平方根和开平方(提高)知识讲解
初中数学教案：平方根的计算与应用——掌握开平方的基本方法与应用技巧
初中数学教案：平方根的计算与应用——掌握开平方的基本方法与应用技巧平方根是初中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题、运用数学知识等方面具有广泛的应用。
本教案将着重介绍平方根的计算方法和应用技巧，帮助学生掌握开平方的基本方法，并能灵活运用于实际问题的解决中。
一、平方根的定义与性质1.1 平方根的定义首先，给出平方根的定义：对于非负实数 a，如果存在一个非负实数 x，使得 x 的平方等于 a，那么 x 称为 a 的平方根，记作x = √a。
1.2 平方根的性质平方根具有以下性质：（1）非负实数的平方根仍然是非负实数；（2）平方根可以是一个有理数，也可以是一个无理数；（3）对于两个非负实数 a 和 b，若 a > b，则√a > √b。
二、开平方的基本方法2.1 直接开平方对于一个完全平方数，直接开平方就是将其平方根提取出来。
例如，√25 = 5，√100 = 10。
2.2 近似开平方对于一个非完全平方数，我们需要使用近似开平方的方法来计算。
其中，最常用的方法是不断试探的方法。
例如，要求解的数为 a，我们可以从 1 开始试探 x 的平方等于 a，如果 x 的平方小于 a，则增大 x，如果 x 的平方大于 a，则减小 x，直到找到一个 x，使得 x 的平方与 a 的差值足够小。
2.3 开平方的算法开平方的算法中，最常用且简便的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法的基本思想是：选择一个初始的近似值，并通过不断迭代来逼近精确值。
具体步骤如下：（1）选择初始值 x，通常选择 a 的一个近似值；（2）计算 x 的平方与 a 的差值 delta；（3）将 delta 除以 2x，得到一个新的近似值 x1；（4）重复步骤（2）和（3），直到 x 和 x1 差值足够小。
三、平方根的应用技巧3.1 勾股定理勾股定理是三角形中一条重要的定理，涉及到平方根的运算。
根据勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
数学中的平方根知识点解析及解题技巧
数学中的平方根知识点解析及解题技巧数学中的平方根是我们在初等数学中学习的重要知识点之一。
平方根是指某个数的算术平方根，即找到一个数，使其平方等于给定的数。
在解题过程中，了解平方根的概念、性质以及一些解题技巧是非常重要的。
本文将对数学中的平方根进行解析，并提供一些解题技巧。
一、平方根的定义与性质平方根的定义：设a和b都是实数，则b是a的平方根，当且仅当b的平方等于a。
符号表达为√a = b 或 a的平方根等于b。
1. 平方根的性质：a) 非负实数的平方根是实数；b) 负数没有实数平方根，在复数域中有两个互为相反数的平方根；c) 非零数的正平方根和负平方根互为相反数。
二、平方根的求解方法在解题过程中，常见的平方根求解方法有以下几种：1. 倍增法：倍增法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。
例如，对于一个非负实数a，可以从一个合适的起始值b开始，通过逐步增加b的值，使得b的平方逼近a，直到满足要求。
2. 二分法：二分法是一种通过取平均值来逐步逼近平方根的方法。
对于一个非负实数a，可以确定一个上下界b和c，使得b的平方小于a，c的平方大于a。
然后通过取b和c的平均值来逐步逼近平方根的解。
3. 牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。
该方法基于泰勒级数展开，通过不断逼近函数与x轴的交点来求解平方根。
三、平方根的解题技巧1. 化简被开方数：在进行平方根运算时，如果被开方数可以进行化简，可以大大简化计算过程。
例如，对于√4，可以将其化简为2，避免了对浮点数的计算。
2. 判断平方数：在求解平方根时，我们可以先判断被开方数是否为平方数。
如果是平方数，那么其平方根一定是整数。
因此，可以通过判断被开方数是否为平方数，来确定是否可以通过直接求平方根来得到答案。
3. 利用平方根的性质：在解题过程中，我们可以利用平方根的性质来简化运算。
例如，利用√ab = √a * √b，可以化简被开方数的因式分解，从而减少计算量。
掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧
掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧在初中数学学习过程中，平方与平方根是一个重要的概念。
掌握好平方与平方根的解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高解题效率。
本文将介绍一些掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧，希望能对你的学习有所帮助。
一、平方的计算与应用平方是一个数与自身相乘的结果。
在数学中，平方通常用小的数字上方加上数字“2”来表示，例如“5²”表示5的平方。
在计算平方时，我们可以使用不同的方法。
一种常见的方法是使用乘法法则，即将一个数与自身相乘。
例如，要计算5的平方，我们可以将5乘以5，即5×5=25，所以5的平方是25。
除了基本的平方计算之外，我们还需要了解一些平方的应用。
例如，平方可以用于计算正方形的面积。
正方形的每条边长都相等，那么它的面积就是边长的平方。
假设一个正方形的边长是5 cm，那么它的面积就是5²=25平方厘米。
此外，平方在物理学中也有广泛的应用，例如速度的平方可以用来计算物体的动能，加速度的平方可以用来计算物体的加速度等等。
二、平方根的计算与应用平方根是平方的逆运算。
给定一个数的平方，我们可以用平方根来求出原来的数。
平方根通常用√符号表示。
例如，√25表示25的平方根，结果是5。
计算平方根有多种方法，其中一种常用的方法是通过估算与逼近。
例如，我们要计算一个大于1的数的平方根，可以先估算一个近似值，然后利用逼近方法逐步逼近更精确的值。
此外，平方根也有一些应用。
例如，在几何学中，平方根可用于求解正方形的边长。
如果已知一个正方形的面积是25平方厘米，我们可以通过求解25的平方根，得出正方形的边长是5 cm。
另一个应用是在物理学中，平方根可用于计算速度、加速度等的大小。
通过将速度的平方根与时间相乘，可以计算出物体在给定时间内的位移。
三、平方与平方根的解题技巧掌握平方与平方根的解题技巧对于初中数学学习来说非常重要。
以下是一些常见的解题技巧：1. 利用平方根的性质：平方根的计算中，我们需要了解一些平方根的性质。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根是代数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题中出现。
