广西数学高三12月份大联考理数试卷
广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中高三上学期联考数学理试题
南宁三中、柳铁一中、玉林高中2015～2016学年度上学期高三联考数学（理）试题第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题.每题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．假如集合{}|520M x y x ==-，集合{}3|log N x y x ==则M N =（ ）A ．{}|04x x <<B ．{}|4x x ≥C ．{}|04x x <≤D ．{}|04x x ≤≤2．己知2(,)a ib i a b R i+=+∈．其中i 为虚数单位，则a b -=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-33．已知等差数列{}n a 满足：33,13133==a a ，求7a （ ）A ．19B ．20C ．21D ．224．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则g(f (π))的值为（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．π5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，已知2211(2)5x y -+=，22240x y -+=，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）A ．55B ．15 C ．1215D ．11557．右图是一个算法的流程图，则最后输出的（ ） A ．6 B ．-6 C ．9 D ．-98．定义运算a ⊕b =⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数()1f x =⊕2x 的图象是（ ）9．若某几何体的三视图如下图，则此几何体的外接球表面积等于（ ）A ．752πB ．30πC ．43πD ．15π10．261(2)(1)x x+-求的展开式的常数项是（ ）A ． 15B ． -15C ．17D ．-1711．已知21F F 、 是双曲线22221x y a b-= (00a b >>， )的左、右焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ． 3C ．2D ． 212．函数f(x)=1,1,11,1,2x a x x -=⎧⎪⎨⎛⎫+≠⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解12345,,,,x x x x x 求12345x x x x x ++++=（ ）A ．3B ．5C ．3aD ．5 a第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两局部。
2023-2024学年广东省高三年级12月份大联考数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省高三年级12月份大联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B.C.D.2.已知复数，则z 在复平面内对应的点的坐标为()A. B.C. D.3.已知，，则向量在向量上的投影向量为()A.B.C.D.4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为()A. B.C.D.5.过抛物线的焦点F 作直线交抛物线于，两点，则()A.1B.2C.3D.46.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A 系列、B 系列、C 系列，其中A 系列的幅面规格为：，，，，，，所有规格的纸张的长度以x 表示和幅宽以y 表示的比例关系都为将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格;将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，如此对开至规格.现有，，，，，纸各一张，已知纸的幅面面积为，则，，，，，这9张纸的面积之和是()A. B.C.D.7.已知是上一点，过点P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则当直线AB 与l 平行时，直线AB 的方程为()A. B.C.D.8.函数，若，则的最小值为()A. B.4 C. D.1二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一组互不相等的样本数据，，，，其平均数为，方差为，极差为m，中位数为n，去掉最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有()A. B. C. D.10.函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则()A.B.的解析式为C.是图象的一个对称中心D.的单调递减区间是，11.若，分别为的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有()A. B.C. D.12.棱长为6的正四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，若点M为球面上的任意一点，则的取值可以为()A. B.3 C.5 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月新高考月考测试数学试题
广西“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月新高考月考测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()12b c a+-B ．125．在棱长为a 的正方体ABCD A ．60°C ．90°6．已知命题p ：方程25x m m +-不必要条件是（）A ．35m <<B ．4<7．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中二、多选题三、单选题11．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A ．9B ．10C ．11D ．12四、多选题12．已知3log ,a e =2log 3b =，ln 3c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．a c b+>D ．a c b+<五、填空题六、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,==PA AD E 为PB 的中点，F 为AC 与BD 的交点．(1)证明：EF //平面PCD ；(2)求三棱锥E ABF -的体积．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22()b c a bc -=-．(1)求角A 的大小；(2)若2,sin 2sin a C B ==，求△ABC 的面积．19．已知直线:20,R l x ay a --=∈．(1)求证：直线l 与圆224x y +=恒有公共点；(2)若直线l 与圆心为C 的圆22()(1)4x a y -+-=相交于A B 、两点，且ABC 为直角三角形，求a 的值．20．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．21．如图，已知点()11,0F -，圆222:(1)16F x y -+=，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N ､两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程及1F MN △的面积.22．如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AB 的中点．(1)证明：AC PD ⊥；(2)若二面角P AC D --为150︒，求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．。
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷理数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。
2024年广西高考数学试卷(新高考Ⅱ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年广西高考数学试卷（新高考Ⅱ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=−1−i，则|z|=( )A. 0B. 1C. √ 2D. 22.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足：|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，则|b⃗⃗|=( )A. 12B. √ 22C. √ 32D. 14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表：据表中数据，结论中正确的是( )A. 100块稻田亩产量中位数小于1050kgB. 100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )A. x 216+y24=1(y>0) B. x216+y28=1(y>0)C. y 216+x24=1(y>0) D. y216+x28=1(y>0)6.设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )A. −1B. 12C. 1D. 27.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )A. 12B. 1C. 2D. 38.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )A. 18B. 14C. 12D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
金太阳2023届高三12月联考(181C)数学答案
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广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市四十七中、凤岭北中学2023-2024学年九年级上学期12月联考数学
广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市四十七中、凤岭北中学2023-2024学年九年级上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．下列事件为随机事件的是（）=A．AC CB8．在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电，断开）1A ．5B 10．已知二次函数y ax =20ax bx c m ++-=没有实数根，有以下结论：①④30a b +>．其中，正确的结论是（A ．①③B ．①②④11．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出于不可割，则与圆周合体，而无所失矣得到了圆周率π的近似值为3.1416面积近似估计圆的面积，可得形面积作近似估计，可得π的估计值为（A ．33212．如图，动点P 在线段直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为点B 时，y 随x 的变化而变化，则阴影面积的最大值是（A ．2πB 二、填空题13．化简：2=14．如图，将Rt ABC △绕直角顶点120∠=︒，则B ∠的度数是15．有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了列出方程．16．用一个圆心角为120°径是．17．如图，在等边三角形过点P 作C 的切线PQ18．如图，:4:1AG GD =三、计算题19．计算：20(1)(3)2(75)(2023)π-⨯-+÷-+-．四、问答题20．解方程：260x x +-=.五、作图题21．如图，ABC 三个顶点坐标分别为()1,3A -，()1,1B -，()3,2C -．(1)请画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)以原点O 为位似中心，将111A B C △放大为原来的2倍，得到222A B C △，请在第三象限内画出222A B C △，并求出111222:A B C A B C S S △△的值．六、应用题22．菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A ，B ，C ，D 表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．(1)请根据统计图将下面的信息补充完整：①参加问卷调查的学生共有________人；②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________．(2)若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C 课程的学生有多少人？(3)现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．七、证明题23．如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE CD ⊥交DC 的延长线于E ，CF AB ⊥于F ，且CE CF =．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若103AB BD ==，，求AE 的长．24．第31届世界大学生夏季运动会在成都举行，“蓉宝”作为大运会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．现在有一公司生产两批“蓉宝”公仔，第一批公仔生产成本为4万元，生产后在市场上供不应求，该公司立刻加大生产数量．在生产成本单价相同的情况下，第二批生产数量比第一批生产数量的两倍还多200个公仔，第二批生产成本为8.8万元．(1)公司生产“蓉宝”公仔的单价为多少？(2)根据市场销售显示，当售价为60元一个时，平均每天能卖出300个公仔，售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，假设涨价x 元，则此时数量为______件（用含x 的代数式表示）．为了实现平均每天6250元的销售利润，“蓉宝”公仔的售价应定为多少元？素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视力值n 与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足()10.510n θθ=≤≤．探究2当 1.0n ≥时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．素材3如图3，当θ确定时，在A 处用边长为1b 的I 号“E”测得的视力与在B 处用边长为2b 的Ⅱ号“E”测得的视力相同．探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．【猜想证明】从特殊到一般(1)当90a =︒时，四边形ABFE 的形状为；（直接写出答案）(2)如图②，当45a =︒时，连接DE ，求此时ADE V 的面积；(3)如图③，连接AF ，请找出其中的全等三角形并证明；(4)是否存在a ，使点,,F E D 三点共线？若存在，请求出此时BF 的长度；若不存在，请说明理由．。
