近世代数 2.8子群
第二章 近世代数简介
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
10
域（Field)
一个集合，二种运算
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
9
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
作为其根。换言之，若deg
i
(x)
=
(x-
20)
(x-
21)
(x-
(i (x))=
22 )…(x-
li，必有
) 2( li1 )
这里，deg(i (x) )= li m，本原元的共轭根系对
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
23
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
本原多项式 Primary Polynomials
近世代数复习(1)
第一章 基本概念1.1 集合1.集合：由一些事物所组成的一个整体.通常用大写拉丁字母,,,A B C L L 表示.2.组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母,,,a b c L L 表示.常见符号：;,.a A a A a A ∈∉∈3.子集：若,a A a B ∀∈⇒∈则称A 是B 的子集，B 是A 的扩集，或A 包含于B ， B 包含A ，记作,A B B A ⊆⊇.当A 不是B 的子集时，记作“A B ⊄”.4.真子集：若A B ⊆，且b B ∃∈，而b A ∉，则称A 是B 的真子集，记作A B ⊂.5.幂集：由给定集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作()2A P A =.6.设,A B 是全集U 的两个子集.{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且A 的余：{}=|A x x U x A '∈∉，B 在A 中的余：{}{}\||.A B x x A x B x x A x B A B ''=∈∉=∈∈=⋂且 且 例. 设},,,,,{},,,,{},,,,,,,,{g f e d a N h e c a M h g f e d c b a U ===求,\,.M N M N M N ''⋃⋂解：{}{}{}{}{},,,,,,;\,;,,,,,,;.M N a c d e f g h M N c h M b d f g N b c h M N b ⋃==''''==⋂=1.2 映射1.映射：设,A B 是两个给定的非空集合，若有一个对应法则f ，使a A ∀∈，通过f ，!b B ∃∈与其对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作:f A B →或f A B −−→A 称为f 的定义域，B 称为f 的陪域.b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的 原像，记作()b f a =或:.f a b a2.映射相等：设f 是1A 到1B 的映射，g 是2A 到2B 的映射，若1122,,A B A B ==且1x A ∀∈，都有()()f x g x =，则称f 与g 相等，记作f g =.3.设,,A B C 是三个集合，f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，规定:(()),,h x g f x x A ∀∈a则h 是A 到C 的映射，称为f 与g 的合成（或乘积），记作h g f =o ，即()(()),.g f x g f x x A =∀∈o4.设f 是A 到B 的一个映射.（1）若12,a a A ∀∈，当12a a ≠时，有12()()f a f a ≠，则称f 是A 到B 的一个单射；（2）若,b B a A ∀∈∃∈，使()f a b =，则称f 是A 到B 的一个满射；（3）若f 既是单射，又是满射，则称f 是一个双射.例如，映射:,2,,f x x x →+∀∈ a ?是从¡到¡的一一映射.设f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，若g f o 有左逆映射，则f 有左逆映射.但是g 没有.1.3 卡氏积与代数运算1.设,A B 是两个集合，作一个新的集合：{}(,)|a b a A b B ∈∈,称这个集合是A 与B 的笛卡尔积（简称卡氏积），记作A B ⨯.例如，集合A 中含有m 个元素，集合B 中含有n 个元素，则A 与B 的卡氏积 A B ⨯中含有mn 个元素.n 个集合的卡氏积12,,,n A A A L 定义为{}12(,,,)|1,2,,,n i i a a a a A i n ∈=L L ,并记作12n A A A ⨯⨯⨯L ，或1ni i A =∏.2.设,,A B D 是三个非空集合，从A B ⨯到D 的映射称为,A B 到D 的代数运算.特别，当A B D ==时，,A A 到A 的代数运算简称为A 上的代数运算.3.设o 是集合A 上的一个代数运算，若123,,a a a A ∀∈，都有123123()(),a a a a a a =o o o o则称o 适合结合律.若12,a a A ∀∈，都有1221,a a a a =o o则称o 适合交换律.设e 是集合,B A 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),b a a b a b a ⊕=⊕e e e则称e 对于⊕适合左分配律.设⊗是集合,A B 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),a a b a b a b ⊕⊗=⊗⊕⊗则称⊗对于⊕适合右分配律.4.设o 是集合A 上的一个代数运算，（1）若,,a b c A ∀∈，有,a b a c b c =⇒=o o则称o 适合左消去律.（2）若,,a b c A ∀∈，有,b a c a b c =⇒=o o则称o 适合右消去律.例. 在实数集¡上规定一个代数运算ο：,2b a b a +=ο问这个代数运算ο是否适合结合律、交换律？解：（1）由于,11325353)221(3)21(,1782181)322(1)32(1=⋅+==⋅+==⋅+==⋅+=οοοοοοοο 二者不等，代数运算ο不适合结合律.（2）由于,722323,832232=⋅+==⋅+=οο 二者不等，代数运算ο不适合交换律.1.4 等价关系与集合的分类1.设,A B 是两个集合，则A B ⨯的子集R 称为,A B 间的一个二元关系.当(,)a b R ∈时，称a 与b 具有关系R ，记作aRb ；当(,)a b R ∉时，称不具有关系R ，记作aR b '.,A A 间的二元关系简称为A 上的关系.2.设:是集合A 上的一个二元关系，若满足下列性质：（1）自反性：,;a A a a ∀∈:（2）对称性：,,;a b A a b b a ∀∈⇔::（3）传递性：,,,,;a b c A a b b c a c ∀∈⇔:::则称:是A 上的一个等价关系.当a b :时，称a 与b 等价.例如,定义为“8|a b a b ⇔-:”的二元关系“:”是偶数集2¢上的一个等价关系.3.设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个元 素，则这些子集的全体称为A 的一个分类.每个子集称为一个类.类里任何一个元 素称为这个类的一个代表.集合A 上的等价关系与集合的分类之间有着本质的联系，它们可以互相决定：{}[]|.a x x A x a =∈:,4.设:是集合A 上的一个等价关系，由A 的全体不同:等价类所组成的集合族称为A 关于:的商集，记作/A :.例. 若设,,A m =∈ⅴ令 {}(,)|,,|,m R a b a b m a b =∈-¢证明m R 是整数集¢上的一个等价关系，并给出由这个等价关系所确定的¢的一个分类.证明：显然m R 是⨯ⅱ的一个子集，所以m R 是¢上的一个关系.又（1）,|,a m a b ∀∈-¢所以m aR a ；（2）,,a b ∀∈¢若m aR b ，则|m a b -，于是|m b a -，所以m bR a ；（3）,,,a b c ∀∈¢若,m m aR b bR c ，则|,m a b -|m b c -，于是|()()m a b b c -+-，即|m a c -，所以.m aR c因此，m R 是整数集¢上的一个等价关系.由这个等价关系m R 所确定的m R 等价类为：{}[0],2,,0,,2,,m m m m =--L L{}[1],21,1,1,1,21,,m m m m =-+-+++L L{}[2],22,2,2,2,22,,m m m m =-+-+++L L………{}[1],1,1,1,21,.m m m m -=-----L L第二章 群2.1 半群1.设S 是一个非空集合，若（1）在S 中存在一个代数运算ο；（2）ο适合结合律：()(),a b c a b c =o o o o ,,,a b c S ∀∈则称S 关于ο是一个半群，记作),(οS .若半群S 的运算还适合交换律：,,,a b b a a b S =∀∈o o则称S 是交换半群.半群的代数运算“ο”通常称为乘法，并将符号“ο”省略，即b a ο记作ab ，称为a 与b 的积.一个交换半群S 的代数运算常记作“+”，并称为加法，此时结合律、交换律分别为：()(),,,,,,.a b c a b c a b c S a b b a a b S ++=++∀∈+=+∀∈2.设S 是半群，,n a S ∈∈¥，n 个a 的连乘积称为a 的n 次幂，记作n a ，即.n n a aa a =678L且有：(),,,,.nm n m n m mn a a a a a a S m n +==∀∈∈¥ 如果S 是交换半群，且代数运算是加法时，a 的n 次幂应为a 的n 倍，表示n 个a 的和，记作na ，即.n na a a a =+++6447448L相应运算性质具有下列形式：,,.a S m n ∀∈∈¥(),()(),().ma na m n a n ma nm a n a b na nb +=+=+=+2.2 群的定义1.设(,)G g 是一个有单位元的半群，若G 的每个元都是可逆元，则称G 是一个群.适合交换律的群称为交换群或阿贝尔群.交换群G 的运算常用“+”号表示，并称G 是加群.2.设G 是半群，则下列四个命题等价：（1）G 是群；（2）G 有左单位元l ，而且G a ∈∀关于这个左单位元l 都是左可逆的；（3）G 有右单位元r ，而且G a ∈∀关于这个右单位元r 都是右可逆的；（4）G b a ∈∀,方程b ya b ax ==,在G 中都有解.3.若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群，称G 所包含元素的个数G 是G 的阶.4.群G 的运算适合左、右消去律.2.3 元素的阶1.设G 是一个群，e 是G 的一个单位元，a G ∈，使m a e =成立的最小正整数m 称为元素a 的阶，记作a m =.若使上式成立的正整数m 不存在，则称a 是无限阶的，记作a =∞.每个元素的阶都是无限的群不存在.当G 是加群时，其运算是加法，单位元为零元0，所以上式具有下列形式：0.ma =2.设G 是一个群，a G ∈，若,b G n ∀∈∃∈¢，使n b a =则称G 是由a 生成的循环群，a 是G 的生成元，记作().G a =循环群一定是交换群.3.