初一数学平方根与立方根

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初一数学掌握平方根和立方根的概念与计算方法

初一数学掌握平方根和立方根的概念与计算方法数学作为一门基础科学学科，对于初一学生来说，平方根和立方根是重要的数学概念。

掌握这些概念及其计算方法，对于解决各类数学问题和提高计算能力都至关重要。

本文将介绍初一数学中平方根和立方根的概念、计算方法以及应用举例。

一、平方根的概念与计算方法平方根是数学中一个基本的概念，表示一个数的平方根。

简单来说，对于一个正数a，如果存在另一个正数b使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根。

平方根常用符号√a表示，读作根号a。

要计算一个数的平方根，可以使用一些方法。

最常用的方法是通过近似值进行计算。

可以从一些已知的平方数，如1、4、9、16等出发，不断逼近目标数的平方根，直到逼近的程度符合要求。

例如，我们要计算25的平方根。

首先，我们可以将25与已知平方数16进行比较，发现25大于16。

然后，我们可以将25与更大一点的平方数，如20的平方进行比较，可以发现25仍然大于20的平方。

继续增大逼近值，我们可以采用21的平方进行比较，发现25小于21的平方。

这时候，我们可以更进一步，将逼近值设置为20和21之间的一个数，例如20.5，通过计算得到20.5的平方为420.25。

可以发现，25与420.25相比，还是偏小。

因此，我们可以再次逼近，将逼近值调整为21和21.5之间的一个数，例如21.2，再次进行计算。

通过多次逼近，最终我们可以得到25的平方根约为5。

当然，对于一些特殊的平方数，如完全平方数，其平方根可能是一个整数，这样的计算就更加简单了。

二、立方根的概念与计算方法立方根是一个数学概念，用来表示一个数的立方根。

类似于平方根，如果一个正数a存在另一个正数b，使得b的立方等于a，那么b就是a的立方根。

立方根通常用符号∛a表示。

计算立方根的方法可以和平方根类似，通过逼近值进行计算。

首先，我们可以从一些已知的立方数，如1、8、27、64等出发，不断逼近目标数的立方根，直到逼近的程度满足要求。

初中数学知识归纳平方根与立方根的计算

初中数学知识归纳平方根与立方根的计算初中数学知识归纳：平方根与立方根的计算数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿我们的日常生活。

在初中阶段，我们学习了许多数学知识，其中包括平方根与立方根的计算。

本文将对平方根与立方根的概念、计算方法以及应用进行归纳与总结。

一、平方根的计算与应用平方根，顾名思义，即一个数的平方根是它的二次方的逆运算。

形式上，如果a^2=b，则a称为b的平方根，记作√b。

对于非负数b来说，它的平方根有两个相等的实数解，一个是正数，另一个是负数。

在进行平方根的计算时，可以采用以下方法：1.直接求解：对于较小的数，我们可以通过手算来计算其平方根。

例如，√16=4，√25=5。

2.公式法：对于一些较大的数，我们可以使用平方根的计算公式来求解。

对于任意非负数a，它的平方根可以通过√a=sqrt(a)计算得到。

在实际生活中，平方根广泛应用于各个领域，如物理、工程等。

例如，在物理学中，速度的大小可以通过平方根计算，加速度等物理量的计算也涉及到平方根。

此外，平方根还可以用于计算三角函数值以及解决几何问题等。

二、立方根的计算与应用立方根与平方根的计算类似，不同之处在于立方根指的是一个数的三次方的逆运算。

对于一个非负数b来说，它的立方根只有一个实数解。

在进行立方根的计算时，可以采用以下方法：1.直接求解：与平方根类似，对于较小的数可以通过手算来计算立方根。

例如，³√8=2，³√27=3。

2.公式法：对于一些较大的数，我们可以使用立方根的计算公式来求解。

对于任意非负数a，它的立方根可以通过³√a=cbrt(a)计算得到。

与平方根类似，立方根在实际生活中也有广泛的应用。

例如，立方根可以用于计算物体的体积以及计算电力工程中的电流等。

在数学中，立方根还与一些特殊数学问题相关，如立方魔方等。

三、平方根与立方根的特殊计算除了一般的平方根与立方根的计算外，我们还需要了解一些特殊情况下的计算方法。

初中数学平方根和立方根

x 2y ,求 x y 的值.
∵ 2x y2 3 ，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.
∵ 3 x 2 y3 3 ，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴
x2y x y
无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴ x 2 y = 1 .
x y
2
4.算术平方根：把正数的正的平方根叫做算术平方根.即一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
5.立方根: 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，
也叫做a的三次方根．记作３a .
6.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零.
平方根和立方根
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根或二次方根．这就是说，如果x2 a，那么x 叫做a的平方根．
2平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0只有两平方根，是0本身；（3）负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：
设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得x3＝64，解得x＝4，所以正方体铁块的棱长是4厘米. 设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得 πr2×3＝64，所以 r2 64.因为r＞0，解得.
9 所以烧杯内部的底面半径是厘米.
10.已知 (2x y)2 3 ,3 (x 2y)3 3 解：
又因为 SABFE 2SCDEF ，设
所以144 212x，．
，
B
FC
所以
(cm)．