简单来说，平方根就是一个数与自己相乘等于指定数的操作的逆运算。
本文将为您总结平方根的知识点，并讨论相关概念、性质和应用。
一、基本概念1. 平方根的定义：对于一个非负数a，它的平方根是指满足x * x = a的非负数x。
符号√a表示a的平方根，√a ≥ 0。
2. 平方根的记法：平方根记作√a。
例如√25 = 5，√144 = 12。
二、性质与运算1. 非负数的平方根：对于任意非负实数a，都存在唯一一个非负实数x，使得x * x = a。
2. 平方根的唯一性：每个正实数只有一个正平方根，即√a是唯一的。
但负实数没有实数平方根。
3. 非零实数的平方根：对于任意非零实数a，其平方根√a的正负号取决于a的符号。
当a > 0时，√a > 0；当a < 0时，√a不存在实数解。
4. 平方根的运算性质：a) 两个非负数的积的平方根等于它们的平方根的乘积：√(ab) = √a * √b。
b) 两个非负数的商的平方根等于它们的平方根的商：√(a/b) = √a / √b（b ≠ 0）。
c) 平方根的乘方等于它的被开方数：(√a)² = a。
三、平方根的求解方法1. 估算法：通过估算被开方数的大小，可以快速确定一个近似的平方根。
2. 迭代法：通过迭代运算，逐步逼近平方根的精确值。
3. 牛顿法：利用泰勒级数近似平方根，通过迭代逼近平方根的解。
四、平方根的应用1. 几何应用：平方根在几何图形的计算中有广泛应用，如计算圆的半径或直径、计算三角形的斜边、计算四边形的对角线等。
2. 物理应用：平方根在物理学中的运动学、力学、电磁学等领域广泛应用，如计算速度、加速度、力的大小等。
3. 工程应用：平方根在工程学中的建筑、机械等领域有重要应用，如计算力的大小、材料的强度等。
4. 统计学应用：平方根在统计学中用于计算方差和标准差等。
总结：平方根是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域均有广泛的应用。
11平方根(提高)知识讲解
平方根（提高）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、（2015秋•张家港市校级期中）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c 的平方根．【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a ﹣1与3a+b ﹣9的值，进而可得a 、b 的值；接着估计的大小，可得c 的值；进而可得a+b+c ，根据平方根的求法可得答案．【答案与解析】解：根据题意，可得2a ﹣1=9，3a+b ﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的两个不同的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2互为相反数. 解：当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +- (4)13x x --． 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x -(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠时，13x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三： 【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b+的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+g ；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+g 49257535==⨯=g ； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=±∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三： 【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++-=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +=260a +≥，|20b -≥， ∴260a +=，20b =．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值．【答案】解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x =.∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,∴507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.举一反三：【变式】（2015春•台安县月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m 2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m 2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】解：设篮球场的宽为xm ，那么长为2815x m ， 由题意知，所以x2=225，因为x为正数，所以x==15，又因为=900＜1000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场．。
解平方根的常见方法与技巧
解平方根的常见方法与技巧在数学中，平方根是一种常见的运算，求解平方根的方法与技巧是非常重要的数学基础知识。
本文将介绍一些常见的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和运用平方根的概念。
1. 直接开平方直接开平方是最常见的方法之一，简单直接。
对于一个正实数a，其平方根记作√a，即a的平方根等于b。
举个例子，√25=5，因为5的平方等于25。
2. 分解质因数法当我们需要求解非完全平方数的平方根时，可以运用分解质因数的方法。
首先，将原数分解成质因数的乘积形式，并对每个质因数的指数进行除2操作。
最后将所得的结果相乘，并开方，即可得到原数的平方根。
例如，对于数100，先将其分解成2^2乘以5^2，然后进行除2操作，结果为2乘以5，即10，最后开方得到√100=10。
