计算方法实验报告3

实验报告3：解线性方程组的迭代法
姓名：杜娟学号：08012324 班级:勘查08-3班一．上机题目
用Jacobi迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组
二．目的要求
掌握用Jacobi迭代法和高斯—赛德尔迭代法设计程序，从而实现解线性方程组。

三.方法原理
解线性方程组的迭代法是将线性方程组 Ax=b 化为等价线性方程组
x=Bx+f
再由矩阵迭代格式
x(k+1)=Bx (k)+f
构造向量序列{x(k)}来求线性方程组解的。

如果得出的向量序列{x(k)}收敛至某个向量x*，则可得该向量x*就是所求方程组 Ax=b 的准确解.
四．算法步骤
Jacobi迭代算法
1.输入变量个数n、初值向量x（0）、迭代精度eps、系数矩阵A、常数项b 和迭代最大次数nmax
2 For i=1,2,…,n
2.1 如果|aii|<eps1,则输出“迭代失败”提示并终止
3. Bj ⇐ E-D-1A
4. gj ⇐ D-1b
5.For k=1,2,…,nmax
5.1 x ⇐Bj.x0+ gj
5.2 如果||x-x0||<eps ,输出解向量x ，终止；否则x（0）⇐x
6. 如果||x-x0||>eps ,输出迭代失败，终止。

高斯—赛德尔迭代法
1.输入变量个数n、初值向量x（0）、迭代精度eps、系数矩阵A、常数项b 和迭代最大次数nmax
2. For i=1,2,…,n
2.1 如果|aii|<eps1,则输出“迭代失败”提示并终止
3.For i=1,2,…,nmax
3.1 For i=1,2,…,n
3.2 如果||x(k+1)-x(k)||∝<eps ,输出解向量x ，终止；否则x （k ） ⇐ x(k+1)
4. 如果||x-x0||∝<eps ,输出迭代失败，终止。

五．C 语言程序及变量说明
//Jacobi 迭代法算法
#include <iostream.h>
#include <math.h>
#define row 3
void read_a(float a[][row])
{
int i,j;
cout<<"请输入系数矩阵a["<<row<<"]["<<row<<"]:"<<endl; for(i=0;i<row;i++)
{
for(j=0;j<row;j++)
cin>>a[i][j]; cout<<endl;
ii
n i j k j ij i j k j ij i k i a x a x a b x ∑∑+=-=++--
=1)(1
1)1()1(
}
void read_b(float b[])
{
int i;
cout<<"请输入方程组的结果矩阵b["<<row<<"]\n"; for(i=0;i<row;i++)
cin>>b[i];
}
void read_x0(float x0[])
{
int i;
cout<<"请输入初始迭代值x0["<<row<<"]"<<endl; for(i=0;i<row;i++)
cin>>x0[i];
}
float max_e(float x0[],float x1[])
{
float e=fabs(x0[0]-x1[0]);
float t;
int i;
for(i=1;i<row;i++)
t=fabs(x1[i]-x0[i]);
if(t>e)
e=t;
}
return e;
}
void print_x1(float x[],int k)
{
int i;
cout<<"times "<<k<<" root:";
for(i=0;i<row;i++)
cout<<" "<<x[i];
cout<<endl;
}
void main()
{
float a[row][row],b[row],x0[row],x1[row]; float e,e1,d;
int n,k=1,i,j;
cout<<"请输入最小精度：";
cin>>e;
cout<<"请输入最大迭代次数：";
cin>>n;
read_a(a);
read_b(b);
read_x0(x0);
cout<<"—————————————————————"<<endl; do
{
for(i=0;i<row;i++)
{
float t=0;
for(j=0;j<row;j++)
if(j!=i)
t+=a[i][j]*x0[j];
x1[i]=(b[i]-t)/a[i][i];
}
print_x1(x1,k);
e1=max_e(x1,x0);
for(i=0;i<row;i++)
x0[i]=x1[i];
k++;
}while(e1>e&&k<n);
if(k>=n)
cout<<"迭代失败！"<<endl;
}
// 高斯—赛德尔迭代法
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double f(double a[][20],double x[],int i,int n) {double sum=0;
int j;
for(j=0;j<n;j++)
{if(j!=i) sum=sum+a[i][j]*x[j];
else continue ;}
return sum;
}
double max(double norm,double y,double x)
{
if(norm>fabs(y-x))return norm ;
else return fabs(y-x);
}
void main()
{ int j,i,n,k=0,N;
double a[20][20],b[20];
double x[20],y[20];
double e,norm=0,s;
printf("输入方程组的未知数的个数\n"); scanf("%d",&n);
printf("输入最大迭代次数\n");
scanf("%d",&N);
printf("请输入精确度");
scanf("%lf",&e);
printf("请输入系数矩阵\n");
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
scanf("%lf",&a[i][j]);
printf("请输入常数列\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%lf",&b[i]);
for(i=0;i<n;i++)
{x[i]=0;y[i]=0;}
do
{ k++;
norm=0;
if(k>N)break;
else
for(i=0;i<n;i++)
{s=x[i];
x[i]=(b[i]-f(a,x,i,n))/a[i][i]; norm=max(norm,s,x[i]);
}
}while(norm>e);
printf("迭代次数是%d \n",k);
printf("方程组的解是\n");
for(i=0;i<n;i++)
printf("%lf ",x[i]);
}
六.运行结果及分析
说明本程序用于求线性方程组Ax=b的解。

程序执行后，先通过键盘输入线性方程组阶数n、系数矩阵A、常数项b、迭代初值向量x0和输入精度控制eps，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代向量序列x(k),其中最后输出的结果即为所求的根。

如果迭代超出20次还没有求出满足精度的根则输出迭代失败提示，如果出现主对角线元素aii=0给出Jacobi迭代法失效提示。

说明本程序用于求线性方程组Ax=b的解。

程序执行后，先通过键盘输入线性方程组阶数n、系数矩阵A、常数项b和输入精度控制eps，最后输出的结果即为所求的根。

如果迭代超出20次还没有求出满足精度的根则输出迭代失败提示.
七.程序分析
高斯—赛德尔迭代法迭代次数是7次，Jacobi迭代法迭代次数是11次，这说明高斯—赛德尔迭代法计算量要比Jacobi迭代法少。