高中数学教案必修三：2.3.2 方差与标准差(1)
高中数学必修三教案：2.3.2 方差与标准差(1)
2.3.2方差与标准差（1）教学目标：1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，2．学会计算数据的方差、标准差；3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．教学重点：用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．教学难点：理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．提出问题：哪种钢筋的质量较好？二、学生活动由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差：一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－x ，则称－ 212)(1x x n s ni i -=∑=为这个样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．2．标准差：21)(1-=-=∑x x n s ni i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[（9.8－10）2 ＋（9.9－10）2＋（10.1－10）2＋（10－10）2＋（10.2－10）2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[（9.4－10）2＋（10.3－10）2＋（10.8－10）2＋（9.7－10）2＋（9.8－10）2]÷5＝0.24因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例2为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．分析用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)这些组中值的方差为1/100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60(天2)．故所求的标准差约462128 （天）6.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.巩固深化，反馈矫正：（1）课本第71页练习第2，4，5题；（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为；五、归纳整理，整体认识1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数．（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
《标准差与方差》数学教案设计
《标准差与方差》数学教案设计一、教学目标1.理解方差的定义和性质，掌握方差的意义和应用。
2.学会计算数据的方差和标准差。
3.培养学生运用统计方法解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1.重点：方差和标准差的定义及计算方法。
2.难点：方差的意义和在实际问题中的应用。
三、教学准备1.教学课件或黑板。
2.数据表格、计算器等教学工具。
四、教学过程一、导入新课（1）引导学生回顾平均数的定义和计算方法。
（2）提出问题：平均数能否完全反映一组数据的特征？为什么？（3）引导学生思考，为引入方差和标准差的概念做铺垫。
二、新课讲解1.讲解方差的定义和性质（1）通过实际例子，让学生感受数据波动的大小。
（2）引导学生理解方差是衡量数据波动程度的统计量。
（3）讲解方差的计算公式和性质。
2.讲解标准差的定义和性质（1）介绍标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
（2）讲解标准差的计算公式和性质。
3.讲解方差和标准差的意义（1）通过实际例子，让学生感受方差和标准差在数据分析中的作用。
（2）引导学生理解方差和标准差在描述数据分布特征方面的重要性。
三、案例分析1.分析案例一：某班学生的数学成绩（1）给出学绩的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：哪个统计量更能反映这组数据的特征？2.分析案例二：某地区气温变化（1）给出某地区气温变化的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：如何利用方差和标准差分析气温变化的规律？四、巩固练习1.学生独立完成课后练习题。
2.教师对学生的答案进行点评和讲解。
五、课堂小结2.强调方差和标准差在数据分析中的应用。
六、作业布置1.学生完成课后作业。
2.教师批改作业，了解学生的学习情况。
七、教学反思1.本节课教学效果如何？哪些地方需要改进？2.学生对方差和标准差的理解是否到位？如何提高学生的理解能力？3.在今后的教学中，如何更好地运用案例教学，提高学生的学习兴趣和积极性？八、教学延伸1.引导学生了解其他统计量（如偏度、峰度等）的定义和作用。
高中数学 2.3.2 方差与标准差学案 苏教版必修3(2021年整理)
2.3。
2 方差与标准差的统计问题。
1．极差把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．极差较大，数据点较分散;极差较小，数据点较集中，较稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但当两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论．预习交流1下列叙述不正确的序号是__________．①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平②极差描述了一组数据变化的幅度③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小④一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越稳定提示：一个班级的数学成绩的方差越大,说明成绩越不稳定,故④不正确．2．样本方差、样本标准差的概念一般地，设一组样本数据x1，x2,…,x n,其平均数为错误!，则称s2＝错误!错误!(x i－错误!)2为这个样本的方差，其算术平方根s＝错误!为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．标准差的单位与原始数据单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方．预习交流2样本方差和样本标准差描述了样本数据的什么特征？提示：样本方差与样本标准差是刻画数据的离散程度的统计量,它反映了一组数据围绕其平均数波动的大小程度．方差、标准差越大，离散程度越大，方差、标准差越小，离散程度越小,就越稳定．因此方差、标准差也可以刻画一组数据的稳定程度．预习交流3（1)下列说法中正确的是__________．①在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势④一组数据的方差越大说明这组数据的波动越大（2)在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的①平均状态②分布规律③离散程度④最大值和最小值其中正确的是__________．（3）若样本x1＋1,x2＋1，x3＋1，…，x n＋1的平均数为10，方差为2,则样本x1＋2,x2＋2，x3＋2，…，x n＋2的平均数、方差分别为__________，__________.提示：（1)①③④（2)③(3）11 2一、方差、标准差的计算某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2，3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次，投中的次数如下表：思路分析：解答本题的关键是掌握方差、标准差的公式和求解步骤．解：错误!＝错误!＝7，错误!＝错误!＝7，s错误!＝错误!［(6－7)2＋3×（7－7)2＋（8－7）2]＝错误!＝0。
方差与标准差教案
方差与标准差教案一、教学目标知识与技能：1. 理解方差的概念，掌握计算一组数据方差的方法。
2. 理解标准差的概念，掌握计算一组数据标准差的方法。
过程与方法：1. 通过实例分析，引导学生探究方差和标准差的计算方法。
2. 利用数学软件或calculator 计算一组数据的方差和标准差。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数据的敏感性，提高学生分析数据、处理数据的能力。
2. 培养学生团队协作精神，提高学生沟通交流能力。
二、教学重点与难点重点：1. 方差的概念及其计算方法。
2. 标准差的概念及其计算方法。
难点：1. 方差、标准差的计算公式的推导。
2. 利用数学软件或calculator 计算一组数据的方差和标准差。
三、教学过程1. 导入：通过一组数据的波动情况，引发学生对数据波动性的思考，进而引入方差和标准差的概念。
2. 新课讲解：讲解方差和标准差的定义、计算方法，并通过实例进行分析。
3. 课堂互动：学生分组讨论，每组选取一组数据，计算其方差和标准差，并交流计算过程中的心得体会。
4. 练习巩固：布置适量练习题，让学生独立完成，检验对方差和标准差的理解和掌握程度。
四、课后作业2. 选择一组数据，计算其方差和标准差，并与同学进行交流。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对方差和标准差的理解和应用能力。
关注学生在课堂上的参与程度，激发学生的学习兴趣，提高教学质量。
六、教学策略与方法1. 采用案例分析法，通过具体实例让学生深入了解方差和标准差的概念及计算方法。
2. 利用数学软件或计算器，让学生亲自动手计算方差和标准差，提高实践操作能力。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
4. 运用对比分析法，引导学生对方差和标准差进行深入理解，并掌握它们之间的关系。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论中的表现。
2019-2020学年高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2.3 2.3.2方差与标准差 Word版含解析
2．3.2 方差与标准差[新知初探]1．极差、方差、标准差(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差． (2)方差与标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称s 2＝1n i ＝1n(x i －x )2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝错误!为样本的标准差．2．方差与标准差的作用标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度．[小试身手]1．数据0,1,3,4,7的极差为________，方差为________． 答案：7 62．一组数据1,2,3,4，a 的平均数是3，则数据的方差为________，标准差为________． 答案：223．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________． 解析：由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14.同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.答案：24.56[典例] 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据(单位：方差、标准差的计算及应用cm)为：甲：99 100 98 100 100 103； 乙：99 100 102 99 100 100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [解] (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73.s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同， 又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．