2024-2025学年广西南宁一中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年广西南宁一中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈Z|−5<x 3<10}，B ={x|y =ln (x +1)}，则A ∩B =( )A. {0,1,2}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,0,1,2}2.已知a ，b ∈R ，且a−3ib +i =1+2i ，其中i 是虚数单位，则a +b =( )A. 2B. −2C. −4D. −63.若定义域为R 的函数f(x)不是偶函数，则( )A. ∀x ∈R ，f(−x)≠f(x) B. ∀x ∈R ，f(−x)=−f(x)C. ∃x 0∈R ，f(−x 0)≠f(x 0)D. ∃x 0∈R ，f(−x 0)=−f(x 0)4.已知一组数据2x 1+1，2x 2+1，2x 3+1，2x 4+1的平均数是3，方差为4，则数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数和方差分别是( )A. 1，1B. 1，2C. 32, 34D. 32, 25.已知递增的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 6=19，a 2a 5=70，则S 8=( )A. 70B. 80C. 90D. 1006.在△ABC 中，BA ⋅BC =12BC 2，若a =13AB +23AC ，b =34AB +14AC ，c =27AB +57AC ，则( )A. |b |>|c |>|a |B. |b |>|a |>|c |C. |a |>|c |>|b |D. |c |>|a |>|b |7.已知函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间[0,π2)内既有最大值，又有最小值，则ω的取值范围是( )A. (23, +∞) B. (23, 43]∪(83, +∞)C. (83, +∞)D. (23, 43)∪(83, +∞)8.不等式t( x + y )≤2x +2y 对所有的正实数x ，y 恒成立，则t 的最大值为( )A. 2B.2C.24D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C .D.{}1,2{}1,0,1,2-2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,225. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 1006. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SO B. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π310. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A. B. ()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数D.()f x ()20251f a =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x 13. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=14.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的余弦值．17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C（1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQ D (0,G G 的距离的最大值．BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C.D.{}1,2{}1,0,1,2-【正确答案】A【分析】解不等式化简集合，求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求出求解A B 即得.【详解】依题意，，{{}{}1,0,1,2,1A x x B x x =∈<<=-=>-所以.{}0,1,2A B = 故选：A2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-【正确答案】D【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果.【详解】由可得，即，3i12i i a b -=++()()3i i 12i a b -=++()()3i 221ia b b -=-++所以，解得，则.2213a b b =-⎧⎨+=-⎩42a b =-⎧⎨=-⎩6a b +=-故选：D3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 【正确答案】D【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得()(),0x f x f x ∀∈--=R 答案.【详解】定义域为的函数是偶函数，R ()f x ()(),0x f x f x ⇔∀∈--=R 所以不是偶函数．()f x ()()000,0x f x f x ⇔∃∈--≠R 故选：D ．4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,22【正确答案】A【分析】根据题意，由平均数与方差的性质列出方程，代入计算，即可求解.【详解】设数据的平均数和方差分别是，，1234,,,x x x x x 2s 则数据的平均数是，方差是，123421,21,21,21x x x x ++++()21x +24s 所以，解得，，解得，()213x +=1x =244s=21s =即数据的平均数和方差分别是.1234,,,x x x x 1,1故选：A5. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 100【正确答案】D【分析】设等差数列的公差为d ，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等{}n a 1,a d 差数列前n 项和公式计算得解.()112n n n S na d -=+【详解】设等差数列的公差为d ，{}n a 则由题得，解得，()()1111519,4700a a d a d a d d ++=⎧⎪++=⎨⎪>⎩132d a =⎧⎨=⎩所以.8878231002S ⨯=⨯+⨯=故选：D.6. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+ A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>【正确答案】B【分析】先由求出即，接着由余弦定理结合数量积的运算212BA BC BC⋅= |AB |=|AC |b c =律计算得，再由平面向量模的求法即可计算比较得解.2222b a AB AC -⋅=【详解】设的角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，ABC V 因为，所以，212BA BC BC ⋅= ()()212AB AC AB AC AB-⋅-=-所以，故，2221122AB AC AB AC AB AC AB-⋅=⋅+-+ 22AB AC = 所以，即，|AB |=|AC |b c =所以，222222cos 22b c a b a AB AC bc A bc bc +--⋅==⨯=所以22221214433999a AB AC AB AB AC AC⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222221424299299b a c b b a -=+⋅+=-22222222223193193213441681616821616b a b AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭ ，222222222225420254202251077494949494924949b a c AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭，因为，所以，即.210394916>>222b c a >> b c a >>故选：B.7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】C【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.π6x ω+【详解】因为，，π02x ≤<0ω>所以， ()πππ31666x ωω≤+<+由已知，，()π331π62ω+>所以，83ω>所以的取值范围是.ω8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：C.8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1【正确答案】D【分析】由题意可得，令，则有mint ≤0m =>1m =，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案.2112m =21m ≥1m ≥【详解】解：因为,，xy 0>所以，则有，t ≤mint ≤令，则m =>1m =所以，2111122m ==+≤+=当且仅当时，等号成立，x y =所以，，211m≤21m ≥又，所以，0m >1m ≥，1≥1，所以，1t ≤即的最大值为1.t 故选：D.方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SOB. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π3【正确答案】ABD【分析】A 选项，作出辅助线，设底面圆的半径为，根据异面直线的夹角余弦值和余弦定r 理得到，从而得到圆锥的体积；B 选项，根据侧面积公式求出答案；C 选项，作出辅助1r =线，得到直线与平面所成角的平面角为，并求出其正切值，得到SO SAC OST ∠；D 选项，找到外接球球心，并根据半径相等得到方程，求出外接球半径，得30OST ∠<︒到外接球表面积.【详解】A 选项，连接并延长交圆于点，连接，CO P ,AP BP 因为为圆锥的底面的直径，弧的长度是弧的长度的2倍，AB SO BC AC 故四边形为矩形，，则，ACBP ππ,36CAB ABP CBA BAP ∠=∠=∠=∠=//BP AC 异面直线与所成角等于异面直线与所成角，SB BP SB AC 因为，所以，2SA =2SB SP ==设底面圆的半径为，则，r BP r =故，解得，2222441cos 244SB BP SP r SBP SB BP r +-+-∠===⋅1r =则由勾股定理得，SO ===故圆锥的体积为A 正确；SO 21π3r SO ⋅⋅=B 选项，圆锥的侧面积为，B 正确；SO π2πrl =C 选项，取的中点，连接，则⊥，⊥，AC T ,ST OT OT AC ST AC 又，平面，故⊥平面，OT ST T = ,OT ST ⊂SOT AC SOT 过点作⊥于点，由于平面，则⊥，O OE ST E OE ⊂SOT OE AC 又，平面，故⊥平面，ST AC T = ,ST AC ⊂SAC OE SAC 故即为直线与平面所成的角，OST ∠SO SAC 其中，则，πsin 3OT CO ==1tan 2OT OST OS ∠===由于，且在上单调递增，故，C 错误；1tan 302︒=>tan y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭30OST ∠<︒D 选项，由对称性可知，外接球球心在上，连接，Q OSQC 设圆锥的外接球半径为，则，SO R OQ SO R R =-=由勾股定理得，即，解得，222OC OQ QC +=)221R R +=R =故圆锥的外接球的表面积为，D 正确.SO 2216π4π4π3R =⨯=故选：ABD方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径10. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 【正确答案】ABC【分析】不妨设，则，，对于A ，由题意A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)21248y x x ==120x x >>求出和即可求解；对于B ，由题意得，进而可求出两点11x =212x =|AB |1243-=x x ,A B 坐标，从而求出和即可判断；对于C ，由题意先得，接着求出，进而求2F A 2F B21x =1x 出，轴即可得解；对于D ，先假设四边形是菱形，再推出矛盾12AB F F =2AF x ⊥12F F AB 即可得解.【详解】由题意得，不妨设，()()121,0,2,0F F A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)则，，21248y x x ==120x x >>对于A ，因为，又直线平行于轴，所以轴，1AF AB ⊥AB x 1AF x ⊥所以，故， 11x =2212,82y y x ====如图，故，故A 正确；1212AB x x =-=对于B ，若，则，所以，解得，43AB =1243-=xx 224483y y -=y =所以，84,33A B ⎛⎛ ⎝⎝所以 ，，2103F A ==2103F B ==所以，，所以是等腰三角形，故B 正确；22F A F B=|F 2A |+|AB |>|F 2B |2F AB 对于C ，若，又直线平行于轴，所以轴，1BF BA⊥AB x 1BFx ⊥所以，故，21x =2124y y x ====故，轴，所以四边形是矩形，故C 正确；12121AB x x F F =-==2AF x ⊥12F F AB 对于D ，若四边形是菱形，则，即即，12F F AB 121AB F F==121x x -=22148y y -=所以，所以，y =((2,,1,A B 所以可得，则四边形不是菱形，矛盾，21F A F B AB==≠12F F AB 所以四边形不是菱形，故D 错误.12F F AB 故选：ABC.11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A.B.()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数 D.()f x ()20251f a =【正确答案】ABD【分析】对于A ，令，又，即可求得；对于B ，令，,0x a y ==()1f a =()00f =y a =再由，即可推得；对于C ，令，可得()()1,00f a f ==()()2f a x f x -=y x =-，从而为奇函数；对于D ，可推得，即()()0f x f x +-=()f x ()()4f x a f x +=的周期为，则.()f x 4a ()()()202550641f a f a a f a =⨯+==【详解】对于A ，令，得，,0x a y ==()()()()()00f a f a f a f f =+因为，所以，故A 正确；()1f a =()00f =对于B ，令，代入可得，y a =()()()()()0f x a f x f f a f a x +=+-因为，所以，()()1,00f a f ==()()f x a f a x +=-从而，故B 正确；()()2f a x f x -=对于C ，令，代入得，y x =-()()()()()0f f x f a x f x f a x =++--又因为对，恒成立且不恒为0，x ∀∈R ()()f a x f a x +=-所以，从而为奇函数，()()0f x f x +-=()f x 又不恒等于0，故C 错误；()f x 对于D ，因为，()()()2f x a f x f x +=-=-所以，()()()42f x a f x a f x +=-+=所以为的周期，4a ()f x 所以，故D 正确．()()()202550641f a f a a f a =⨯+==故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x【正确答案】99【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式6(13)x +6(12)(13)x x -+中含的项即可得解.2x 【详解】由题意得的展开式的通项为，6(13)x +()166C 33C rr r r rr T x x +==所以的展开式中，含的项为，6(12)(13)x x -+2x 2221112663C 23C 99x x x x -⋅=所以展开式中含的项的系数为.2x 99故答案为.9913. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=【正确答案】##24250.96【分析】由条件，根据三角函数定义可求，，根据对称性可求，，sin αcos αsin βcos β结合两角差正弦公式求结论.【详解】因为角的终边过点，α(3,4)--所以，，4sin 5α==-3cos 5α==-又角的终边与角的终边关于轴对称，βαx 所以，，4sin 5β=3cos 5β=-所以.24sin()sin cos cos sin 25αβαβαβ-=-=故答案为.242514.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =【正确答案】##0.215【分析】求出点关于直线对称点的坐标，进而求出，再结1(,0)F c -2y x =A 12||,||AF AF 合椭圆定义及勾股定理求出即可.1||BF 【详解】设关于直线的对称点，由，解得1(,0)F c -2y x =11(,)A x y 111112222y x cy x c⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，113545c x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即，令椭圆右焦点，则，34(,55c c A -2(,0)Fc 1||AF ==，而点在椭圆上，由，得2||AF ==AC 122AF AF a +=，a =设，则，显然的中点都在直线上，1||BF m =2||2BF a m m =-=-112,AF F F 2y x =则平行于直线，从而，在中，2AF 2y x =21AF AF ⊥2Rt ABF，222()))m m +=-解得，所以.m =11|1|5||BF AF =故15思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、，得到a ，c 的关12|||2PF PF a =＋|系．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +【正确答案】（1）；2π3A =（2）.32【分析】（1）由题意结合正弦定理和即可求解.sin sin cos cos sin C A B A B =+（2）先由（1）结合余弦定理得，接着由正弦定理角化边得222a b c bc =++，再结合基本不等式即可求解.22222sin 1sin sin A bcB C bc =+++【小问1详解】因为，，sin cos )b A a B c =-()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+所以由正弦定理得)sin sin sin cos sin cos cos sin sin B A A B C A B A B A B A B=-=，又，故，所以即，B ∈(0,π)sin 0B≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由（1），所以由余弦定理得，2π3A =222222cos a b c bc A b c bc =+-=++所以由正弦定理得，222222222222sin 311sin sin 2A a b c bc bc B C b c b c b c ++===+≤=++++当且仅当时等号成立.b c =所以的最大值为.222sin sin sin A B C +3216. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD所成锐二面角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，根据E 是PD 的中点，得到，//EM AB ，从而四边形ABME 是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理EM AB =//AE BM 证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面BDM 的一个法向量，平面PAB 的一个法向量，设n =(x,y,z )(),,m a b c= 平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，由求解．()cos ,n m cos n m n mθ⋅==【小问1详解】证明：取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，因为E 是PD 的中点，M 是PC 的中点，所以，，又，，//EM DC 112EM DC ==//AB CD 1AB =所以，，//EM AB EM AB =所以四边形ABME 是平行四边形，所以，//AE BM 又平面PAD ，平面PAD ，所以平面PAD ．AE ⊂BM ⊄//BM 【小问2详解】解：因为平面ABCD ，DA ，平面ABCD ，PD ⊥DC ⊂所以，，又，，所以．PD AD ⊥PD DC ⊥AB DA ⊥//AB CD AD DC ⊥以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，所以．()()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,0D P A B C ()0,1,1M 设平面BDM 的一个法向量，又，，n =(x,y,z )()1,1,0DB =()0,1,1DM =所以0,0,n DB x y n DM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，解得，，1x =1y =-1z =所以平面BMD 的一个法向量．n =(1,−1,1)设平面PAB 的一个法向量，又，，(),,m a b c= ()1,0,2AP =-()0,1,0AB =所以20,0.m AP a c m AB b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩令，解得，，2a =0b =1c =所以平面PAB 的一个法向量，()2,0,1m =设平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，所以．()cos ,n m cos n m n m θ⋅====即平面PAB 与平面BMD17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．【正确答案】（1）答案见解析（2）111200【分析】（1）写出所有可能得取值，然后分别求出其对应概率，列出表格，即可得到分布X 列，再由期望的公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由互斥事件概率公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】一年级学生及格的频率为，不及格的频率为，6031005=4021005=二年级学生及格的频率为，不及格的频率为，7531004=2511004=三年级学生及格的频率为，不及格的频率为，90910010=10110010=的所有可能取值为，X 0,1,2,3则，，()21105410P X ==⨯=()312391545420P X ==⨯+⨯=，()33925420P X ==⨯=所以的分布列为：X X12P110920920所以的期望为X ()1992701210202020E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是，13所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为.13313913911135435103410200P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C （1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N 的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQD (0,G G 的距离的最大值．BD 【正确答案】（1）2214x y -=（2），.220x y -+-=220x y ++-=220y --=（3【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可求解；,a b （2）分直线斜率存在于不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，代入计算，即可得到结果；（3）分直线斜率存在于不存在讨论，分别联立直线与双曲线方程以及直线与双曲线方程，1l 2l结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而得到结果.BD 【小问1详解】由题意可得，，解得，所以双曲线的方程为.2212811b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，ll (1y k x -=-代入可得，2214x y -=()(()22214814110k x k k ⎡⎤-----+=⎢⎥⎣⎦当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，2140k -=12k =±l即直线的方程为，；l 220x y -+-=220x y ++-=当时，，2140k -≠()()()2222Δ6411614110k k ⎡⎤=-+--+=⎢⎥⎣⎦即，可得与双曲线相切，)210-=k =l 直线；l 220y --=显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；l l 综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条：C ，.220x y -+-=220x y ++-=220y --=【小问3详解】当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即，1l B F 2415c =+=c =所以，，此时直线的方程为，)F()0,0D BD 0y =则到的距离为0；G BD 当直线的斜率为0时，则与重合，，，1l DF )D ()0,0B 此时直线的方程为，则到的距离为0；BD 0y =G BD 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，1l 1l(y k x =-设，()()()()11223344,,,,,,,M xy N x y P x y Q x y 直线的方程为，2l (1y x k =-联立可得，(2214x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222142040k x x k -+--=，()()()()22222Δ4142041610k kk=----=+>由韦达定理可得，则12x x +=122x x +=所以，121222y y x x k k ++⎛=== ⎝所以，B 联立可得，(22141x y y x k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222420140x x k k ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，22224201Δ4141610k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=+> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由韦达定理可得，则，34x x+==342x x +=所以，所以，1212y y k +=-=D则()()2422334414BDk k k k k k --===--+，，()()()2423134141k k kk k -+-==--()2221,140,40kk k ≠-≠-≠所以直线的方程为，BD ()2341k y x k ⎛-=-⎝即，()2413k y kx-=--所以，即，()2413k y kx -=-+()2413k y k x ⎛-=-- ⎝故直线过定点，BD ⎫⎪⎪⎭当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；2410k -=1l当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；240k -=2l 当时，的方程为，21k =,BDBD x =过点；⎫⎪⎪⎭综上所述，直线过定点.BD ⎫⎪⎪⎭所以点到直线.GBD=关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论直线的斜率存在以及不存在，然后得到直线恒过定点，从而解答.BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -【正确答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3）.1-【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可.（2）利用中心对称的定义，计算推理即得.（3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出的最小值，建立不等()g x 0,0a a <>()g x 式，构造函数，利用导数求出最小值即得.【小问1详解】函数的定义域为R ，当时，，()f x 0,0a b >=1122()22121x x x f x ax ax--=+=-+++求导得，所以是增函数．122ln2()0(21)x x f x a -'=+>+()f x 【小问2详解】依题意，(2)()f x f x -+2331122(2)(1)(1)2121x x x x a x b x ax b x ---=+-+-+++-++，()11222211221xx x a a --=++=+++所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.()y f x =(1,1)a +()y f x =【小问3详解】依题意，，其定义域为，求导得，()e 1xg x ax b =-+-R ()x g x e a '=-当时，在上单调递增，0a <()0,()g x g x >'R 当时，，的取值集合为，0x <0e 1x<<1ax b -+-(,1)b -∞-因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；0x <()g x (,)b -∞当时，由，得在上单调递增；0a >()0g x '>ln ,()x a g x >(ln ,)a +∞由，得在上单调递减，()0g x '<ln ,()x a g x <(,ln )a -∞函数在处取得最小值，且，()g x ln x a =min ()(ln )ln 1g x g a a a a b ==-+-由对任意的恒成立，得，即成立，()0g x ≥x ∈R ln 10a a a b -+-≥ln 1b a a a ≥-++因此，设，2ln 11ln 2b a a a a a a a a --++≥=+-221111()ln 2,()a a a a a a a a ϕϕ-=+-=='-当时，，当时，，01a <<()0a ϕ'<1a >()0a ϕ'>函数在上递减，在上递增，()a ϕ(0,1)(1,)+∞则，即，当且仅当时取等号，min()(1)1a ϕϕ==-1b aa -≥-1,0ab ==所以的最小值为.b aa -1-结论点睛：函数的定义域为D ，，()y f x =x D ∀∈①存在常数a ，b 使得，则函数()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=图象关于点对称.()y f x =(,)a b ②存在常数a 使得，则函数图象关于直()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-()y f x =线对称.x a =。
广西省南宁市重点中学2024届高三入学调研数学试题(3)试卷
广西省南宁市重点中学2024届高三入学调研数学试题（3）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5784．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6135．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞6．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．32C 23D 38．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 10．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，12．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【恒心】2015届广西百所示范性中学高三第一次大联考数学(理科)试题及参考答案【高清版】
广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考2015届百所示范性中学高三年级第一次大联考理数试题部分评分细则一、选择题1．D 【解析】2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i(1－i)＝1＋i.2．C 【解析】解得N ＝{x |－3<x <0}，M ＝{x |x <－1}，由图中阴影部分可知，表示的是∁U M ∩N ＝{x |－1≤x <0}．3．A 【解析】由x 与y 正相关可排除C ，又回归方程过点(x －，y －)，将x －＝3，y －＝3.5代入方程验算可知A 正确．4．B 【解析】由题可知能输出的函数是偶函数且存在零点，所以只有f ()x ＝cos x 正确，f (x )＝x 2＋1是偶函数但不存在零点，所以A 不正确，f ()x ＝e x 不是偶函数也不存在零点，所以C 不正确，f ()x ＝1x不是偶函数也不存在零点，所以D 不正确，综合可知只有B 正确．5．C 【解析】l 1∥l 2时，m ＝32，l 2：3x ＋4y ＋8＝0，d ＝|8＋2|32＋42＝105＝2，选C.6．C 【解析】由题意得a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，其循环周期为6，则2 015÷6＝335…5，所以a 2 015＝a 5＝7.7．B 【解析】因为a ⊥b ，所以2()x －z ＋y ＋z ＝0，∴z ＝2x ＋y ，由可行域可知函数在()1，1点有最大值3.8. A 【解析】y ＝sin ⎝⎛⎫4x －π6――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎫2x －π6――→向左平移π4个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴为2x ＋π3＝π2＋k π，k∈Z ，即x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，令k ＝0，x ＝π12为函数y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一条对称轴．9．C 【解析】由双曲线C 1：x 2－y 23＝1，可得a 1＝1，b 1＝3，c ＝2.设椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y2b2＝1，(a >b >0)．则||F 1A －||F 2A ＝2a 1＝2，||F 1A ＋||F 2A ＝2a ，∴2||F 1A ＝2a ＋2，∵||F 1F 2＝||F 1A ＝2c ＝4，∴2×4＝2a ＋2，a ＝3.则C 2的离心率＝c a ＝23.10．C 【解析】由三视图可知该几何体的底面形状为60°中心角为的扇形，其高为3，所以侧面积为2×3×2＋2π×26×3＝12＋2π.11．A 【解析】因为e x f (x )>e x ＋3⇔e x f ()x －e x －3>0，设h ()x ＝e x f ()x －e x －3，则h ′()x ＝e x f ()x ＋e x f ′()x －e x ＝e x []f ()x ＋f ′()x －1>0，所以h ()x 为增函数，又因为h ()0＝0，所以h ()x >0的解集为x >0.12．D 【解析】设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO 交外接圆于D ，AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝∠ABD ＝90°，cos ∠CAD ＝AC AD ，cos ∠BAD ＝AB AD ，∴AO →·BC →＝12AD →·()AC →－AB →＝12AD →·AC →－12AD →·AB →＝12||AC →2－12||AB →2＝12b 2－12c 2＝12b 2－12()2b －b 2＝b 2－b ＝⎝⎛⎭⎫b －122－14，∵c 2＝2b －b 2>0，∴0<b <2.