设()G a =是一个循环群，（1）若a m =，则G 是含有m 个元素的有限群，有()m ϕ个生成元：,(,)1,r a m r =且{}0121,,,,;m G e a a a a -==L（2）若a =∞，则G 是无限群，有两个生成元：1,a a -，且{}21012,,,,,,.G a a a a a --=L L4.设G 是m 阶群，则G 是循环群当且仅当G 有m 阶元.例. 求出模12的剩余类加群12¢的每一个元的阶与所有生成元.解：12个元素：],11[],10[],9[],8[],7[],6[],5[],4[],3[],2[],1[],0[ 阶分别为：.12,6,4,3,12,2,12,3,4,6,12,1 由于12¢是由[1]生成的12阶循环群，所以12¢的生成元为：].11[],7[],5[],1[2.4 子群1.设G 是一个群，H G ∅≠⊆，若H 对G 的乘法作成群，则称H 是群G 的一个子群，记作.H G ≤2.设G 是群，H G ∅≠⊆，则下列各命题等价：（1）H G ≤（即H 对G 的乘法构成群）；（2）,a b H ∀∈，有1,ab a H -∈；（3）,a b H ∀∈，有1.ab H -∈3.（1）无限循环群G 的子群，除单位元子群外，都是无限循环群.而且G 的子群的个数是无限的；（2）m 阶循环群G 的子群的阶是m 的因数；反之，若n|m ，则G 恰有一个n 阶子群，从而G 的子群的个数等于m 的正因数个数.任何一个群都不能是它的两个真子群的并.例1. 设12¢是一个模12的剩余类加群，证明：{}[0],[4],[8]H =是12¢的一个子群.证明：首先[0]H ∈，从而H ≠∅.又[0][0][0],[0][4][4],[0][8][8],[4][4][8],[4][8][0],[8][8][4],+=+=+=+=+=+= 而12¢是一个交换群，所以H 对12¢的加法运算封闭. 因此12.H <¢ 例2. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是：1，2，4.1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身；2阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群. 因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.5 变换群1.非空集合A 到A 自身的映射称为A 的变换，A 到A 自身的满射称为A 的满变换，A 到A 自身的单射称为A 的单变换，A 到A 自身的双射称为A 的一一变换，A A ={A 的所有变换}.()E A ={A 的所有一一变换}.()E A 称为A 的一一变换群，()E A 的子群称为A 的变换群.2.（1）一个包含n 个元的有限集合的一一变换称为（n 次）置换；（2）一个包含n 个元的有限集合的所有置换作成的群称为n 次对称群，记作n S ；对称群的子群称为置换群.3.设在n 次置换σ下，1j 的像是2j ，2j 的像是31,,r j j -L 的像是r j ，r j 的像是1j ， 其余的数字（如果还有的话）保持不变，则称σ是一个r 项循环置换，记作()12,,,,r j j j σ=L也可以记作()()23111,,,,,,,,,.r r r j j j j j j j σσ-==L L L1项循环置换()j 是恒等置换，2项循环置换()12j j 又称为对换.4.（1）n S 中的所有偶置换作成n S 的子群（称为n 次交错群，记作n A ）；（2）n 次交错群n A 的阶是!.2n例1. 写出三次对称群3S 的所有元素.解：.123321,312321,231321,213321,132321,321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2. 设两个六次置换： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=416532654321,526413654321τσ求.,,12-στστστ 解：123456,142536στ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2123456,134652τσ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1123456.231546στ-⎛⎫= ⎪⎝⎭例3. 将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积.()()()4251314234563解：记(3654),(3241),(31524)σδη===，则:1554,2411,3136,4322,5243,6665,σδηa a a a a a a a a a a a a a a a a a从而，(3654)(3241)(31524)(142)(365).=2.6 群的同态与同构1.设G 与G '都是群，f 是G 到G '的映射，若f 保持运算，即()()(),,,f xy f x f y x y G =∀∈则称f 是G 到G '的同态.若同态f 是单射，则称f 是单同态；若同态f 是满射，则称f 是满同态，并称G 与G '同态，记作G G ':；若同态f 是双射，则称f 是同构，并称G 与G '同构，记作.G G '≅2.设f 是群G 到群G '的同态，e '是G '的单位元，则称{}Im ()()|f f G f x x G ==∈是f 的同态像，称{}1()|()Kerf f e x G f x e -''==∈=是f 的同态核.3.设f 是群G 到群G '的同态，e 是G 的单位元，则（1）f 是满同态当且仅当Im ;f G '=（2）f 是单同态当且仅当{}.Kerf e =4.任意一个群G 都与一个变换群同构.5.设()G a =是循环群，则（1）若a m =，则(,);m G ≅+¢（2）若a =∞，则(,).G ≅+¢2.7 子群的陪集1.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系l R ：1,,.l aR b b a H a b G -⇔∈∀∈由等价关系l R 所决定的类称为H 的左陪集.包含元素a 的左陪集等于aH .2.设H G ≤，则下列各命题成立：（1）a aH ∈；（2）1.aH bH aH bH a b H b aH bH aH -=⇔⋂≠∅⇔∈⇔∈⇔⊆ 特别，;.aH H a H eH H =⇔∈=（3）在aH 与H 之间存在一个双射.3.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系r R ：1,,.r aR b ab H a b G -⇔∈∀∈由等价关系r R 所决定的类称为H 的右陪集.包含元素a 的左陪集等于Ha .4.（Lagrange 定理）设G 是有限群，H 是G 的子群，则||[:]||.G G H H =5.有限群G 的每一个元素的阶都是||G 的因数；素数阶的群都是循环群.例如，6阶有限群的任何子群的阶数都是其正因子：1，2，3，6. 设G 是有限群，H 是G 的正规子群，若||H 与[:]G H 互素，则H 是G 中唯一的||H 阶子群.例. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是1，2，4，而1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身.二阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群，因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.8 正规子群与商群1.设N G ≤，若a G ∀∈都有,aN Na =则称N 是G 的正规子群或不变子群，记作.N G <2.设N G ≤，则下列各命题等价：（1）N G <（即,aN Na a G =∀∈）；（2）1,,;ana N a G n N -∈∀∈∈（3）1,;aNa N a G -⊆∀∈（4）1,;aNa N a G -=∀∈（5）N 的每一个左陪集也是N 的右陪集.3.设G 是群，记作N G <，令{}/|,G N aN a G =∈规定：(),,/,aN bN ab N aN bN G N =∀∈g则(/,)G N g 是一个群，称为G 关于N 的商群.4.商群/G N 的阶是N 在G 中的指数[:]G N ，且当G 是有限群时，/G N 的阶是||.||G N 2.9 正规子群与商群1.一个群G 与它的每一个商群/G N 同态.:/,,G G N a aN a G π→∀∈a称为自然（满）同态.自然同态π的核为N.2.（同态基本定理）设f 是群G 到群G '的同态，则（1）;Kerf G <（2）/Im .G Kerf f ≅3.（第一同构定理）设f 是群G 到G '的满同态，N G ''<，1()N f N -'=，则N G <，并且//.G N G N ''≅例. 设(6),(30)是整数加群¢的两个子群，证明：5(6)/(30).≅¢ 证明：令5:(6),6[6],f n n →则f 是到的一个满同态，且{}{}{}{}6(6)|(6)[0]6(6)|[6][0]6(6)|5|630|(30).Kerf n f n n n n n m m =∈==∈==∈=∈=¢因此，(30)(6)<，且5(6)/(30).≅¢ 第三章 环3.1 环的定义1、设R 是一个非空集合，具有两种代数运算：加法（记作“+”）与乘法（记作“g ”），若（1）(,)R +是一个加群；（2）(,)R g 是一个半群；（3）,,a b c R ∀∈都有乘法关于加法的左右分配律：(),(),a b c a b a c b c a b a c a +=++=+g g g g g g 则称R 是一个结合环，简称环，记作(,,)R +g .2、常见环（1）数环：数集关于数的加法、乘法所作成的环.例如2.⊂⊂⊂⊂ⅱぁ?（2）R 上的n 阶全矩阵环()n M R ：数环R 上全体n 阶矩阵关于矩阵加法、乘法.（3）R 上的一元多项式环[]R x ：数环R 上全体一元多项式关于多项式的加法、乘法.（4）高斯（Gauss ）整数环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ关于数的加法、乘法作成一个环.（5）设G 是一个加群，()E End G =是G 的所有自同态所组成的集合，规定：,,E x G στ∀∈∈，()()()(),()()(()),x x x x x στστστστ+=+=g 则(,,)E +g 是一个环，称为G 的自同态环.（6）商集{}[0],[1],,[1]m m =-关于加法运算[][][],a b a b +=+与乘法运算[][][],a b ab =g作成一个环(,,)m +，称为模m 的剩余类环.3、环的初步性质环R 关于加法是一个加群，R 具有加群的运算性质：（1）00,;a a a a R +=+=∀∈（2）()()0,;a a a a a a a R -=+-=-+=∀∈（3）(),;a a a R --=∀∈（4）,,,;a b c b c a a b c R +=⇔=-∀∈（5）(),(),,;a b a b a b a b a b R -+=----=-+∀∈（6）()(),(),,,,;m na mn a n a b na nb m n a b R =+=+∀∈∈¢其次，环R 关于乘法是一个半群，而且加法与乘法通过左右分配律相联，从而R 还具有如下性质：（7）(),(),,,;a b c ac bc c a b ca cb a b c R -=--=-∀∈（8）000,;a a a R ==∀∈（9）()(),()(),,;a b a b ab a b ab a b R -=-=---=∀∈00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡（10）121212121111(),(),,;,,;n n n n i m n mn i j i j i j i j i j a b b b ab ab ab b b b a b a b a b a a b R a b a b a b R ====+++=++++++=+++∀∈⎛⎫⎛⎫=∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑L L L L（11）()()(),,,.na b a nb n ab n a b R ==∀∈∈¢4、若环R 的乘法运算g 适合交换律，则称R 是交换环.5、若在环R 中，半群(,)R g 有单位元，则称R 是有单位元环，或称R 是带1的环.6、设R 是一个环，0a R ≠∈，若0b R ∃≠∈，使0(0),ab ba ==则称a 是R 的一个左（右）零因子.