[活学活用]某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如下图：根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定．解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x 甲、x 乙，方差分别为s 2甲、s 2乙， 则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076＝113，x 乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113，s 2甲＝16[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙＝16[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]＝2913，由于s 2甲＜s 2乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定.[典例] 设数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，求下列各组数据的方差． (1) x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ； (2)ax 1, ax 2，…，ax n ； (3)ax 1＋b, ax 2＋b ，…，ax n ＋b .[解] 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ， 则数据x 1＋b ，x 2＋b ，… ，x n ＋b 的平均数为x ＋b ， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ， 设数据x 1＋b ，x 2＋b ，…， x n ＋b 的方差为s 21， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为s 2，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为s 23，(1) s 21＝1n [(x 1＋b －x －b )2＋(x 2＋b －x －b )2＋…＋(x n ＋b －x －b )2]＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝s 2， (2)s 2＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2]＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2，(3)s 23＝1n[(ax 1＋b －a x －b )2＋(ax 2＋b －a x －b )2＋…＋(ax n ＋b －a x －b )2]方差的性质＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2.[活学活用]1．已知一组数据x 1，x 2，…，x 8的平均数是2，方差为6，则数据x 1－1，x 2－1，…，x 8－1的平均数是________，方差是________．答案：1 62．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是－2，方差是4，则数据2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数是________，方差是________．答案：－1 16[典例] (广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为统计图表中的方差问题44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2.(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? [解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2， 所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103， 所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.[活学活用]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．层级一学业水平达标1．给出下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据中的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有________个．答案：22．某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析：5个数据的平均数x＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.23．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析：易知均值都是90，甲的方差为s 2甲＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.乙的方差为s 2乙＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.∴s 2甲＞s 2乙答案：24.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为________．解析：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,84,86,87，其均值为85，方差为s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝85.答案：855．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？解：(1)∵x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．∴x 甲＜x 乙，即乙种玉米苗长得高． (2)s 2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2， s 2乙＝110(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－312＝128.8，∴s 2甲＜s 2乙，即甲种玉米苗长得齐．层级二 应试能力达标1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：则参加奥运会的最佳人选应为________．解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定． 答案：丙2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是________．①这种抽样方法是一种分层抽样； ②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差； ④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数．解析：对①，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以①错．对②，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以②错．对③，男生方差为8，女生方差为6，所以③正确．对④，抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩．所以④错．答案：③3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：由15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得x 2＋y 2＝208.答案：2084．若10个正数的平方和是370，方差是33，则平均数为________． 解析：由s 2＝110(x 21＋x 2＋…＋x 210)－x 2，得33＝110×370－x 2，解得x ＝2. 答案：25．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于________．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x ＝5，∴s 2＝110[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝110×8×9＝365.∴s ＝655.答案：6556．甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则成绩的方差较小的为________.解析：x 甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107，x 乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107.s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8.s 2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.∴成绩的方差较小的为乙． 答案：乙7．一组数据的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是________．解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2＋80＝81.2.方差不变． 答案：81.2,4.48．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为________．解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200 元、2 250 元、2 150 元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，乙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1＞s3>s2.故填s1＞s3＞s2.答案：s1＞s3>s29．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数.从这个茎叶图中可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此，乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)可求x甲＝33，x乙＝33，s甲≈3.96，s乙≈3.56，甲的中位数是33，乙的中位数是33.5，综合比较，乙参加比赛较合适．10．总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，求使该总体的方差最小时a，b的取值．解：∵数据共有10个，且总体的中位数为10.5，∴a＋b＝21，经计算，此时样本数据的平均数是10，∴使该总体的方差最小，则只要(a－10)2＋(b－10)2最小即可，而(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(a－11)2＝2a2－42a＋221，由二次函数的图象可知当a＝10.5时，该总体的方差最小，此时b＝10.5.。
高中数学第二章统计2.3.2方差与标准差1教案苏教版