令f ()b ＝⎝⎛⎭⎫b －122－14，所以当b ＝12时，有最小值－14.∵f ()0＝0，f ()2＝2，所以－14≤f ()b <2，所以BC →·AO →的范围是⎣⎡⎭⎫－14，2. 二、填空题13.3π3【解析】由题意得：l ＝2，2πr ＝π×2，r ＝1，h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为V＝13h πr 2＝3π3. 14．6【解析】设第T r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝()－1rC r n x 2n －3r，∴2n －3r ＝0，∴C r n ＝15，∵C 46＝C 26＝15，∴n ＝6，r ＝4. 15.23【解析】因为y ＝x 2，所以在第一象限有x ＝y ，则在第一象限的阴影部分的面积为⎠⎛01ydy ＝⎪⎪23y 3210＝23，所以概率为23×42×2＝23，故答案为23.16．e 2【解析】设数列{a n }的公比q ，则q >0，因为a 3a 4a 5＝a 34＝1，所以a 4＝1，①当q >1时，则0<a 1<a 2<a 3<a 4＝1<a 5<a 6，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝ln a 1a 1＝2a 1，∵ln a 1<0，所以等式不成立；②当q ＝1时，则a 1＝a 2＝…a 6＝1，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝0≠2a 1；③当0<q <1时，则a 1>a 2>a 3>a 4＝1>a 5>a 6>0，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝a 1ln a 1＝2a 1，∴a 1＝e 2.17题评分细则（共12分）【解析】(1)由sin B sin A ＝1－cos Bcos A得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，(2分)所以sin ()B ＋A ＝sin A ，sin ()π－C ＝sin A ，C ＝A ，(4分) 因此△ABC 为正三角形．∴∠A ＝π3.(6分)(2)设该三角形的边长为a ，则S OABC ＝12×1×2sin θ＋34a 2(8分)＝sin θ＋34()12＋22－2×2cos θ(10分)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534.(11分)显然当θ＝5π6时()S OABC max＝8＋534.(12分)18题评分细则（共12分)【解析】(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是()0.1＋0.2×1×20＝6个，(2分) 中度拥堵的路段个数是()0.25＋0.2×1×20＝9.(4分) (2) X 的可能取值为0，1，2，3.(5分)P ()X ＝0＝C 311·C 09C 320＝1176，P ()X ＝1＝C 211·C 19C 320＝3376，P ()X ＝2＝C 111·C 29C 320＝3395，P ()X ＝3＝C 011·C 39C 320＝795.(9分)（每算对一个给1分） 所以XE ()X ＝0×1176＋1×3376＋2×3395＋3×795＝513380.(12分)【解析】解法一：(1)以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1分)则F (1，0，0)，E (1，1，0)，A (0，2，0)，C 1(0，0，2)， AC 1→＝(0，－2，2)．(2分)设G (0，2，h )，则EG →＝(－1，1，h )．∵AC 1⊥EG ，∴EG →·AC 1→＝0. (4分)∴－1×0＋1×(－2)＋2h ＝0.∴h ＝1，即G 是AA 1的中点．(5分)(2)设m ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则m ⊥FE →，m ⊥EG →.(6分)所以⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋1×y ＋0×z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0.令x ＝1，则平面EFG 的一个法向量为m ＝(1，0，1)．(8分)∵sin θ＝|m ·AC 1→||m |·|AC 1→|＝22×22＝12，(10分)∴θ＝π6， 即AC 1与平面EFG 所成角θ为π6.(12分)解法二：(1)取AC 的中点D ，连结DE 、DG ，则ED ∥BC ，(1分) ∵BC ⊥AC ，∴ED ⊥AC .又CC 1⊥平面ABC ，而ED ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥ED . ∵CC 1∩AC ＝C ，∴ED ⊥平面A 1ACC 1.(3分) 又∵AC 1⊥EG ，∴AC 1⊥DG .(4分) 连结A 1C ，∵AC 1⊥A 1C ，∴A 1C ∥DG .∵D 是AC 的中点，∴G 是AA 1的中点. (5分)(2)取CC 1的中点M ，连结GM 、FM ，则EF ∥GM,∴E 、F 、M 、G 共面．作C 1H ⊥FM ，交FM 的延长线于H ，∵AC ⊥平面BB 1C 1C ，C 1H ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥C 1H ，(8分)又AC ∥GM ，∴GM ⊥C 1H . ∵GM ∩FM ＝M ，∴C 1H ⊥平面EFG ，设AC 1与MG 相交于N 点，所以∠C 1NH 为直线AC 1与平面EFG 所成角θ. (10分)因为C 1H ＝22，C 1N ＝2，∴sin θ＝222＝12，∴θ＝π6. (12分)【解析】(1)设M ()x ，y ，P ()0，y ′，Q ()x ′，0，∵PM →＝－32MQ →，HP →·PM →＝0. (1分)∴()x ，y －y ′＝－32()x ′－x ，－y ，()3，y ′·()x ，y －y ′＝0，(2分)∴x ′＝13x ，y ′＝－12y ，3x ＋yy ′－y ′2＝0，∴y 2＝4x ()x >0，(4分)所以动点M 的轨迹C 是以()0，0为顶点，以()1，0为焦点的抛物线(除去原点). (5分) (2)①当直线l 与x 轴垂直时，根据抛物线的对称性，有∠AED ＝∠BED ；(6分) ②当l 与x 轴不垂直时，依题意可设直线l 的方程为y ＝k ()x －m ()k ≠0，m >0，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝k ()x －m y 2＝4x ()x >0，(7分)消去x 并整理得ky 2－4y －4km ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4m . (8分)设直线AE 和BE 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝y 1x 1＋m ＋y 2x 2＋m ＝14y 1y 22＋14y 2y 21＋m ()y 1＋y 2()x 1＋m ()x 2＋m＝14y 1y 2()y 1＋y 2＋m ()y 1＋y 2()x 1＋m ()x 2＋m ＝14()－4m ⎝⎛⎭⎫4k ＋4m k ()x 1＋m ()x 2＋m ＝0，(10分)∴tan ∠AED ＋tan ()180°－∠BED ＝0，∴tan ∠AED ＝tan ∠BED .∵0<∠AED <π2，0<∠BED <π2，∴∠AED ＝∠BED . (11分)综合①②可知∠AED ＝∠BED .(12分)21题评分细则（共12分)【解析】(1)由题意a >0，f ′(x )＝e x －a ，由f ′(x )＝e x －a ＝0得x ＝ln a . (1分)当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增．(2分)即f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且为最小值，其最小值为f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1.(3分)f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，f (x )min ≥0. (4分)设g (a )＝a －a ln a －1，所以g (a )≥0.由g ′(a )＝1－ln a －1＝－ln a ＝0得a ＝1. (5分)易知g (a )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴g (a )在a ＝1处取得最大值，而g (1)＝0.因此g (a )≥0的解为a ＝1，∴a ＝1.(6分)(2)由(1)知，对任意实数x 均有e x －x －1≥0，即1＋x ≤e x . (7分)令x ＝－k n (n ∈N *，k ＝0，1，2，3，…，n －1)，则0<1－k n ≤e －k n.(8分) ∴⎝⎛⎭⎫1－k n n ≤⎝⎛⎭⎫e －k n n＝e －k . (9分)∴⎝⎛⎭⎫1n n ＋⎝⎛⎭⎫2n n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n －1n n ＋⎝⎛⎭⎫n n n ≤e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －2＋e －1＋1＝1－e －n 1－e －1<11－e －1＝e e －1.(12分)选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22题评分细则（共10分)【解析】(1)由弦切角定理知∠DBE ＝∠DAB ，(2分)由∠DBC ＝∠DAC ，∠DAB ＝∠DAC ，(3分)所以∠DBE ＝∠DBC ，即BD 平分∠CBE .(4分)(2)由(1)可知BE ＝BH ，(5分)所以AH ·BH ＝AH ·BE ，(6分)因为∠DAB ＝∠DAC ，∠ACB ＝∠ABE ，所以△AHC ∽△AEB ，(8分)所以AH AE ＝HC BE，即AH ·BE ＝AE ·HC ，(9分) 即AH ·BH ＝AE ·HC .(10分)【解析】(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，(1分)结合极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得x 2＋y 2＝4x ，(3分) 即(x －2)2＋y 2＝4.(4分)(2)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋3t y ＝t(t 为参数)化为普通方程得，x －3y －a ＝0. (7分) 结合圆C 与直线l 相切，得|2－a |1＋3＝2，(9分) 解得a ＝－2或6.(10分)②当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}；(9分)③当a <1时，不等式的解集为⎣⎡⎦⎤2＋a 3，2－a .(10分)。
2024广西九省联考数学试题及答案解析
2024广西九省联考数学试题及答案解析高考数学答题技巧一、巧解选择、填空题数学解选择、填空题的基本原则是“小题不可大做”。
思路:第一、直接从题干出发考虑,探求结果;第二、从题干和选择联合考虑;第三、从选择出发探求满足题干的条件。
解数学填空题基本方法有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)。
二、细答解答题1、数学规范答题很重要，找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，高考评分是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。
答题时，尽量使用数学符号，这比文字叙述要节省时间且严谨。
即使过程比较简单，也要简要地写出基本步骤，否则会被扣分。
2、分步列式，尽量避免用综合或连等式。
高考数学评分是分步给分，写出每一个过程对应的式子，只要表达正确都可以得到相应的分数。
有些考生喜欢写出一个综合或连等式，这种方式就不好，因为只要发现综合式中有一处错误，就可能丢过程分。
对于没有得出最后结果的数学试题，分步列式也可以得到相应的过程分，由此增加得分机会。
高考数学复习方法一、预习是聪明的选择最好预习老师指定的数学内容，每天不超过十分钟，预习的目的就是强制记忆基本概念。
二、基本概念是根本数学基本概念要一个字一个字理解并记忆，要准确掌握基本概念的内涵外延。
只有思维钻进去才能了解内涵，思维要发散才能了解外延。
只有概念过关，作题才能又快又准。
三、作业可巩固所学知识数学作业一定要认真做，不要为节约时间省步骤，作业不要自检，全面暴露存在的问题是好事。
四、难题要独立完成想得高分一定要过数学难题关，难题的关键是学会三种语言的熟练转换。
(文字语言、符号语言、图形语言)高三的数学有什么答题技巧1调整好状态，控制好自我。
(1)保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
广西钦州市2024届高三年级第三次教学质量监测 数学【含答案】
广西钦州市2024届高三年级第三次教学质量监测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足2i 1i z -=+，则z =（）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+2．已知集合{}Z 10A x x =∈+>，{}B x x a =≤，若A B ⋂中有2个元素，则a 的取值范围是（）A ．[)2,4B ．[)1,2C ．[]2,4D ．[]1,23．某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：5588605487999851990110111110291120712634129011300113092131271326813562136211376113801141011417214191142921442614468145621462115061156011590119972估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（）A ．14292B ．14359C ．14426D ．144684．若函数()1y f x =-是定义在R 上的奇函数，则()()()101f f f -++=（）A ．3B ．2C ．2-D ．3-5．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．166．已知1F ，2F 分别是双曲线()222:104x yC b b-=>的左、右焦点，是M 双曲线C 右支上的一个动点，且“2212MF MF -”的最小值是C 的渐近线方程为（）A ．12y x=±B ．y =C ．22y x =±D ．32y x =7．已知点P 是边长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，若直线AP 与平面ABCD 所成的角大小为π4，则点P 的轨迹长度为（）A ．B ．πC ．()24π2+D ．π28．已知n S 是公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，则“263,,S S S 成等差数列”是“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数()()sin 1f x x =+，则下列命题正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线=1x -对称C ．若()01f x =，则()022f x =D ．将()f x 的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数sin y x =的图象10．如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，EF AB ⊥，22CF EF DF ===，3AE =，4EB =，将四边形AEFD 沿EF 进行折叠，使AD 到达A D ''位置，且平面A D FE ''⊥平面BCFE ，连接A B '，D C '，如图2，则（）A ．BE A D ''⊥B ．平面//A EB '平面D FC'C ．多面体A EBCD F ''为三棱台D ．直线A D ''与平面BCFE 所成的角为π411．已知函数()ex kf x +=，函数()21e 2kx g x -=，且0k <，定义运算,,,,b a b a b a a b >⎧⊗=⎨≤⎩设函数()()()h x f x g x =⊗，则下列命题正确的是（）A ．()h x 的最小值为12B ．若()h x 在[]0,ln2上单调递增，则k 的取值范围为(],2ln 2-∞-C ．若()h x m =有4个不同的解，则m 的取值范围为31ln2221,e k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．若()h x m =有3个不同的解1x ，2x ，3,x 则1230x x x ++=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点()1,2P -在抛物线上C ，直线PF 与抛物线C 的另一个交点为A ，则AF =.13．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin 6sin c A C =，()2218a c b +=+，则ABC 的面积为.14．