当a 既是R 的左零因子，又是R 的右零因子时，则称a 是R 的零因子. 例如，模12的剩余类环12¢是有零因子环：[3][4][12][0]==.例1. 求所有形如的矩阵组成的环R 的零因子.解：对任意的由于00000,0a x y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以环R 的每个非零元素都是R 的右零因子，且每个形如00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的元素都是R 的左零因子.又当0≠a 时，如果0000000,*a x y ax ay ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则有0,0==y x .所以00,0*a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭不是环R 的左零因子.所以环R 的左右零因子分别是00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 与 00,x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x ,不全为0. 7、设环R 不含左、右零因子，则称R 是无零因子环.8、一个有单位元、无零因子的交换环称为整环.9、设R 是一个环，若（1）R 至少包含两个元素；（2）R 有单位元；（3）R 中每个非零元都可逆；则称R 是一个除环（或体，斜域）.一个交换除环称为域.除环具有以下性质：（1）设R 至少包含两个元素，则R 是除环R ⇔中全体非零元组成的集合R *关于乘法作成一个群；（2）除环R 是无零因子环；（3）在除环R 中，,,0a b R a ∀∈≠，方程ax b =与ya b =都有唯一解.（4）一个至少含有两个元素，且没有零因子的有限环是除环.（5）一个有限整环是域.11、设R 是一个环，若存在最小正整数n ，使对于所有a R ∈，都有0na =，则称n 是环R 的特征（数）.若这样的n 不存在，则称环R 的特征（数）是零.环R 的特征（数）记作chR .在一个无零因子环R 中，所有非零元（对于加法）的阶全相等.12、设R 是一个环，且0chR n =>，则（1）当R 是有单位元时，n 是满足10n =g 的最小正整数；（2）当R 是无零因子时，n 是素数.13、域F 的特征或是素数，或是零.3.2 子环1、设R 是一个环，S R ∅≠⊆，若S 关于R 的加法、乘法作成环，则称S 是R 的一个子环，R 是S 的扩环，记作S R ≤.平凡子环：{0},.R非平凡子环：,{0},.S R S S R ≤≠≠2、(1)设R 是一个环，S R ∅≠⊆，则S 是R 的子环,a b S ⇔∀∈，有,.a b ab S -∈(2)设R 是一个除环（域），S R ∅≠⊆，则S 是R 的子除环（子域）,a b S ⇔∀∈，有1,(0).a b ab b S --≠∈3、当S 是R 的一个子环时，S 与R 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则S 也是交换环.②当S 是交换环时，R 未必是交换环. 例如20|,,().0a a b M b ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ （2）在有无零因子上.①若R 是无零因子环，则S 也是无零因子环.②当S 是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如12¢有零因子[3],[4]等，但{}[0],[4],[8]没有零因子.（3）在有无单位元上.①若R 有单位元，S 可以没有单位元. 例如¢有单位元1，但其子环2¢没有单位元.②若S 有单位元，R 可以没有单位元. 例如0|,,|,.0000a b a R a b S a b ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭ ③若R 与S 都有单位元，它们的单位元可以不同. 例如210(),;01010|,,.0000M a S a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭¡¡ 4、设R 是环，I 是一个指标集，()i S R i I ≤∈，则i i I S R ∈≤I .5、设R 是环，T R ∅≠⊆，令{}12|,n i S x x x x T n =±∈∈∑L ?则S R ≤.上述子环S 称为由T 生成的子环，记作[]T .并称T 中元素是[]T 的生成元，T 是[]T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称[]T 是有限生成的，并可以记作12[,,,]l t t t L .特别地，1[]|,m i i i i t n t n m =⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭∑ⅴ. 6、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M S T S R i I =⊆≤∈是R 的所有包含T 的子环族，则i i IT S ∈=I .3.3 环的同态与同构1、设R 与R '都是环，f 是R 到R '的映射，若f 保持运算，即,x y R ∀∈，有()()(),()()(),f x y f x f y f xy f x f y +=+= 则称f 是R 到R '的同态.单同态：同态f 是单射.满同态：同态f 是满射，并称R 与R '同态，记作R R ':. 同构：同态f 是双射，并称R 与R '同构，记作R R '≅. 环R 的自同态：R 与R 的同态；环R 的自同构：R 与R 的同构.2、设f 是环R 到环R '的同态.（1）若0是R 的零元，则(0)f 是R '的零元；（2）,()()a R f a f a ∀∈-=-；（3）若S R ≤，则()f S R '≤；（4）若S R ''≤，则1()f S R -'≤.3、当:f R R '→是满同态时，R 与R '在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则R '也是交换环.②当R '是交换环时，R 未必是交换环. 例如0:.00a b a f c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a （2）在有无零因子上.①当R 是无零因子环时，R '未必是无零因子环. 例如:m f ，¢没有零因子，m 是合数时，m ¢是有零因子环.②当R '是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如 0:;00001010.0000a b a f c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a （3）在有无单位元上.①若R 有单位元1，则R '有单位元(1)f .②当R '有单位元时，R 未必有单位元. 例如010:;000000a b a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a 4、设环R R '≅，则R 是整环（除环，域）R '⇔是整环（除环，域）.5、设f 是环R 到环R '的同态，g 是环R '到环R ''的同态，则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的同态.6、设f 是环R 到环R '的满同态（单同态，同构），g 是环R '到环R ''的满同态（单同态，同构），则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的满同态（单同态，同构）.7、设f 是环R 到环R '的同态，0'是R '的零元，则称{}|()0Kerf x R f x '=∈=是的同态核.8、设f 是环R 到环R '的同态，0是R 的零元，则f 是单同态{}0.Kerf ⇔=3.4 理想与商环1、设(,,)R +g 是一个环，(,)A +是(,)R +的一个子加群，（1）若,r R a A ∀∈∈有ra A ∈，则称A 是R 的左理想；（2）若,r R a A ∀∈∈有ar A ∈，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，又是R 的右理想，则称A 是R 的（双侧）（双边）理想，记作A R <.若A R <，且A R ≠，则称A 是R 的真理想.理想是子环，子环不一定是理想.2、只有零理想{}0与单位理想R 的环R 称为单环. 除环是单环.3、设R 是一个环，I 是一个指标集，()i A R i I ∈<，则i i IA R ∈<I .注：理想的并集一般不是理想.5、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M A T A R i I =⊆∈<是R 的所有包含T 的理想族，则称i i IA ∈I 是由T 所生成的理想，记作()T .并称T 中元素是()T 的生成元，T 是()T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称()T 是有限生成的，并可以记作12(,,,)l t t t L . 特别地，由一个元素a 生成的理想()a 称为主理想.3、设R 是一个环，a R ∈，T R ∅≠⊆，则{}()|,,,,i i i i a x ay sa at na x y s t R n =+++∈∈∑¢.且有（1）若R 是有单位元环，则{}()|,i i i i a x ay x y R =∈∑；（2）若R 是交换环，则{}()|,a ra na r R n =+∈∈¢；（3）若R 是有单位元的交换环，则{}()|a ra r R =∈；（4）{}()|(),i i i i T x x t t T =∈∈∑.例1. 求整数环¢上一元多项式环[]x ¢的理想(2,)x ，并证明(2,)x 不是主理想. 证明：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈¢¢ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.若(2,)(()),()[],x p x p x x =∈¢则2(()),(()),2()(),()(),(),()[],(),(),1(2,)p x x p x p x q x x p x h x q x h x x p x a x ah x a x ∈∈==∈=∈==±∈¢¢这与1(2,)x ±∉矛盾.