2.3.2 方差与标准差（1）教学目标：1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，2．学会计算数据的方差、标准差；3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．教学重点：用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．教学难点：理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．提出问题：哪种钢筋的质量较好？二、学生活动由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差：一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－x ，则称－ 212)(1x x n s ni i -=∑=为这个样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．2．标准差：21)(1-=-=∑x x n s ni i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[（9.8－10）2＋（9.9－10）2＋（10.1－10）2＋（10－10）2＋（10.2－10）2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[（9.4－10）2＋（10.3－10）2＋（10.8－10）2＋（9.7－10）2＋（9.8－10）2]÷5＝0.24 因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．分析 用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天) 这些组中值的方差为1/100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60(天2)． 故所求的标准差约466.2128 （天）答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.巩固深化，反馈矫正：（1）课本第71页练习第2，4，5题 ；（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 ；五、归纳整理，整体认识1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： （1）用样本平均数估计总体平均数．（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确． 2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化 的幅度．。
2019-2020年高中数学 2.3.2 方差与标准差教案 苏教版必修3
2019-2020年高中数学 2.3.2 方差与标准差教案苏教版必修3总课题总体特征数的估计总课时第17 课时分课题方差与标准差分课时第 1 课时教学目标通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；学会计算数据的方差、标准差；使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．重点难点用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125乙115 100 125 130 115 125 125 145 125 1452．方差：标准差：3．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．例题剖析例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：），试根据这组数据估计哪一种品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯天数151~180 181~210 211~240 241~270 271~300 301~330 331~360 361~390灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2巩固练习1．数据90，91，92，93的标准差是．2．一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、方差和标准差（标准差保留两个有效数字）．3．从两个班级各抽5名学生测量(身高单位：厘米)，甲班的数据为：160，162，159，160，159；乙班的数据为180，160，150，150，160．试估计哪个班学生身高的波动小．课堂小结1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：①．用样本平均数估计总体平均数．②．用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．班级：高二（ ）班 姓名：____________一 基础题1．已知一个样本为8，14，12，18，那么样本的方差是______ _；标准差是_________．2．若的方差是3，则)3(2)3(2)3(2821- - -k k k ，，，的方差是 ．3．甲乙两个学生参加夏令营的射击比赛，每人射击5次，甲的环数分别是5，9，8，10，8；乙的环数是6，10，5，10，9；问：（1）甲乙两人谁的命中率高些？ （2）谁的射击水平发挥得较稳定？4甲 1 0 2 0 2 3 0 4 1 2乙 1 3 2 1 0 2 1 1 0 1（15．设一组数据的方差是，将这组数据的每个数据都乘以10，所得的一组新数据的方差是 ．6．甲乙两种棉苗各抽10株，测得它们的株高分别如下：（单位：厘米）甲：25，41，40，37，22，14，19，21，42，39；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40；哪一种棉苗长得高？哪一种棉花长得齐？7．一位教练员搞了一次总分为20分的测验，测分标准是使得分数必须是5的倍数．他得到如下的分布：的20分的占了40%，的15分的占了30%，的10分的占了20%，另外10%的人得5分．这次测验得分的标准差是多少？。
苏教版数学高一苏教版必修3教案2.3.2方差与标准差
2.3.2方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差”这节课在上节课平均数的基础上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们的抗拉强度”中平均数不是反映总体质量、水平的唯一特征数，在平均值相差不大的情况下，数据的稳定程度可以作为评价对象质量高低的又一重要因素，从而说明引入方差、标准差的必要性，同时使学生养成从多个角度看问题的习惯，锻炼了学生的创造性思维.为了让学生充分体会“稳定性”的意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据的“聚散”程度，并用极差反映数据的稳定性.当两组数据的极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差”作为比较数据稳定性的特征数.初中已学过方差概念，现在的教学不能停留在原有的水平上，要将用方差刻画数据的稳定程度的理由讲清楚，充分揭示用方差作为比较数据稳定性水平的特征数的思维过程.通过方差的单位与原数据的单位的比较,通过实际问题的分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平的不足之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸大偏差的程度等,从而引入“标准差”的概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以探索.三维目标1.通过对具体案例的分析掌握样本数据的平均数、方差与标准差的基本概念和计算方法，培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生探究数学问题的兴趣和动机.2.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3.引导学生对一些生活中实际问题的学习, 进一步培养学生的数学素养和增强学生的数学应用意识及认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点.重点难点教学重点：1.通过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用,学会计算数据的样本方差与标准差.2.根据方差与标准差对事件进行科学的决策，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学难点：1.方差与标准差的计算方法及运算的准确性.2.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,从中进一步理解统计的基本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍比较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的，那么它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被忽视的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如下表）检查他们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125.哪种钢筋的质量较好？两种钢筋的平均数都是125，那么,它们有没有什么差异呢?推进新课作出图形，作直观比较：直观上看，还是有差异的.乙的强度比较分散，甲的强度相对集中.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差甲的强度极差＝135-110=25,乙的强度极差＝145-100=45.它在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息，显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.新知探究1.方差(variance)的概念：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差，一般用s 2表示.假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ，x 表示这组数据的平均数.结合上节课有关离差的讨论可知,离差越小,稳定性就越高. 因此，通常用如下公式计算方差：∑=-=ni i x x n s 122)(1. 因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了离差的程度,因此将其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1 作为样本的标准差（standard deviation ）,分别简称样本方差、样本标准差.2.计算样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差的算法是：S1 算出样本数据的平均数x ；S2 算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x(i=1,2,…，n)；S3 算出S2中x i -x(i=1,2,…，n)的平方；S4 算出S3中n 个平方数的平均数；S5 算出S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差的一点说明：（1）方差、标准差是用来描述样本数据的离散程度的，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.（2）在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面的比较两种钢筋的抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定.（3）学生思考“标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？”由标准差的定义容易得出标准差是非负的；标准差为0意味着所有的样本数据都相等的特性，且与样本平均数也相等，可以构造一个样本容量为2的样本：x 1,x 2(x 1<x 2)，这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差应用示例例1 根据下列四组样本数据，说明它们的异同点.(1) 555555555；(2) 444555666；(3) 334456677；(4) 222258888.分析：从数据的数字特征出发.