沪科版九下：24.2.2垂径定理 教案(表格式)
沪科版(2012)初中数学九年级下册 24.2.2 垂直与弦的直径 教案
24.2.2 垂径定理教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。
教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件 教学过程： 一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）3、观察并回答：（1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？（两条直径始终是互相平分的）（2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证）2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直AOBAOB径CD 平分。
3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M 。
求证：AE=BE 。
4、思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？5、给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。
并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。
（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式① CD 是直径、AB 是弦① AE=BE②C D ⊥②2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。
例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
沪科版数学九年级下册24.2 垂径分弦教案与反思
24.2 圆的基本性质原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修第2课时垂径分弦1．理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题(重点，难点)；2．认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，会用添加辅助线的方法解决实际问题(难点)．一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名匠师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理及应用【类型一】利用垂径定理求线段长如图所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6cm ，∴DP ＝3cm.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23cm ，∴AB ＝43cm.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】 垂径定理的实际应用如图，一条公路的弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理的应用，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，在Rt △ADO 中，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定等知识进行解答．【类型三】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．[来源:学。
沪科版九年级下数学《24.2.2垂径分弦》课件
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种 语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
C C
A
B
O
A
EB
D
O A
是
不是，因
为没有垂
直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为
CD没有过圆
心
归纳总结
➢垂径定理的几个基本图形：
Q
着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，AE与BE重合，点A与点B重
·O
合，AD 与 DB 重合，AC 与 CB 重合. 因此 AE=EB，AD DB ，AC CB .
A
E
B
D
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并
且平分这条弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
讲授新课
一 垂径定理及其推论
合作探究
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O 折叠，你发现了什么？
圆是轴对称图形，对称轴
是圆所在平面内任意一条 过圆心的直线.
O
问题2 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦， 且CD⊥AB，垂足为E. 求证：AE=EB，AD DB（或 AC CB ）.
C
·O
AE
B
D
证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，
所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，
因此点A与点B关于直线CD对称. 同理，如果点P是⊙O
沪科版数学九年级下册沪科版九年级数学下册24.2.2《垂径定理》课件
—垂径定理
灿若寒星
引入：
请观察下列四个银行标志，有何共同点？
(1)把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部
分能够互相重合，那么这个图形叫做(
这条直线叫做(
).对称轴
)轴对称图形，
(2)我们采用什么操作方法研究轴对称图形？
折叠 灿若寒星
学习目标
1.了解圆的对称性. 2.掌握垂径定理及其证明,掌握垂径定理的推论. 3.会用垂径定理及其推论解决相关问题.
请你用符号语言来理解刚才的推论：
（1） （2）
（3） （1）
（4） （3）
（5）
（2） （4） （5）
（1） （4）
（3）
A
（2） （5）
O EB D
（2） （3）
（1） （4） （2） （5） （4）
（1） （3） （3） （5） （4）
灿若寒星
（1） （2） （4） （5） （5）
（1） （2） （3）
理解应用
例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm， O 求圆心O到弦AB的距离.
弦心距：
A E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距。
OE的长叫做弦AB的弦心距
弦心距是一条常用辅助线: 过圆心作垂直于弦的垂线段或过圆心作垂直于弦 的直径。
灿若寒星
例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表 性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为 37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆 的半径.(结果精确到0.1m)
D
AE BE, AC BC, AD 灿B若寒D星
展示
4.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两 条弧.这句话对吗?