得证.4、设R 是环，A R <，在商群{}{}(,)/(,)[]||R A x x R x A x R ++=∈=+∈中再规定：[][][],[],[]/x y xy x y R A =∀∈g ，则(/,,)R A +g 是一个环，/R A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[]x x A =+称为R 模A 的剩余类.5、（1）若R 是交换环，则/R A 也是交换环；（2）若R 是有单位元1的环，则/R A 有单位元[1].6、一个环R 与它的每一个商环/R A 同态.自然同态：:/,[],R R A x x x A x R π→=+∀∈a . 且有.Ker A π=7、（同态基本定理）设f 是环R 到环R '的同态，则（1）Kerf R <；（2）/Im R Kerf f ≅.8、（第一同构定理）设f 是环R 到环R '的满同态，A R ''<，1()A f A -'=，则A R <，并且//R A R A ''≅.9、设f 是环R 到环R '的满同态，若A R <，则()f A R '<.3.5 素理想与极大理想1、设R 是交换环，P 是R 的一个理想，若,,a b R ab P a P ∀∈∈⇒∈或b P ∈，则称P 是R 的素理想.单位理想是素理想.当R 是无零因子交换环时，零理想也是素理想；当R 有零因子时，零理想不是素理想.2、设P 是有单位元的交换环R 的一个理想，则P 是R 的素理想/R P ⇔是整环.例1. 试求模18的剩余类环18¢的所有素理想.解：（1）18¢有6个子加群：{}{}{}{}{}18{[0]},[0],[1],,[17],([2])[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],([3])[0],[3],[6],[9],[12],[15],([6])[0],[6],[12],([9])[0],[9].=====它们也是18¢的所有子环，也是18¢的所有理想.（2）因为[2][3][6]([6]),=∈但是[2],[3]([6]),∉所以([6])不是18¢的素理想.同理可证，{0},([9])都不是18¢的素理想.（3）对于([3])，设18[],[],[][]([3])a b a b ∈∈¢，则[][]([3]),[3][0],18|3a b r ab r ab r =-=-，从而存在m ∈¢，使318,183.ab r m ab m r -==+因为3|18，所以3|ab ，从而3|a 或3|b ，因此[]([3])a ∈或[]([3])b ∈，所以([3])是18¢的素理想.同理可证，([2])也是18¢的素理想.（4）显然单位理想18¢是18¢的素理想.3、设M 是环R 一个真理想，若对于的理想N ，M N N R ⊂⇒=，则称M 是R 的极大理想.R 中包含极大理想M 的理想只有R 与M .环R 本身不是的极大理想.若R 只有平凡理想，则零理想是R 的极大理想. 一个环可以有多个极大理想，也可以没有极大理想.4、设M 是有单位元的交换环R 的一个理想，则M 是R 的极大理想/R M ⇔是域.5、在有单位元的交换环中，极大理想一定是素理想.例2. 证明：在整数环¢上一元多项式环[]x ¢中，(2,)x 是一个极大理想. 证：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈ⅱ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.令[0],2|(0),(())[1],f f x ϕ⎧=⎨⎩其它 …………(3分) 则ϕ是满同态，且ker {()[]|(())[0]}{()[]|2|(0)}(2,),f x x f x f x x f x ϕϕ=∈==∈=¢¢ 由同态基本定理，2[](2,)x x ≅¢¢，2¢是域，则 [](2,)x x ¢ 也是域，(2,)x 是[]x ¢的极大理想. 3.6 商域1、（挖补定理）设S 是环R 的子环，S S '≅，S R '⋂=∅，则存在S '的扩环R '， 使R R '≅.2、每一个无零因子交换环R 都可以扩充为一个域F .3、无零因子交换环R 的扩域F 的构造为{}1|,F ab a R b R -*=∈∈.4、设R 是无零因子交换环，F 是R 的扩域，且{}1|,F ab a R b R -*=∈∈则称F 是R 的商域（或分式域）.5、（1）设F 是环R 的商域，F '是环R '的商域，若R R '≅，则F F '≅.（2）设F 与F '都是环R 的商域，则F F '≅.即，在同构的意义下，环的商域是唯一的.（3）环R 的商域是R 的最小扩域.例如¤是¢的商域，¡不是¢的商域.3.7 多项式环1、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，R α'∈，则R '中形如()2012,{0}n n i a a a a a R n ααα++++∈∈⋃L ?的元素称为R 上α的一个多项式，记作()f α；i a 称为()f α的系数，i i a α称为()f α的项.2、用[]R α表示全体R 上α的多项式所组成的集合，[]R α称为R 上α的多项式环.3、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，x R '∈，若()201201,{0}0,nn i n a a x a x a x a R n a a a ++++∈∈⋃⇒====L ?L则称x 是R 上的未定元.称x 的多项式 ()2012(),{0}n n i f x a a x a x a x a R n =++++∈∈⋃L ?是一元多项式.当0n a ≠时，称n n a x 是()f x 的首项；称n a 是()f x 的首项系数；称n 是()f x 的次数，记作deg ()f x ，零多项式0没有次数.[]R x 称为R 上的一元多项式环.4、设(),()f x g x 是[]R x 中两个非零多项式，则（1）(){}deg ()()max deg (),deg ()f x g x f x g x +≤，（2）()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x ≤+，且当()f x 与()g x 的最高次项系数不是零因子时，有()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x =+5、设R 是一个有单位元的交换环，则一定存在R 上的未定元x ，从而存在一元多项式环[]R x .6、设(),()[]f x g x R x ∈，且()0g x ≠，若()g x 的首项系数是可逆元，则存在唯一的一对多项式(),()[]q x r x R x ∈，使()()()(),()0f x g x q x r x r x =+= 或 deg ()deg ()r x g x <.7、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n R ααα'∈L ，把环12[][][]n R αααL 称为R 上的12,,,n αααL 的多项式环，记作12[,,,]n R αααL .12[,,,]n R αααL 中的元素称为R 上12,,,n αααL 的多项式，它们都可以表示为()1212n n i i i i i i a a R ∈∑L L 其中仅有有限个120n i i i a ≠L ，12n i i i a L 称为这个多项式的系数.8、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n x x x R '∈L ，若()1212121212000,1,2,;1,2,,n n n n i i i i i i n i i i i i i j a x x x a i j n =⇒===∑L L L L L L则称12,,,n x x x L 是R 上的无关未定元.称12,,,n x x x L 的多项式()1212121212n n n n i i i i i i n i i i i i i a x x x a R ∈∑L L L L 是n 元多项式.称12[,,,]n R x x x L 是n 元多项式环.9、设R 是一个有单位元的交换环，n ∈¥，则一定存在R 上的无关未定元12,,,n x x x L ，从而存在n 元多项式环12[,,,]n R x x x L .第四章 整环里的因子分解在本章中，I 都表示整环，其单位元是1.4.1 不可约元、素元、最大公因子1、整环I 中的可逆元ε称为I 的单位.ε是单位()I ε⇔=.一个元素个数大于2的整环中至少有两个单位：1和1-.整数环只有两个单位，即1和1-.域F 中的每一个非零元都是单位.2、整环I 的全体单位关于I 的乘法构成一个交换半群.3、设,a b I ∈，若c I ∃∈，使a bc =则称b 整除a ，或b 是a 的因子，记作|b a .4、整除关系具有下列性质.（1）|,||c b b a c a ⇒；（2）|()()b a a b ⇔⊆；（3）|,|,a b b a b a εε⇔=是I 的单位()()b a ⇔=；（4）ε是I 的单位|1ε⇔；（5）设b I ∈，ε是I 的单位，若|b ε，则b 也是I 的单位；（6）设a I ∈，ε是I 的单位，则|,|a a a εε.5、设,a b I ∈，若|a b 且|b a ，则称a 与b 相伴，记作a b :.6、设,,a b c I ∈，则下列各个命题等价：（1）a b :；（2）,b a εε=是I 的单位；（3）()()a b =.7、相伴关系是整环I 上的一个等价关系.8、设,a b I ∈，若|b a ，但b 不是单位，且b 与a 不相伴，则称b 是a 的真因子.9、设,a b I ∈，则b 是a 的真因子()()a b I ⇔⊂⊂.10、单位没有真因子.11、设a I ∈，且a bc =，若b 是a 的真因子，则c 也是a 的真因子.12、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，若a 在I 中没有真因子，则称a 是I 的一个不可约元；若a 在I 中有真因子，则称a 是I 的一个可约元.13、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，则a 是I 的可约元a bc ⇔=，且,bc 都不是单位.14、一个不可约元的相伴元也是不可约元.15、设p I ∈，且0p ≠，p 不是单位，若由|p ab 可推出|p a 或|p b ，则称p 是I 的一个素元.16、在整环I 中，每一个素元都是不可约元.17、设,a b I ∈，若d I ∃∈，使（1）|,|d a d b ；（2）,|,||c I c a c b c d ∀∈⇒；则称d 是a 与b 的最大公因子. 18、最大公因子有以下基本性质：（1）(,0)a a :；（2）(,)00a b a b ⇔==:；（3）a I ∀∈与单位ε，有(,)a εε:.19、设,a b I ∈，a 与b 的最大公因子存在，且是单位，则称a 与b 互素.a 与b 互素，当且仅当除单位外，a 与b 无其他公因子20、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则,,a b c I ∈，有（1）(,(,))((,),)a b c a b c :；（2）(,)(,)c a b ca cb :；（3）(,)1,(,)1(,)1a b a c a bc ⇒:::.4.2 唯一分解环1、设a I ∈满足：（1）有一个因子分解式12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（1）若同时又有因子分解式12s a q q q =L （j q 是I 中不可约元）；那么s r =，并且可以适当调换因子的次序，使(1,2,,)i i q p i r =:L . 