解：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.点评：样本的方差、标准差能说明数据的分散程度.例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.分析：巩固求方差和标准差的方法.解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为［(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2］÷5=0.02,乙品种的样本平均数也为10，样本方差为［(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2］÷5=0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.点评：1.本题若仅由x甲=x乙，易产生这两种水稻的产量一样稳定的错觉.这表明在实际问题中，仅靠期望值（即平均数）不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（及方差或标准差）：标准差大说明取值分散性大，标准差小说明取值分散性小或者说取值比较稳定、集中.2.要对“根据这组数据估计…”的统计意义作必要的说明：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.最后还可让学生思考除了品种的优劣，影响水稻产量还有哪些因素？根据一组数据得到的结果是否可靠？这些问题的提出会激发学生对统计学理论的兴趣.例3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用了一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.分析：用每一个区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5,285.5，315.5，345.5，375.5，由此算165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=268.4≈268（天）.这些组中值的方差为1001×［1×(165.5-268.4)2+11×(195.5-268.4)2+18×(225.5-268.4)2+20×(255.5-268.4)2+ 25×(285.5-268.4)2+16×(315.5-268.4)2+7×(345.5-268.4)2+2×(375.5-268.4)2］=2 128.60(天2)， 故所求的标准差约为6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例的目的是：掌握连续性随机变量的平均值和标准差的一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量的平均值的估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题的方法.例4 容量是40的样本中各数据与30的差的平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析：根据样本平均数、样本方差、样本标准差的公式解题.解：∵(x 1-30)2+(x 2-30)2+…+(x 40-30)2=250,所以(x 12+x 22+…+x 402)-60(x 1+x 2+…+x 40)+40×302=250.即(x 12+x 22+…+x 402)-60×40x +40×900=250， ①又∵140［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 40-x )2］=1.52=2.25，即(x 12+x 22+…+x 402)-2x(x 1+x 2+…+x 40)+40x 2=90，即(x 12+x 22+…+x 402)-80x 2+40x 2=90，②①-②得40x 2-2 400x+40×900=160， 即x 2-60x +896=0,( x -32)( x -28)=0， 所以，x =32或x =28.点评：理解样本方差的含义，抓住关键点：x 1+x 2+…+x 40=40x ，通过数形结合，结合消元x 1+x 2+…+x 40合理解决问题.例5 已知一组数据的方差是s 2，将这组数据的每个数据都加上10，求所得新数据的方差.分析：利用方差公式解题.解：设原数据：x 1,x 2,…,x n ，平均数是x ，方差是s 2，则新数据为：x 1+10,x 2+10,…,x n +10，平均数为则方差为n 1［(x 1+10-x -10)2+(x 2+10-x -10)2+…+(x n +10-x -10)2］ =n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=s 2.变式训练某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登记有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是（ ）A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1D.不能确定解析：由题意，平均数不变，所以只要看与平均数的离差的平方的变化情况.因为方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.s 中有：(40-70)2+(80-70)2=1 000，s 1中有：(70-70)2+(50-70)2=400所以s>s 1.答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差的性质：（1）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2；（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 的方差为a 2s 2，特别地，当a=1时，则有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；（4）方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感.知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班的样本平均数为160，但甲班的极差为3，乙班的极差为30，故甲班的波动较小.2.已知 s 2=3=81［(k 1-k )2+(k 2-k )2+…+(k 8-k )2］， 而 883)...(28)3(2...)3(2)3(2821821⨯-+++=-+-+-k k k k k k =2k -3, s 12=18［(2k 1-6-2k+6)2+(2k 2-6-2k+6)2+…+(2k 8-6-2k+6)2］=4s 2=12.3.甲较稳定.4.甲的平均值为10，方差为0.055；乙的平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法.课堂小结1.数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法，方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差与标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散；2.衡量离散程度的常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差的方法，切实掌握相关的计算公式、方法、步骤并对有关数据进行合理解释；3.样本的有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决策的因素是多方面的，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计的思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机抽样样本的数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量的增加及时稳定于总体相应的数字特征，总体的数字特征是一定的，不存在随机性.作业课本习题2.3 3、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映的是一组数据的平均水平，而方差和标准差则反映了一组数据的波动大小.在实际学习、工作中用得非常多，比如选择运动员参加大型比赛时，要看他以前的每次测试的平均成绩，但成绩的稳定性也非常重要；学习上也是如此，稳定了可以给最后的考试提供稳定心理.用这种与生活的息息相关性激发学生学数学的无限兴趣就是老师最大的收获.习题详解习题2.31. x =301(2×5.1+3×5.2+6×5.3+8×5.4+7×5.5+3×5.6+1×5.7)≈5.39. 该厂这个月的平均日产值约为5.39万元.2.在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4，两者之差为3.4，确定全距为3.5，以组距0.5将区间［4.0,7.5］分成7个组.x =1001(4.25×1+4.75×2+5.25×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03，估计试验田里麦穗的平均长度约为6.0 cm.3.（1）甲机床次品数的平均值为1.5，乙机床次品数的平均值为1.2，故乙机床次品数的平均值较小；（2）甲的方差为1.65，乙的方差为0.82，故乙机床的生产状况较为稳定.4.估计甲机床平均次品率约为(0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1)÷1 000=0.06%，乙机床平均次品率约为(0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0)÷1 000=0.07%，故甲机床的产品质量较好.5.（1）此样本中金属棒的平均长度约为5.99； （2）频率分布表如下：频率直方图如下：（3）6×(1-0.2%)≈5.99，6×(1+0.2%)≈6.01，故合格的金属棒有15根，合格率约为15÷40≈37.5%.6.（1）频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)由组中值估计的总体平均数为(57×5+65×14+73×25+81×11+89×5)×601=72.6，约73次. 实际总体平均数约为72，误差约为1.7.施了新化肥的土地的平均每块土地产量为20.52 kg ，未施新化肥的土地平均每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥的土地产量的方差约为83.33，未施新化肥的土地产量的方差约为154.88，说明用了新化肥不仅平均产量高，而且产量稳定，故可认为新化肥取得了成功.。
苏教版高中数学必修三第二章-统计2.3.2ppt课件
先求两组数据的平均数，然后代入方差
与标准差的公式求解．
【自主解答】
1 x 甲＝ ×(6＋7×3＋8)＝7， 5
6×2＋7×2＋9 x 乙＝ ＝7， 5 1 2 2 2 2 ∴S甲＝ [(6－7) ＋(7－7) ×3＋(8－7) ]＝ ＝0.4， 5 5
2
1 6 2 2 2 S乙＝5[2×(6－7) ＋2×(7－7) ＋(9－7) ]＝5＝1.2，
2．3.2 方差与标准差
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能：使学生掌握方差、标准差的意义及计算 方法，会用统计知识解决实际生活中的问题．
2 ．过程与方法：通过探索如何表示一组数据的离散程 度．使学生会判断具体问题中有关数据的波动情况．培养学 生的计算能力，培养学生观察问题、分析问题的能力，培养 学生的发散思维能力． 3．情感态度与价值观：通过解决实际生活中的问题，让 学生感受统计在生活中的作用，养成用数据说话的习惯和实 事求是的科学态度．
【思路探究】 判定质量的稳定性． 先求平均数，再由方差公式求方差最后
1 【自主解答】 (1) x 甲＝ (99＋100＋98＋100＋100＋103) 6 ＝100， 1 x 乙＝6(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. 1 s 甲 ＝ 6 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (98 － 100)2 ＋ (100 －
1n ∑ xi－ x 2 ni＝1
＝
样本标准差 .
