第3章 随机(7版)

的特点
t1
t2
t
特性描述：
分布函数 数字特征
1. 分布函数
基本概念
一维分布函数: ---描述孤立时刻的统计特性
F1(x1，t1) = P[ξ(t1) ≤ x1]
∂F1 ( x1，t1 ) ∂x1
=
f1 ( x1，t1 )
一维概率密度函数
二维分布函数: ---描述内在联系和全部特征
F2 (x1，x2；t1，t2 ) = P{ ξ (t1 ) ≤ x1，ξ (t2 ) ≤ x2 }
（5） R(τ ) ≤ R(0)
---上 界
R(∞) = lim E[ξ (t)ξ (t +τ )] = E[ξ (t)]E[ξ (t +τ )] = E2[ξ (t)] τ →∞
E{[ξ (t) ± ξ (t +τ )]2} ≥ 0 ⇒ 2R(0) ± 2R(τ ) ≥ 0
4. 平稳过程的功率谱密度（PSD）
−T / 2
∫ R(τ ) = lim 1 T /2 x(t)x(t +τ )dt
T T →∞
−T / 2
统计平均值=时间平均值
替代
使计算大为简化
注意： 遍历过程 ←⎯⎯必未⎯是必⎯⎯⎯→ 平稳过程
含义： 任一样本经历了平稳过程的所有可能状态。
例 设相位随机的正弦波为 ξ(t) = Acos(ωct +θ )
（3）a表示分布中心， σ 2表示集中程度，f ( x) 图形将随着 σ 2 的减小而变高和变窄。
当 a =0 ,σ2 = 1 称 f ( x) 为标准正态分布的密度函数。
f (x) =
1
2π
exp
⎛ ⎜
⎝
−
x2 2
⎞ ⎟ ⎠
中国传媒大学
正态分布函数：
∫ F (b) = P(x ≤ b) = b −∞
∫ Pξ (ω) =
∞ R(τ ) e− jωτ dτ
−∞
∫ R(τ
)
=
1
2π
∞ −∞
Pξ
(ω)
e
jωτ
dω
维纳-辛钦定理
R(τ ) ⇔ Pξ (ω)
∫ Pξ ( f ) =
∞ R(τ ) e− j2π fτ dτ
−∞
当τ =0时，有
∫ R(τ ) =
∞ −∞
Pξ
(
f
)
e
j 2π
fτ
d
f
∫ ∫ R(0)
=
1
2π
∞ −∞
Pξ
(ω)dω
=
∞ −∞
Pξ
(
f
)df
PSD 性质：
遍历过程任一样本的PSD = 过程的PSD；
非负性：Pξ (ω) ≥ 0 偶函数：Pξ (−ω) = Pξ (ω)
Q&A
z 自相关函数的意义？作用？
z 功率谱密度的意义？作用？
参见《通信原理（第7版）学习辅导与考研指导》 31页 中的 3.2节 难点•疑点
∫ ∫ = E[
∞ −∞
h(α
)ξ
i
(t1
−
α
)dα
∞ −
h(
β
)ξ
i
(
t1
+
τ
− β )dβ
]
∫ ∫ =
∞ −∞
∞ −∞
h(α
)h(β
)E[ξi (t1
− α )ξi (t1
+τ
−
β
)]dαdβ
根据输入过程的平稳性，有
于是
E[ξi (t1 − α )ξi (t1 + τ − β )] = Ri (τ + α − β )
1
2π σ
exp ⎡⎢− ⎣
(x − a)2
2σ 2
⎤ ⎥ ⎦
dx
误差函数
∫ erf (x) = 2 x e−t2 dt
π0
—— 自变量的 递增 函数
erf (0) = 0
erf (∞) = 1
补误差函数
∫ erfc(x) = 2 ∞ e−t2 dt
πx
—— 自变量的 递减 函数
erfc(0) = 1 erfc(∞) = 0
其中，A和 c均为常数； θ是在(0,2π) 内均匀分布的
随机变量。试讨论 ξ (t) 是否具有各态历经性。
解思题路：第1步：判断ξ (t) 是否平稳，即求其统计平均值
若均值为常数，且自相关函数只与时间
间隔τ 有关， 则 ξ (t) 是广义平稳的。
第2步：求 ξ (t) 的时间平均值
第3步：比较 统计平均值 和 时间平均值
间的关联程度时， ---同一过程的关联程度
R (t1, t2 ) = E [ξ (t1) ξ (t2 )]
∫ ∫ =
∞ −∞
∞ −∞
x1x2
f2
( x1 ,
x2;t1, t2
)dx1dx2
