理论力学-运动学

v vx2 vy2 (l a)2 2 sin2 t (l a)2 2 cos2 t
l2 a2 2al cos 2t
cos(v,i ) vx (l a)sin t
v
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l2 a2 2al cos 2t
cos(v, j) vy (l a)cost
a ax2 ay2 l a2 4 cos2 t (l a）2 4 sin 2 t
l2 a2 2al cos 2t
cos(a,i ) ay (l a)cost
a
l2 a2 2al cos 2t
cos(a, j ) ax (l a) cost
已知：OC AC BC l, MC a, t
求：① M 点的运动方程
② 轨迹 ③ 速度 ④ 加速度
2020/2/29
已知： OC AC BC l, MC a, t
求：x=x(t)， y=y(t)。 解：点M作曲线运动，取坐标系xoy
运动方程
x (OC CM ) cos (l a)t cost

s0

v0t

1 2
att 2
④点作曲线运动 画出下列情况下点的加速度方向。
<1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动) (不可能)
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(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
求：① A、B点运动方程
② B点速度、加速度
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已知：OM r, t , 常数, AB b
求：① A、B点运动方程
② B点速度、加速度
解： A，B点都作直线运动，取ox轴如图所示。
运动方程
xA b r sin b r sin( t )

ann
at

dv dt

d2s dt 2
an

v2


1


ds
2


dt
— 切向加速度
— 法向加速度
a at2 an2
曲线匀速运动 at 0, v v0 常数, s s0 v0t
曲线匀变速运动
at 常数, v v0 att,
s
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y AM sin (l a)sin t
消去t, 得轨迹
(l
x
2
a）2

(l
y2 a)2
1
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已知： OC AC BC l, MC a, t
速度
求：x=x(t)， y=y(t)。
vx x l a sin t
vy y (l a) cost
2xB
周期运动
x (t T ) x f
f 1
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T
频率
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
一.弧坐标,自然轴系
弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
xB r sin r sin( t )
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已知： OM r, t , 常数, AB b
求：① A、B点运动方程 ② B点速度、加速度
B点的速度和加速度
vB xB r cost
aB xB r 2 sin t
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a
l2 a2 2al cos 2t
例6-2 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中
θ为t=0的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间 距离为b，求点A和B的运动方程及点B的速度和加速 度。
已知： OM r, t , 常数, AB b
(减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
例6-3 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达 54km/h。求列车起点和未点的加速度。
已知：R=800m=常数，
a 常数, v t0 v0 0
v 2min 54km h 求：a t0 , a t2min
dt ds dt dt
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速度 v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
加速度 a dv dv v d
dt dt dt
代入 d d ds v n dt ds dt
则
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a

dv
dt

v2

n

at
c

os(ai
)

ax a

[注] 这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)

y

f 2(t)
当消去参数 t 后,可得到 轨迹方程。
z f 3(t)
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例6-1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其 端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A， B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
a
ax2

a
2 y
az2
32m
s2
而
at

dv dt

0,
an a 32m s2
故 v2 2.5m
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an
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已知：R=800m=常数，
a 常数, v t0 v0 0
v 2min 54km h 求：a t0 , a t2min
解：1 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图
2 由 at 常数, v0 0 v att
at

v t
15m s 120s
0.125m
c

os(vi
)
vx
v
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c
os

(v j )

v
y
v
c

os(vk
)

v
z
v
三. 加速度.
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt

d2x dt 2
i

d2y dt 2
j
d 2z dt 2
k

a
x
i
ay
jazk
a a2x a2 y a2z
求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：由点M的运动方程，得
vx x 8cos 4t, ax x 32sin 4t
vy y 8sin 4t, ay y 32cos 4t
vz j 4,
a z 0 z
从而
v
vx2 vy2 vz2
80m s,
s2
① t 0, an 0 a at 0.125m s2
② t 2min 120s
an

v2 R

(15m s)2 800m

0.281m
s2
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a at2 an2 0.308m s2
例6-4 已知点的运动方程为x=2sin 4t m， y=2cos 4t m，z=4t m。
第六章 点的运动学
§6–1 点的运动矢量分析方法 §6–2 点的运动的直角坐标法 §6–3 点的运动的自然坐标法
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§6-1 点的运动矢量分析方法 z
一.运动方程，轨迹
r r (t) OM
二.点的速度
v
Δltim0ΔΔtr

dr dt
r
x
三.加速度
P P´
r r´ r P
y
a
Δlitm0ΔΔvt

dv dt

d 2r dt 2
r
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§6-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk
二.点的速度
v

dr dt

ddxt i

dy dt
j
dz dt
k
v vxi vy jvzk
v vx2 vy2 vz2
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v l2 a2 2al cos 2t
已知： OC AC BC l, MC a, t
加速度
求：x=x(t)， y=y(t)。
ax vx x l a 2 cost
ay vy y l a 2 sin t
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r f1 (t )
f2(t)
自然轴系
2020/2/29
2020/2/29
2020/2/29
2020/2/29
2020/2/29
点的速度和加速度
切向单位矢量
主法向单位矢量 n
副法线单位矢量 b n
速度 v dr dr ds ds v