二次函数一般式
二次函数一般式化为顶点式的公式
二次函数一般式化为顶点式的公式二次函数是数学中经常遇到的函数类型之一，其一般式表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是常系数，且a不等于0。
我们希望将这个一般式化为顶点式的公式，顶点式的公式为：y=a(x-h)^2+k其中，(h,k)是顶点的坐标。
要将一般式化为顶点式的公式，步骤如下：1.找到顶点的横坐标h：由于顶点的横坐标就是二次函数的轴对称线的纵坐标，可以通过公式h=-b/2a找到。
这是因为二次函数的轴对称线的横坐标等于顶点的横坐标，而轴对称线的表达式为x=-b/2a。
2.将顶点的横坐标代入一般式，求得顶点的纵坐标k：将顶点的横坐标h代入一般式，即可求得顶点的纵坐标k，即 k = ah^2 + bh + c。
3.将h和k代入顶点式：将顶点的横坐标h和纵坐标k代入顶点式y=a(x-h)^2+k，即可得到二次函数的顶点式。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示如何将一般式化为顶点式的公式。
假设有二次函数y=2x^2+4x+1，我们要将其化为顶点式的公式。
首先，根据步骤1h=-b/2a=-4/(2*2)=-1然后，我们将顶点的横坐标h代入一般式，求得顶点的纵坐标k：k = ah^2 + bh + c = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1最后，将h和k代入顶点式y=a(x-h)^2+k：y=2(x-(-1))^2+(-1)=2(x+1)^2-1因此，二次函数y=2x^2+4x+1可以化为顶点式的公式y=2(x+1)^2-1综上所述，要将二次函数的一般式化为顶点式的公式，需要先找到顶点的横坐标h，然后将其代入一般式求得顶点的纵坐标k，最后将h和k 代入顶点式即可。
这种化简的方法可以使我们更方便地研究二次函数的性质和特点，也有助于解题和问题求解。
二次函数一般式坐标公式
二次函数一般式坐标公式
二次函数一般式的坐标公式为：
y = ax²+ bx + c
其中，a、b、c 是常数，x、y 是变量。
如果已知二次函数的一般式，可以通过代入不同的x 值，求出对应的y 值，从而画出函数的图像。
具体步骤如下：
1. 设定x 的取值范围，比如x 取-5 到5。
2. 根据一般式，代入不同的x 值，求出对应的y 值。
比如当x = -5 时，y = a(-5)²+ b(-5) + c。
3. 将每个x 和对应的y 组成一个坐标点，如(-5, y)。
4. 将所有坐标点连成一条曲线，就是二次函数的图像。
需要注意的是，二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
a 的正负决定了抛物线的开口方向，a 越大，抛物线越陡峭；c 是抛物线的纵坐标截距，决定了抛物线与y 轴的交点；b 是抛物线的一次项系数，影响抛物线的平移。
二次函数一般式怎么化顶点式
二次函数一般式怎么化顶点式二次函数一般式和顶点式都是描述二次函数的两种常见形式，它们之间的转化是求解二次函数的重要步骤。
在学习数学、物理等学科时，二次函数是非常重要的知识点，对于解决实际问题和理解某些现象都有很大的帮助。
二次函数是一种二次多项式函数，它的一般式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c $其中a、b、c均为常数，a不等于0。
这个a决定了二次函数的开口方向和大小。
如果a大于0，则代表开口向上，形如一个U形，如果a小于0，则代表开口向下，形如一个倒U形。
比如，二次函数y = 2x^2 + 4x + 1代表开口向上的二次函数。
其中a、h、k均为常数，a不等于0。
这个h和k确定了二次函数的顶点坐标，也就是他们能够描述二次函数的开口方向和大小，以及顶点的位置。
对于已知二次函数一般式，我们需要将其转化为顶点式来描述。
首先，我们需要将一般式中的x配方成一个完全平方数，然后将整个式子移项，利用配方法得到顶点式中的h、k常数。
具体步骤如下：依据因式公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$我们可以将一般式中的二次项配方成一个完全平方数的形式：$ax^2+bx+c=a((\frac{b}{2a}+x)^2-\frac{b^2}{4a^2})+c$这里，$\frac{b}{2a}$就是完全平方数的前半部分，将$x^2$与它进行配平，剩下的便是完全平方数的后半部分。
2. 将整个式子移项，得到顶点式中的h、k常数。
这里我们需要加减逆运算，将配方得到的式子移项，两边同时加上一个c，也就是一般式中的常数项。
这时，我们的一般式就被转化为了顶点式的形式。
其中，顶点的横坐标为$\frac{-b}{2a}$，纵坐标为$c-\frac{b^2}{4a}$。
例如，已知函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过上面的方法将它转化为顶点式：这里我们将a=2，b=4，c=1代入公式进行求解，然后移项得到h=-1，k=-1。
