二次函数公式(精华)

★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.

2.二次函数2ax y =的性质

(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.

①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0

3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.

4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a 决定抛物线的开口方向：

当0>a 时，开口向上；当0

②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴

是h x =.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的

垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用

(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.

(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a

b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0

(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.

(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：

①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

b . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

12.直线与抛物线的交点

(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)

(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).

(3)抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；

③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.

(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.

(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组

⎩⎨⎧++=+=c

bx ax y n kx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;

②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为

()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02

=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=44422

2122122121 13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．

(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．