令τ = t2 - t1， 则有： R(t1, t2 ) = R(t1, t1 +τ )
B ( t , t ) = E {[ξ ( t ) − a ( t ) ] [ξ ( t ) − a ( t ) ]}
t −∞
ξi
(τ
)h(t
−
τ
)dτ
或 ξ0 (t) =
∞ 0
h(τ
)ξi
(t
−
τ
)dτ
若给定 ξi (t) 的统计特性，则可求得 ξo (t) 的统计特性：
• 输出过程ξo(t)的自相关函数：根据自相关函数的 定义
R0 (t1 , t1 + τ ) = E[ξ0 (t1 )ξ0 (t1 + τ )]
z 均值与时间 t 无关: z 相关函数仅与 τ有关:
a(t) = a
R(t1,t1 +τ ) = R(τ )
2. 各态历经性（遍历性）
设x(t) 是平稳过程的任一个实现，它的时间平均值为：
a=a
R (τ ) = R (τ )
意义：
遍历
∫ a = x(t) = lim 1 T /2 x(t)dt
T T →∞

样本的功率谱：
Px ( f ) = lim T →∞
XT ( f ) 2 T
统计平均
过程的功率谱
Pξ ( f
)
=
E [Px (
f
)] = lim T →∞
E
XT ( T
f
)2
x(t)
xT (t) ---截短函数
Q&A
0
t
如何方便地求功率谱 密度 ?
平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换：
3. 高斯随机变量
一维概率密度函数：
f (x) =
1
2π σ
exp
⎛ ⎜
⎝
−
(x − a)2
2σ 2
⎞ ⎟ ⎠
f x)
1
2π σ
记为 (a ，σ2) a---分布中心 σ---集中程度
x
西安电子科技大学 通院
f (x)
1
f (x) 的特性如下：
2π σ1
（1）对称于 x=a 的直线
（2）
和
σ2 <σ1
∂ 2 F2 (x1，x2；t1, t2 ) ∂x1∂x2
=
f 2 (x1，x2；t1，t2 )
二维概率密度函数
n 维分布函数:
Fn (x1, x2 ,", xn ;t1, t2 ,", tn )
= P{ ξ (t1) ≤ x1,ξ (t2 ) ≤ x2 ,",ξ (tn ) ≤ xn}
fn (x1, x2 ,", xn ;t1, t2 ,", tn )
只与时间间隔τ 有关，所以ξ(t)是广义平稳过程。 13
(2) 求ξ(t)的时间平均值
∫ a = lim 1
T→∞ T
T
2 −T
Acos(ωct + θ )dt
=0
2
∫ R (τ ) = lim 1
T→∞ T
T
2 −T
A cos(ω c t + θ ) ⋅ A cos[ω c (t + τ ) + θ ]dt
xf1
(
x,
t
)dx
=
a(t
)
--- t 的确定函数
方差 它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
{ } D[ξ (t)] = E [ξ (t) − a(t)]2
= E[ξ 2 (t)] −[a(t)]2 = σ 2 (t)
当a(t)=0时：
σ 2 (t) = E[ξ 2 (t)]
自相关函数 描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之
本章内容:
第3章 随机过程
随机过程的基本概念 平稳、高斯、窄带过程的统计特性 正弦波加窄带高斯过程的统计特性 随机过程通过线性系统 高斯白噪声和带限白噪声
§3.1 随机过程的基本概念
定义：
① 所有样本函数 ξi (t) 的集合 ② 随机变量 ξ (ti ) 的集合
属性：
兼有 随机变量 时间函数
⎝⎜ 2σ ⎠⎟
， ，
x x
≥ <
a a
误差函数的简明特性有助于分析通信系统的抗噪声性能
§3.4 平稳随机过程通过线性系统
设
ξi (t)
ξo (t)
h(t) ⇔ H (ω)
则
∫ ξ0 (t) = ξi (t) ∗ h(t) =
∞ −∞
ξi
(τ
)h(t
−