则称a 为I 中的唯一分解元，并称r 是a 的长.2、设a 是唯一分解元，若在a 的分解式中，有t 个不可约因子12,,,t p p p L 互不相伴，且其他的不可约因子都与某个i p 相伴，则a 的分解式可以写作：1212t e e e t a p p p ε=L ，其中ε是单位，i e ∈¥.这个式子称为a 的标准分解式.3、若整环I 中每一个既不是零又不是单位的元都是唯一分解元，则称I 是唯一分解环.4、在一个唯一分解环I 中，若元a 的不可约因子已知，则可确定出a 的所有真因子（至多相差单位因子），且元a 的长大于其任一真因子的长.5、在一个唯一分解环I 中，任意两个元都有最大公因子，每一个不可约元都是素元.7、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则I 中的每一个不可约元都是素元.8、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的每一个不可约元p 都是素元；则I 是唯一分解环.9、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的任意两个元都存在最大公因子；则I 是唯一分解环.例1. 设[3]{3|,}{3|,}I m n m n m n i m n =-=+-∈=+∈ⅱ?（1）ε是I 的单位2||11εε⇔=⇔=±；（2）求2的相伴元；（3）I 中适合条件2||4a =的元a 是I 的不可约元；（4）2是I 的不可约元，但不是I 的素元；（5）I 不是唯一分解环.证：（1）循环论证法.若ε是I 的单位，则I ε'∃∈，使1εε'=.两边取模的平方，得22||||1εε'=. 设3m n ε=+-，则222||3m n εεε==+是正整数.同理2||ε'也是正整数，于是2||1ε=.若2||1ε=，则2231m n +=，所以0,1n m ==±，即1ε=±.显然1±是I 的单位.（2）由（1）及相伴元的定义，2的相伴元只有2与2-.（3）因为2||4a =，所以0a ≠且不是单位.设3b m n I =+-∈是a 的一个因子，则a bc =，c I ∈，于是2224||||||a b c ==.但是对于任何正整数222,,||32m n b m n =+≠，所以2||1b =或4.若2||1b =，则b 是单位；若2||4b =，则2||1c =，于是c 是单位，所以b a :.从而a 只有平凡因子，因此a 是不可约元.（4）因为2|2|4=，由（1）知，2是I 的不可约元.下面证2不是I 的素元.首先2|(13)(13)+---.若2|13+-，则存在c I ∈，使132c +-=.于是222|13||2|||c +-=，即244||c =，从而2||1c =，1c =±，但这是不可能的.所以2/|13+-.同理2/|13--.因此2不是I 的素元.（5）I 的单位只有1与1-，从而4是I 中一个既不是零元也不是单位的元，而且422(13)(13)=⋅=+--- 因为222|2||13||13|4=+-=--=，所以都是I 的不可约元.又因为213/+-:，213/--:，所以4有两种本质上不同的不可约元的因子分解，从而4不是唯一分解元.因此[3]I =-¢不是唯一分解环.4.3 主理想环1、若整环I 的每一个理想都是主理想，则称是主理想环.例如，整数环¢和域F 上的一元多项式环[]F x 都是主理想环；但¢上的一元多项式环[]x ¢不是主理想环：(2,)x 不是主理想.2、设是一个主理想环，若在序列123,,,(,1,2,3,)i a a a a I i ∈=L L中每一个元都是前面一个元的真因子，则这个序列一定是有限序列.3、每一个主理想环都是唯一分解环.4、设I 是主理想环，,a b I ∈，则(,)()a b d d =⇔是a 与b 的一个最大公因子.5、设I 是主理想环，12,,,s a a a I ∈L ，则12(,,,)()s a a a d d =⇔L 是12,,,s a a a L 的一个最大公因子.6、设I 是一个主理想环，p 是I 中的非零元，则()p 是I 的极大理想p ⇔是I 的不可约元.4.4 欧氏环1、设I 是整环，若（1）存在一个由\{0}I I *=到非负整数集{0}⋃¥的映射ϕ；（2）,,,a I b I q r I *∀∈∈∃∈，使,0b aq r r =+=或()()r a ϕϕ<；则称I 是一个欧氏环.例如，整数环¢，高斯整（数）环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ，域F 上的一元多。
近世代数2
G有4 个生成元，分别是1, 5, 7, 11。
令a=5，则
50=0 54=8 58=4
51=5 52=10 53=3 55=1 56=6 57=11 59=9 510=2 511=7
二、循环群 (6)
G有6 个循环子群，生成元分别是a1,a2,a3,a4,a6,a12。
令a=1，则
H1=(a1)=(1)={0,1,2,3,4,5 …10,11} 12阶
第二章
2.1
2.2
※2.3
群、环、域
群的基本概念
有限群、循环群 域
2.4
域的特征和素域
2.5 交换环与理想
一、域的概念 (1)
1. 定义
定义2.8 设F是至少有两个元素的集合,在F 中规定两种运算。一种叫加法，它的运算 结果称为‘和’，记作a+b；另一种叫乘法， 它的运算结果称为‘积’，记作a· b。即如 果a,b∈F，则a+b∈F，a· b∈F。如果这两个 运算满足以下规则：
1. 定义
注意：me的含义
定义2.11 设F为任一个域，e为F的单位元。 如果存在正整数m，使me=0，则称F的特征 不为0。适合条件pe=0的最小正整数p，称 作F的特征。 如果对于任意正整数m都有me≠0，就称F的 特征为0。 域的特征实际上是元素e 在域F上
na是n个元素a的加运算，即na=(a+a+…+a)。 与域中定义的乘法无关。
二、域的性质 (3)
2. 关于乘法的性质
性质6：域的单位元是唯一的。 性质7：每个非0元素的逆元素也是唯一的。 (a-1)-1=a。 性质8：消去律成立： 若ab=0，则a,b之中必有一个为0； 若ab=ac，且a≠0，则b=c。
近世代数课件群的概念
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数第二章答案
近世代数第二章群论答案之杨若古兰创作§1. 群的定义1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律.例如2.举一个有两个元的群的例.解：令G=,e a{},G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) ()(),,= ∈x y z x y z x y z G因为，因为ea ae a==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立.(参考第一章，§4，习题3.)若是e不在(1)中出现，那么有而(1)仍成立.其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a.所所以G一个群.读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的.3.证实，我们也能够用条件Ⅰ，Ⅱ和上面的条件IV'，V'来做群的定义：IV'G里至多存在一个右逆元1a-，能让对于G的任何元a都成立；V'对于G的每一个元a，在G里至多存在一个右逆元1a-，能让解：这个题的证法完整平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V来做群定义的证实，但读者必定要本人写一下.§2. 单位元、逆元、消去律1.若群G的每一个元都适合方程2=x e，那么G是交换群.解：令a和b是G的任意两个元.由题设另一方面因而有()()()()ab ab ab ba.利用消去律，得=所所以G交换群.2.在一个无限群里，阶大于2的元的个数必定是偶数.解：令G是一个无限群.设G有元a而a的阶>2n.考察1a-.我们有设正整数<m n而()1=m-，那么同上可得=m a e，与n是a的a e阶的假设矛盾.如许，n也是1a-的阶，易见1a a-≠.否则21-a aa e==与>2n的假设矛盾.如许，我们就有一对分歧的阶大于2的元a和1a-.设G还有元b，b a≠，1≠，而且b的阶大于2.那么1b-的阶b a-也大于2，而且1b b-≠.-≠.我们也有1b a否则1111----===e b b aa b a消去1b-得1--.如许，除a和=b a=b a-，与假设矛盾.同样可证111a-外，又有一对分歧的阶大于2的元b和1b-.因为G是无限群，而G的阶大于2的元老是成对出现，所以G里这类元的个数必定是偶数.G是一个阶是偶数的无限群.在G里阶等于2的元的个数必定是奇数.解：由习题2知，G里阶大于2的元的个数是偶数.但G只要一个阶是1的元，就是单位元e.因而因为的阶是偶数，得G里阶等于2的元的个数是奇数.4.一个无限群的每一个元的阶都无限.解：令G是一个无限群而a是的任一元素，那么不克不及都不相等.是以存在正整数 i，j，i j，使i j=，用j a-a a乘两边，得（1）i j a e-=如许，存在正整数i j-，使（1）成立，是以也存在最小的正整数m，使m a e=，这就是说，元a的阶是m.4.群的同态假定在两个群G和G的一个同态映照之下，a a→.a与a的阶是不是必定不异？解：纷歧定.例如，令G是本章1中例2所给出的群而G是该节中例1所给出的的群.那么读者容易证实:φn g→n是G的任意元是G到G的一个同态映照.但G的每一元0n≠都是无穷阶的，而g 的阶是1.5.变换群1.假定τ是集合A的一个非逐个变换.τ会不会有一个左逆元1τ-使得1?ττε-=解：可能有.例如令A ={所有正整数}，则τ： 11→，1n n →-1n明显是A 的一个非逐个变换.而A 的变换1τ-： 1n n →+n A ∈就能使1.ττε-=2. 假定A 是所有实数作成的集合.证实，所有A 的可以写成x ax b →+a 和b 是有理数， 0a ≠方式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个变换群？ 解：令G 是由一切上述变换作成的集合.考察G 的任何两个元素 τ： x ax b →+a 和b 是有理数， 0a ≠λ： x cx d →+c 和d 是有理数， 0c ≠那么τλ： ()()x x ax b c ax b d τλλ→=+=++这里ca 和d cb +都是有理数，而且0ca ≠.所以τλ仍属于G .结合律对普通变换都成立，所以对上述变换同样成立. 单位变换ε： x x →属于G .容易验证，τ在G 中有逆，即1τ-： 1()b x x a a→+-是以G 作为一个变换群.但G 不是一个交换群.令1τ： 1x x →+2τ： 2x x →那么12ττ： 122()(1)22x x x x τττ→=+=+ 21ττ： 211()(2)21x x x x τττ→==+ 3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合.我们临时用符号 τ： '()a a a τ→=来说明一个变换τ.证实，我们可以用12ττ： 1212[()]()a a a ττττ→=来规定一个乘法，这个乘法也适合结合律而且对于这个乘法来说，ε还是S 的单位元.解：令1τ和2τ是S 的任意两个元而a 是A 的任意一个元.那么2()a τ和12[()]a ττ都是A 的独一确定的元.是以如上规定12ττ仍是S 的一个独一确定的元而我们得到了一个S 的乘法.