已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为12高为100，2实心球，则该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A =“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B =“抽取的学生建立了个性化错题本”，且2(|)3P A B =，5(|6P B A =，()23P B =.(1)求()P A 和()P A B .(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值0.005α=的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格不及格建立未建立合计参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.010.0050.001ax 6.6357.87910.82816．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA BC ==24CD AB ==.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足2PE ED =，求二面角P EF B --的正弦值.17．已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1a >-，证明：()f x 在()π,π-上有3个零点.18．平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.19．对于平面向量()(),,,0,1,2,k k k k k a x y x y k =∈=N，定义“F 变换”：()1k k a F a += ，其中{}{}{}11,max ,2min ,,max ,k k k k k k k k k k x x y y x y x y x y ++=-=-表示,k k x y 中较大的一个数，{}min ,k k x y 表示,k k x y 中较小的一个数.若k k x y =，则{}{}max ,min ,k k k k k k x y x y x y ===.记,k k k k k k a x y a x y ==+.(1)若()01,9a =，求2a 及2a ；(2)已知112024,2025a a == ，将1a经过m 次F 变换后，1m a + 最小，求m 的最小值；(3)证明：对任意0a u u r，经过若干次F 变换后，必存在k +∈N ，使得0k a = .1．A【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】因为2i 1i z -=+，所以()21i ii i 1i 1i z -+-+===----.故选：A 2．B【分析】根据{}0,1A B = 即可求解.【详解】{}{}Z 10Z 1A x x x x =∈+>=∈>-，因为A B ⋂中只有2个元素，则{}0,1A B = ，所以12a ≤<.故选：B 3．C【分析】根据给定数据，利用第75百分位数的意义求解即得.【详解】由3075%22.5⨯=，得样本的第75百分位数为第23个数据，据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426.故选：C 4．A【分析】根据奇函数的性质可得()()2f x f x +-=，进而可得()()112f f +-=，()01f =，即可求解.【详解】设()()1F x f x =-，则()()0F x F x +-=，即()()110f x f x -+--=，即()()2f x f x +-=，所以()()112f f +-=.因为()()0010F f =-=，所以()01f =，()()()101213f f f -++=+=.故选：A 5．B【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.【详解】将4个盒子按顺序拆开有44A 24=种方法，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，有22222222A 8A A A +=种情况，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为81243P ==.故选：B 6．C【分析】法一：根据条件，利用点到点的距离公式得到221204MF MF cx -=，再利用02x ≥，即可求出结果；法二：利用双曲线的定义，得到()22122442MF MF MF -=+，再利用2MF的取值范围，即可求出结果.【详解】解法一：不妨设()1,0F c -，()2,0F c ，()00,M x y ，且02x ≥，则()()222222120000048MF MF x c y x c y cx c ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以8c =，解得c b ，故双曲线C 的渐近线方程为2y x =.解法二：()()()22121212124MF MF MF MF MFMF MF MF -=-+=+()()244244228MF c c ⎡⎤=+≥+-=⎣⎦，所以8c =，解得c b ，故双曲线C 的渐近线方程为y x =.故选：C.7．D【分析】由题意，分析可得点P 的轨迹，分别计算各段轨迹的长度即可.【详解】若点P 在正方形1111D C B A 内，过点P 作PP '⊥平面ABCD 于P '，连接1,AP A P '.则PAP '∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，则π4PAP '∠=，又1PP '=，则PA =，得11PA =，则点P 的轨迹为以1A 为圆心半径为1的圆（落在正方形内的部分），若点P 在正方形11ABB A 内或11ADD A 内，轨迹分别为线段1AB 和1AD ，因为点P 不可能落在其他三个正方形内，所以点P 的轨迹如图所示：故点P 的轨迹长度为1π2π42⨯=.故选：D 8．A【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】因为n S 是公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，所以若263,,S S S 成等差数列，则6232S S S =+，从而()()()6231112111111a q a q a q qq q---=+---，结合1q ≠化简得421qq =+，若,,m mn n a a a 成等差数列，则2mn m n a a a =+，即2mn m n q q q =+，所以()121n m m n q q --=+，故当()141n m m n ⎧-=⎨-=⎩时，有23n m =⎧⎨=⎩，即“263,,S S S 成等差数列”能推出“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”；反之，满足()121n m m n q q --=+不一定是421q q =+，如1n =，3m =，1q =-，满足()121n m m n q q --=+，但不满足421q q =+，即“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”推不出“263,,S S S 成等差数列”；所以“263,,S S S 成等差数列”是“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”的充分不必要条件.故选：A 9．AD【分析】对于A ，利用周期公式直接计算判断，对于B ，将=1x -代入函数验证，对于C ，由()01f x =求出0x ，再将02x 代入函数计算，对于D ，根据三角函数图象变换规律分析判断.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期为2π,A 正确.对于B ，因为()101f -=≠±，所以()f x 的图象不关于直线=1x -对称，B 错误.对于C ，由()()00sin 11f x x =+=，得0π12π,2x k k =-+∈Z ，所以()()()002sin 21sin π14πsin1f x x k =+=-+=，C 错误.对于D ，将()f x 的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数sin y x =的图象，D 正确.故选：AD 10．ABD【分析】求得,BE A D ''位置关系判断选项A ；求得平面A EB '与平面D FC '位置关系判断选项B ；利用三棱台定义判断选项C ；求得直线A D ''与平面BCFE 所成的角判断选项D.【详解】对于A ，因为平面A D FE ''⊥平面BCFE ，平面A D FE '' 平面BCFE EF =，BE EF ⊥，BE ⊂平面BCFE ，所以BE ⊥平面A D FE ''，所以BE A D ''⊥，A 正确.对于B ，因为//A E D F ''，'A E ⊄平面D FC '，D F '⊂平面D FC '，则//A E '平面D FC '，又//BE CF ，BE ⊄平面D FC '，CF ⊂平面D FC '，则//BE 平面D FC '，又A E BE E '⋂=，,A E BE '⊂平面A EB '，所以平面//A EB '平面D FC '，B 正确.对于C ，因为13D F A E =''，24FC EB =，则D F FC A E EB≠''，所以多面体A EBCD F ''不是三棱台，C 错误.对于D ，延长A D ''，EF 相交于点G ，因为平面A D FE ''⊥平面BCFE ，平面A D FE '' 平面BCFE EF =，A E '⊂平面A D FE ''，A E EF '⊥，所以A E '⊥平面BCFE ，则'∠A GE 为直线A D ''与平面BCFE 所成的角.因为//A E D F ''，所以D F GFA E GF FE''=+，解得1GF =，3GE =，tan 1A EA GE GE''∠==，则π4A GE ∠'=，D 正确.故选：ABD 11．AC【分析】对A ，对k 分类讨论，并作出分段函数的图象求出最小值即可；对B ，令0021ee 2kx x k---=，求出0x ，根据其单调性得到不等式，解出即可；对C 和D 结合图象转化为直线y m =与函数图象交点个数，并结合函数对称性即可判断.【详解】对A ，()e ,,ee ,,x k x kx k x k f x x k ++--⎧≥-==⎨<-⎩()2221e ,,122e21e ,.22k x kx kx kx g x k x ---+⎧≥⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩令21e e 2kx x k-+≥，解得2ln23k ≥-.当2ln203k -≤<时，作出函数()f x 和()g x 的图象，如图1所示.此时，()()h x g x =，显然当2k x =时，()min 122k g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2ln23k <-时，作出函数()h x 的图象，如图2所示.()()min 1f x f k =-=，()min 122k g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()h x 的最小值为12，综上()h x 的最小值为12，A 正确.对B ，令0021e e 2k x x k---=，解得01ln222k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013ln 222e e k x k ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭=.若()h x 在[]0,ln 2上单调递增，则01ln 2ln 222k x ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，解得2ln 2k ≤-.因为当2ln 203k -≤<时，()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以k 的取值范围为(]2ln 2,2ln 2,03∞⎡⎫--⋃-⎪⎢⎣⎭，B 错误.对CD ，若()h x m =有3个不同的解1x ，2x ，3x ，则结合图象可得()12301322ln2222k k x x x k x ⎛⎫++=⨯+--=-+ ⎪⎝⎭或123202kx x x k ++=⨯-=，D 错误.若()h x m =有4个不同的解，则13ln 2221,e k m ⎛⎫-+ ⎝⎭⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，C 正确.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题B 选项的关键是结合图象找到临界位置，从而得到不等式，CD 选项应结合函数图象，转化为直线与函数图象交点个数问题.12．2【分析】将()1,2P -代入抛物线方程，再根据直线PF 与x 轴垂直求解即可.【详解】由题意可得()2221p -=⨯，解得2p =，则()1,0F .所以直线PF 与x 轴垂直，()1,2A ，2AF =.故答案为：213【分析】由正弦定理角化边可得6ac =，再结合余弦定理可得cos B ，根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求解.【详解】解：因为2sin 6sin c A C =，由正弦定理可得：26ac c =，即6ac =，又()22 18a c b +=+，所以2221826a c b ac +-=-=，由2221cos 22a c b B ac +-==⇒sin B =所以133sin 22ABC S ac B ==，故答案为：332.14．49【分析】分析第1个实心球1O 上的点与第2个实心球2O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离，依次叠放，找出规律得到每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2，即可得到答案.【详解】如图，将第1个实心球1O 靠近该圆柱形容器侧面放置，球1O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为将第2个实心球2O 也靠近该圆柱形容器侧面放置，过点1O 作1O A 垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为A ，过点2O 作2O B 垂直于该圆柱形容器下底面，垂足为B ，设12O A O B C = .AC BC ==12CO =，22CO =，球2O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为2+.同理可得球3O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为4+.由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2.因为4821004922⨯+<⨯+，所以该圆柱形容器内最多可以放入49个这种实心球.故答案为：49【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2，从而得解.15．(1)()13P A =，()16P A B =(2)表格见解析，有关；【分析】（1）根据条件概率计算出结果；（2）利用独立性检验步骤进行计算得出结果；【详解】（1）因为2(|3P A B =，5(|6P B A =，所以1(|)1(|)3P A B P A B =-=，1(|1(|6P B A P B A =-=，由于(|)()(|)()P A B P B P B A P A ⋅=⋅，解得()23P A =，所以()13P A =.()()(|)((|)P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅，解得()16P A B =.（2）个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格不及格建立20424未建立4812合计241236零假设为0;H 期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.根据列联表中的数据，经计算得到()220.005362084497.87924121224x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯.根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.16．(1)证明见解析；【分析】（1）根据条件，利用线面平行的判定定理，得到//AB 平面PCD ，再线面平行的性质定理，得到//AB CD ，再利用条件得到4AC =，结合2AB =，BC =即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD 和平面ABE 的法向量，利用面面角的向量法，即可解决问题.【详解】（1）因为//AB EF ，EF ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，所以//AB CD ，连接AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PCA ∠是PC 与平面ABCD 的夹角，则tan 2PA PCA AC AC ∠==，解得4AC =.因为2AB =，BC =222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥.又AB CD ≠，所以四边形ABCD 是直角梯形.