3. 二分查找法二分查找法是一种高效的找根方法，特别适用于近似解的求解过程。
该方法基于数值的中间值，通过不断缩小范围来逼近平方根的值。
具体步骤如下：- 确定平方根的上下限，例如对于求解根号2，可以将上限a设置为2，下限b设置为1。
- 求取平方根的中间值c，即(a+b)/2。
- 判断中间值的平方是否接近原数，若平方值大于目标数，将上限a 设置为c，若平方值小于目标数，将下限b设置为c。
- 重复以上步骤，不断缩小范围直至所求的平方根满足要求。
4. 迭代法迭代法是一种逐步逼近平方根的方法，通过不断迭代优化来达到精确解。
该方法使用下面的迭代公式：(x + a / x) / 2，其中x为初始近似解，a为原数。
通过不断迭代，不断更新x的值，最终得到原数的平方根。
迭代法适用于对较大的正实数进行近似求根。
5. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值分析中常用的方法，也适合用来解决平方根的问题。
其基本思想是通过切线逼近曲线来求解函数的根。
对于求解根号a，可以选取初始近似解x，然后通过不断迭代优化来逼近平方根。
具体迭代公式如下：x = (x + a / x) /2。
不断迭代，直到满足精度要求。
《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列说法其中错误的是（ ）A ．5是25的算术平方根B ．()24-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4D ．0的平方根与立方根都是0【答案】B ；2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 【答案与解析】 解：∵36a -<<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、实数的概念与运算3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x﹣y ﹣3|．【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可．【答案与解析】 解：∵＜＜，∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣| =7﹣．【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小． 举一反三：【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；a －b 的值是_______.【答案】1;2117a b a b +=-=-；提示：由题意可知113a =-，411b =-.4、已知无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．求10−π的值．（结果精确到百分位）【思路点拨】先求出10−π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】解：∵无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．∴3.1622－3.1416＜10−π＜3.1623－3.1415， 0.0206＜10−π＜0.0208， ∴10−π≈0.02．【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1）， ∴（）2=（3+k ）2， ∴13=9+6k+k 2，∴13≈9+6k ，解得k ≈， ∴≈3+≈3.67．（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，下面可参考使用）问题： （1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）； （2）请结合上述具体实例，m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若a m ＜a+1，且m=a 2+b m ≈ （用含a 、b 的代数式表示）．【答案】（1）6.08；（2）．解：（1）∵＜＜，设=6+k （0＜k ＜1），∴（）2=（6+k ）2， ∴37=36+12k+k 2， ∴37≈36+12k ，解得k ≈， ∴≈6+≈6.08．故答案为：6.08；（2）若a ＜m ＜a+1，且m=a 2+b ，则m ≈a+．故答案为：．类型三、实数综合应用5、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y 满足，求2x ﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x ﹣16=0，x ﹣2y +4=0， 解得：x=8，y=6．∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x ﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ， 求23a b c --的值.【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．【答案与解析】解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－13∴点B到点A的距离为13则点C到点A的距离也为13，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为－1－x=13∴x=－23【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。
八年级上册数学平方根的知识点归纳
八年级上册数学平方根的知识点归纳八年级上册数学平方根的知识点归纳学习是一个循序渐进的过程,也是一个不断积累不断创新的过程。
下面店铺为大家整理了八年级上册数学平方根的知识点归纳,快来看看吧。
【八年级上册数学平方根的知识点归纳】平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。
a叫被开方数。
中被开方数的取值范围：被开方数a≥0平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
②0的平方根是它本身0。
③负数没有平方根开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
平方根与算术平方根区别：1、定义不同。
2表示方法不同。
3、个数不同。
4、取值范围不同。