方差与标准差的计算
某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：
学生 甲班 乙班
1号 6 6
2号 7 7
3号 7 6
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-3 2-3-2方差与标准差-含解析
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-32-3-2方差与标准差-含解析．3.2 方差与标准差[新知初探]1．极差、方差、标准差(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差． (2)方差与标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称s 2＝1n ∑i ＝1n(x i －x )2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n ∑i ＝1nx i －x2为样本的标准差．2．方差与标准差的作用标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度．[小试身手]1．数据0,1,3,4,7的极差为________，方差为________． 答案：7 62．一组数据1,2,3,4，a 的平均数是3，则数据的方差为________，标准差为________． 答案：223．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________． 解析：由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14.同理y ＝9.由s2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.答案：24.56[典例]甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据(单位：cm)为：甲：9910098100100103；乙：9910010299100100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解](1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝7 3.s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．方差、标准差的计算及应用[活学活用]某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如下图：根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定．解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x甲、x 乙，方差分别为s 2甲、s 2乙，则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076＝113，x乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113，s 2甲＝16[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙＝16[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]＝2913，由于s 2甲＜s 2乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定.[典例] 设数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，求下列各组数据的方差． (1) x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ； (2)ax 1, ax 2，…，ax n ； (3)ax 1＋b, ax 2＋b ，…，ax n ＋b .[解] 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ， 则数据x 1＋b ，x 2＋b ，… ，x n ＋b 的平均数为x ＋b ， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ， 设数据x 1＋b ，x 2＋b ，…， x n ＋b 的方差为s 21， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为s 22，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为s 23，(1) s 21＝1n [(x 1＋b －x －b )2＋(x 2＋b －x －b )2＋…＋(x n ＋b －x －b )2] ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝s 2， (2)s 22＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2，(3)s 23＝1n [(ax 1＋b －a x －b )2＋(ax 2＋b －a x －b )2＋…＋(ax n ＋b －a x －b )2] ＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2.方差的性质[活学活用]1．已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，x8－1的平均数是________，方差是________．答案：1 62．已知一组数据x1，x2，…，x n的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2x n＋3的平均数是________，方差是________．答案：－116统计图表中的方差问题[典例](广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2.(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?[解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.[活学活用]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．层级一学业水平达标1．给出下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据中的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有________个．答案：22．某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析：5个数据的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.23．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析：易知均值都是90，甲的方差为s 2甲＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.乙的方差为s 2乙＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.∴s 2甲＞s 2乙答案：24.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为________．解析：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,84,86,87，其均值为85，方差为s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝85.答案：855．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？解：(1)∵x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．∴x甲＜x乙，即乙种玉米苗长得高．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2，s2乙＝110(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－312＝128.8，∴s2甲＜s2乙，即甲种玉米苗长得齐．层级二应试能力达标1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：则参加奥运会的最佳人选应为________．解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．答案：丙2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是________．①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数．解析：对①，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以①错．对②，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以②错．对③，男生方差为8，女生方差为6，所以③正确．对④，抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩．所以④错．答案：③3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：由15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得x 2＋y 2＝208.答案：2084．若10个正数的平方和是370，方差是33，则平均数为________． 解析：由s 2＝110(x 21＋x 22＋…＋x 210)－x 2，得33＝110×370－x 2，解得x ＝2. 答案：25．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于________．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x ＝5，∴s 2＝110[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝110×8×9＝365.∴s ＝655.答案：6556．甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则成绩的方差较小的为________.解析：x 甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107， x乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107. s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8.s2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.∴成绩的方差较小的为乙．答案：乙7．一组数据的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是________．解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2＋80＝81.2.方差不变．答案：81.2,4.48．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________．解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200 元、2 250 元、2 150 元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，乙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1＞s3>s2.故填s1＞s3＞s2.答案：s1＞s3>s29．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数.从这个茎叶图中可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此，乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)可求x甲＝33，x乙＝33，s甲≈3.96，s乙≈3.56，甲的中位数是33，乙的中位数是33.5，综合比较，乙参加比赛较合适．10．总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，求使该总体的方差最小时a，b的取值．解：∵数据共有10个，且总体的中位数为10.5，∴a＋b＝21，经计算，此时样本数据的平均数是10，∴使该总体的方差最小，则只要(a－10)2＋(b－10)2最小即可，而(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(a－11)2＝2a2－42a＋221，由二次函数的图象可知当a＝10.5时，该总体的方差最小，此时b＝10.5.。
高中数学苏教版必修三学案：2.3.2 方差与标准差
2.3.2 方差与标准差[学习目标] 1.会求样本标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．知识点一 极差定义：一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 知识点二 标准差、方差 1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )，则用如下公式来计算标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数x ；②求每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n )； ③求(x i －x )2(i ＝1,2，…，n )；④求s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；⑤求s ＝s 2，即为标准差． 2．方差标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．题型一 极差例1 2013年5月31日，A ，B 两地的气温变化如图所示．(1)这一天A，B两地的平均气温分别是多少？(2)A地这一天气温的极差是多少？B地呢？(3)A，B两地气候各有什么特点？解(1)从2013年5月31日，A地的气温变化图可读取数据：18℃，17.5℃，17℃，16℃，16.5℃，18℃，19℃，20.5℃，22℃，23℃，23.5℃，24℃，25℃，25.5℃，24.5℃，23℃，22℃，20.5℃，20℃，19.5℃，19.5℃，19℃，18.5℃，18℃，所以A地平均气温为x A＝20＋124(－2－2.5－3－4－3.5－2－1＋0.5＋2＋3＋3.5＋4＋5＋5.5＋4.5＋3＋2＋0.5＋0－0.5－0.5－1－1.5－2)＝20＋124×10＝20.4(℃)同理可得B地的平均气温为x B＝21.4(℃)．(2)A地这一天的最高气温是25.5℃，最低气温是16℃，极差是25.5－16＝9.5(℃)．B地这一天的最高气温是24℃，最低气温是18℃，极差是24℃－18℃＝6℃.(3)A，B两地气温的特点：A地早晨和深夜较凉，而中午比较热，昼夜温差较大；B地一天气温相差不大，而且比较平缓．反思与感悟极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．跟踪训练1以下四个叙述：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有单位的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍．其中正确的是________．★答案★ ①④解析 只有两个数据时，极差等于|x 2－x 1|，标准差等于12|x 2－x 1|.故④正确．由定义可知①正确，②③错误．题型二 方差与标准差的计算例2 已知一个样本为1,3,2,5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？ 解 方法一 ∵x ＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x ＝4. 由方差公式有：s 2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s ＝ 2.方法二 ∵x ＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x ＝4，由方差公式的变形形式有：s 2＝15(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，∴s ＝ 2.反思与感悟 1.标准差公式及变形要记忆牢固，运用熟练． 2．方差、标准差单位不一致，要注意区别．跟踪训练2 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7★答案★367解析 ∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87,90,90,91,91,94,90＋x .∴这组数据的平均数是87＋90＋90＋91＋91＋94＋90＋x7＝91，∴x ＝4.∴这组数据的方差是17(16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝367.题型三 方差与标准差的应用例3 甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110115908575115110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定． 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定．1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________． ★答案★2解析 ∵样本容量n ＝5， ∴x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s ＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2] ＝ 2.2．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________． ★答案★ 0.1解析 x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． ★答案★ (1)7 (2)2解析 利用平均值和标准差公式求解． (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.4．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为3，则样本4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的标准差是________． ★答案★ 4 3解析 若数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为s 2，则样本ax 1＋b ，ax 2＋b ，ax 3＋b ，ax 4＋b ，ax 5＋b 的方差为a 2s 2.由题意知4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的方差为42×3＝48. ∴其标准差为48＝4 3.5．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________． ★答案★ 24.56解析 由5＝1＋2＋3＋x 4得x ＝14.同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.1.标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中，总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性． 3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一★答案★．。
高中数学 2.3.2 方差与标准差课件 苏教版必修3
－nx′2]．即方差等于新数据的平方的平均数减去新数据平
均数的平方．
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注意 (1)方差与极差的区别：一组数据的最
大值与最小值的差称为极差．极差的大小反映了
该组数据集中与分散的程度，但两组数据集中差
异程度不大时，不宜得出结论．
栏
(2)概念的理解：①标准差、方差描述了一组数据
目 链
接
围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数
求：(1)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的方差 s21；
栏 目 链
(2)ax1，ax2，…，axn 的方差 s22；
接
(3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数 x3，方差 s23.