初一数学课堂平方根与立方根

初一数学课堂平方根与立方根数学是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。

作为初中一年级的学生，我们在数学课堂上学习了很多重要的概念和方法。

其中，平方根与立方根是我们要重点掌握的内容。

下面，我将详细介绍平方根与立方根的概念、性质以及应用。

一、平方根的概念与性质平方根是指一个数的平方等于它的正平方根的数。

比如，2的平方根是√2，因为√2 × √2 = 2。

平方根在解决问题中起着重要的作用，它帮助我们求解方程、计算面积等。

在数学课堂上，我们通常习惯记作√。

平方根有一些重要的性质，我们来详细了解。

1. 正数的平方根是唯一的：对于任何一个正数a，它的平方根是唯一的。

即如果b是a的平方根，那么b只能等于√a。

2. 非负数的平方根存在性：对于任何一个非负数a，它的平方根一定存在。

即无论a是多少，都存在一个非负数b，使得b的平方等于a。

3. 平方根的运算性质：平方根有一些重要的运算性质，比如√(ab) = √a × √b、√(a/b) = √a / √b等。

这些性质有助于我们进行求解和简化计算。

二、立方根的概念与性质立方根与平方根类似，但是它是一个数的立方等于它的正立方根的数。

比如，2的立方根是³√2，因为(³√2)³ = 2。

立方根也在解决问题中起着关键的作用，尤其在几何体的计算中。

我们一起来了解立方根的概念与性质。

1. 正数的立方根是唯一的：与平方根类似，对于任何一个正数a，它的立方根是唯一的。

2. 非负数的立方根存在性：与平方根类似，对于任何一个非负数a，它的立方根一定存在。

3. 立方根的运算性质：立方根也有一些重要的运算性质，比如³√(ab) = ³√a × ³√b、³√(a/b) = ³√a / ³√b等。

这些性质与平方根的性质相似，可以帮助我们进行求解和简化计算。

三、平方根与立方根的应用平方根与立方根在我们的生活中有着广泛的应用，包括几何、物理等领域。

七年级数学平方根与立方根

七年级数学平方根与立方根数学中的平方根和立方根是我们在学习数学过程中经常接触到的概念。

它们在解决一些数学问题以及实际生活中的计算中起着重要的作用。

在接下来的文章中，我将向您介绍七年级数学中与平方根和立方根相关的基本概念和应用。

一、平方根的定义与性质首先我们来讨论平方根的概念。

平方根是指一个数的二次方等于它本身的非负实数。

例如，数3的平方根为√3，即√3×√3=3。

在数轴上，平方根的位置是在对应数的左边。

在数学中，平方根具有以下性质：1. 非负数的平方根是唯一的。

例如，数9的平方根是3，数16的平方根是4。

2. 负数没有实数平方根。

例如，数-4没有实数平方根，因为无论取√(-4)还是(-√4)，都无法满足平方根的定义。

3. 非负数的平方根有两个解，一个是正数解，一个是负数解。

例如，数16的平方根既可以是4，也可以是-4。

在实际生活中，平方根可以帮助我们计算一些几何问题，比如计算一个长方形的对角线长、计算一个三角形的斜边长等等。

此外，平方根还可以应用在物理学、工程学等领域的计算中。

二、立方根的定义与性质接下来，让我们来了解立方根的概念。

立方根是指一个数的三次方等于它本身的实数。

例如，数8的立方根为∛8，即∛8×∛8×∛8=8。

在数轴上，立方根的位置是在对应数的左边。

与平方根类似，立方根也有一些性质：1. 所有实数都有一个唯一的实数立方根。

例如，数8的立方根是2。

2. 负数也有立方根。

例如，数-8的立方根是-2。

因为(-2)×(-2)×(-2)=8。

在实际生活中，立方根可以帮助我们计算一些几何问题，比如计算一个长方体的体积、计算一个球体的半径等等。

此外，立方根还可以应用在物理学、工程学等领域的计算中。

三、平方根与立方根的计算在计算平方根和立方根时，我们可以借助计算器来进行精确计算。

但是，在某些情况下，我们需要在没有计算器的情况下进行估算。

下面介绍一些常用的估算方法。

七年级数学下册平方根与立方根【九大题型】(举一反三)(人教版)