二次函数一般式和顶点式的关系
二次函数一般式和顶点式的关系二次函数是高中数学中较为重要的一个概念，它的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——抛物线，而这个抛物线的形状则取决于二次项系数a的正负性。
当a>0时，抛物线开口向上，且顶点位于二次函数的最小值点，反之，当a<0时，抛物线开口向下，且顶点位于二次函数的最大值点。
对于一般式的二次函数，我们可以通过配方法将其化为顶点式的形式。
顶点式的二次函数形式为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。
如何从一般式的形式推导出顶点式呢？我们可以通过以下步骤进行：1. 对于一般式y=ax²+bx+c，我们可以通过求导数的方法来确定其最值点。
求导数得到y'=2ax+b，令y'=0，可得x=-b/2a。
2. 将x=-b/2a带回原式中，可得y=a(b/2a)²+b(b/2a)+c，化简可得y=c-b²/4a。
3. 由于两个平方项的和不小于0，且a≠0，因此当a>0时，y取最小值c-b²/4a，当a<0时，y取最大值c-b²/4a。
4. 将y=c-b²/4a带入y=ax²+bx+c中，可得y=a(x+b/2a)²+c-b²/4a，进一步化简可得y=a(x-h)²+k，其中h=-b/2a，k=c-b²/4a。
通过以上推导，我们可以得到一般式和顶点式二次函数的关系。
在实际运用中，顶点式的形式更为方便，可以直接读出抛物线的顶点坐标，同时也更加直观，有助于对二次函数的图像有更深入的理解。
除此之外，顶点式的二次函数还有其他的特点。
例如，当a>0时，y≥k，当x=h时，y=k；当a<0时，y≤k，当x=h时，y=k。
这些特点可以通过顶点式直接读出，而一般式则需要借助求导等数学方法进行推导。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k1.7定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)注意事项•二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
二次函数的相关公式
二次函数的相关公式二次函数可是中学数学里的一个重要角色呀！咱先来说说二次函数的一般式，那就是 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）。
这里面的 a、b、c 都有着自己独特的作用。
a 决定了抛物线的开口方向和大小，要是 a 大于 0，抛物线开口向上，像个开心的笑脸；要是 a 小于 0，抛物线开口向下，就像个愁眉苦脸。
b 呢，它和 a 一起影响着抛物线的对称轴，对称轴的公式是 x = -b / （2a）。
c 就是抛物线和 y 轴的交点纵坐标啦，当 x = 0 时，y = c 。
顶点式 y = a（x - h）² + k 也很常用。
这个公式里，（h，k）就是抛物线的顶点坐标。
通过这个式子，咱们能一下子就找到抛物线的顶点，多方便！还有一个交点式 y = a（x - x₁）（x - x₂），这里的 x₁和 x₂是抛物线和 x 轴交点的横坐标。
记得我当年上学的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于二次函数的。
题目给出了一个二次函数的一般式，让我们求出它的顶点坐标和对称轴，还问这个函数有没有最大值或者最小值。
当时我一看这题，心里有点小紧张，不过很快就冷静下来了。
我先把对称轴的公式写出来，算出对称轴，再把对称轴的值代入函数求出顶点的纵坐标，一步步稳稳地做下来。
最后得出答案的时候，心里那叫一个踏实。
咱们在学习二次函数的时候，一定要多做练习题，这样才能熟练掌握这些公式。
比如说，给定一个抛物线的顶点和另一个点的坐标，让我们写出它的顶点式。
这时候就得灵活运用顶点式的特点来解题。
还有啊，实际生活中二次函数也有很多用处呢。
比如说投篮的时候，篮球的运动轨迹就可以用二次函数来描述。
建筑师在设计桥梁的时候，也会用到二次函数的知识来确定桥梁的形状和受力情况。
总之，二次函数的这些公式就像是我们解决数学问题的法宝，只要我们用心去学，用心去用，就能在数学的世界里畅游无阻！所以，同学们，加油吧，把这些公式牢牢地装在我们的脑袋里，让它们为我们的学习和生活服务！。
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
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南营中学“导、学、析、练”数学导学案
科目数学课题二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
授课时间12.24
学习目标
1．通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；
3．会用公式确定y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对称轴和顶点坐标.