典例 剖析
解析： (1)设 x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的平均数为 x1，则
x1＝x＋b.
∴s12＝n1[(x1＋b－x1)2＋(x2＋b－x1)2＋…＋(xn＋b－x1)2]
栏
目
链
＝n1[(x1＋b－x－b)2＋(x2＋b－x－b)2＋…＋(xn＋b－x－b)2]＝
栏
－x)2]．
目 链
接
(2)方
差
的
计算：
①
基
本公
式
：
s2
＝
1 n
[(x1
－
x)2＋
(x2
－
x)2
＋
…
＋
(xn－
x)2]．②简化计算公式(Ⅰ)：s2＝n1[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx2]，或写成 s2
பைடு நூலகம்
＝n1(x21＋x22＋…＋x2n)－x2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均
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高中数学必修三教案：2.3.2 方差与标准差(2)
2.3.2 方差与标准差（2）教学目标：1．掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法； 2．了解数据的方差、标准差的简单性质；3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．教学重点：数据的方差、标准差的简单性质的了解． 教学难点：数据的方差、标准差的简单性质的应用．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度．为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 提出问题①若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax ax ax 的方差为 ②若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax b ax bax b +++的方差为二、学生活动设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为12nx x x n+++＝x ，则样本方差：s 2＝n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕 另一组样本数据n ax ax ax ,,21 ，其平均数为12nax ax ax n+++＝a x ,则s样本方差＝n1〔（ax 1—a x ）２+（ax 2—a x ）2+…+（ax n —a x ）2〕＝a 2n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕 ＝22s a ．同样：另一组样本数据b ax b ax b ax n +++,,21 ，其平均数为12n ax b ax b ax bn++++++＝a x +b ,样本方差＝n 1〔（ax 1+b —a x -b ）２+（ax 2+b —a x -b ）2+…+（ax n +b —a x -b ）2〕＝a 2n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕＝22s a ．特别地，当1=a 时，则有b x b x b x n +++,,,21 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去或加上相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性．三、建构数学①若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则n ax ax ax ,,21 的方差为22s a②若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则b ax b ax b ax n +++,,21 的方差为22s a ；四、数学运用 1．例题讲解．例1 若821,,,k k k 的方差为3，则)3(2,),3(2),3(2821---k k k 的方差为________．例2 将某班学生40人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩如下表：试求全班学生的平均成绩和标准差．解：记第一组20人成绩为)20,,2,1( =i x i ，第二组20人成绩为)20,,2,1( =i y i ，则80,90==y x ，全班的平均成绩85)20802090(401=⨯+⨯=z ．2220222120121)(x x x x s -++=＝36，2220222120122)(y y y y s -++= ＝16，故全班学生成绩的标准差为222022212202221401)(z y y y x x x s -+++++=2222221401)20202020(z y s x s -+++=5185)80901636(22221=-+++=．例3 已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）：试分析两厂上缴利税的情况．解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为x 甲＝41（70+50+80+40）＝60，x 乙＝41（55+65+55+65）＝60； 甲、乙两厂上缴利税的方差为s 甲2＝41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］＝250， s 乙2＝41［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］＝25． 经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定．评注：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平． 反映在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点．但由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质，因此，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使得平均数在估计总体时可靠性降低．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大．2．巩固深化，反馈矫正．（1）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人测试成绩如下表：123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） A ．312s s s >> B ．213s s s >> C ．123s s s >>D ．231s s s >>2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10xy = 3．一组数据的方差为S 2，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍，所得到的一组数据的方差是4．某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在5块试验田上做实验，每块试验田均为0．5公顷，产量情况如下：问：哪一品种的西红柿既高产又稳定?五、归纳整理，整体认识1．用样本的方差、标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度．在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 2.3.2方差与标准差课件 苏教版必修3
因为方差与原始单 数位 据不 的,且 同平方后可能夸 大了离差的,程 我度 们将方差的算根 术称 平为 方这
组数据标的 准差 standarddeviatio.标n准差也可
以刻画数据的稳 . 定性
一般 , 地
设一组样 x1,x2本 ,,xn 数 ,其据 平均 x,则 数称 为
s2
1
n
n i1
2
xi x
为这个样本的方差
,
其术平方根
1 n
2
s n i1 xi x 为样本的标
准差,分别简称样本方差、本样标准差.
