高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

4.公式：

1.两实数大小的比较

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-⇔<=-⇔=>-⇔>0b a b a 0b a b a 0b a b a 一.不等式知识要点

3.基 本不等式定理

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤+⇒<≥+⇒>≥+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+≤+≥+⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎧+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+≥+≥+2a 1

a 0a 2a 1a 0a

b ,a (2b a

a b )b a (2b a ab 2

b a 2b a ab 2b a ab )b a (2

1b a ab 2b a 2

22222

2

222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形

式1122a b a b --+≤≤≤

+2.不等式的性质：8条性质.

3.解不等式

(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式：

⎪⎪⎨

⎧<<

>>

≠>)0a (b

x )0a (a b

x )0a (b ax

一元二次不等式的求 解流程：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：

高次不等式：

(4)解含参数的不等式：（1）

(x – 2)(ax – 2)>0

（2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；

（3）2x 2 +ax +2 > 0；

注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；

2、讨论⊿与0的大小；

3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；

2、数形结合的思想；

3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤>⋅⇔>0)x (g 0)x (g )x (f 0)

x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )

x (f 0

)())((21>---n a x a x a x

例1．已知关于x 的不等式

在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围． 例2．关于x 的不等式

对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、 函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

⎪⎩⎪

⎨⎧用图象

分离参数后用最值函数、、、3

21

20,31

x

x a x x >≤++恒成立，

例3.若对任意

则 的取值范围.

a

22(3)210x a x a +-+-<)

1(log 22++-=ax ax y

二次方程根的分布问题的讨论：

()

2

f k

b

k

a

>

⎧

⎪⎪

-<

⎨

⎪

∆>

⎪⎩

1．x1< x2< k

()0

2

f k

b

k

a

>

⎧

⎪⎪

->

⎨

⎪

∆>

⎪⎩

2．k < x1< x

()0

f k< 3．x1< k < x2

4． k 1 < x 1 < x 2 < k 2 5． x 1 < k 1 < k 2 < x 2

1212()0(

)00

2f k f k b k k a >⎧⎪

>⎪⎪⎨

∆>⎪

⎪<-<⎪⎩

12

()0()0f k f k >⎧⎨>⎩

6． k 1

122

()0

()0()0f k f k f k >⎧⎪

<⎨⎪>⎩ 4解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

z ax by =+2

2y

x z +=y

z x

=

x

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

4.求函数

的最小值.

5.已知两个正数 满足 求使 恒成立的 的取值范围.

22

1

2.()2log (01)log f x x x x =++<<求函的最大值；

1

4.f(x)=x+

1

x ≥+（x 4）的最小值2(1)4()(1)1

x f x x x ++=>-+19

x y

1.已知x>0,y>0，且+=1，求x+y的最小值.4,

a b +=,a b 28

m a b +≥m 6

3