令3τ也是一个任意元，那么所以123123()()ττττττ=而乘法适合结合律.令τ是S 的任意元.因为对一切a A ∍，都有()a a ε=，所以即εττετ==而ε仍是S 的单位元.4. 证实，一个变换群的单位元必定是恒等变换.解：设G 是由某一集合A 的变换构成一个变换群，而ε是G 的单位元.任取G 的一个元τ和A 的一个元a .因为εττ=，有 因为τ是A 的一个逐个变换，所以a a ε=而ε是A 的恒等变换. 5. 证实，实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群.解：这个题的解法很容易，这里从略.6. 置换群1. 找出所有3s 不克不及和123231⎛⎫ ⎪⎝⎭交换的元. 解：3s 有6个元：123123⎛⎫ ⎪⎝⎭，123132⎛⎫ ⎪⎝⎭，123213⎛⎫ ⎪⎝⎭， 123231⎛⎫ ⎪⎝⎭，123312⎛⎫ ⎪⎝⎭，123321⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中的123123⎛⎫ ⎪⎝⎭，123231⎛⎫ ⎪⎝⎭，123312⎛⎫ ⎪⎝⎭=2123231⎛⎫ ⎪⎝⎭ 明显可以和123231⎛⎫⎪⎝⎭交换.通过计算，易见其它三个元不克不及和123231⎛⎫ ⎪⎝⎭交换. 2. 把3s 的所有元写成不相连的轮回置换的乘积.解：123123⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1），123132⎛⎫ ⎪⎝⎭=（2 3） 123213⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1 2），123321⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1 3），123231⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1 2 3）123312⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1 3 2） 3．证实：（ⅰ）两个不相连的轮回置换可以交换； （ⅱ） 解：（ⅰ）看的两个不相连的轮回置换σ和τ.我们考察乘积στ使数字1，2，…，n 如何变动.有三种情况.（a ） 数字在σ中出现，而且σ把酿成j.这时候因为σ和τ不相连，j 不在τ中出现，因此τ使j 不变，所以στ仍把酿成j. （b ） 数字k 在τ中出现，而且τ把k 酿成.这时候不在σ中出现，因此σ使k 不变，所以στ仍把酿成.（c ） 数字m 不在σ和τ中出现.这时候στ使m 不动.如上考察τσ使数字1，2，…，n 如何变动，明显得到同样的结果.是以στ=τσ.（ⅱ）因为，所以4．证实一个轮回置换的阶是. 解：一个轮回置换π=的一次方，二次方，…，次方分别把酿成.同理把2i 酿成2i ,…,把酿成.是以.由上面的分析，若是，那么.这就证实了，π的阶是.5．证实的每一个元都可以写成（1 2），（1 3），…，（1 n ）这个轮回置换中的若干个的乘积.解：因为每一个置换都可以写成不相连的轮回置换的乘积，所以只须证实，一个轮回置换可以写成若干个（1 ）形的置换的乘积.设π是一个轮回置换.我们分两个情形加以讨论. （a ） 1在π中出现，这时候π可以写成容易验算（b ） 1不在π中出现，这时候§1． 证实，一个轮回群必定是交换群.解：设轮回群G ()a =.那么G 的任何两个元都可以写成m a 和n a （m ，n 是整数）的方式.但m n m n n m n m a a a a a a ++===所所以G 一个交换群.2.假定群的元a 的阶是n.证实的阶是，这里d=( r ，n )是r 和n 的最大公因子.解：因为d ｜r ，r=ds ，所以 此刻证实， 就是的阶.设的阶为.那么.令得但而是的阶，所以 而 因而｜ .（参看本节定理的第二种情形.） 为了证实 ，只须反过来证实｜ .由 而n 是a 的阶，同上有n ｜r , 因此｜ .但d 是n 和r 的最大公因子，所以互素而有 .G.证实：也生成G，假如（r,n）=1 (这就是说r和n互素).解：由习题2，的阶是n.所以互不不异.但G只要n个元，所以，而生成G.4．假定G是轮回群，而且G与同态.证实也是轮回群.解：因为G与同态，也是一个群.设G()a=，而在G到的同态满射φ下， .看的任意元 .那么在φ下，有.如许，的每一元都是的一个乘方而()=.G a5．假定G是无穷阶的轮回群，是任何轮回群.证实G与同态.解：令G()a=，)(aG=.定义Φ：我们证实，φ是G到的一个同态满射.（ⅰ）因为G是无穷阶的轮回群，G的任何元都只能以一种方法写成的方式，所以在φ之下，G的每一个元有一个独一确定的象，而φ是G到的一个映照.（ⅱ）的每一个元都可以写成的方式，是以它在φ之下是G 的元的象，而φ是G到的一个满射.（ⅲ）所以φ是G到的一个同态满射.§8. 子群1．找出的所有子群.解：明显有以下子群：本人；((1))={(1)};((1 2))={(1 2),(1)};((1 3))={(1 3),(1)};((2 3))={(2 3),(1)};((1 2 3))={(1 2 3),(1 3 2)，(1)}.若的一个子群H含有（1 2）,(1 3)这两个2-轮回置换，那么H含有（1 2 ）(1 3)=(1 2 3 ),(1 2 3) (1 2)=(2 3)因此H=.同理，若是的一个子群含有两个2-轮回置换（2 1），(2 3)或（3 1）,(3 2),这个子群也必定是.用完整类似的方法，读者也能够算出，若是的一个子群含有一个2-轮回置换和一个3-轮回置换，那么这个子群也必定是.是以上面给出的6个子群是的所有子群.2．证实，群G的两个子群的交集也是G的子群.解：设和是G的子群.令e是G的单位元.那么e属于，因此而令a,b .那么a，b属于 .但是子群.所以属于，因此属于 .这就证实了，是G的子群.3．取的子集S {(1 2) ,(1 2 3)}.S生成的子群包含哪些元？一个群的两个分歧的子集会不会生成不异的子群？解：见习题1的解.4．证实，轮回群的子群也是轮回群.解：设轮回群G=（a）而H是G的一个子群.若H只含单位元e=a0，则H=（e）是轮回群.若H不但含单位元，那么因为H是子群，它必定含有元a m，其中m是正整数.令是最小的使得属于H的正整数，我们证实，这时候 .看H的任一元a t.令t=iq+r 0≤r＜i那么a i=a iq a r.因为a t和a iq都属于H，有a r=a-iq a t∈H因而由假设r=0,a t=（a i）q而H=（a i）.5．找出模12的剩余类加群的所有子群.解：模12的剩余类加群G是一个阶为12的轮回群.是以由题4，G的子群都是轮回群，容易看出：（[0]）=[0]([1])=([5])=([7])=([11])=G([2])=([10])={[2],[4],[6],[8],[10],[0]}([3])=([9])={[3],[6],[9],[0]}([4])=([8])={[4],[8],[0]}([6])={[6],[0]}是G的所有子群.G的一个非空子集而且H的每一个元的阶都无限.证实，H作成一个子集的充要条件是：a,b∈H⇒ab∈H解：由本节定理1，条件明显是须要的.要证实条件也是充分的，由同必定理，只须证实：a∈H⇒a-1∈H设a∈H，因为H的每一元的阶都无限，所以a的阶是某一正整数n而a-1=a n-1.因而由所给条件得a-1∈H.§9. 子群的陪集1.证实，阶是素数的群必定是轮回群.解：设群G的阶为素数p，在G中取一元a≠e，则a生成G 的一个轮回子群（a）.设（a）的阶为n，那么n≠1.但由定理2，n│p，所以n=p而G=（a）是一个轮回群.2.证实，阶是p m的群（p是素数，m≥1）必定包含一个阶是p的子群.解：设群G的阶是p m.在G中取一元a≠e，那么由定理3，a 的阶n│p m.但n≠1,所以n=p t,t≥1,若t=1,那么d的阶为p，（a）是一个阶为p的子群.若t＞1,可取b=a p1-t,那么b的阶为p，而(b)是一个阶为p的子群.3.假定a和b是一个群G的两个元，而且ab=ba，又假定a的阶是m，b的阶是n，而且（m,n）=1.证实：ab的阶是mn.解：设ab的阶是k.由ab=ba,得（ab）mn=a mn b mn=e是以k│mn.我们反过来证实，mn│k.由 e=（ab）kn=a kn b kn=a kn 和a的阶为m，得m│kn,但(m,n)=1,所以m││k.又由（m,n）=1，得mn│k.如许，ab的阶k=mn.4.假定～是一个群G的元间的一个等价关系，而且对于G的任意元三个元a，x，x’来说ax～ax’ x～x’证实，与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群.解：令H是与e等价的元所作成的集合.因为e～e，所以H不空.设a,b∈H，那么a～e,b～e,b～e可写成a-1ab～a-1a是以由题设，ab～a～e而ab∈H.a～e可写成ae～aa-1，是以由题设，e～a-1而a-1∈H.如许，H作成G的一个子群.5．我们直接下右陪集H a的定义如下：H a刚好包含G的可以写成h a （h∈H）方式的元.由这个定义推出以下事实：G的每一个元属于而且只属于一个右陪集.解：取任意元a∈G，因为H是一个子群，单位元e∈H,是以a=e a∈H a这就是说，元a属于右陪集H a.设a∈H b,a∈H c,那么a=h b=h2c (h1,h2∈H)1由此得，b=11h -h 2c,而H b 的任意元hb=112h c h h -∈H c因此H b ⊂H c ，同样可证H c ⊂H b ，如许H b=H c 而a 只能属于一个右陪集.6.若我们把同构的群看成一样的，一共只存在两个阶是4的群，它们都是交换群.解：先给出两个阶是4的群.模4的剩余类加群G 1={[0],[1],[2],[3]}. G 1的元[1]的阶是4而G 1是[1]所生成的轮回群（[1]）.s 4的子群 B 4={(1),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} 叫作克莱因四元群.B 4是s 4的子群容易验证，我们有[(1 2)(3 4)]2=[(1 3)(2 4)]2=[(1 4)(2 3)]2=（1）(1 2)(3 4)(1 3)(2 4)=(1 3)(2 4)(1 2)(3 4)=(1 4)(2 3)(1 3)(2 4)(1 4)(2 3)=(1 4)(2 3)(1 3)(2 4)=(1 2)(3 4)(1 4)(2 3)(1 2)(3 4)=(1 2)(3 4)(1 4)(2 3)=(1 3)(2 4)这两个群明显都是交换群.此刻证实，任何阶是4的群都和以上两个群之一同构. 设G 是一个阶为4的群.那么G 的元的阶只能是1，2或4若G 有一个阶为4的元d ，那么G=（d ）是一个轮回群， 而G 与G 1同构.若G 没有阶为4的元，那么除单位元e 外，G 的其他3个元的阶都是2，是以有G=｛e,a,b,c｝ a2=b2=c2=e因为G是群，有ab∈G，我们证实ab=c由ab=e将得ab=a2和b=a ,这不成能.由ab=a将得b=e,也不成能由ab=b将得a=e,也不成能.是以只能ab=c,同样可证ab=ba=c, bc=cb=a, ca=ac=b比较G和B的代数运算，易见G和B4同构.弥补题：利用6题证实，一个无限非交换群至多有6个元.§10.不变子群商群1.假定群G的不变子群N的阶是2.证实，G的中间包含N.解：令N=｛e,n｝，这里e是G的单位元，取G的任意元a.因为N是一个不变子群，有aN=Na，即｛a,an｝=｛a,na｝所以an=na.如许，N的两个元e和n都可以和G的任何元a交换，所以N属于G的中间.2.证实，两个不变子群的交集还是不变子群.解令N1和N2是群G的两个不变子群.那么N1⋂N2是G的一个子群（§8.习题2）.