专题6.1 平方根与立方根【九大题型】【人教版】【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 (1)【题型2 平方根性质的运用】 (2)【题型3 开平方、开立方的运算】 (4)【题型4 利用开平方、开立方解方程】 (5)【题型5 算术平方根的概念及非负性】 (7)【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 (8)【题型7 平方根与立方根综合】 (10)【题型8 算术平方根、立方根的应用】 (11)【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 (13)【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（）A．﹣a B．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．故选：D．【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（）A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．【解答】解：∵±1都是1的平方根， ∴选项A 符合题意； ∵-1没有平方根， ∴选项B 符合题意； ∵1的立方根是1， ∴选项C 不符合题意； ∵﹣1的立方根是﹣1， ∴选项D 符合题意，故选：A ．【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（） A ．−√−9=3B ．√−273=−3C ．√183=±12D ．√83=−2【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．【解答】解：A ．−√−9无意义，故A 不符合题意． B ．√−273=−3，故B 符合题意． C ．√183=12，故C 不符合题意． D ．√83=2，故D 不符合题意．故选：B ．【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（） A ．0只有一个平方根 B ．若x 2＝3，则x ＝±√3C ．√64的立方根是2D ．512的立方根是±8【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：A 、0只有一个平方根，故A 不符合题意． B 、若x 2＝3，则x ＝±√3，故B 不符合题意． C 、√64=8，8的立方根是2，故C 不符合题意． D 、512的立方根是8，故D 符合题意．故选：D ．【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x 的两个平方根分别是2a ﹣1与﹣a +2，求a 的值和这个正数x 的值．【分析】正数x 有两个平方根，分别是﹣a +2与2a ﹣11，所以﹣a +2与2a ﹣1互为相反数；即﹣a +2+2a ﹣1＝0解答可求出a ；根据x ＝（﹣a +2）2，代入可求出x 的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0，整理得：a+b＝﹣1，则原式＝1．【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是﹣4；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝√2．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x=√2．故答案为：（1）﹣4；（2）√2．【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝﹣2020，b＝﹣2020．【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足√1+x+√1−y=0，那么x2022﹣y2022＝0．【分析】根据√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果．【解答】解：∵√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均≥0，∴1+x＝0，1﹣y＝0，得x＝﹣1，y＝1，x2022﹣y2022＝（﹣1）2022﹣12022＝1﹣1＝0，故答案为：0．【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是±11000，﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．【解答】解：1106的平方根为±√1106=±1103=±11000；﹣27的立方根为√−273=−3，故答案为：±11000，﹣3．【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（）A．2√2B．2C．√2D．±√2【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是√2，即y=√2．故选：C．【题型4 利用开平方、开立方解方程】【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：（1）4x2﹣9＝0；（2）8（x+1）3＝125．【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；（2）把二次项系数化为1，开立方求出x．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2=94，x1=32，x2=−32；（2）8（x+1）3＝125，（x+1）3=1258，x+1=52，x＝1.5．【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3=±√16，计算即可得出答案；（2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1=√−273，计算即可得出答案．【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝64，（x﹣3）2＝16，x﹣3=±√16，x﹣3＝±4，x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，x＝7或x＝﹣1；（2）（x+1）3+27＝0，（x+1）3＝﹣27，x+1=√−273，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；（2）（x+1）3+3=−38．【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；（2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）2x2＝50，两边都除以2得，x2＝25，根据平方根的定义得，x＝±5；（2）（x+1）3+3=−38，移项得，（x+1）3=−38−3，合并同类项得，（x+1）3=−278，根据立方根的定义得，x+1=−32，解得x=−52．【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝﹣2或4；若x3−827=0，则x＝23．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣1＝8，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，x＝﹣2或4；（2）x3−827=0，x3=8，27x=2．3．故答案为：﹣2或4；23A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．√x2+4【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出√(x2+4)2的算术平方根．【解答】解：∵√(x2+4)2=x+4，∴√(x2+4)2的算术平方根是√x2+4．故选：D．【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是x≥5．【分析】根据非负数有平方根列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【变式5-2】（2022春•宁县期末）若√7−x为整数，x为正整数，则x的值为3或6或7．【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．∴x≤7．∵x为正整数，∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．∵√7−x为整数，∴x＝3或6或7．故答案为：3或6或7．【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，√(−9)×(−4)=6，√(−9)×(−1)=3，√(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当√−3m=12时，②当√−12m=12时，分别计算即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵√(−18)×(−8)=12，√(−18)×(−2)=6，√(−8)×(−2)=4，∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵√(−3)×(−12)=6，∴分两种情况讨论：①当√−3m=12时，﹣3m＝144，∴m＝﹣48；②当√−12m=12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；综上，m的值是﹣48．【题型6 开方运算中的小数点移动规律】【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根√a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为a0.06250.625 6.2562.5625625062500625000√a0.250.791m n2579.1250791（注：表中部分数值为近似值）（）A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，√0.0625=0.25，√0.625≈0.791，√6.25=m，√62.5=n．∵√6.25=√0.0625×100=√0.0625×10=0.25×10＝2.5， √62.5=√0.625×100=√0.625×10≈0.791×10≈7.91， ∴m ＝2.5，n ≈7.91．故选：B ．