运筹学5人工变量及其处理方法

min w = x6 + x7
max w' = − x6 − x7
= 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 s.t. + x3 + x7 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L7)
计算机计算时，必须对 给出一个具体数值 给出一个具体数值， 计算机计算时，必须对M给出一个具体数值，通常 计算时 取比原问题中最大数据高 最大数据高1~2个数量级的数值。并视 个数量级的数值 取比原问题中最大数据高 个数量级的数值。 求解情况对M作适当调节 作适当调节。 求解情况对 作适当调节。
例：用大M法求解LP 求解LP
两阶段法的第一阶段求解的目的： 两阶段法的第一阶段求解的目的： 目的
1.判断原LP有无可行解。 判断原 有无可行解 有无可行解。 判断 2.若有，则可得原LP的一个初始基本可行解，再 若有，则可得原 的一个初始基本可行解， 的一个初始基本可行解 若有 对原LP进行第二阶段的计算 进行第二阶段的计算。 对原 进行第二阶段的计算。
初始可 行基
B
(0)
= ( p4
p6
p7 ) = I 3
初始基本 可行解
(0
0 0 11 0 3 1)
T
初始单纯形表
[ ]
11 3 2 1
[ ]
/ 1 /
0
人工变量x 已从基变量中换出。 人工变量 6,x7已从基变量中换出。
第二阶段： 第二阶段：
x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 1 2 3 s.t. + x3 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L5)
作初始基本可行解进行迭代时， 以 X(0)作初始基本可行解进行迭代时，怎 样才能较快地将所有的人工变量从基变量中全 较快地将所有的人工变量 样才能较快地将所有的人工变量从基变量中全 出去（如果能全部“ 出去的话）。 部“赶”出去（如果能全部“赶”出去的话）。 这会影响到得到最优解的迭代次数。 这会影响到得到最优解的迭代次数。
max z = 3x1 − x2 − x3
x1 − 2 x2 + x3 ≤ 11 − 4 x + x + 2 x ≥ 3 1 2 3 s.t. + x3 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3)
解：
max z = 3x1 − x2 − x3 + 0 ⋅ x4 + 0 ⋅ x5 − Mx6 − Mx7
法的不足 大M法的不足 法的
在用计算机求解时，不容易确定 在用计算机求解时，不容易确定M 的取值， 过大容易引起计算误差。 的取值，且M过大容易引起计算误差。 过大容易引起计算误差
二. 两阶段法
将新LP的求解过程分成两个阶段： 将新 的求解过程分成两个阶段： 的求解过程分成两个阶段 第一阶段：求解第一个 第一个LP： 第一阶段：求解第一个 ：
定义：一个基本可行解如果存在取零值的基变量， 定义：一个基本可行解如果存在取零值的基变量，则称为是退化的基本可行 存在取零值的基变量 相应的基称为是退化基。 解，相应的基称为是退化基。 如果所有的基变量都大于零，就是非退化的基本可行解。 如果所有的基变量都大于零，就是非退化的基本可行解。 都大于零 在非退化情形下，用单纯形方法经过有限次迭代一定可达到最优解。 非退化情形下，用单纯形方法经过有限次迭代一定可达到最优解。 情形下 一定可达到最优解 在退化情形下，用单纯形方法进行迭代可能得不到最优解。 退化情形下，用单纯形方法进行迭代可能得不到最优解。 情形下 可能得不到最优解 基迭代经过若干次后又回到先前的可行基 B1 B2 ... B1
且人工变量皆为非基变量 1. 最优值w 且人工变量皆为非基变量。 *= 0,且人工变量皆为非基变量。 从第一阶段的最优解中去掉人工变量后，即为原LP的 去掉人工变量后 从第一阶段的最优解中去掉人工变量后，即为原 的 一个基本可行解。作为原 的一个初始基本可行解 的一个初始基本可行解， 一个基本可行解。作为原LP的一个初始基本可行解， 再求原问题，从而进入第二阶段。 再求原问题，从而进入第二阶段。 2. 最优值w 说明至少有一个人工变量不为零。 说明至少有一个人工变量不为零 *≠ 0,说明至少有一个人工变量不为零。 无可行解。 原LP无可行解。不再需要进入第二个阶段计算。 无可行解 不再需要进入第二个阶段计算。 3. 最优值w 且存在人工变量为基变量 且存在人工变量为基变量， *= 0,且存在人工变量为基变量，但取值为零 把某个非基变量与该人工变量进行调换。 把某个非基变量与该人工变量进行调换。