我们进一步证实，N1⋂N2是G的一个不变子群.令a∈G,n∈N1⋂N2,那么n∈N1,n∈N2,但N1和N2是不变子群，所以ana-1∈N1, ana-1∈N2,因此ana-1∈N1⋂N2因而由定理2，N1⋂N2是一个不变子群.3.证实，指数是2的子群必定是不变子群.解：令G是一个群而N是G的一个指数为2的子群.若n∈N，那么明显有nN=Nn.设b∈G,b-∈∈N.那么因为N的指数是2，G被分成两个左陪集N和bN；G也被分成两个右陪集N和Nb.是以bN=Nb,如许，对于G的任何元a来说，aN=Na是G 的一个不变子群.4.假定H是G的子群，N是G的不变子群，证实，HN是G的子群.解：因为H和N都不空，所以HN也不空.设 a∈HN , b∈HN .那么a=h1n1 , b=h2n2(h1,h2∈ H ,n1,n2∈N )a b1-=h1n1n12-h12-=h1n'h12- (n'=n1n12-)因为N是一个不变子集，有N h12-=h12-N ，n'h12-=h12-n （n∈N）由是得a b1-=(h1h12-)n∈HN，HN是一个子群.5. 举例证实，G的不变子集N的不变子群N1未必是G的不变子群（取G=S4）.解：令G=S4,N=｛(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)｝N1=｛（1），（12）（34）｝已知N是G的一个子群（上节习题6）.我们证实，N是G的一个不变子群.为了证实这一点，我们考察，是否对一切π∈S4，等式（a）πNπ1-=N成立.因为任何π都可以写成(1i)形的2一轮回置换的乘积.（§6.习题5），我们只须对(1i)形的π来看等式（a）是否成立.又因为N的元的对称性，我们只须看π=（12）的情形.但（12）｛（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）｝（12）=｛（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24）｝所以N是S4的一个不变子群.因为N是交换群，N1当然是N的一不变子群.但N1不是S4的一个不变子群.因为（13）［（12）（34）］（13）=（14）（23）∈-N16. 一个群G的可以写成a1-b1-ab方式的元叫作换位子.证实；（i）所有无限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群；（ii） G/C是交换群；（iii）若N是G的一个不变子集，而且G/N是交换群，那么 N⊃C解：（i），C的两个元的乘积仍是无限个换位子的乘积，因此仍是C的一个元.一个换位子的逆仍是一个换位子，所以C的一个元的逆仍是C的一个元.如许C是一个子群.对于a∈G，c∈C ,ac a1-=(ac a1-c1-) c∈C ,所以C是G的一个不变子群.（ii）令a,b∈G .那么a1-b1-ab=c∈C.由此得ab=bac, abC=bacC=baC即aCbC=bCaC而G/C是交换群.（iii）因为G/N是交换群，所以对G的任何两个元a和b(aN)(bN)= (bN) (aN), abN=baN由此得 ab=ban (n∈N) a1-b1-ab= n∈N.如许N含有一切换位子，是以含有C.弥补题.令π和（i1i2 (i)k）属于Sn.证实π1-（i1i2…i k）π=（i x1i x2…i x k）§1.我们看一个集合A到集合A-的满射Φ.证实.若A的子集S 是A-的子集S-的逆象；S-是S的象，但若S-是S的象,S纷歧定S-的逆象.解：（i）设S是S-的逆象.这时候对任一元a∈S,存在元a-∈S-，使Φ（a）=a-,是以φ(S)⊂S-.反过来，对任一a-∈S-，存在a ∈S，使Φ（a）=a-,是以S-⊂φ(S).如许S-=φ(S)，即S-是S的象.（ii）令A=｛1 ，2，3，4｝，A-=｛2，4｝，A到A-的满射是Φ： 1→2 ，2→2 ，3→4 ，4→4取S=｛1，3｝.那么S的象S-=｛2，4｝.但S-的逆象是A≠S2.假定群G与群G-同态，N-是G-的一个不变子群，N是N-的逆象.证实，G/N≅G-/N-.解：设所给G到G-同态满射是Φ： a→a-=Φ（a）我们要建立一个G/N到G-/N-的同构映照.定义ψ： aN →a-N-若aN=bN,那么b1-a∈N.因为N-是N φ之下的象，有b1-=b1-a-∈N-，a-N-=b-N-a所所以ψG/N到G-/N-的一个映照.设a-N-∈G-/N-而Φ（a）=a-，那么ψ： aN →a-N-所所以ψG/N到G-/N-的一个满射.若aN≠ bN ,那么b1-a∈-N .因为N是N-的逆象，由此得b1-=b1-a-∈-N-，a-N-≠b-N-a所所以ψG/N到G-/N-间的一个逐个映照.3.假定G和G-是两个无限轮回群，它们的阶各是m和n.证实，G与G-同态，当而且只当n|m的时候.解：设G与G-同态，那么由定理2，G/N≅G-，这里N是G到G-的同态满射的核.所以G/N的阶是n.但G/N的阶等于不变子群N在G里的指数，所以由§9的定理2它能整除G的阶m.由此得n|m.反过来设n|m. 令G=(a), G-=(a-).定义Φ：a k→a k若a h=a k，那么m|h-k.因而由n|m ,得n|h-k而a h-=a k-.如许Φ是G到G-的一个映照.容易证实，Φ是G到G-的一个同态满射.是以G与G-同态.4.假定G是一个轮回群，N是G的一个子群.证实，G/N也是轮回群.解：轮回群G是交换群，所以G的子群N是不变子群，而G/N成心义.设G=（a）. 容易证实G/N=（aN）. 所以G/N 也是轮回群.。
近世代数 第11讲
显然 和 都是 的非空子集，至此，可以重新定义子群：
结论1：设 ，那么 且
结论2：设 ，那么
对于上述结论的证明是显而易见的。
注意：结论1正是判定定理1的另一种表述；
结论2是判定定理2另一种表述。
思考题2：一个群 能表成它的两个真子空间的并集吗？
答：不能。如果 ，且 。那么必有 且 。故存在， 且 ， 且 ，而 是群 ，即 或 ，但若 矛盾。同理，若 ，矛盾。这表明 是不可能的。
有限子群的判定定理：设 ，且 ，那么 有 .
证明：
必要性：显然。
充分性：（1）条件表明 满足封闭.
（2） 中满足结合律 也满足结合律.
（3）因为 中满足消去律 中也满足消去律.
由（1）、（2）和（3） （注 是有限集）.
思考题1：
每个群都有二个不同的平凡子群吗？
的二个子群 和 有可能会 吗？
为了加深印象，可从集合的角度对上述定理进行论述：
,若 使 ,
经分析知:
定义3：设 如果 ，则称 与 可交换
注意： 只是意味着左右两个集合相等，而绝不意味着 的元素与 中元素乘积可交换。
结论4设 ，则 .
证明： .显然 。但
但
由 的任意性 。同理 .由于
使
由 的任意性 .
∴ .
由前面的分析知， 中元素满足封闭性。
另外： .则 ,∴ 逆元封闭。
所以 .
仔细分析， 不能构成群的本质原因是“不够大”。也就是说，需要对 扩张——往 中添加其他元素，但应添加什么元素呢？——添加那些 应具备，但没具备的元素。
如果将那些应添加的元素做成的集合记为 ，则 。现令 ，那么 中元素应如何表示？ 是什么结构？
D2-1群的定义
{S 不是群。 因为除了外，其它元都没有逆元. 19、 ，}
{S 20、 ，}不是群。因为除了S外，其它元都没有逆元.
注意： 在群{G， o}中，通常称“o”为乘法，因而称群G为 乘法群。但有时我们会遇到用“加法”做成的群，例如集 合的1,3,6,9,16.这是我们称这类群为“加法群”。为此。 这些群中的单位元习惯上称为零元，并统记为0，每个元 的逆元习惯上叫做负元，统记为-a（而不用a-1 ）。 譬如群{Z，+}中的零元为0，3的负元为-3。 特别提醒：
结论1： {A，中有单位元e, 那么单位元一定是唯一的。 若 } 证明： 假设还有一个元 具有这样的性质： e
ea ae a (a是A的任意元)
那么， ee
e e .
所以，A只有一个这样的e.
定义4设{G； 是一个半群，如果G中有一个单位元e： }
a G , ea ae a, 那么称{G；为幺半群 . }
重点和难点：
本节虽然只是介绍群的最基本的概念和有关名词，但对半群、 幺半群及群的区别和联系、几种群的定义的等价性证明以及群的 元素的阶的判定需要特别留心关注。
一、半群 定义1 设{G； 是一个代数系统，如果 对于一个叫乘法的 } 代数运算“”适合结合律，即 a, b, c G , a (b c) (a b ) c， 则称代数系统{G； 为半群。 } 说明：
由III，bx a在G里有解c：
由(1)，（ ），III， 2
eb b bc a
(1)
下面证，对于 G的一个任意元 , ea a成立. a
( 2)
ea e(bc) (eb)c bc
a
于是，证明了 e的存在性.
近世代数讲义子群
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
iI
Si 和 Si 分别称为 S 的这族子集的交(集)和并
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
2020/8/13
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§3 子 群
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§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
(1) ab H , a, b H ; (2) a1 H , a H . 证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
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近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数课件(全)--2-8 不变子群和商群
r
所以
G / N { bN | b G } ( aN )
为循环群.）
2012-9-19
练习： 1. 设G 为整数加群, （1）证明 N 2. G S 3 , （1）证明 N
N 5 g
g G
G ；（2）求 G / N .
N {(1), (1 2 3 ), (1 3 2 )}
，所以 N 是 G 的不变子群.
2012-9-19
三、不变子群的性质 性质1 设 N G ，则 N 是 G 的不变子群
a G ,有 a N N a a G ,有 a N a 1 N a G ， n N ,有 a n a 1 N
性质2 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群. 性质3 不变子群与子群的乘积是子群； 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
h x x h1 h2
Hx
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1
1
x H H x xH
x
1
H xH H x xH H x
一、引理 H 思考题1： G ， S L { aH | a G } 关于子集乘法做成群吗？ 引理 H G ，则 a , b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH H x 答： H G 且 x G , xH H x ，则 S L { a H | a G } 关于陪集乘法
B4
K4
K4
S4
B 4 不是 S 的不变子群. 4
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性质4
H , H G ，但 N 未必是 G 的不变子群，即无传递性.