学习
重点
两种方法确定y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对称轴和顶点坐标
学习难点
配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
学法
指导
自主学习、合作交流
教学过程复备
导4
分钟（一）导入新课：
1.二次函数y= 2(x-1)2 +3的开口、对称轴是、顶点坐标是、当x 、y随x 的增大而增大，当x 、y随x的增大而减小.
2.画二次函数图像列表时为了对称，应把坐标列入。
3、将二次函数y= 2(x-1)2 +3 化成一般形式是y=2x2-4x+5，如何画这样的二次函数图象和探究它的性质呢？（二）导入目标：
（三）学法指导：
自主学习、合作交流
学11
分钟（一）自学：根据学习目标自学教材P
10
—P
12
的内容，完成下列问题：
（1）二次函数y=2x2-12x+16通过方法转化成已经学过的函数y＝a(x－h)2＋k的形式是 .
（2）由上面变形后的形式写出二次函数y=2x2-12x+16 的图像性质。
①开口方向是、对称轴是、顶点坐标是；
②当x= 时，y有最值，是；
③当x 、y随x的增大而增大，当x 、y随x的增大而减小.
④抛物线 y=2x2-12x+16可看着抛物线，先向平移个单位，再向平移个单位而得到的. （3）画y=2x2-12x+16 二次函数的图像应先将它化成
的形式，然后确定对称轴为直线，再根据顶点坐标
与对称性，最后、、画出函数图象.
（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条，开口方向由a的值确定，当a＞0时，开口，当a＜0时，开口；对称轴是直线；顶点坐标是（）；当x 、y随x的增大而增大，当x 、y随x的增大而减小.
（二）互学：各小组交流自学结果，相互帮助解决自学中存在的问题.一、二、三、四小组作好展示准备（板书好展示的题目），五、六小组作好归纳准备。
析10 分钟
（一）学生评析：
各小组长对本小组自学结果在交流的基础上进行评析，并将结果展示在黑板上.
（二）教师评析：
教师对学生展示的结果进行综合评析，结合目标引导学生归纳本节所学知识点.
练20
分钟
1、用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的对称轴及
顶点坐标．
2．抛物线y＝2x2－2x－5的对称轴是直线____ ，顶点坐标为（______）．当x＝______时，y有最______值是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．抛物线y＝2x2－2x－5可以看作y＝2x2
怎样平移得到的？
3、若A（－3，y
1
），B（－1，y
2
），C（0，y
3
）为二次函数y＝x2+4x-5的图像上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是．
4、．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，最大值是．
5、（1）如图：由图可得：a _____0
b____0 c____0
五、作业 1.P14第6题（1）（2）
2.（思考题题）抛物线y＝x2+bx＋c的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所的图像解析式为y＝x2-2x ＋3，求b、c的值。