2020年春沪科版九年级数学下册学案24.2 第2课时 垂径分弦
王老师网络编辑整理24.2 圆的基本性质第2课时 垂径分弦［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. ［学法指导］本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用. ［学习流程］一、导学自习1．阅读教材p16有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p14“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？ 归纳：圆是__ __对称图形， ____________ ________都是它的对称轴；3. 阅读教材内容，自己动手操作： 按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个O ，沿圆周将圆剪下，作O 的一条弦AB ；第二步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂足为E ； 第三步，将O 沿着直径折叠.你发现了什么？归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .二、研习展评活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论.叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 定理的几何语言：如图2CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥____________,____________,_____________∴ (3)推论：___________________________________________________________________________． 活动2 ：垂径定理的应用 如图3，已知在O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离（弦心距）为3cm ，求O的半径.(分析：可连结OA ，作OC AB ⊥于C ) 解：（图1）（图2）（图3）王老师网络编辑整理小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
九年级数学下册 24.2 圆的基本性质教案2 沪科版
第24章 圆24.2 圆的基本性质（2） 【教学内容】垂径定理。
【教学目标】 知识与技能了解圆的轴对称性； 了解拱高、弦心距等概念； 过程与方法使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究……，感受数学源于生活又服务于生活。
【教学重难点】重点：垂径定理”及其应用 。
难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明【导学过程】 【知识回顾】⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________， 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本有关“赵州桥”问题。
【情景导入】⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方 法的同学请举手。
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每 一条_________。
【新知探究】 探究一、⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？ 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
ABC DO A C D O B C D O EBDAOCPFE⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知， 求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？⒌垂径定理： 分析：给出定理的推理格式 推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？【知识梳理】垂径定理及逆定理 【随堂练习】 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．»»BCBD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD B ACEDOBAOMBA CEDOF (图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．83．如图3，已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB=8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mmm C ．3mm D ．4mm4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______．5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 6、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别 交于点A 、Ｂ和C 、D 。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》教学设计
（1）请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习垂径定理过程中的收获和困惑。
（2）针对自己的困惑，提出改进措施，为下一节课的学习做好准备。
注意事项：
1.要求学生在作业过程中，注重解题步骤的规范性和逻辑性。
2.鼓励学生积极参与思考题，培养他们的探究意识和创新能力。
3.课后总结要认真对待，发现问题并及时解决，提高学习效率。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握垂径定理的内容，能够准确判断圆的直径所对的圆周角是直角。
2.能够运用垂径定理解决实际问题，如求圆的直径、半径等。
3.掌握垂径定理的证明方法，提高演绎推理能力。
4.能够运用垂径定理推导出圆的相关性质，如圆周角定理、弦切角定理等。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论以下问题：“垂径定理在生活中的应用有哪些？”、“如何证明垂径定理？”等。
2.交流分享：各小组汇报自己的讨论成果，其他小组进行评价和补充，教师适时给予指导和点拨。
3.深入探讨：引导学生探讨垂径定理与其他几何定理的联系，如圆周角定理、弦切角定理等。
（四）课堂练习
4.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对几何学产生浓厚的兴趣。
