节点电压法

以结点ⓞ为参考，并规定结点①、②、③的结点电
压分别用un1、un2、un3表示。 根据KVL，可得出： u10=un1 u20=un2 u30=un3 u12=un1-un2 u23=un2-un3
对电路的三个独立结点列出KCL方程：
i1+i4+i5=is1 i2-i5+i6=0 ① i3-i4-i6=-is2
A I2
RS R1
I1
Is
R2
U1 +
_
UA( 1 1)U1IS R1 R2 R1
方程左边：按原方法编写，但不考虑电流源支路 的电阻。 方程右边：写上电流源的电流。其符号为：电流 朝向未知节点时取正号，反之取负号。
类型5 例.应用节点电压法求U和I。
I
1
－ 90V
＋ 2
1 － U 20A ＋
1 R1
1 +
R4
u1
1 R4
u3=uRs1
is
u3
R3
R4 u1
R2
R1
R5
u2 is
+us
R6
-

1 R5
+
1 R6
u2
-
1 R5
u3=is
R 14u1R 15u5R 13R 14R 15u30
小结：对于含电流源支路的电路，列节点电位方程 时应按以下规则：
类型3：对含两条或两条以上纯理想电压源支路，但它们汇集于一结点的电路，可取该 汇集点为参考结点。
- US1 + R1
则 Va= Us3 ,Vb= Us4为已知。 故只需对节点3列结点电压方程
Va
- US2 +
R2 Vb
R5
+
+
. Vc
R 11VaR 15Vb(R 11R 15R 16)VcU RS11
在电路中（具有n个结点）任意选择某一 结点为参考点，其他结点（(n-1)个结点） 为独立结点，此参考结点之间的电压称为结 点电压。
节点电压的符号用Un1或Una等表示。
结点电压的参考极性是已参考结点为负， 其余独立结点为正。
结点电压法： ①如果每一个支路电流都可以由支路电压来表示 ，那么它一定也可以用结点电压来表示。 ②在具有n个结点的电路中写出其中（n-1）个独 立结点的KCL方程，就得到变量为（n-1）个结点 电压的共（n-1）个独立方程（结点电压方程） 。 ③求解这些方程，得到结点电压，从而求出所需 的电压、电流。
G12=G21=-G5,G13=G31=-G4,G23=G32=-G6称为互导，等于两节 点间的公共支路电导之和的负值，互导总为负。
iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3是注入电流。注入电流等于流向 该节点全部电流源电流的代数和，流入节点者前面取"+"流 出节点者前面取"-"(注入电流源还应包括电压源和电阻串 联组合经等效变换形成的电流源)。
当电路中含有受控源时的处理: 一、含有受控电流源 ①将控制量用节点电压表示，并暂时将 其视为独立电流源。 ②将受控源的控制量用节点电压表示， 计入节点电压方程中。 二、含有受控电压源 把控制量用有关节点电压表示并变换为 等效受控电流源
类型1：支路含有电压源与电阻串联
例.用节点法求各支路电流
I1 20k VA
=is11 =is22
……
G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+G(n-1)(n-1)u(n-1)=is(n-1)(n-1)
节点分析法的步骤：
①首先将电路中所有电压型电源转换为电流型电源 。（不转换也可以，注意电流源的方向）
②在电路中选择一合适的参考点，以其余独立节点 电压为待求量（有的可能已知，如支路只有纯理 想电压源的情况）。
US3
R6
-
US4
-
类型4：如果电路中含有一个以上的纯理想电压源支路，且它们不汇集于同一 点（考虑增加电流变量）
如图选择参考结点，则Vb=US4成为已知 值, 需对节点1、3列写方程。
- US1 + IX
Va
- US2 +
R2 Vb
R5
+
+
US3
-
US4
R3
-
(1 R2