（2）取CD 的中点M ，连接AM ，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,P ，()2,0D -，()2,0C ，()0,2,0B ，()0,2,0AB =，(2,PC =- ，(2,PD =--，由2PE ED =，得4,,333E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则10,333BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则2020n PC y n PD y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1x =，得到0,1y z ==，即()1,0,1n = ，设平面ABE 的一个法向量为(),,m x y z =，则由00m AB m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到20100333y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，到1x =，得到0,2y z ==-，所以平面ABE 的一个法向量为()1,0,2m =-设二面角P EF B --的平面角为θ，则cos cos ,n m n m n m θ⋅==sin θ==故二面角P EF B --.17．(1)y x =(2)证明见解析【分析】（1）当0a =时求出()0f 、()0f '，再由直线的点斜式方程可得答案；（2）()00f =得0是()f x 的一个零点，再判断出()f x 为奇函数，只需要证明()f x 在()0,π上有1个零点即可，利用导数判断出()f x 在()0,π上的单调性，结合()()00,π0f f =<可得答案.【详解】（1）当0a =时，()()cos ,00f x x x f ==，()()cos sin ,01f x x x x f =''-=，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）因为()00f =，所以0是()f x 的一个零点，x ∈R 时，()()sin cos f x a x x x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，要证()f x 在()π,π-上有3个零点，只需要证明()f x 在()0,π上有1个零点，()()()1cos sin ,01f x a x x x f a =+'='-+，令函数()()()()()1cos sin ,2sin cos g x f x a x x x g x a x x x ==+--'+'=-，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以函数()()g x f x ='在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.因为()ππ010,022f a f ⎛⎫=+>=⎪⎭'- '<⎝，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '>，当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，因为()()()000,0,ππ0f f x f =>=-<，所以()f x 在()0,π上有1个零点，故()f x 在()π,π-上有3个零点.18．(1)()5,6B -(2)证明见解析【分析】（1）根据垂心以及外心满足的等量关系即可根据BE AE =，222BF EF AE +=，求解，（2）根据共线以及2AD EF =可得132s m =-，进而根据,AB CD 满足的垂直关系可得()()231313n m m =-+，联立直线与椭圆方程，得判别式，化简可得()()213313.b m m =--即可求解.【详解】（1）因为()3,0E ，所以()3,0D -.设BC 与x 轴的交点为(),0F m -，由题意可得2AD EF =，即()13323m +=+，解得5m =.设()5,B n -，因为BE AE =，所以222BF EF AE +=，则()()22235133n ++=-，解得6n =.所以()5,6B -.（2）证明：因为D 和E 关于原点O 对称，且A ，D ，E 三点共线，所以A ，D ，E ，O 四点共线，即点A ，D ，E ，O 都在x 轴上.因为AD 是ABC 的高，所以AD BC ⊥，即BC x ⊥轴.因为ABC 的外心为E ，所以BE CE =，所以点B 与点C 关于x 轴对称.设BC 与x 轴的交点为(),0F m -，(),B m n -，(),C m n --，(),0D s -，(),0E s ，由题意可得2AD EF =，即()132s m s +=+，化简得132s m =-.直线CD 的斜率为313n n s m m =-+-，直线AB 的斜率为13nm-+，所以131313n n m m ⎛⎫⋅-=- ⎪-+⎝⎭，化简得()()231313n m m =-+①直线AB 的方程为()1313ny x m=--+.椭圆()2222:10x y T a b a b+=>>与ABC 内切，所以a m =.联立()222213,131,n y x m x y m b ⎧=--⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩得()()2222222222221326169130b m m n x m n x m n m b m ⎡⎤++-+-+=⎣⎦.()()()222222222222Δ26413169130m n b m m n m n m b m ⎡⎤⎡⎤=-++-+=⎣⎦⎣⎦，即()()()24222221691313130n m b m m n m +-+-+=.因为()2130m +≠，所以()22222169130n b m m n -+-=，即()()()2221313130m m n b m +--+=，即()()2213130m n b m --+=.结合①可得()()213313.b m m =--设椭圆T 的焦距为2c ，则()()()22222213313213c m b m m m m s =-=---=-=，所以D ，E 为椭圆T 的两个焦点.【点睛】关键点点睛：根据2AD EF =以及垂心和外心满足的几何关系，根据相切，通过判别式为0化简的()()213313b m m =--是本题的关键.19．(1)226,7a a == (2)1349(3)证明见解析【分析】（1）先根据已知的新定义求出2a，从而可求出2a 及2a ；（2）根据112024,2025a a == 求出11,x y ，从而可求出2345678,,,,,,a a a a a a a，进而可得()(211,20243N n a n n ++=-∈且)202430n ->，则可求出m 的最小值；（3）分000,0x y ==，000,0x y =≠，000,0x y ≠=和000,0x y ≠≠四种情况讨论即可.【详解】（1）解：因为()01,9a = ，所以()18,7a = ，所以()21,6a =，所以22166,167a a =⨯==+=.（2）解：因为1111112024,2025a x y a x y ===+= ，所以112024,1x y =⎧⎨=⎩或111,2024,x y =⎧⎨=⎩所以{}{}211222222023,max ,2min ,2022x x y y x y x y =-==-=，即()22023,2022a =.由题意可得()()341,2021,2020,2019a a ==，()()561,2018,2017,2016a a ==，()()781,2015,2014,2013a a ==，根据规律可得()(211,20243N n a n n ++=-∈且)202430n ->，由N n +∈且202430n ->可得n 的最大值为674，所以()13491,2a =，所以()()()()13501351135213531,0,1,1,0,1,1,1,a a a a ====，此后进入循环.所以当1349m <时，11m a +>；当1349m =时，13501a =；当1349m >时，11m a +≥ .所以1m a +最小时，m 的最小值为1349.（3）证明：当000,0x y ==时，显然存在k +∈N ，使得0k a =.当000,0x y =≠时，()()10020,,0,a y y a y ==，即20a = ，存在k +∈N ，使得0k a = .同理，当000,0x y ≠=时，存在k +∈N ，使得0k a =.当000,0x y ≠≠时，若k k x y =，则110,0k k k k x x y a ++=-== ，存在k +∈N ，使得0k a =.若k k x y ≠，设{}()max ,0,1,2,k k k M x y k == .假设对任意,0k k a ∈≠N，则,k k x y 均不为0.因为,k k x y +∈N ，所以{}1max ,k k k k k x x y x y +=-<.若k k x y >，则{}{}1max ,2min ,2k k k k k k k k y x y x y x y x +=-=-<，若k k x y <，则12k k k k y y x y +=-<，所以{}1max ,k k k y x y +<，所以1k k M M +<，即123M M M >>> .因为()1,2,k M k +∈=N ，所以112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，故假设不正确，即存在N k ∈，使得0k a =.综上，对于任意0a u u r，经过若干次F 变换后，必存在k +∈N ，使得0k a = .【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的新定义，解题的关键是对平面向量新定义的正确理解，根据新定义求解，考查分析问题的能力、理解能力和计算能力，属于难题.。
广西省玉林市重点中学2023-2024学年高三第二次联考数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -2．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．23．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．86．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．27．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C 3D ．368．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-9．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．1110．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 11．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 12．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西桂林市(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷
广西桂林市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）A．5B．4C．3D．2第(2)题设命题：，，则为（）A．，B．，C．，D．，第(3)题函数的图象大致是（）A．B．C．D．第(4)题已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（）A．B．C．D．1第(5)题与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．一条抛物线上D．双曲线的一支上第(6)题已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（）.A．B．C．D．第(7)题如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为35、28，则输出的a=（）A．1B．14C．7D．28第(8)题设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在三棱锥中，，，且，则（）A．当为等边三角形时，，B．当，时，平面平面C．的周长等于的周长D．三棱锥体积最大为第(2)题在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，，，过点的平面截正方体所得图形为，则（）A．，使得B．，使得为四边形C．三棱锥体积的取值范围是D．的面积的取值范围是第(3)题某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）A．B．样本质量指标值的平均数为75C．样本质量指标值的众数小于其平均数D．样本质量指标值的第75百分位数为85三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若将函数表示成，则a 3的值等于__第(2)题已知平面向量，满足，，，则______.第(3)题已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知的内角的对边分别为．(1)求；(2)若为线段上一点，且，求的长．第(2)题已知椭圆C：（）和圆O：．C的焦距为，过C的右顶点作圆O的切线，切线长为．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆O的切线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．第(3)题当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：套餐A B C D E F月资费x（元）384858687888购买人数y（万人）16.818.820.722.424.025.5对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：75.324.618.3101.4其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近.(1)根据所给数据，求出关于的回归方程；(2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为.第(4)题函数 .（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明： .第(5)题如图，在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，又侧棱，面对角线，点分别是棱的中点，.(1)证明：平面；(2)求二面角的正切值.。
2023年12月广西普通高中学业水平合格性考试数学含答案
2023年12月广西普通高中学业水平合格性考试数学（全卷满分100分，考试时间90分钟）一、单项选择题（本大题共26小题，每小题2分，共52分，在每小题所列的4个备选项中，只有1个符合题目要求，错选、多选或来选均不得分。
）1．图中阴影区域所表示的集合为A．{2}B．{1}C．{5,6}D．{1,2}2．若复数z满足z=(1+i)i（i是虚数单位），则在复平面内z对应的点在A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限3．已知函数f(x)=1，则f(4)=xA．13B．14C．1D．124．某学校高一年级女生定制校服规格的数据如图所示，则这组数据的众数为A．160B．55C．170D．1654=5．√24A．13B．0C．2D．16．如图、以矩形ABCD的边AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是A．圆台B．圆锥C．球D．圆柱7．函数y=x(1≤x≤5)的最大值为A．3B．2C．5D．48．若实数a，b满足，则A．2a<2bB．2a>2bC．a-b<0D．a+1<b+1弧度化为角度是9．将π3A．60°B．45°C．90°D．75°10．若sinα=1，则sin(-α)=2A．-13B ．-12C ．1D ．1511．一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为A ．3B ．2C ．6D ．512．log 33=A ．2B ．3C ．13D ．113．如图，在正方形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为A ．90°B ．30°C ．180°D ．120°14．已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为A ．2B ．1C ．6D ．4。
2023届广西桂林市、崇左市高三数学联考理科模拟试卷含解析
