重庆中考数学易错题专题训练-二次函数练习题

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．

()1求y 与x 的函数关系式；

()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？

【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．

【解析】

【分析】

()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；

()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．

【详解】

解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，

函数图象经过点()40,200和点()60,160，

{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2

280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．

()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，

∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．

20-<，

∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，

80x ∴=时，w 有最大值，

当80x =时，4800w =，

答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．

2．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．

【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．

【解析】

【分析】

（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12

×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．

【详解】

解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，

103

b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；

（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B （3，0），

∴BC=32， 点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3

∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；

②当PB=PC 时，OP=OB=3，

∴P 3（0，-3）；

③当BP=BC 时，

∵OC=OB=3

∴此时P 与O 重合，

∴P 4（0，0）；

综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，

∴S △MNB=12

×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1， 当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=1

4

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=1

4

x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（

28

13

，﹣1）．（3）

定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

特征，即可得出（1-1

2

-

1

2

y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关

于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．