【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：a0.000001 0.001 1 1000 1000000 √a 30.010.1110100（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动 1 位；（3）根据你发现的规律填空：①已知√33=1.442，则√30003= 14.42 ； ②已知√0.0004563=0.07696，则√4563= 7.696 ．【分析】（1）开立方运算，然后填表即可；（2）根据表格信息，可得答案；（3）根据（2）的规律求解即可．【解答】解：（1）如表格所示；（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位；（3）①已知√33=1.442，则√30003=14.42； ②已知√0.0004563=0.07696，则 √4563=7.696；【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知√25.36≈5.03587，√253.6≈15.92482，则√253600≈ 503.587 （结果保留3位小数）．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．【解答】解：√25.36≈5.03587， √253600 =√25.36×104， =√25.36×√104，＝5.03587×100，＝503.587．故答案为：503.587．【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：a… ﹣0.001 0 0.001 1 1000 … √a 3…﹣0.11…（1）被开方数a 的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．（2）已知：√a 3=−50，√0.1253=0.5，你能求出a 的值吗？【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可；（2）依据规律进行计算即可．【解答】解：填表结果为0.1，10；（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位；（2）能求出a 的值； ∵√0.1253=0.5， ∴√−0.1253=−0.5，由﹣0.5和﹣50，小数点向右移动了2位，则﹣0.125的小数点向右移动6位， ∴a ＝﹣125 000【题型7 平方根与立方根综合】【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m 的两个平方根分别为1﹣3a 和a +5，则这个正数m 的立方根是 4 ．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a ，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m ，最后求m 的立方根．【解答】解：根据题意，得：（1﹣3a ）+（a +5）＝0， 1﹣3a +a +5＝0， ﹣3a +a ＝﹣1﹣5， ﹣2a ＝﹣6， a ＝3．∴a +5＝3+5＝8， ∴m ＝82＝64， ∴64的立方根为4．故答案为：4．【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x +19的立方根是4，则实数3x +9的平方根是 ±6 ．【分析】根据立方根的定义列出方程求出x ，然后求出3x +9的值，最后求它的平方根即可．【解答】解：∵5x +19的立方根是4， ∴5x +19＝43＝64， ∴x ＝9，∴3x+9＝3×9+9＝36，∴36的平方根为±6，故答案为：±6．m−2是n﹣m+3的算术平方根，B=【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=√n−m+3m−2n+3是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．√m+2n【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．【解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，解得：m＝4，n＝2，3=2，则A=√2−4+3=1，B=√4+2×2∴B﹣A＝2﹣1＝1，则B﹣A的平方根为：±1．【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为5或﹣1．【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝±3，b＝﹣2，当a＝3时，原式＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．当a＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．故答案为：5或﹣1．【题型8 算术平方根、立方根的应用】【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可．【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6÷110＝0.16（m2），所以正方形地砖的边长为：√0.16=0.4（m）．答：每块地砖的边长是0.4m；（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603＝216000（cm3），所以第二个正方体水箱的体积为：3×216000+81000＝729000（cm3），3=90（cm），所以第二个正方体水箱的棱长为：√729000所以需要铁皮90×90×6＝48600cm2＝4.86m2．【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（）A．2.4m B．4.2m C．9.25m D．13.52m【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x2＝11.52，再根据算术平方根的定义求得x＝2.4．【解答】解：设水池底面正方形的边长为xm．由题意得，2x2＝11.52．∴x＝2.4．∴此水池底面正方形的边长为2.4 m．故选：A．【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．（1）求长方体的底面边长；（2）求长方体的表面积．【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可．【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），则x2•2x＝0.25解得：x＝0.5，故长方形的底面边长为0.5m；（2）S全＝2S底+4S侧＝2×0.25+4×0.5＝2.5m2【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案．【解答】解：能做到，理由如下设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，4x×3x＝588．12x2＝588x2＝49，x＞0，x=√49=7∴4x＝4×7＝28 （cm）3x＝3×7＝21（cm）∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，答：桌面长宽分别为28cm和21cm．【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、√2、√3、√6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是1+√2．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n 个数到底是哪个数后再计算．【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是√2，×11×（11+1）＝66（个）．∵前11排共有12∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的数是1，两数之和是1+√2．故答案为：1+√2．【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①√13；②√13+23；③√13+23+33；④√13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：√13+23+33+⋯+263=351．【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出√13+23+33+⋯⋯+n 3=1+2+3+……+n ，据此求解可得．【解答】解：∵①√13=1；②√13+23=3＝1+2；③√13+23+33=6＝1+2+3；④√13+23+33+43=10＝1+2+3+4，……∴√13+23+33+⋯+263=1+2+3+ (26)(1+26)×262=351，故答案为：351．【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√593193是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定√593193个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定√593193十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 28 ．【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√219523是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定√219523个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定√219523十位上的数是2，所以√219523=28，故答案为：28．【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数√3，√6，√9，√12，⋯，√180，按下面的方式进行排列：√3，√6，√9，√12，√15，√18√21，√24，√27，√30，√33，√36⋯⋯若√12的位置记为（1，4），√24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为（8，6）．【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可．【解答】解：∵这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是√144=12，又√144在第八行第六列，∴这组数据中最大的有理数√144的位置记为（8，6），故答案为：（8，6）．。

