高考文科数学立体几何解题技巧5.13

高中文科数学个性化辅导课程

α

l

l

αβ

γ

m β

α

l

βαβαα

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⊂且相交m l m l m l m l ////⇒⎪⎭

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=⋂=⋂βγαγβαα

α⊥⇒⎪⎪⎭

⎪

⎪

⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB

l AC l ,高考文科数学立体几何解题技巧

1.判定线面平行的方法

定义：如果一条直线和一个平面没有公共点。

（1）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

ααα////l l m m l ⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊄⊂ （2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

αββα////l l ⇒⎭

⎬⎫

⊂

（3）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面。 2.判定面面平行的方法

（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两平面平行。

（2）垂直于同一直线的两个平面平行。 （3）平行于同一平面的两个平面平行。 3.面面平行的性质

（1）两平行平面没有公共点。

（2）如果两平面平行，那么一个平面上的任一直线平行于另一平面。 （3）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面。 （4）如果两平行平面被第三个平面所截，那么它们的交线平行。

4.判定线面垂直的方法

定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直。

（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，那么这条直线垂直于该平面。

m

l α

m β

α

l

A

B

C

α

l

//a a αββα⎫

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,l a a a l αβαββ

α⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭a a b

b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭

l βα

βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫⊂⊥l l （2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。

αα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊥b a b a // （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面。

（5）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面。 5.判定两线垂直的方法

(1)如果一条直线和平面垂直，则这条直线与平面内任一直线垂直。

(2)如果一个平面经过另一平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

6. 定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

(2)范围：]90,0[︒︒ 当︒=0θ时，α⊂l 或α//l ，当︒=90θ时，α⊥l

A

O

θ

P

α

β a

α

a β

l α

α a

b

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【高考强化训练】

1.如图，四棱锥P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC//AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形.且PA=2√3．

(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；

(2)若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB//平面ACE，求四面体A−CDE的体积．

2.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB= 90∘，AB//CD，AD=AF=CD=1，AB=2．

(1)求证：AF//面BCE；(2)求证：AC⊥面BCE；(3)求三棱锥E−BCF的体积．

3.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F．

(1)求证：AB//EF；

(2)若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．

4.如图，四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，M为PC中点．

(1)求证：BC//平面PAD；(2)求证：AP//平面MBD．

5.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(Ⅰ)求证：PE⊥BC；(Ⅱ)求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅲ(Ⅱ))求证：EF//平面PCD．

5.在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．

(Ⅰ)求证：DE//平面ACF；(Ⅱ)求证：BD⊥AE；

(Ⅲ)若AB=√2CE=2，求三棱锥F−ABC的体积．

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6.如图，在三棱锥A−BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：(1)EF//平面ABC；(2)AD⊥AC．

7.如图，在四棱锥S−ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O．

(1)证明：SO⊥BD；(2)求三棱锥O−SCD的体积．

8.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(Ⅰ)证明：PB//平面AEC；

(Ⅱ)设AP=1，AD=√3，三棱锥P−ABD的体积V=√3

，求A

4

到平面PBC的距离．