1-21-1=1,

所以{an-n·2n-1｝为首项为1,公比为2的等比数

列,an-n·2n-1=2n-1,

所以an=(n+1)·2n-1.

归纳小结:本题构造非常特殊,要注意恰当的化简和提取公因式,本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力,同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。

例5.数列{an｝满足a1=3,an+1=2an+3·2n+1,则an等于() a.(3n-1)·2n b.(6n-3)·2n-1

c.3(2n-1)·2n+1

d.(3n-2)·2n-1

解:因为an+1=2an+3×2n+1,所以■=■+3,■-■=3,又■=■,所以■构成了一个首项为■,公差为3的等差数列,■=■+(n-1)×3=3n-■,an=2×2n-1·(3n-■)=(6n-3)×2n-1,所以选b.

归纳小结:构造等比数列,注意形■,当n→n+1时,变为■.

例6.(2006山东高考题)已知a1=2,点(an,an+1)在函数

f(x)=x2+x的图象上,其中n=1,2,3,…求数列{an｝的通项公式. 解:因为f(x)=x2+2x,又因为(an,an+1)在函数图象

上,an+1=an2+2an,an+1+1=an2+

2an+1=(an+1)2,所以lg(an+1+1)=2lg(an+1),■=2,因为

lg(a1+1)=lg3,{lg(an+1)｝是首项为lg3,公比为2的等比数

列,lgan+1=2n-1·lg3=lg32n-1,所以an+1=32n-1,an=32n-1-1.

归纳小结:前一个题构造出■为等差数列,并且利用通项与和的

关系来确定数列的通项公式,后一个题构造{lg(an+1)｝为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点,因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识,以它

的概念与性质为纽带,架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在

联系,从而有效地解决数列问题。

例7.数列{an｝中,若a1=2,an+1=■,则a4等于()

a.■

b.■

c.■

d.■

解:因为an+1=■,所以■=■=■+3,又■=■,所以■是首项为■,公差为3的等差数列.

■=■+(n-1)·3=3n-■=■,

所以an=■,所以a4=■=■,所以选a

归纳小结:an+1=f(an)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列,发散之后,两种构造思想相互联系,相互渗透,最后融合到一起.

总之,构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式,是求通项

公式的重要方法也是高考重点考查的思想,当然题目是千变万化的,