初中数学知识归纳平方根与立方根的运算

初中数学知识归纳平方根与立方根的运算平方根和立方根都是数学中常见的概念，它们在数学运算中起着重要的作用。

本文将对初中数学中关于平方根和立方根的知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。

一、平方根的运算平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。

平方根的运算可以通过开方的方式进行。

下面是一些平方根的性质和运算规则：1. 平方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^2 = b，则称a为b的平方根，记作√b，其中√b≥0。

2. 平方根的运算法则：a) 非负数的平方根都是非负数，即√a ≥ 0。

b) 平方根和平方的运算互为逆运算，即(√a)^2 = a。

c) 平方根符号√可以消去平方符号^2，即√(a^2) = a（其中a≥0）。

d) 平方根的运算满足乘法法则，即√(ab) = √a * √b。

e) 平方根的运算满足除法法则，即√(a/b) = √a / √b（其中b≠0）。

二、立方根的运算立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根。

立方根的运算可以通过开方的方式进行。

下面是一些立方根的性质和运算规则：1. 立方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^3 = b，则称a为b的立方根，记作³√b，其中³√b≥0。

2. 立方根的运算法则：a) 实数的立方根是实数，即³√a是一个实数。

b) 立方根和立方的运算互为逆运算，即(³√a)^3 = a。

c) 立方根符号³√可以消去立方符号^3，即³√(a^3) = a。

d) 立方根的运算满足乘法法则，即³√(ab) = ³√a *³√b。

e) 立方根的运算满足除法法则，即³√(a/b) = ³√a / ³√b（其中b≠0）。

三、平方根和立方根的综合运用平方根和立方根在实际生活和数学问题中经常被使用，下面举几个例子说明它们的综合运用：1. 体积问题：当我们计算一个立方体的边长时，可以通过求边长的立方根来获取。

七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题

6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2．分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25，所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16，所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064，所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7，即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49．综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值．解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋＝0，( )2＋＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2．又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0，解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律．规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律．规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索．【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)．故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。

初中数学平方根与立方根的求解方法

初中数学平方根与立方根的求解方法一、平方根的求解方法平方根是指一个数的平方等于该数的算术运算，下面介绍几种初中数学常用的平方根求解方法。

1.1 精确求解方法对于完全平方数，可以直接求出其平方根。

例如，对于数3的平方根，很容易得出结果为√3。

1.2 近似求解方法对于非完全平方数，我们往往采用近似求解的方法。

一种常用的方法是试位法。

具体步骤如下：a) 先确定平方根的整数部分，可以通过找一个整数n，使得n^2小于或等于给定的数，但(n+1)^2大于给定的数。

这样，我们就可以确定平方根的整数部分为n。

b) 接下来，确定平方根的小数部分。

假设平方根的小数部分为0.abcd...，我们将要确定的小数部分记为x。

根据平方根的定义，我们可以得到一个不等式：(n+x)^2 < 给定的数 < (n+x+0.1)^2。

利用这个不等式，不断迭代确定小数部分的每一位数字。

二、立方根的求解方法立方根是指一个数的立方等于该数的算术运算，下面介绍几种初中数学常用的立方根求解方法。

2.1 精确求解方法对于完全立方数，可以直接求出其立方根。

例如，对于数8的立方根，很容易得出结果为2。

2.2 近似求解方法对于非完全立方数，我们同样可以采用近似求解的方法。

和平方根的近似求解类似，我们可以利用试位法来求解立方根。

具体步骤如下：a) 先确定立方根的整数部分，可以通过找一个整数n，使得n^3小于或等于给定的数，但(n+1)^3大于给定的数。

这样，我们就可以确定立方根的整数部分为n。

b) 接下来，确定立方根的小数部分。

假设立方根的小数部分为0.abcd...，我们将要确定的小数部分记为x。

根据立方根的定义，我们可以得到一个不等式：(n+x)^3 < 给定的数 < (n+x+0.1)^3。

利用这个不等式，不断迭代确定小数部分的每一位数字。

三、扩展应用以上介绍的平方根和立方根的求解方法，主要适用于正数。

对于负数的平方根和立方根，可以通过引入虚数单位i来进行计算和表示。

初一数学重要知识总结平方根和立方根的计算规则整理

初一数学重要知识总结平方根和立方根的计算规则整理初一数学重要知识总结-平方根和立方根的计算规则整理在初一数学学习过程中，平方根和立方根是非常重要的概念和计算方法。

它们在解方程、计算几何图形的面积和体积等许多数学问题中都扮演着重要角色。

本文将对平方根和立方根的计算规则进行整理，帮助同学们更好地掌握这些知识。

一、平方根的计算规则平方根是一个数的平方等于这个数的算术平方根，表示为√a。

在计算平方根时，有以下几个基本规则：1. 平方根的基本概念对于非负实数a和非负实数x，如果x²=a，则x称为a的平方根。

2. 平方根的性质- 非负实数a的平方根是非负的。

- 0的平方根是0。

- 正数的平方根有两个，一个正数和一个负数，但通常我们只考虑正数的平方根。

3. 平方根的计算方法平方根的计算可以通过手算或使用计算器进行。

对于手算，可以采用试探的方法，逐步逼近平方根的值。

4. 常见整数的平方根下表是一些常见整数的平方根值。

通过记忆这些值可以在计算中更方便地使用。

整数平方根1 12 1.4143 1.7324 25 2.236二、立方根的计算规则立方根是一个数的立方等于这个数的算术立方根，表示为³√a。

在计算立方根时，有以下几个基本规则：1. 立方根的基本概念对于实数a和实数x，如果x³=a，则x称为a的立方根。

2. 立方根的性质- 实数a的立方根可能是正数、负数或零。

- 零的立方根是0。

- 完全立方数（即一个数的立方）的立方根是一个整数。

3. 立方根的计算方法立方根的计算也可以通过手算或使用计算器进行。

同样，对于手算，可以采用试探的方法或使用近似解法来计算。

4. 常见整数的立方根下表是一些常见整数的立方根值。

整数立方根1 12 1.2593 1.4424 1.5875 1.710三、平方根和立方根的应用举例1. 计算几何图形的边长在计算几何图形的边长时，如果面积或体积已知，可以通过平方根和立方根来计算边长。

