数值计算实验报告

数值计算实验报告

姓名：XX

学号：XX

专业：XX

实验一

1．题目

x 5-3x 3+x-1=0在区间[-8,8]上。试分别用:①二分法②Newton 法③弦截法(割线法)：双点弦法④Newton 下山法，求方程的根，精确到6位有效数字. 2.2.1二分法

（1）二分法

算法分析

设函数有根区间表示为[],a b 。将有根区间[],a b 用中点01

()2

x a b =+分成两半，

计算函数值()2a b f +。如果()02a b f +=，就得到方程组的实根*2

a b

x +=，否则检查0()f x 与()f a 是否同号，若同号，则说明所求的根*x 在0x 的右侧，这时令

101,a x b b ==；否则，根*x 在0x 的左侧，这时令110,a a b x ==，这样新的有根区

间[]11,a b 的长度为[],a b 之半。对压缩了的有根区间[]11,a b 又施以同样的方法……如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间

[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃

其中，每个区间都是前一个区间的一半，因此二分k 次后的有根区间[],k k a b 的长

度为1

()2

k k k b a b a -=

- 可见，如果二分过程无限地下去，这些有根区间最终必收缩于一点*x ，该点显然就是所求的根。

取有根区间[],k k a b 的中点*1

()2

k k x a b =+作为根的近似值，此时的误差

*111

()()

22k k k k x x b a a b +-≤-=+

若事先给定的误差要求为ε，则只需*11

()2

k k x x a b ε+-≤+<便可以停止二分计

算。

（2）Newton 法

算法分析

对于非线性方程()0f x =，若已知根*x 的一个近似值k x （在这里是m ih +，将()f x 在k x 处展成一阶泰勒公式，忽略高次项，有()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-。右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程()f x 。将非线性方程()0f x =的根

*x 代入*()0f x =，即

*()()()0k k k f x f x x x '+-≈

解得*()

()

k k k f x x x f x ≈-

' 这就是Newton 迭代公式。 在具体的应用中，写为：1()

()

k k k k f x x x f x +=-'，则这样获得的1k x +即为按Newton 迭代法求得的近似解。

（3）弦截法 算法分析

由于Newton 迭代法有时收敛速度较慢，而且有时函数的一阶导数()f x '不易

求得或较为复杂，因此，改用两个端点都在变动的弦，即用差商11

()()

k k k k f x f x x x ----替

代Newton 迭代公式中的导数()f x '，从而导出

111()

()()()

k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---。这就是双点弦截法。

双点弦截法详细的计算步骤为：

1）选定初始值01,x x ，计算0()f x ，1()f x 。 2）按双点弦法迭代公式计算2x ，并求2()f x 。

3）判断：如果2(),f x εε<给定精度，则迭代停止；否则，用22(,())x f x 和11(,())x f x 分别代替1100(,())(,())x f x x f x 和重复2）和3）。

（4）牛顿下山法 算法分析

Newton 下山法是扩大初值范围的修正Newton 法。将Newton 迭代法的计算

结果1()

()

k k k k f x x x f x +=-'进行适当的加权平均作为新的改进值1k x +，即

11(1)k k k x x x λλ++=+-。从而化简可得Newton 下山法迭代公式

1()

()

k k k k f x x x f x λ

+=-' 其中，λ称为下山因子。在本实验中，选取1

4

λ=为下山因子。

2.源代码

#include "math.h" #include

typedef double D;

double f(D x);

double fnewton(D x);

void divide(D a1,D a2); void newton(D a1); void cord(D a1,D a2);

void newton2(D a1);

using namespace std;

double f(D x)

{

return pow(x,5)-6*pow(x,3)+x-1;

}

double fnewton(D x)

{

if((5*pow(x,4)-9*pow(x,2)+1)!=0)

return (pow(x,5)-3*pow(x,3)-1)/(5*pow(x,4)-9*pow(x,2)+1);

else

return 1;

}

void divide(D a1,D a2)

{

for(;fabs(fabs(a1)-fabs(a2))>=1e-6;)

{

if(f(a1)*f((a1+a2)/2)<0)

a2=(a1+a2)/2;

else

a1=(a1+a2)/2;

}

cout<

}

void newton(D a1)

{

for(;fabs(fabs(a1)-fabs(a1-fnewton(a1)))>=1e-6;)

a1-=fnewton(a1);

cout<<"Newton法求得的结果是："<

//return 0;

}

void cord(D a1,D a2)

{

int n=0;

for(;fabs(f(a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1)))-0)>=1e-6;n++)

{

if(n==50)

break;

else

{

if(f(a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1)))*f(a1)>0||(f(a2)-f(a1))!=0)

a1=a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1));

else

a2=a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1));

}

}

if(n==50)

cout<<"双点弦法求解失败！！"<

else