N
性质5 N H G ，且 N
近世代数课件子群
§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
近世代数第一章
（减法分配律）
设 S 是任意一个集， {Ai | i I } 是 S 中的一组子集，则有 (11) (12)
S S
iI
Ai Ai
iI
( S Ai ) ( S Ai )
iI
（1.1） （1.2）
iI
iI
证明. 记 S
iI
Ai 为 P ，记 ( S Ai ) 为 Q 。我们下面证明 P Q 。
(one one corespondence)） 。 (4) 如果 A=B ，双射 f 称为是一一变换；如果 A=B 是有限集合，双射 f 称为是置换 （Permutation） 。 例如，上面的例 1 的映射 f 是一个单射，也是满射，从而使一个双射。例 3 的映射 h 是 一个满射，但不是单射。对于映射 : A B ，其中 A {1, 2, 3} ， B {1,2,3,4} ，而 。则 是单射，但不是满射。 (i ) i 1, i 1, 2, 3 设 f 是集合 A 到 B 的一个映射， S 是 A 的一个子集，记 f ( S ) { f ( x) | x S} ，它是
A 或 2 。例如，若 (A ）
A={1,2,3} ，则 ( A ） ={， {1}， {2}， {3}， {1， 2}， {1， 3} ， {2 ， 3} ，A }。当 |A|< 时， | (A)| 即
| A| k 中元素个数正好是 2 。事实上，设 |A|= n ，则 A 的含有 k 个元素的子集共有个 Cn ， (A ）
a, b, c
等表示。
对于集合 A 来说， 某一事物 x 或是集合 A 的元素， 这时我们就说 x 属于 A ， 记为 x A ； 或者 x 不是 A 的元素，即 x 不属于 A ，记为 x A ；二者必居其一。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，如 A={1,2,3} ；另一种是规 定元素所具有的性质 P 来表示。例如， A={x | x 具有性质 P} 。 一个集合 A 的元素个数用 |A| 表示。当 A 中的元素个数有限时，称 A 为有限集（Finite set） ，否则，就称 A 为无限集（Infinite set） 。用 |A|= 表示 A 为无限集，用 |A|< 表示 A 为 有限集。 如果集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素，则称 A 为 B 的子集(Subset)，记为 A B ， 读作 A 包含在 B 中，或记作 B A ，读作 B 含有 A 。显然， A A 。不含有任何元素的集 合称为空集(Empty set 或 Null set)，记为 。例如， A={x | x 为有实数， x 2 1 0} 是一个 空集。如果 A B ，且 B 中有一个元素不属于 A ，称 A 是 B 的真子集（Proper set） 。 集合 A 与集合 B 称为相等的，记为 A=B ，如果它们含有相同的元素。所以， A=B 当且 仅当 A B 且 B A 。 由集合 A 的所有子集构成的集合称为 A 的幂集(Power set)，记作
近世代数答案
习题1.4 P34 5. 分别解同余方程：（1）258x≡131(mod348). (2) 56x=88(mod96).解由书中解同余方程的四个步骤求解。
（1）求(a,m)=(258,348)=6,6 不能整除131，所以此同余方程无解。
（2）求(a,m)=(56,96)=8，由于8 能整除88，所以此同余方程有解。
a1=56/8=7, b1=88/8=11, m1=96/8=12.用辗转相除法求p,q 满足p a1+q m1=1，得p=-5。
所以方程的解为x ≡pb1 (mod m1) ≡-5 ×11(mod12) ≡5(mod12)。
或x=5+12k(k 为任意整数)。
6. 解同余方程组：x≡3(mod5)x≡7(mod9)解按解同余方程组的三个步骤：首先，计算M=5×9=45, M1=9, M2=5.其次，解两个一次同余式，由于这两个同余式有其特殊性：右端都是1，且(a,m)=1。
因而，有时可用观察法得到pa+qm=1,从而得到p。
1) 9x≡1(mod5),观察得到-9+2×5=1, p=-1.所以此一次同余式的一个特解为c=-1≡4(mod5).2)5x≡1(mod9),观察得到2×5-9=1, p=2.所以此一次同余式的一个特解为c=2(mod9).最后，将得到的一次同余式的一个特解代入公式，得到同余方程组的解：x=b1c1M1+b2c2M2=3×4×9+2×7×5(mod45)=43(mod45)。
习题2.1 P45习题2.2 P49 3. 找出Z 和Z12 中全部子群。
解Z 中全部子群：Hm={mk|k∈Z}, m=0,1,2,......。
Z12 中全部子群：N0={0}，N1={0，2，...，10}，N2={0，3，6，9}，N3={0，4，8}，N4={0，6}，N5= Z12 。
5. 设G 是群，|G|=2n，则G 中有2 阶元。
第二章 近世代数简介
对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余 式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这 里 表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元 素的次数不高于n-1次，通式形式为：
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环，建成理想。 与一般子环相比，理想子环要求更多的条件：R必须是交换环且具 有凝聚力，即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得 的元素一定位于子环内。 环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
近世代数课件同态与不变子群(最全版)PTT文档
定理１告诉我们，一个群G 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看，G 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 G 与群 G 同态的时候，G 的性质 并不同 G 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我
们一定找得到 G 的一个不变子群N ，使得G 的性质和
商群 G N 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义．
11.4 子群的同态像和逆(原)像
由于回是 忆的逆一象，个因而 子，集关,进一于步 映射的像与逆像
任意两个元 和 来说，
(??)
（ⅰ）假定 ， 是 的两个任意元，并且在 之下，
定义 假定 f 是集合A 到集合 A 的一个映射． （ⅰ） 的一个子群 的逆象 是 的一个子群；
子群．
证明 我们用 f 来表示给定的同态满射．
（ⅰ）假定 a ，b 是 H 的两个任意元，并且在 f 之下，
a a ，b b ，
我们需要证明 ab1 H.注意
（ⅱ） 的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群．
下的象，
)
A f 1. S 是 ，
，
3) 是满射.
的一个子集, f(S){f(s)sS}称为 S 在
的任意元，而且在 之下，
之下的象，它刚好包含所有 S 的元在 之下的象． （ⅱ） 是 的一个不变子群，由（ⅰ），我们知
刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元.
这里 N ker f 是同态满射的核.
证明: 证明的关键点是构造一个同构映射
f :G NG
(启发: 1.必然联想到 f 2. f 离同构有多远? 3.写 出 f :G NG)
f(aN)f(a)a (a G)
近世代数 子群
1第10讲§8 子群（Subgroups）对群的研究，可分为互相联系的两个方面：群的结构和群的表示。
与集合比较，群就是多了一个运算（正是这个运算才给群带来了生命力），所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是关于群的一切讨论都要围绕这个运算展开.子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的结构的一个重要渠道. 结合高等代数中生成子空间的理论，会使我们温故而知新。
一、子群的定义及判定条件定义2.8.1、设G是一个群，而,Φ≠⊆，如果H关于G中H G的运算也能作成群，则称H是G的一个子群。
GH<.例1设G为任意一个群，那么由G的单位元组成子集}{e，自然有与G是G的两个子群，统称它们为的G平凡子群。
如果G除了平凡子群外还有其他子群，那就称为G的真子群。
例2 Z是整数加群，而一切偶数构成的集合为}--2=Z，,4,2,0,2,4,{那么2Z是Z的真子群。
一般的，任取一个整数m，那么}∀⋅mZ∈=为一切m{Z|nnm的倍数构成的集合，可知m Z Z的真子群。
例3设}0表示一切可逆n阶方阵组成的集合，用矩RMLA=A∈|)||({≠n阵通常的乘法可知：∙L中方阵对乘法封闭（任二个n阶可逆阵之积仍可逆）∙ L 中方阵满足乘法结合律∙单位元为E∙A L A ⇒∈.的逆元为A A —1-的逆阵所以L 是个群。
若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= k k k kE 令为L 中的n 阶数乘阵，那么}0,|{≠∈∀=k R k kE K 是L 的非空子集，且必有LK<。
例4设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S 为三次对称群，令)}12(),1{(=H 和)}132(),123(),1{(3=A 。
易知3H A ，是3S 的真子群。
例5设模6剩余类加群]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6=Z 。
令1{[0],[2],[4]}H =， 2{[0],[3]}H =。
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§8 子群
一、子群的定义
定义若群G的非空子集H对于G的乘法来说作成一个群, 则称H为G的子群, 记为H ≤G .
例1 设G是一个群, 则H1 = G和H2 = { e } 都是G的子群(平凡子群).
非平凡子群H也叫真子群, 记为H <G .
例2 对于普通乘法来说, C*是一个群. R*是C*的一个子群.
例3 在整数加群Z中, H = { 2n | n∈Z } 是一个子群.
推论设H ≤G, 则H的单位元就是G的单位元e ; ∀a∈H, a 在H中的逆元就是a在G中的逆元.
二、子群的判别
定理1 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是
(i) ∀a, b∈H⇒ab∈H；
(ii )∀a∈H⇒a -1∈H.
定理2 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是
(iii) ∀a, b∈H⇒ab -1∈H.
定理3 群G的非空有限子集H作成G的子群的充要条件是
(i) ∀a, b∈H ⇒ab∈H.
三、子群的生成
设G是一个群, 取定a∈G, 作子集
H = { a n | n∈Z }.
则H是G的一个子群. H叫做元a生成的(循环)子群:
H = ( a ) .
例4 G = { 1, -1, i, -i} 关于普通乘法作成一个群( i是虚数单位) . 由元- 1 生成的循环子群为
H = ( -1 ) = { 1, -1 }.
例5 在模6的剩余类加群Z6中, 由元[ 2 ] 生成的循环子群为
H = ( [ 2 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] }.
四、循环群的子群
定理4 循环群的子群仍为循环群.
例6 在模6的剩余类加群Z6是循环群, 所以其子群都是循环子群. 故Z6的所有子群为
H0 = ( [ 0 ] ) = { [ 0 ] };
H1 = ( [ 1 ] ) = ( [ 5 ] ) = Z6
= { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] };
H2 = ( [ 2 ] ) = ( [ 4 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] };
H3 = ( [ 3 ] ) = { [ 0 ], [ 3 ] }.。