初中数学知识归纳平方根和立方根的计算

初中数学知识归纳平方根和立方根的计算初中数学知识归纳：平方根和立方根的计算在初中数学中，平方根和立方根是重要的概念。

它们的计算方法在解决数学问题和实际应用中都发挥着重要作用。

本文将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及相关的性质。

一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。

给定一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则x称为a的平方根，记为√a。

计算平方根有多种方法，其中常用的有因数分解法和倒数开方法。

1.1 因数分解法对于一个非负整数a，可以将它分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b。

那么b就是a的平方根。

例如，对于16，可以将其分解为4 * 4，因此√16=4。

这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。

1.2 倒数开方法倒数开方法是一种近似计算方法，可以使用平方根表格或计算器进行操作。

对于一个非负实数a，首先将其化简为正的科学计数法形式，得到a = m * 10^n，其中1≤ m < 10。

然后，根据表格或计算器的指令查找m的平方根，记为b。

最后，将得到的b乘以10的n/2次方，即可得到a的近似平方根。

例如，对于225，化简为2.25 * 10^2，查表或计算器得到2的平方根为1.414，再乘以10^(2/2)=10，得到近似平方根为14.14。

这种方法适合于找到精确的平方根有困难的情况。

二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。

给定一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则x称为a的立方根，记为³√a。

计算立方根的方法与计算平方根的方法类似，可以应用因数分解法或倒数开方法。

2.1 因数分解法对于一个实数a，可以将其分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b * b。

那么b就是a的立方根。

例如，对于8，可以将其分解为2 * 2 * 2，因此³√8=2。

这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。

七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】

专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：20 ||00a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1．（安徽四十二中中铁国际城校区初一期中）计算16的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A．12±B．12-C．12D．116练习1．（六安市裕安中学初一期中）16的算术平方根是_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。

例3．（·安徽初一期中）81的平方根是_________；364的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根．记作：．2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（） A ．8的立方根是2 B ．﹣8的立方根是﹣2 C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）8-的立方根是__________．例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知5a 2+的立方根是3，3a b 1+-的算术平方根是4，c （1）求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4；（2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±C解：9的平方根是3±.故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A ．12± B ．12-C ．12D ．116C本题解析: ∵211()24=， ∴14的算术平方根为12+，故选C.练习1 _____． 2，4的算术平方根是2，2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。

初中数学平方根与立方根的运算

初中数学平方根与立方根的运算数学是一门基础学科，其中平方根和立方根是数学运算中常见且重要的概念。

在初中数学学习中，学生们需要学会正确并有效地运算平方根和立方根。

本文将详细介绍初中数学中平方根和立方根的运算方法及相关性质。

一、平方根的运算平方根是将一个数的平方等于给定值的运算。

平方根的运算可以通过开平方的方法进行。

具体来说，对于给定的数$a$，设其平方根为$x$，则可以表示为$x=\sqrt{a}$。

在初中数学中，当计算一个数的平方根时，应注意以下几点：1. 平方根的符号：平方根结果可以是正数也可以是负数，即对于非负实数$a$，其正平方根为正数，记作$\sqrt{a}$，负平方根为负数，记作$-\sqrt{a}$。

例如，$\sqrt{4}=2$，而$-\sqrt{4}=-2$。

2. 求平方根的运算法则：求平方根时，可以通过以下方法进行运算：a. 对于完全平方数：对于完全平方数$a^2$，其平方根为$a$，即$\sqrt{a^2}=a$。

例如，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$。

b. 对于非完全平方数：对于非完全平方数$a$，可以使用近似的方法来计算平方根。

例如，对于$\sqrt{5}$可以使用近似值$2.236$来表示。

3. 平方根的性质：平方根具有以下性质：a. 非负实数的平方根存在且为实数。

b. 平方根运算是可逆的，即对于给定的非负实数$a$，$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$。

c. 平方根与乘法运算的关系：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$，其中$a$，$b$为非负实数。

以上是关于初中数学中平方根运算的相关内容。

二、立方根的运算立方根是将一个数的立方等于给定值的运算。

立方根的运算可以通过开立方的方法进行。

具体来说，对于给定的数$a$，设其立方根为$x$，则可以表示为$x=\sqrt[3]{a}$。

在初中数学中，当计算一个数的立方根时，应注意以下几点：1. 立方根的符号：立方根结果可以是正数也可以是负数，即对于任意实数$a$，其立方根可以表示为$x=\sqrt[3]{a}$，并且$x^3=a$。

七年级数学下册平方根、立方根总结

简易平方根的运算1(1)利用平方根的乘法运算法则：若a 、b 为正数，则 a ⨯b =ab 去计算两个正平方根的乘积。

(2)利用平方根的除法运算法则：ba =b a 或a ÷b =b a ÷ (a b ,0≥>0) 去计算两个正平方根相除的商。

2例1.化简下列各数： (1)(5)2 (2)25 (3)2)5(- (4)(5-)2解：【答：(1) 5 (2) 5 (3) 5 (4)-5】例2.化简下列各数： (1)8 (2)24 (3)75 (4)84 (5)200解：【答：(1) 22 (2) 26 (3) 53 (4) 221 (5)102】例3.化简下列各数： (1)95 (2)32 (3)124 (4)185 (5)322 解：【答：(1)35 (2) 36 (3) 33 (4) 610 (5) 362】例4.求下列各式的积并化简： (1)133⨯ (2)326⨯ (3)287⨯ (4)3152⨯ 解：【答：(1) 39 (2) 2 (3) 27 (4) 1530】例5.求下列各式的商并化简： (1)2332÷ (2)281÷ (3)3216÷ (4)5752÷ 解：【答：(1) 32 (2) 41 (3) 26 (4) 714】3 1.化简下列各数：(1)(-3)2 (2)2)3(- (3)(3)22.化简下列各数： (1)12 (2)32 (3)54 (4)90 (5)3633.化简下列各数： (1)163 (2)59 (3)125 (4)203 (5)5334.求下列各式的积并化简： (1)205⨯ (2)1437⨯ (3)9320⨯ (4)335611⨯5.求下列各式的商并化简：(1)3127÷ (2)3151÷ (3)528÷ (4)65320÷41015 (5) 5103 4.(1)10 (2) 26 (3) 215 (4) 610 5.(1) 9 (2) 155 (3) 25 (4) 22 分母有理化如：计算：23÷时，先写成23，再把分子，分母都乘以2，化去分母中的根号，得：26222323=⋅⋅=，这样就完成了除法运算。