根据上述方差计算 可公 算式 得甲、乙两种样 本的方差分5别0和为165,故可以认为甲种钢 筋的质量好于乙种 . 钢筋
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rang,e从图中可以看 ,乙出 的极差较大 ,数据点较分
散;甲的极差,数小据点集 较中,这说明甲比稳 乙定.运 用极差对两 数据 组进行比 较,操作简单方,但 便若两 组数据的集中程不 度大 差时 ,异 就不容易得出. 结论
我们还可以考每虑一抗拉强 度与平均抗拉强度的 离差,离差越小,稳定性就越高.结合上节有离 关差 的讨论,可用各次抗拉强度与 均平 抗拉强度的差的 平方和表.示 由于两组数据的容量 能可 不同,因此应 将上述平方和除以数 的据 个数,我们把由此所得的
2.3.2方 差 与 标 准 差
有 甲 、 乙,现 两从 种中 钢 取各 筋 一抽 个 如样 表本
检查它们的 单抗 :位 k拉 g/m程 2 m,通度 过计算
现 ,两个 样本 的1平 2.5均 数均 为
甲 111021031021521021531521531525 乙 111501021531011521521541521545
2019-2020学年苏教版必修三 2.3.2 方差与标准差 学案
2．3.2方差与标准差1.了解方差、标准差的意义和作用．2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的思想和方法．3.掌握样本数据的方差、标准差的计算．1．极差一组数据的最大值与最小值的差． 2．方差与标准差(1)设一组样本数据：x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x －，则称s 2＝1n∑i ＝1n (x i －x －)2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n ∑i ＝1n （x i －x －）2为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．其中，标准差的单位与原始数据单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方．(2)一般地，平均数、方差、标准差具有如下性质：若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x －，方差为s 2，标准差为s ，则新数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数是a x －＋b ，方差为a 2s 2，标准差为as .3．方差和标准差的意义方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小． 方差是样本数据到平均数的一种平均距离．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数据5，4，4，3，5，2的众数为4.()(2)数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半．()(3)方差与标准差具有相同的单位．()(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．()解析：(1)中的众数应为4和5；(2)正确；(3)二者单位不一致；(4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数解析：选B.标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.3．下列说法中正确的个数为()①数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定；②数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定；③数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定；④数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定．A．1B．2C ．3D ．4解析：选C.由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故②不正确，①③④正确．4．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________． 解析：因为x －＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，所以s ＝ 15×[（3－5）2＋…＋（6－5）2]＝ 2. 答案： 2方差与标准差的计算已知一个样本为1，3，2，5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？【解】 法一：因为x －＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，所以x ＝4.由方差公式有：s 2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，所以s ＝ 2.法二：因为x －＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，所以x ＝4，由方差公式的变形形式有： s 2＝15(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，所以s ＝ 2.(1)方差的计算公式有两个都要记熟： s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x )2＝1n∑i ＝1n x 2i －x －2. （2）当样本数据有单位时，s 2与s 单位不同，要注意区别.1.若一组样本数据8，x ，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为________．解析：因为平均数x －＝8＋x ＋10＋11＋95＝10，所以x ＝12，从而方差为 s 2＝15(4＋4＋0＋1＋1)＝2.答案：2平均数与方差的综合应用甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． 【解】 (1) x －甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x －乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x －甲＝x －乙，比较它们的方差，因为s 2甲＞s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．平均数与方差的综合应用方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小．2.为了解A ，B 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：轮胎A 96，112，97，108，100，103，86，98 轮胎B 108，101，94，105，96，93，97，106(1)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ 解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋988＝100，中位数为：100＋982＝99；B 轮胎行驶的最远里程的平均数为：108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋1068＝100，中位数为：101＋972＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为： 112－86＝26， 标准差为：s ＝42＋122＋32＋82＋0＋32＋142＋228＝2212≈7.43；B轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，标准差为：s＝82＋12＋62＋52＋42＋72＋32＋628＝1182≈5.43.(3)由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定．方差、标准差与统计图表的综合问题画出下列四组样本数据的直方图，并说明它们的异同点．(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.【解】四组样本数据的直方图分别如图(1)(2)(3)(4)所示．四组数据的平均数都是5，标准差分别是0，0.82，1.49，2.83，说明这四组数据的分散程度是不一样的．先画出四组数据的直方图，建立总体分布与数字特征两种估计量之间的关系，从二者的本质入手解决问题，探究异同点．3.样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组解析：选D.法一：第一组中，样本数据都为5，标准差为0；第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为63；第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为253；第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．法二：从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性、平整性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准．若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．在计算过程中，要仔细观察所给样本数据的特征，选择恰当的公式来计算平均数和方差，这样可避免计算的烦琐，降低错误率．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？【解】(1)各组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．所以估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天． (2)将组中值对于此平均数求方差：1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60.故标准差为 2 128.60≈46(天)．所以标准差约为46天，故可在222天到314天左右统一更换较合适．取各组中值是求平均寿命的关键；求方差是求标准差的前提；只有标准差才与样本的单位相同；标准差表示波动幅度，故可决定日光灯更换的时间范围.1．一组数据的方差一定是( ) A ．正数 B ．负数 C ．任意实数D ．非负数解析：选D.方差可为0和正数．2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲 乙 丙 丁 平均数x －(分)8.58.88.88解析：成绩最好的为乙、丙，而表现最为稳定的为丙，故参加奥运会的最佳人选应为丙． 答案：丙3．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列)解析：假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝ 14[（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（x 3－2）2＋（x 4－2）2] ＝12（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（4－x 2－2）2＋（4－x 1－2）2 ＝122[（x 1－2）2＋（x 2－2）2]＝1，所以(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2. 由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1，1，3，3.答案：1，1，3，3[A 基础达标]1．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．方差解析：选C.判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．2．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手五次射击的成绩的方差是( )A ．0.08B ．0.016C ．0.02D ．0.04解析：选B. x －＝15×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，所以s 2＝15×[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．4．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6 1.1B ．48.8 4.4C ．81.2 44.4D ．78.8 75.6解析：选A.法一：设原来的数据为x 1，x 2，x 3，…，x n ， 则新数据为2x 1－80，2x 2－80，2x 3－80，…，2x n －80， 所以（2x 1－80）＋（2x 2－80）＋…＋（2x n －80）n ＝1.2，所以2（x 1＋x 2＋…＋x n ）－80n n ＝1.2，即x 1＋x 2＋…x nn ＝40.6.1n[(2x 1－80－1.2)2＋(2x 2－80－1.2)2＋…＋(2x n －80－1.2)2]＝4.4，即1n[(2x 1－81.2)2＋(2x 2－81.2)2＋…＋(2x n －81.2)2]＝4.4， 则1n [(x 1－40.6)2＋(x 2－40.6)2＋…＋(x n －40.6)2]＝14n [(2x 1－81.2)2＋(2x 2－81.2)2＋…＋(2x n －81.2)2]＝14×4.4＝1.1.法二：设原数据的平均数为x －，方差为s 2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2x －－80，方差为22s 2，由题意得2x －－80＝1.2，22s 2＝4.4， 解得x －＝40.6，s 2＝1.1.5．如图是某市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图(温度为整数)，则甲、乙两地这十天的日平均气温x －甲，x －乙和日平均气温的标准差s 甲，s 乙的大小关系应为( )A ．x －甲＝x －乙，s 甲＜s 乙 B ．x －甲＝x －乙，s 甲＞s 乙 C ．x －甲＞x －乙，s 甲＜s 乙 D ．x －甲＞x －乙，s 甲＞s 乙解析：选B.由折线统计图可得甲、乙两地五月上旬10天的日平均气温，从方差的统计意义是各数据浮动的大小可得乙的标准差比较小．则只需要计算均值即可．x －甲＝24＋30＋28＋24＋22＋26＋27＋26＋29＋2410＝26，x －乙＝24＋26＋25＋26＋24＋27＋28＋26＋28＋2610＝26. 故选B.6．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为________．解析：x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变．答案：x －＋100，s 27．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为________．