2.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，树立自信心。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
1.设计具有层次性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：判断题、选择题、填空题和解答题，涵盖垂径定理的发现、证明和应用等方面。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。
第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》说课稿
（1）通过探究垂径定理的证明过程，培养学生独立思考、合作交流的能力。
（2）通过解决实际问题，培养学生运用所学知识解决问题的能力。
（3）通过总结垂径定理的应用规律，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对几何学习的兴趣，培养良好的学习习惯和科学态度。
本节课所面向的学生为九年级学生，他们正处于青春期，具有以下特点：
1.年龄特征：九年级学生年龄大约在14-15岁，这个阶段的学生好奇心强，思维活跃，具备一定的抽象思维能力。
2.认知水平：经过两年的初中数学学习，学生已经具备了一定的几何知识基础，能够理解并运用一些基本的几何定理。
3.学习兴趣：学生对几何问题通常具有较强的兴趣，尤其是能够通过图形直观理解的问题。
1.师生互动：
-提问和回答：在讲解过程中，我会提出问题，鼓励学生积极回答，以检验他们对知识的理解和掌握。
-点评和反馈：在学生回答问题后，我会给予及时的点评和反馈，指导他们改进思维方法。
2.生生互动：
-小组讨论：我会将学生分成小组，让他们就垂径定理的证明和应用进行讨论，共同解决问题。
-小组报告：每个小组选派代表向全班展示讨论成果，促进学生之间的交流和合作。
（3）垂径定理的应用涉及到实际问题，需要学生能够灵活运用所学知识解决。
2.教学难点：垂径定理的证明过程和应用。
（1）垂径定理的证明过程需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力，是本节课的难点。
（2）垂径定理的应用需要学生能够将理论知识与实际问题相结合，对学生的综合能力要求较高。
二、学情分析
（一）学生特点
2.应用练习：提供一些实际问题，让学生运用垂径定理解决问题，提高他们的应用能力。
九年级数学下册24.2圆的基本性质(第2课时)垂径定理学案沪科版
24．2 圆的对称性第2课时垂径定理学前温故1．在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝2，BC＝4,CM是中线,以C为圆心，错误!为半径画圆，则A、B、M与圆的位置关系是( ）．A．A在圆外，B在圆内，M在圆上B．A在圆内，B在圆上,M在圆外C．A在圆上，B在圆外，M在圆内D．A在圆内，B在圆外，M在圆上解析：Rt△ABC中，AB＝错误!＝错误!＝2错误!，CM＝错误!AB＝错误!，又2＜错误!＜4，故A在圆内，B在圆外, M在圆上．答案：D2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 cm,最短距离为 2 cm，则⊙O的半径是__________．解析:本题分两种情况：(1)点P在⊙O内部时，如图①所示，PA＝8 cm，PB＝2 cm，直径AB＝8＋2＝10(cm）,半径r＝错误!AB＝错误!×10＝5（cm）；(2）点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6（cm）,半径r＝错误!×6＝3（cm）．答案：3 cm或5 cm新课早知1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．3．定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心到弦的距离叫做弦心距．1．垂径定理【例1】赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27。
9米,跨度（弧所对的弦长)为37。
4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离）吗？分析:根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．解：如图，AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交AB于点C。
根据垂径定理，则D是AB的中点,C是AB的中点，CD为拱高．在Rt△OAD中，AD＝错误!AB＝37.4×错误!＝18。
7(m），OA＝27。
9 m，∴OD＝错误!＝错误!≈20.7(m）．∴CD＝OC－OD≈27.9－20。
垂径定理教案(2024)
23
课程重点与难点总结
课程重点
垂径定理的定义和性质
垂径定理的证明过程
2024/1/29
24
课程重点与难点总结
垂径定理在解决几何问题中的应用
课程难点
如何准确地理解和应用垂径定理
2024/1/29
25
课程重点与难点总结
在复杂几何图形中识别和应用 垂径定理
02
01
2024/1/29
垂径定理与其他几何知识的综合 应用
2024/1/29
具体来说，垂径定理指的是在平面内，如果一个直径垂直于一条弦， 那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4
课程目标与要求
01
知识目标
掌握垂径定理的内容、证明方 法及其推论。
2024/1/29
02
能力目标
能够运用垂径定理解决相关的 几何问题，如计算弦长、弧长
等。
03
情感态度与价值观
32
THANKS
2024/1/29
33
26
拓展延伸：垂径定理在其他领域的应用
物理学
在力学中，垂径定理可用于计算物体在圆形轨道上运动时的向心加速度 。
2024/1/29
在电磁学中，垂径定理可用于计算圆形电流环产生的磁场。
27
拓展延伸：垂径定理在其他领域的应用
工程学
在建筑设计中，垂径定理可用于计算圆形建筑物 的结构强度和稳定性。
在机械设计中，垂径定理可用于计算齿轮、轴承 等圆形零件的尺寸和配合精度。
弦
连接圆上任意两点的线段 。
9
圆的对称性与中心对称性
2024/1/29
圆的对称性
圆关于经过圆心的任意直线都是 对称的。
沪科版九年级下24.2圆的基本性质垂径定理课件
义门中心校 数学组
圆的相关概念的复习
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作A⌒B ,读作“弧
AB连”接. 圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
• 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).
B
m
A
●O
C
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
讲解 垂径定理的应用
例弦1AB的如长图为，8已cm知，在圆⊙心O中O到，A AB的距离为3cm，求⊙O的 半径。
E
B
.
