平方根和开平方(提高)知识讲解

平方根和开平方（提高）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果2x a

=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.

2.算术平方根的定义

正数a

的两个平方根可以用“

表示a的正平方根（又叫算术平

方根），读作“根号a”

；a的负平方根，读作“负根号a”.

要点诠释：

a

0，a≥0.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

||00

a a

a a

a a

>

⎧

⎪

===

⎨

⎪-<

⎩

()

2

a a

=≥

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

250

=

25

=

2.5

=

0.25

=.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y 的算术平方根．

【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解．

【答案与解析】

解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5

由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16，

∵x=5

∴3×5+y-1=16，

解得y ＝2，

∴3x+5y=25

25的算是平方根为5.

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根．

举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.

【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22

212111a -=⨯-=

②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ 2x 4x -11x x +-1x -． 【答案与解析】

解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x -

(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨

-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．

(4)由题意可知：1030

x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．

所以当1x ≥且3x ≠1x -有意义． 【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知4322232b a a =-+-+，求

11a b +的算术平方根． 【答案】

解：根据题意，得320,230.

a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以

b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b

+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

(1)2222252434-+；(2)111200.36900435

--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：(1)22

22252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72

=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）23610;x -= （2）()2

1289x +=； （3）()2

932640x +-=

【答案与解析】

解：（1）∵23610x -=

∴2361x =

∴36119x ==±

（2）∵()21289x +=

∴1289x +=

∴x ＋1＝±17

x ＝16或x ＝－18.

（3）∵()2

932640x +-= ∴()2

64329

x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）

（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】求x 的值：（x ﹣2）2=4．

【答案】解：∵，

∴（x ﹣2）2=36，

∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，

解得：x 1=8，x 2=﹣4．

类型四、平方根的综合应用

5、若x ，y 为实数，且满足

．求的值．

【答案与解析】

解：∵+|y ﹣|=0， ∴x=，y=，

则原式2211111114+4+=++=14422424⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

． 【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可.

举一反三：

【高清课堂：389316 平方根：例5练习】

2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】

2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．

①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．