基变换＋ 基变换＋调基
/
[ ]
1 /
[ ]
12 3 / /
最优解： （4，1，9，0，0，0，0）T， 最优解 ， ， ， ， ， ， ） 最优值 最优值：2
人工变量x6,x7已不在基变量中，故 人工变量 不在基变量中， 基变量中 原LP的最优解为 4，1，9，0，0）T， 的最优解为 ， ， ， ， ） （ 最优值 最优值为2
－－大 －－大M法与两阶段法
一.大M法 大 法
将目标函数修改为
max z = ∑ c j x j − Mxn +1 − Mxn + 2 − L − Mxn + m
j =1
n
M是一个很大的正数。 是一个很大的正数。 是一个很大的正数
手工计算时，只要认定M是一个很大的数。 手工计算时，只要认定M是一个很大的数。 计算时
max z = 3x1 − x2 − x3
= 11 =3 =1
初始单纯形表
[ ]
12 / 3 / /
最优解：（ ， ， ， ， ） 最优解：（4，1，9，0，0）T ：（
最优值： 最优值：2
几个问题
1.目标函数为极小化时解的最优性判别： 1.目标函数为极小化时解的最优性判别： j ≥ 0 目标函数为极小化时解的最优性判别 σ 进基变量： 进基变量：min{σ j | σ j < 0} 2.退化与循环的问题
第五节
人工变量及其 人工变量及其处理方法 及其处理方法
为了使初始可行基为一个单位矩阵 为了使初始可行基为一个单位矩阵，在 单位矩阵， 有些约束条件中需要加入人工变量 人工变量。 有些约束条件中需要加入人工变量。
a i1 x1 + a i 2 x 2 + L a in x n ≥ bi
ai1 x1 + ai 2 x2 + L ain xn − xn +1 = bi
以 x4 , x6 , x7 对应的系数列向量构成一单位矩阵 P4 , P6 , P7， 取初始基 B = ( P4 , P6 , P7 ). 非基变量。 非基变量。
x x4 , x6 , x7 为基变量，1 , x2 , x3 , x5 为 为基变量，
初始单纯形表：
11 3/ 2 x3 为进基变量，而 x7 为离基变量，以 a33 = 1 为主元素。 为主元素。
辅助LP 辅助
m i =1
min w = ∑ xn +i
i =1
m
max w' = −∑ xn +i
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n + x n +1 = b1 a x + a x + L + a x + x n + 2 = b2 21 1 22 2 2n n s.t .M M M a x + a x + L + a x + x n + m = bm m1 1 m2 2 mn n x1 , x 2 , L , x n ≥ 0, x n +1 ,..., x n + m ≥ 0
ai 1 x1 + ai 2 x2 + L ain xn − xn+ 1 + xn+ 2 = bi
ai1 x1 + ai 2 x2 + L ain xn = bi ai1 x1 + ai 2 x2 + L ain xn + xn +1 = bi
人工变量
但加入人工变量后的LP与未加入时的 一般是 但加入人工变量后的LP与未加入时的LP一般是不等价的 与未加入时的LP一般是不等价的
LP：
j =1 n ∑ Pj x j = b s.t. j =1 x ≥ 0( j = 1,2,3L , n) j 在每一个约束方程左边加上一个人工变量 在每一个约束方程左边加上一个人工变量 xn+i， 得 新LP：
max z = ∑ c j x j
n
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n + x n +1 = b1 a x + a x + L + a x + x n + 2 = b2 22 2 2n n 21 1 s.t .M M M a x + a x + L + a x + x n + m = bm m1 1 m2 2 mn n x1 , x 2 , L , x n ≥ 0, x n +1 ,..., x n + m ≥ 0
含有一个m阶单位矩阵， 含有一个m阶单位矩阵，以 xn +1 , xn + 2 ,..., xn + m 为基向量， 为基向量，得到一个初始基本可行解
X
(0)
= (0, ..., 0, b1 , b2 , ..., bm )