初中数学平方根和立方根知识点整理

初中数学平方根和立方根知识点整理平方根和立方根是初中数学中重要的概念，它们帮助我们解决各种数学问题，并在实际生活中得到广泛应用。

本文将整理和讨论平方根和立方根的相关知识点。

一、平方根1. 定义：一个数的平方根是一个数，使得它的平方等于原来的数。

通常用符号√表示。

2. 平方根的计算方法：a. 完全平方数的平方根是一个整数。

例如，16的平方根是4，因为4×4=16。

b. 对于不是完全平方数的数，可以使用近似法或者长除法来计算其平方根。

例如，对于数25，其平方根是5。

3. 平方根的性质：a. 对于正数x，平方根√x的值永远是非负的。

b. 当x > 0时，平方根√x的绝对值小于x的绝对值。

c. 平方根√x与x的关系是对称的，即(-√x) = √(-x)。

4. 平方根的运算规则：a. 具有相同指数的平方根可以合并。

例如√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。

b. 平方根与指数的运算规则相反。

例如(√2)^3 = √2 × √2 × √2 = 2√2。

二、立方根1. 定义：一个数的立方根是一个数，使得它的立方等于原来的数。

通常用符号³√表示。

2. 立方根的计算方法：a. 完全立方数的立方根是一个整数。

例如，27的立方根是3，因为3³=27。

b. 对于不是完全立方数的数，可以使用近似法或者试除法来计算其立方根。

例如，对于数125，其立方根是5。

3. 立方根的性质：a. 对于正数x，立方根³√x的值永远是非负的。

b. 当x > 0时，立方根³√x的绝对值小于x的绝对值。

c. 立方根³√x与x的关系是对称的，即(-³√x) = ³√(-x)。

4. 立方根的运算规则：a. 具有相同指数的立方根可以合并。

例如³√2 × ³√3 = ³√(2 × 3) = ³√6。

初一数学平方根与立方根的计算与应用总结

初一数学平方根与立方根的计算与应用总结平方根和立方根是数学中的基础概念，也是初一阶段数学学习的重点内容。

通过对平方根和立方根的计算与应用进行总结，对初一数学知识的掌握与应用能力的提升有着重要意义。

一、平方根的计算与应用平方根是一个数的平方等于另一个数时，被开方的数就是平方根。

平方根常用符号√表示。

平方根的计算可以通过以下步骤进行：1. 确定被开方数和指数，如求√c。

2. 选取一个数x，计算x的平方是否小于等于c，并找到满足不等式x²≤c的最大整数x。

3. 将x代入到不等式x²≤c中，将c与x²进行比较。

如果c=x²，则x即为所求平方根；如果c＞x²，则取x+△x代入到不等式中，反复迭代，直到满足条件为止。

4. 迭代求得的平方根可利用近似运算符号表示，如√c≈x。

平方根的应用广泛，特别是在几何学和物理学中。

比如在直角三角形中，根据勾股定理，可以利用平方根计算三角形的边长。

同时，平方根还可以用于计算面积和体积，如计算正方形和矩形的对角线长度，计算圆的半径和直径等。

二、立方根的计算与应用立方根是一个数的立方等于另一个数时，被开方的数就是立方根。

立方根常用符号³√表示。

立方根的计算可以通过以下步骤进行：1. 确定被开方数和指数，如求³√d。

2. 选取一个数y，计算y的立方是否小于等于d，并找到满足不等式y³≤d的最大整数y。

3. 将y代入到不等式y³≤d中，将d与y³进行比较。

如果d=y³，则y即为所求立方根；如果d＞y³，则取y+△y代入到不等式中，反复迭代，直到满足条件为止。

4. 迭代求得的立方根可利用近似运算符号表示，如³√d≈y。

立方根的应用也非常广泛。

在代数学中，立方根可以用于解一元三次方程。

在几何学中，立方根可以用于计算立方体和棱柱的体积，以及计算球体和球冠的体积等。

初一数学平方根与立方根总结提高根式运算能力

初一数学平方根与立方根总结提高根式运算能力初一数学-平方根与立方根总结：提高根式运算能力数学中的根式运算是初中数学中的一项重要内容，而平方根和立方根作为较为基础的根式运算，也是学生在这个阶段需要掌握和运用的知识点。

本文将对初一数学中的平方根和立方根进行总结，并介绍一些提高根式运算能力的方法。

一、平方根的计算平方根是指一个数的平方根是该数的平方等于被开方数的结果。

比如，√9=3，表示3是9的平方根。

在初一数学中，我们主要掌握以下几个计算平方根的方法：1. 用因数分解法计算平方根当被开方数是完全平方数时，我们可以通过因数分解的方法来计算平方根。

例如，计算√16：16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2^4√16 = √(2^4) = 2^2 = 42. 用近似估值法计算平方根当被开方数不是完全平方数时，我们可以利用近似估值法来计算平方根。