2022年广西桂林市、崇左市高考数学联考模拟试卷（理科）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）（答案在最后）1．设集合A＝{2，3，4}，集合B＝{x|x2﹣3x+m＝0}．若A∩B＝{2}，则B＝（）A．{1，﹣2}B．{1，0}C．{1，2}D．{1，3}2．已知复数z＝（3﹣i）2，则的虚部为（）A．﹣6B．6C．6i D．﹣6i3．已知实数x，y满足不等式组，则x+y的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣2，2]C．[2，4]D．[﹣2，4]4．若，，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新的样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝cx i（i ＝1，2，…，n），且c≠0，则下列说法中错误的是（）A．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍B．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍C．新样本数据的方差是原样本数据方差的c倍D．新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍6．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则函数f（x）的图象与函数y＝2sinπx（﹣4≤x≤6）图象所有交点的横坐标之和等于（）A．12B．4C．6D．87．在的展开式中，若x2项的系数为270，则实数a的值为（）A．B．2C．3D．48．如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（）A．12000000mm3B．8000000mm3C．6000000mm3D．4000000mm39．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1＝，，则S100＝（）A．B．C．D．10．已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，当|MN|最大时，则△F1PF2的面积为（）A．B．C．D．11．已知四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为矩形，△P AD为等腰直角三角形，P A＝PD＝，AB＝4，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．24πB．20πC．16πD．8π12．已知函数y＝ax3﹣x2+3ax+5有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣3，3）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．在平面直角坐标系xOy中，已知，当绕原点逆时针旋转60°得到，则的坐标为．14．在等比数列{a n}中，若a1＝2，a5＝，则公比q＝．15．若双曲线（a＞0）的一条渐近线方程过（1，a），则此双曲线的离心率为．16．已知等比数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2n+1﹣m，数列{b n}满足b n＝log2a n，其中n∈N*，给出以下命题：①m＝1；②若ta n＞b n﹣4对n∈N*恒成立，则t＞；③设f（n）＝a n+，n∈N*，则f（n）的最小值为12；④设c n＝，n∈N*，若数列{c n}单调递增，则实数λ的取值范围为（﹣，3）．其中所有正确的命题的序号为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝b（sin C+cos C）．（1）求角B的大小；（2）若A＝，D为△ABC外一点（A、D在直线BC两侧），DB＝2，DC＝3，求四边形ABDC 面积的最大值．18．（12分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，M是AD的中点．（1）证明：BE⊥平面A1B1M；（2）求直线BD1与平面EBD所成角的正弦值．19．（12分）已知抛物线x2＝2py上一点P（﹣2，1），焦点为F，（1）求|PF|的值；（2）已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且P A⊥PB，过点P作直线AB的垂线，垂足为C，求C点的轨迹方程．20．（12分）某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？【写出步骤与公式】21．（12分）已知f（x）＝ax﹣lnx（a∈R），（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；（2）函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2①求a的取值范围；②实数m满足lnx1+lnx2＞m，求m的最大值．（二）选考题：共10分。
2022-2023学年广西柳州市高一年级上册学期12月联考数学试题【含答案】
2022-2023学年广西柳州市高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{1,2,3,4,5}A ={}2540B x x x =-+<A B = A ．B ．C ．D ．{1}{1,2}{2,3}∅【答案】C【分析】根据题意，解出集合，根据交集运算即可得出结果.{}14B x x =<<【详解】由题意知，集合对应的不等式解集为，B 2540x x -+<即，得，(1)(4)0x x --<{}14B x x =<<所以，.{}2,3A B ⋂=故选：C.2．下列函数中，与 是同一个函数的是（ ）y x =A ．B ．2y =u =C ．D ．y =2n m n =【答案】B【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.【详解】对于A ，函数，与函数的定义域不同，不是同一个[)20,y x x ==∈+∞，R y x x =∈，函数；对于 B ，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个R u v v ==∈，R y x x =∈，函数；对于 C ，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；Rs t t ==∈，R y x x =∈，对于 D ，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函()()2,00,n m n n n ==∈-∞⋃+∞，R y x x =∈，数.故选：B.3．已知，且为第二象限角，则（ ）5cos 13α=-αtan α=A ．B ．C ．D ．125-512-1213-1312-【答案】A【分析】根据同角三角函数基本公式计算即可.【详解】由题意得，所以.12sin 13α==12sin 1213tan 5cos 513ααα===--故选：A.4．已知、、，且，则下列不等式成立的是a b R c ∈a b >A ．B ．C ．D ．22a b>a b>a c b c +>+ac bc>【答案】C【解析】利用特殊值法可判断A 、B 选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C 、D 选项的正误.【详解】取，，则，，A 、B 选项错误；2a =-3b =-22a b <a b<，，由不等式的基本性质可得，C 选项正确；a b > R c ∈a c b c +>+当时，，则，D 选项错误.0c <a b > ac bc <故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.5．已知，则函数的解析式是（ ）2(1)2()f x x x x +=+∈R ()f x A ．B ．2()1()f x x x =+∈R 2()1()f x x x =-∈R C ．D ．2()1(1)f x x x =-≥2()1(1)f x x x =+≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式即可.【详解】令由于，则， 1,t x =+x ∈R t ∈R 1,x t =-所以，，得；22(1)()(1)2(1)1f x f t t t t +==-+-=-2()1,()f t t t =-∈R 所以，函数的解析式为；()f x 2()1()f x x x =-∈R 故选：B.6．如图，是边长为2的等边三角形，点由点沿线段向点移动，过点作的垂ABC E A AB B E AB 线，设，记位于直线左侧的图形的面积为，那么与的函数关系的图象大致是（ ）l AE x =l y y xA ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分；01x ≤≤21tan 602y x x ︒=⋅⋅⋅=当时，，显然此12x <≤21112(2tan 60)(2)[(2)tan 60]2)222y x x x ︒︒=⨯⨯⨯⨯-⨯-⋅-⋅=-+时函数的图象是抛物线的一部分，综上所述：与的函数关系的图象大致是选项D ，y x 故选：D7．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于经测定，刚下课时，0.1%.空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：0.2%%y y t 分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标()100.05ety λλ-=+∈R 准至少需要的时间为（ ）（参考数据）ln3 1.1≈A ．分钟B ．11分钟C ．分钟D ．22分钟8.813.2【答案】B【分析】首先根据初始值，求，再根据不等式，利用指对互化，求的取值范λ100.050.15e 0.1t-+≤t 围.【详解】当时，，解得：，0=t 0.050.2y λ=+=0.15λ=所以，当，解得，100.050.15et y -=+100.050.15e0.1t -+≤10ln 311t ≥≈所以至少需要11分钟.故选：B 8．已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是（ ）()f x (),0∞-()30f -=()0xf x <A ．或B ．或{30x x -<<}3x >{3x x <-}3x >C ．或D ．或{3x x <-}03x <<{30x x -<<}03x <<【答案】D【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分，()f x ()0,∞+()30f =0x >和三种情况求解即可0x <=0x 【详解】解：是奇函数，，且在内是增函数，()f x ()30f -=(),0∞-，且在内是增函数，()30f ∴=()f x ()0,∞+因为，所以()0xf x <①当时，原不等式可化为，又在内是增函数，0x >()()03f x f <=()f x ()0,∞+所以，03x <<②当时，原不等式可化为，又在区间上是增函数，所以0x <()()03f x f >=-()f x (),0∞-30x -<<③当时，，与矛盾，所以不是不等式的解，0x =()0xf x =()0xf x <0x =()0xf x <综上，的解集是或.()0xf x <{30x x -<<}03x <<故选：D.二、多选题9．与终边相同的角有（ ）835-︒A ．B ．C ．D ．245-︒245︒115-︒475-︒【答案】BCD【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可.【详解】与终边相同的角可表示为，835-︒835360,Z k k -︒+⨯︒∈时，为；时，为；时，为；1k =475-︒2k =115-︒3k =245︒故选：BCD.10．下列大小关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．1.52.793>43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13211log log 32<0.22.11.70.9>【答案】ABD【分析】对A ，正确；对B ，借助中间量可知正确；对C ，由换底公式731.5 2.933=>3737⎛⎫ ⎪⎝⎭而，所以C 错误；对D ，借助中间值1即可比较出结果；1221log log 30,3=>331log log 102<=【详解】对于A ，因为，而是增函数，所以，即，故A 正确；31.593=3xy =23.733> 1.5 2.793>对于B ，根据指数函数为单调递减可知，，37xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭43773377⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由幂函数为单调递增可知，37y x =37373477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故B 正确；433777334777⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C ，由换底公式可知，1221log log 33=根据对数函数单调性可知， ,1221log log 303=>331log log 102<=所以，故C 错误；13211log log 32>对于D ，由指数函数单调性可知，所以，故D 正确；0.20.1021.7 1.71,0.90.91>=<=0.2 2.11.70.9>故选：ABD.11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆的周长和O 面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（ ）OA ．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个O B ．函数可以同时是无数个圆的“太极函数”3()f x x =C ．函数可以是某个圆的“太极函数”1()f x x =D ．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形()y f x =()y f x =【答案】AB【分析】选项A ，过圆心的直线都可以满足已知条件；选项B ，函数关于原点中心对称，3()f x x =是圆心在原点的圆O 的“太极函数”； 选项C 错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，1()f x x =不存在圆可以让函数将其的周长和面积同时等分；选项D 可以通过举出两个反例分别进行1()f x x =说明.【详解】选项A 正确，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故A 正确；选项B 正确，函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆的周长和面积同时等分3()f x x =成两部分，故是圆心在原点的圆O 的“太极函数”，故B 正确；3()f x x =选项C 错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆让函数的图象将其的1()f x x =1()f x x =周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”, 故C 错误；1()f x x =选项D 错误，函数的图像是中心对称图形，但不是 “太极函数”；反之，如图，1()f x x =1()f x x =函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故D 错误.()y f x =故选：AB ．12．已知函数，若恒成立．则实数的取值可以是（ ）121,2()3log ,22x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩()()f x a f x +≥a A ．2B ．C ．D ．3-94-1-【答案】BC【分析】利用数形结合思想，结合函数的单调性和图象的平移分类讨论进行求解即可.【详解】函数图象如下图所示：当时，，当时，函数单调递减，有，显然不恒成立；0a ≥x a x +≥2x >()()f x a f x +≤()()f x a f x +≥当时，，0a <()()()()021,1 2.50f f f f ====可看做是向右平移个单位，()f x a +()f x a -要使恒成立，即的图象一直在的非下方，()()f x a f x +≥()f x a +()f x 通过平移可发现，只需，显然选项BC 符合，22a a -≥⇒≤-故选：BC【点睛】关键点睛：根据函数的单调性运用数形结合思想是解题的关键.三、填空题13．函数的定义域为________．()1f x =++【答案】[]2,1-【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.x 【详解】要使函数有意义，则，解得.()f x 1020x x -≥⎧⎨+≥⎩21x -≤≤因此，函数的定义域为.()f x []2,1-故答案为：.[]2,1-14．已知函数，则______.()e ,0=ln ,>0x x f x x x ≤⎧⎨⎩1e f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】-1【分析】根据分段函数的定义，可得答案.【详解】由，则.10e >11ln 1e e f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.1-15．若一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为________．234204kx kx +-<x k 【答案】()3,0-【分析】直接由根据开口方向与判别式解不等式即可.【详解】一元二次不等式对一切实数成立，234204kx kx +-<x ，解得：∴20Δ4120k k k <⎧⎨=+<⎩30k -<<的取值范围是：k ∴()3,0-故答案为：．()3,0-16．若函数经过点，且，则的最小值为________．()23f x x =-+(,)a b 0a >0b >121a b ++【答案】85【分析】运用代入法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为函数经过点，()23f x x =-+(,)a b 所以，因为且，所以()2323215b a a b a b =-+⇒+=⇒++=0a >0b >，()()41112118[21]44515155a b a b a b a b ⎡+⎡⎤⎛⎫+++≥++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎣⎦⎣当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，()411a b a b +=+15,42a b ==故答案为：85四、解答题17．已知集合，集合{}121P x a x a =+≤≤+{}25Q x x =-≤≤（1）若，求集合；3a =()R C P Q （2）若，求实数的取值范围.P Q ⊆a 【答案】（1）；（2）{}24x x -≤<(,2]-∞【详解】试题分析;（1）将的值代入集合中的不等式，确定出，找出的补集，求出补集与a P P P 的交集即可；Q （2）根据为的子集列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围．