O
解：连接OA，作OAEB于E. 1
AE=2AB=4 OA= AE2+OE2=5
再逛赵州石拱桥
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，圆是轴对称图形吗？若是，对 称轴是什么？ 可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
垂径定理教案
垂径定理教案垂径定理是初中数学重要的一条几何定理，它涉及到了线段、直线、垂直关系等多个概念。
下面是一个关于垂径定理的教案。
教学目标：1. 理解垂线和半径的概念；2. 掌握垂径定理的内容和应用方法；3. 能够用垂径定理解决实际问题。
教学重点：1. 垂线和半径的概念；2. 垂径定理的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备黑板、粉笔、直尺等教学工具；2. 学生预习垂径定理的概念和原理。
教学过程：一、导入（5分钟）教师出示一张圆形图案的图片，问学生对圆有什么了解？引导学生讨论圆的特征和性质。
然后，教师介绍垂线和半径的概念，并与圆相关联。
二、展示与引入（10分钟）教师在黑板上画出一个圆，并画出两条直径，引导学生思考：圆上任意一点和它的两个直径的关系是什么？进一步引出垂径定理的内容。
三、讲解与演示（10分钟）教师简明扼要地讲解垂径定理的内容和原理，并通过示意图进行演示。
同时，解释垂线和半径之间的关系以及垂心的概念。
四、练习与巩固（15分钟）1. 学生进行基本概念练习。
教师出示几个有关垂线和半径的问题，要求学生回答并解释其原理。
2. 学生进行综合应用练习。
教师给出一道实际问题，要求学生用垂径定理解答，并解释其思路和过程。
五、拓展与应用（15分钟）教师出示几个较难的问题，要求学生用垂径定理进行解答。
同时，学生也可以提出自己的问题，用垂径定理进行求解。
六、归纳与总结（5分钟）学生对垂径定理的要点进行归纳总结，并完成笔记。
七、作业布置（5分钟）布置有关垂径定理的练习题，要求学生认真完成，并把思路和过程写在纸上。
教学反思：通过本节课的教学，学生对垂线和半径的概念、垂径定理的内容和应用有了初步的了解，并能够运用垂径定理解决一些实际问题。
在教学中，教师通过图示、问题示例等方式，使学生更好地理解了垂径定理的原理和应用方法。
但是，由于时间的限制，学生对垂心等相关概念的理解还比较模糊，需要在以后的教学中加以强化。
同时，教师还需要不断提高教学方法，使学生对数学知识更加深入和全面的理解。
沪科版九年级数学下册24.垂径定理课件
基本图形 及变式图
形
构造直角三角形利用 勾股定理计算或建立 方程.
课堂小测
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 5cm . 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦AC= 10 3cm . 3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且 MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 14cm或2cm .
O到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E.
AE EB 1 AB 3cm.
·O 弦心距
2
AE
B
∵OA=5cm, 在Rt△OEA中，有
OE OA2 AE2 4cm.
圆心到弦的距 离叫做弦心距
答：圆心O到弦AB的距离为4cm.
新知探究
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC
C
B
∵ CD是直径，AB⊥CD，
∴ A⌒C =B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
新知探究
知识要点
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所
对的两条弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举
出反例.
C
➢特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
新知探究
例1 如图，☉O中的半径为5cm,弦AB是为6cm,求圆心
C
B
用垂径定理和勾股定理求解.