1 R3
)Va

1 R2
Vb
③列出所有未知节点电压的节点方程(其中自电导 恒为正，互电导恒为负)。
④联立求解节点电压，继而求出其余量。
当电路中含有无伴电压源的处理: 一、 ①把无伴电压源的电流作为附加变量列入 KCL方程。 ②增加一个节点电压与无伴电压源电压之间 的约束关系。 二、 ①将连接无伴电压源的两个节点的节点电压 方程合为一个。 ②增加一个节点电压与无伴电压源的约束关 系。
自阻、互阻、电压源电压
列网孔电流的步骤： ①选定各支路电流的参考方向 ②对b-n+1个网孔(独立回路)分别列出各自的自阻 、互阻(自阻为该独立回路中的电阻之和，互阻为 两个网孔公共部分的电阻之和。如各网孔的参考方 向相同，则自阻值总为“+”，互阻值总为“-”。 ) ③根据参考方向，求每一网孔内的电压源代数和。 ④如该电路中包含无伴电压源，则该网孔内的无伴 电压源电压U作为变量带入方程，增加一无伴电压 源所在支路的电流方程。 ⑤如该电路中包含受控电压源，将该网孔的电流用 控制量表示。
节点方程
一般形式：
G11un1+G12un2+G13un3=is11 G21un1+G22un2+G23un3=is22 G31un1+G32un2+G33un3=is33
G11=G1+G4+G5,G22=G2+G5+G6,G33=G3+G4+G6称为自导，它们 分别是与节点相连的各支路全部电导的总和,自导总为正。
R2
1
iS1
_ + uR2
R1
R3
gmuR2
(1) 先把受控源当作独立源看列方程；
2
(2) 用结点电压表示控制量。
1 ( R1
R12)un1R11un2
iS1
1 11 R 1un1(R 1R3)un2gm uR2is1
uR2= un1
结点。
Va
则Vb= Us4为已知。
只需对节点1、3列节点电压方程
- US1 + R1
- US2 +
R2 Vb
R5
+
+
US3
-
R3
US4
-
.Vc
R6
(R 1 1R 1 2R 1 3)V aR 1 2V bR 1 1V c U R S 1 1 U R S 2 2 U R S 3 3
R 11VaR 15Vb(R 11R 15R 16)VcU R S 11
列出用结点电压表示的电阻VCR方程：
i1=G1un1 i2=G2un2 i3=G3un3 i4=G4(un1-un3) ② i5=G5(un1-un2) i6=G6(un2-un3)
由①、②联立可得:
(G1+G4+G5)un1-G5un2-G4un3=is1 -G5un1+(G2+G5+G6)un2-G6un3=0 -G4un1-G6un2+(G3+G4+G6)un3=-is2

IX
US2 R2
US3 R3

1 R5
Vb

(
1 R5

1 R6
)Vc

I
X
.Vc
再补充约束方程： Vc-Va=Us1
R6
类型5：支路电流源与电阻串联
列出如下节点方程（如图）电路中含 有与is（或受控电流源）串联的电阻 R2，R2所在支路电流唯一由电流源is 确定，对外电路而言，与电流源串联 的电阻R2无关，不起作用，应该去掉 。所以其电导1/R2不应出现在节点方 程中，则节点电压方程如下所示：
I1=(120-VA)/20k= 4.91mA I2= (VA- VB)/10k= 4.36mA I3= VB-U= (VB +240)/40k= 5.45mA I4= VB /40=0.546mA I5= VB /20=-1.09mA
-240V + -U
例.用节点法求图所示的电流i，已知R1=3Ω，R2=R3=2Ω，R4=4Ω，us=2V， is=1A。（支路含有电压源与电阻串联）
Байду номын сангаас
10k VB 40k I3
+120V +
-
I4
I2
40k
I5 20k
(1) 列节点电压方程：
参考节点
(0.05+0.025+0.1)VA-0.1VB= 120/20
0.1VA+(0.1+0.05+0.025)VB=-240/40
(2) 解方程，得： VA=21.8V， VB=-21.82V
(3) 各支路电流：
2
3 2
＋
－
110V
＋
V1=100V － V2=100+110=210V
100V (1/2+1/2)V3-1/2V2-1/2V1=20 解得：
1
V3=175 V3=U-20*1 ∴U=V3+20=195 V2=90-I*1 求得
I=-(V2-90)/1=-120A
类型6：含受控电流源支路 例.列写下图含VCCS电路的结点电压方程。
(R 11R 12R 13)Va （ R 12+R 13） Vbisu RS 2
（ R 12+R 13） Va+(R 12R 13R 14)Vbu RS2 i= V a -V b R3
类型2：仅含纯理想电压源支路的节点电压法：
（1）对只含一条纯理想电压源支路的电
路，可取纯理想电压源支路的一端为参考
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路 的节点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图 的方法直接写出结点方程。
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的
电路，其节点方程的一般形式为：
G11un1 G21un1
+G12un2 +G22un2
+…+G1(n-1)u(n-1) +…+G2(n-1)u(n-1)
§3—6 节点电压法
①节点电压法解复杂电路的步骤及方法 ②节点电压法的适用范围
网孔电流法
定义：
网孔电流作为电路变量进行求解
网孔电流方程的一般形式： R11im1+R12im2+R13im3+…+R1mimm=us11 R21i2m+R22im2+R23im3+…+R2mimm=us22 …… Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3+…+Rmmimm=usmm 网孔电流方程的三个要素：