P Q a a 试题解析;(1)当，，,3a ={|47}P x x =≤≤{|47}R C P x x x ∴=或.(){|47}{|25}{|24}R C P Q x x x x x x x ∴⋂=⋂-≤≤=-≤<或（2）①当时，满足,有+1，即P φ=P Q ⊆21a a +<0a < ②当时，满足，则有，P φ≠P Q ⊆21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩02a ∴≤≤综上①②的取值范围为a (],2-∞18．已知．2212sin cos 2cos sin αααα+=-(1)求的值；tan α(2)求的值．222sin 3sin cos cos αααα+-【答案】(1)13(2)15【分析】（1）先利用，将整理化简可得，再将22cos sin 1αα+=2212sin cos 2cos sin αααα+=-sin cos 2cos sin αααα+=-分子分母同时除以，可得，求解方程即可；cos α1tan 21tan αα+=+（2）将原式除以1，再将1用替换，分子分母同时除以，可得22cos sin αα+2cos α，将（1）中的值代入即可求出结果.222tan 3tan 1tan 1ααα+-+tan α【详解】（1）解：22212sin cos (sin cos )cos sin (cos sin )(cos sin )αααααααααα++=--+，sin cos 1tan 2cos sin 1tan αααααα++===--解得：1tan 3α=（2）解：2222222sin 3sin cos cos 2sin 3sin cos cos sin cos αααααααααα+-+-=+2222112312tan 3tan 1133tan 15113ααα⎛⎫+⨯- ⎪+-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭19．化简求值（需要写出计算过程）(1)若，，求的值；1004a=1025b =2a b +(2)．23ln 213248e log log 32log 327-⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭【答案】(1)2(2)1-【分析】（1）先取对数将表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.,a b 【详解】（1），，得1004lg100lg 42lg 4a a a =⇒=⇒=1025lg 25b b =⇒=2lg 4lg 25lg1002a b +=+==（2）原式223135232222log 2log 2log 33-⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2212534-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭91344=-1=-20．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．()*n n ∈N ()2102nn -(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额）=总盈利额年度【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出()f n n ()f n 结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；()f n n 由题意可得，()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；()0f n >28n <<*n ∈N 3（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，()()221010016010590f n n n n =-+-=--+当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 909020110+=方案二：由（1）可得，平均盈利额为，()210100160161010010020f n n n n n n n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，16n n =4n =4n =()80f n =此时处理掉设备，总利润为万元；8030110+=综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.11021．已知定义域为，对任意都有，当时，，()f x R ,x y ∈R ()()()1f x y f x f y +=+-0x >()1f x >．(1)2f -=(1)试判断在上的单调性，并证明；()f x R (2)解不等式：．()23422()4f x x f x --+>【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2).()()1,1,3-∞-⋃+∞【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可；（2）根据将不等式整理为，然后根据单调性列不()()()1f x y f x f y +=+-()()23221f x x f -->-等式，解不等式即可.【详解】（1）在R 上单调递增，证明如下，()f x令，，，且，1x y x +=2x x =12y x x =-12x x >则，()()()12121f x f x f x x -=--因为，所以，，即，，12x x >120x x ->()121f x x ->()()120f x f x ->()()12f x f x >所以在R 上单调递增.()f x （2）()()234224f x x f x --+>()()()234213f x x f x f x --+->-+()()23323f x x f x -->-+()()233212f x x f x --+->，()()232221f x x f -->=-因为在R 上单调递增，所以，整理得，解得或，()f x 23221x x -->-()()1310x x -+>13x <-1x >所以不等式的解集为.()()1,1,3-∞-⋃+∞22．已知函数，（且），的定义域关于原点对称，2()2x x b c f x b ⋅-=+1()log a x g x x b -=+0a >1a ≠()g x ．(0)0f =(1)求的值，判断函数的奇偶性并说明理由；b ()g x (2)求函数的值域；()f x (3)若关于的方程有解，求实数的取值范围．x 2[()](1)()20m f x m f x ---=m 【答案】(1)，为奇函数1b =()g x (2)()1,1-(3)(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据的定义域关于原点对称可得，再求解可得判断即可；()g x 1b =()()0g x g x -+=（2）根据指数函数的范围逐步分析即可；（3）参变分离，令，将题意转换为求在上的值域，()()21,3t f x =-∈()()222tm t t =---()1,3t ∈再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可.【详解】（1）由题意，的定义域，即的解集关于原点对称，1()log ax g x x b -=+10x x b ->+()()10x x b -+>根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故.1x =x b =-1b =此时，定义域关于原点对称，，因为1()log 1a x g x x -=+11()log log 11a a x x g x x x --+-==-+-.1111()()log log log log 101111aa a a x x x x g x g x x x x x -+-+⎛⎫-+=+=⨯== ⎪+-+-⎝⎭故，为奇函数.()()g x g x -=-()g x （2）由（1），又，故，解得，故，因2()21x x c f x -=+(0)0f =002121c -=+1c =212()12121x x x f x -==-++为，故，故，即的值域为211x +>20221x <<+211121x -<-<+()f x ()1,1-（3）由（2）的值域为，故关于的方程有解，即()f x ()1,1-x 2[()](1)()20m f x m f x ---=在上有解.令，即求()()()22f x m f x f x -=-()()()1,00,1f x ∈-⋃()()()21,22,3t f x =-∈⋃在上的值域即可.()()212223t m t t tt ==---+-()()1,22,3t ∈⋃因为，当且仅当时取等号，且，，故2333t t +-≥=t =21301+-=223333+-=，故，即的值域为)2233,00,3t t ⎛⎫⎡+-∈⋃ ⎪⎣⎝⎭13,223m t t ∞∞⎛⎛⎫=∈-⋃+ ⎪ ⎝⎭⎝+-m ，即实数的取值范围为.(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ m (3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭。
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广西数学高三12月份大联考理数试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高三上·承德月考) 已知集合，集合，求
（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2016·城中模拟) 复数Z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ的值为（）
A . ﹣
B . ﹣
C .
D .
3. （2分）已知直线l，m，平面α，β满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的（）
A . 充要条件
B . 充分不必要条件
C . 必要不充分条件
D . 既不充分也不必要条件
4. （2分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为
，则该几何体的高h为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高一下·江门月考) 已知分别为内角的对边，若，，
，则（）
A . 5
B . 11
C .
D .
6. （2分） (2018高三上·丰台期末) 执行如图所示的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的属于（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 如图,阴影部分的面积是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2018高一上·安庆期中) 设，，，则的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高一下·晋江期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+ ）是偶函数，下列判断正确的是（）
A . 函数f（x）的最小正周期为2π
B . 函数f（x）的图象关于点（，0）d对称
C . 函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称
D . 函数f（x）在[ ，π]上单调递增
10. （2分）(2018·泉州模拟) 实数满足，则的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2020高一下·武汉期中) 已知等比数列中，，数列是等差数列，且
，则（）
A . 3
B . 6
C . 9
D . 12
12. （2分）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=x2 ，且在（0，+∞）上，f′（x）＞x．若有f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）
A . （﹣∞，1]
B . [1，+∞）
C . （﹣∞，2]
D . [2，+∞）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有________对．
14. （1分） (2016高一上·吉林期中) 函数f（x）=log （x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为________．
15. （1分） (2019高一下·贺州期末) 设为内一点，且满足关系式
，则 ________.
16. （1分） (2016高三上·珠海模拟) 已知数列{an}满足an= ，若从{an}中提取一个公比为q的等比数列{ }，其中k1=1，且k1＜k2＜…＜kn ，kn∈N* ，则满足条件的最小q的值为________．
三、解答题 (共6题；共45分)
17. （10分）(2019·河南模拟) 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知．
（1）求角A；
（2）若，，点D在内，且，，求的面积．
18. （10分） (2016高一下·平罗期末) 设a、b、c成等比数列，非零实数x，y分别是a与b，b与c的等
差中项．
（1）已知①a=1、b=2、c=4，试计算的值；
②a=﹣1、b= 、c=﹣，试计算的值
（2）试推测与2的大小关系，并证明你的结论．
19. （5分） (2017高二上·汕头月考) 如图,四棱锥 ,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且 .
(I)求证：为直角三角形；
(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为 .
20. （5分）(2017·芜湖模拟) 已知函数f（x）=（ax﹣1）lnx+ ．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f'（x）有两个极值点x1 ， x2 ，其中x1∈（0，e），求g（x1）﹣g（x2）的最小值．
21. （5分） (2016高二上·定州开学考) 如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，，E是A1D1的中点．
（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离．
22. （10分）(2017·锦州模拟) 已知m＞0，设函数f（x）=emx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；
（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
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答案：3-1、
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答案：4-1、考点：
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答案：5-1、考点：
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答案：6-1、考点：
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答案：7-1、考点：
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答案：8-1、考点：
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答案：9-1、考点：
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答案：10-1、考点：
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答案：11-1、
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解析：
答案：12-1、
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二、填空题 (共4题；共4分)
答案：13-1、考点：
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答案：14-1、考点：
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答案：15-1、考点：
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答案：16-1、考点：
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三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
考点：
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答案：20-1、考点：
解析：
答案：21-1、考点：
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答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。