C
弓形中重要数量关系
h
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
A
aD
r 2d
B
之间有以下关系： d+h=r r2
九年级数学下册242圆的基本性质第2课时垂径定理学案新版[沪科版](1)
](https://img.taocdn.com/s3/m/0ec4c288aaea998fcc220ec7.png)
24．2 圆的对称性第2课时 垂径定理学前温故1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝4，CM 是中线，以C 为圆心，5为半径画圆，则A 、B 、M 与圆的位置关系是( )． A ．A 在圆外，B 在圆内，M 在圆上B ．A 在圆内，B 在圆上，M 在圆外C ．A 在圆上，B 在圆外，M 在圆内D ．A 在圆内，B 在圆外，M 在圆上解析：Rt△ABC 中，AB ＝22＋42＝20＝25，CM ＝12AB ＝5，又2＜5＜4，故A 在圆内，B 在圆外， M 在圆上．答案：D2．已知平面上一点到⊙O 的最长距离为8 cm ，最短距离为 2 cm ，则⊙O 的半径是__________．解析：本题分两种情况：(1)点P 在⊙O 内部时，如图①所示，PA ＝8 cm ，PB ＝2 cm ，直径AB ＝8＋2＝10(cm)，半径r ＝12A B ＝12×10＝5(cm)；(2)点P 在⊙O 外部时，如图②所示，直径AB ＝PA －PB ＝8－2＝6(cm)，半径r ＝12×6＝3(cm)． 答案：3 cm 或5 cm新课早知1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．3．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心到弦的距离叫做弦心距．1．垂径定理【例1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．解：如图，AB 表示主拱桥，设AB 所在圆的圆心为O.过点O 作OC⊥AB 于D ，交AB 于点C.根据垂径定理，则D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 为拱高．在Rt△OAD 中，AD ＝12AB ＝37.4×12＝18.7(m)，OA ＝27.9 m ， ∴OD＝OA 2－AD 2＝27.92－18.72≈20.7(m)．∴CD＝OC －OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．∴赵州桥的拱高为7.2 m.点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长a 、圆半径r 、弦心距d 、弓形高h.它们之间的关系有r ＝h ＋d (或r ＝h －d )，r 2＝d 2＋(a 2)2. 2．垂径定理的推论【例2】 学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．解：小勇得出的结论正确．理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．1．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )．A．2 cm B. 3 cmC．2 3 cm D．2 5 cm答案：C2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为( )．A．矩形B．平行四边形C．正方形D．直角梯形答案：C3．(2011·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )．A．6 B．8C．10 D．12答案：A4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.答案：4 95．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.证明：过O作OE⊥AB于E，则AE＝EB，CE＝ED.∴AE－CE＝BE－DE.∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，∴AC＝BD.。
沪科版九年级下册数学：24.2 垂径定理 课件(共17张PPT)
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
初中数学九年级教案-沪科版-24.2 圆的基本性质(第2课时)
24.2圆的基本性质
第二课时
教学目标
【知识与能力】
1探索圆的对称性，进而得到垂径定理；
2.能够利用径定理解决相关的实际问题。
【过程与方法】
在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
【情感态度价值观】
使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的精神。
教学重难点
【教学重点】
垂径定理的应用。
【教学难点】
利用垂径定理解决实际问题。
课前准备
课件、圆规、直尺、三角板等。
教学过程。
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课题名称24.2.2垂径分弦
课时安排1备课教师时间
教学目标1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
3.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．
教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明
教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．教学方法
教学资源
教学过程设计
教学过程
教师活动学生活
动
修改意
见1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，
我国隋代建造的赵州石
拱桥主桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦
长）是37 .4m，拱高（弧
的中点到弦的距离）为
7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到0.1 m）．
2.探究新知
1.在纸上任意画一个圆，沿着圆的任意一条直
径对折，你发现了什么？(圆是轴对称图形，对
学生
动手画图
称轴是任意一条过圆心的直线。
)
强调：1.圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. 2.圆的对称轴有无数条.
2.你能叠出一条与直径互相垂直的弦吗？
3.获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
定理的几何语言(注意规范)
4.利用新知 问题回解
达标训练
1. 如图，⊙O 的半径为5cm ，弦AB 为6cm 。
求圆心O 到弦AB 的距离。
2.如图，⊙O 的半径为6cm ，弦AB 为6cm 。
求圆心O 到弦AB 的距离。
3. 如图，⊙O 的半径为5cm ，弦AB 为8cm 。
求圆心O 到弦AB 的距离。
变式训练
⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥弦CD ，AB=6cm ， CD=8cm 。
求AB 与CD 的距离。
(分类讨论) 能力提升：如图,M 为⊙O 内的一点 你能画过点M 最长的弦呢? 你能画过点M 最短的弦呢? 你能证明吗 ？
归纳小结
重要内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条
弧．
①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
A C D B
O
R h d
a。