比如，计算√2的近似值：我们知道1^2=1，2^2=4，因此√2的值介于1和2之间。

通过逐步逼近的方法，我们可以得到√2约等于1.41。

二、立方根的计算立方根是指一个数的立方等于被开方数的结果。

比如，³√27=3，表示3是27的立方根。

在初一数学中，我们主要掌握以下几个计算立方根的方法：1. 用因数分解法计算立方根当被开方数是完全立方数时，我们可以通过因数分解的方法来计算立方根。

例如，计算³√64：64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6³√64 = ³√(2^6) = 2^2 = 42. 用近似估值法计算立方根当被开方数不是完全立方数时，我们可以利用近似估值法来计算立方根。

比如，计算³√5的近似值：我们知道1^3=1，2^3=8，因此³√5的值介于1和2之间。

通过逐步逼近的方法，我们可以得到³√5约等于1.71。

初中数学易考知识点平方根和立方根的计算

初中数学易考知识点平方根和立方根的计算初中数学易考知识点：平方根和立方根的计算数学是学生们在学校里面面临的一个重要科目。

而初中数学中有很多的知识点需要我们掌握和理解，其中包括平方根和立方根的计算。

在本文中，我们将详细介绍这两个知识点的计算方法和应用。

一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。

对于一个非负数 a，其平方根记作√a，满足(√a)²=a。

而对于负数 a，其平方根记作i√|a|（其中 i 是虚数单位）。

在初中数学中，我们主要关注非负数的平方根计算。

1. 简便方法在计算平方根时，我们可以根据数的一些性质和规律使用简便方法。

a) 当我们需要计算一个完全平方数的平方根时，我们可以直接取其平方根的正整数值。

例如，√4=2，√9=3。

b) 当我们需要计算一个非完全平方数的平方根时，我们可以通过近似方法来计算。

例如，要计算√5，我们可以找出两个完全平方数 2²=4和 3²=9，且中间的数值在 4 和 9 之间。

然后我们可以根据比例关系估算出√5 大约在 2 和 3 之间，进一步的我们可以通过试算法来逼近√5的值。

当我们试算出√5 在 2.23 和 2.24 之间时，我们可以认为其值为2.2。

2. 借助计算器当计算较大的平方根时，我们可以借助计算器来进行精确计算。

现代计算器通常都具备平方根的计算功能，我们只需输入相应的数值，即可获得其平方根的结果。

二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。

对于一个数 a，其立方根记作³√a，满足(³√a)³=a。

1. 简便方法立方根的计算方法与平方根的计算方法相似，不过我们要找出的是一个数的立方根。

依然可以使用简便方法来进行计算。

a) 当我们需要计算一个完全立方数的立方根时，我们可以直接取其立方根的正整数值。

例如，³√8=2，³√27=3。

b) 当我们需要计算一个非完全立方数的立方根时，我们可以通过近似方法来计算。

初中数学的平方根与立方根计算

初中数学的平方根与立方根计算平方根与立方根是初中数学中重要的概念，掌握其计算方法对于解题和日常生活都具有重要意义。

本文将介绍初中数学中平方根与立方根的概念及其计算方法，帮助大家更好地理解和运用。

一、平方根的计算方法1. 什么是平方根？平方根是一个数的平方等于给定数的非负实数解。

比如，9的平方根是3，因为3*3=9。

2. 完全平方数的平方根完全平方数是某一个整数的平方，比如4、9、16等。

完全平方数的平方根是一个整数。

我们可以通过遍历整数，找到给定数的平方根。

3. 非完全平方数的平方根对于非完全平方数，其平方根是一个无限不循环的无理数，我们无法用有限的小数表达。

但可以使用近似值来计算平方根。

常用的方法是牛顿迭代法，通过迭代逼近来计算平方根的近似值。

二、立方根的计算方法1. 什么是立方根？立方根是一个数的立方等于给定数的实数解。

比如，8的立方根是2，因为2*2*2=8。

2. 立方数的立方根立方数是某一个整数的立方，比如1、8、27等。

立方数的立方根是一个整数。

类似于计算平方根，我们可以通过遍历整数，找到给定数的立方根。

3. 非完全立方数的立方根对于非完全立方数，其立方根是一个无限不循环的无理数，我们无法用有限的小数表达。

同样可以使用近似值来计算立方根。

常用的方法是二分法和牛顿迭代法。

三、平方根和立方根的计算例题1. 平方根计算例题例题1：求解81的平方根。

解：由于81是完全平方数，因此它的平方根是一个整数。

我们可以遍历整数，发现81的平方根是9。

例题2：计算25的平方根。

解：25不是完全平方数，它的平方根是一个无理数。

使用牛顿迭代法，我们可以不断逼近25的平方根。

经过多次迭代计算，可以得到25的平方根约等于5。

2. 立方根计算例题例题1：求解125的立方根。

解：由于125是完全立方数，因此它的立方根是一个整数。

我们可以遍历整数，发现125的立方根是5。

例题2：计算27的立方根。

解：27不是完全立方数，它的立方根是一个无理数。