解析：由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x －，则s ＝115[（15－x －）2＋（23－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2]， s 1＝115[（20－x －）2＋（18－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2]. 若比较s 与s 1的大小，只需比较(15－x －)2＋(23－x －)2与(20－x －)2＋(18－x －)2的大小即可．而(15－x －)2＋(23－x －)2＝754－76x －＋2x －2，(20－x －)2＋(18－x －)2＝724－76x －＋2x －2，所以(15－x －)2＋(23－x －)2＞(20－x －)2＋(18－x －)2.从而s ＞s 1.答案：s ＞s 18．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31； 乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀． 解：x －甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x －乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝16×94＝1523. s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76＝1223. 所以x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙.由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．9．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，求|x －y |的值．解：由题意可知x ＋y ＋10＋11＋95＝10，所以x ＋y ＝20.又因为15[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2，所以(x －10)2＋(y －10)2＝8， 即x 2＋y 2－20(x ＋y )＋200＝8， 所以x 2＋y 2－200＝8， 所以x 2＋y 2＝208.又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝400， 所以2xy ＝192，所以|x －y |2＝x 2＋y 2－2xy ＝208－192＝16， 所以|x －y |＝4.[B 能力提升]1．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析：选D.对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．2．若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况)均不超过3，则称该同学为班级尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是()A．甲同学：平均数为2，中位数为2B．乙同学：平均数为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2D．丁同学：众数为2，方差大于1解析：选D.甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又中位数为2，得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生；乙同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又方差小于1，得出三次考试名次均不超过3，断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明三次考试中至少有两次名次为2，故丙可能是尖子生；丁同学名次数据的众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x＝1，2，3时，方差均小于1，故x＞3，断定丁一定不是尖子生．3．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价．解：(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14.x甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s2甲＝15×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s2乙＝15×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s2甲＞s2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．4．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a ， 解得a ＝0.30.(2)由第一问知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x 吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5， 所以2≤x <2.5.由0.50×(x －2)＝0.5－0.48， 解得x ＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．统计(强化练) [A 基础达标]1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个容量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生 ( )A ．1 030名B ．97名C ．950名D ．970名解析：选D.由题意，知该中学共有女生2 000×200－103200＝970名，故选D.2．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为( )A.23 B ．09 C ．02D ．17解析：选C.从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的号码依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的号码为02.故选C.3．某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为 ( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元解析：选C.设11时至12时的销售额为x 万元，由于频率分布直方图中各小组的组距相同，故各小矩形的高度之比等于频率之比，也等于销售额之比，所以9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的比为0.100.40＝14，所以有2.5x ＝14，解得x ＝10，故选C.4．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网购经历的人数，所得数据如下：7，3，17，16，14，14，13，10，27，25，25，24，23，22，20，38，35，34，33，30.以5为组距将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )解析：选A.根据数据可作频率分布表，如下：5．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为________mm.解析：根据频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75 mm.答案：22.756．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款________元．解析：由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．答案：37 7707．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示：(1)求表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数．解：(1)由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25，知 10M＝0.25， 解得M ＝40. 因为频数之和为40， 所以10＋24＋m ＋2＝40， 得m ＝4，p ＝m M ＝440＝0.10.因为a 是对应分组[15，20)的频率与组距的商， 所以a ＝2440×5＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60.[B能力提升]1．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连结起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是________．解析：众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数最大，据此估计此次考试成绩的众数是115.答案：1152．某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)频率分布直方图中x的值为________；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，估计新生中可以申请住校的学生有________名．解析：(1)由频率分布直方图，可得20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.012 5.(2)新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以1 200名新生中约有144名学生可以申请住校．答案：(1)0.012 5(2)1443．某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：40．0240.0039.9840.0039.9940．0039.9840.0139.9839.9940．0039.9939.9540.0140.0239．9840.0039.9940.0039.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格数．解：(1)频率分布表：(2)因为抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为1820×100%＝90%，所以10 000×90%＝9 000(只)．即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格数为9 000只．。
苏教版必修3高中数学2.3.2《方差与标准差》ppt课件
将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上, 如下图所示.
105
110
115
120
125
130
135
140
极差
甲
极差
100
105
乙
110
115
120
125
130
135
140
145
从图中可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最 小值 110,最大值145高于甲样本的最大值135, 这说明 乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我 们 把 一组数 据的最大值与最小值的差称 为极差
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
值称为这组数据的方差 varirnce.
因为方差与原始数据的单位不同, 且平方后可能夸 大了离差的程度, 我们将方差的算术平方根称为这
组数据的标准差s tan dard deviation.标 准差也可
以刻画数据的稳定性.
一般地,
设一组样本数据 x1 , x2 ,, xn ,其平均数为 x,则称
11
195
2682
18
225
2682
20 255 2682 25 285 2682 16 315 2682
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教学目标：
1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，
2．学会计算数据的方差、标准差；
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
教学方法：
引导发现、合作探究．
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．
甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
提出问题：哪种钢筋的质量较好？
二、学生活动
由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差：
2．
标准差：21
)(1-=-=∑x x n s n
i i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义：
描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用
例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 ÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 ÷5＝0.24
因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．
例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标
准差．
天数151~1
80
181~2
10
211~2
40
241~2
70
271~3
00
301~3
30
331~3
60
361~3
90
灯泡
数
1 11 18 20 25 16 7 2
分析用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．
解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)
这些组中值的方差为
1/100×＝2128.60(天2)．
故所求的标准差约46
6.
2128 （天）
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.
巩固深化，反馈矫正：
（1）课本第71页练习第2，4，5题；
（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为；
五、归纳整理，整体认识
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
（1）用样本平均数估计总体平均数．
（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化
的幅度．。