联系1、二者之间存在着从属关系。
2、存在条件相同。
3、0的算术平方根与平方根都是0含根号式子的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。
求正数a的算术平方根的方法：完全平方数类型①想谁的平方是数a。
②所以a的平方根是多少。
③用式子表示。
求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。
三个重要的非负数：求正数a的平方根的方法;完全平方数类型①想谁的平方是数a。
②所以a的平方根是多少。
③用式子表示=。
公式：(a≥0)∣a∣=平方根的知识点一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
0的平方根是0。
负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才可以开平方根。
例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。
平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的'幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
总结：一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，就是0本身;负数没有平方根。
初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第4讲 平方根与立方根--提高班
第4讲平方根、立方根知识点1 算术平方根1.如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x叫做a的算术平方根. ()0≥a a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0 ，即00=.2.规律小结算术平方根具有双重非负数：（1）被开方数具有非负性，即0≥a；（2）本身具有非负性：即.0≥a注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.【典例】例1 （2020秋•辉县市校级期中）如果a是2021的算术平方根，则2021100的算术平方根是()A．10aB．100aC．10a±D．210a【方法总结】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．例2（2020春•威县期末）小辰想用一块面积为2100cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为290cm的长方形纸片，使它的长宽之比为5:3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体栽法；若不能，请说明理由．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用以及算术平方根，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．【随堂练习】1．（2020 1.421267≈⋯≈⋯ 4.494441确到0.1)≈___________．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21+-的算术平方根为4．a ba-的平方根为3±，31（1）求a、b的值；（2）求2+的算术平方根．a b知识点2 平方根开平方1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，x=2，那么x叫做a的平方根.即如果a±”，读作“正、负根号a”正数a的平方根表示为“a2.平方根与算术平方根的区别与联系3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆运算关系求平方根.【典例】例1 （2020春•丛台区校级月考）求下列各式中的:(x )（1）29250x -=；（2）24(21)36x -=．A ．53x =和2x = B ．53x =-和2x =或1x =- C ．53x =±和1x =- D ．53x =±和2x =或1x =-【方法总结】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．例2 （2020秋•雁塔区校级月考）若x ，y 210y -=，【方法总结】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【随堂练习】1．已知一个正数m 的两个不同的平方根是1a -与52a -，求a 和m 的值．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21a -的平方根为3±，31a b +-的算术平方根为4．（1）求a 、b 的值；（2）求2a b +的算术平方根．知识点3 立方根1.一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.3.理解立方根的概念需注意两点：（1）任意数a ；（2）判断一个数x 是不是某数a 的立方根，就看3x 是不是等于a.4. 立方根的性质（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 .（2）3333a a -=-（3）a a =33)(5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方.说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根. 【典例】例1 （2020秋•嵊州市期中）已知某正数的两个平方根分别是1-和4a -，12b -的立方根为2．（1）求a ，b 的值．（2）求a b +的平方根．【方法总结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 例2 （2020秋•碑林区校级月考）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的立方根．【方法总结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020春•嘉陵区期末）如果37(1)18x -+=，试求x 的值．2．（2020春•鱼台县期末）正数x 的两个平方根分别是2a -，27a -．（1）求a 的值；（2）求1x -这个数的立方根．3．（2020春•盐池县期末）已知21a +的平方根是3±，324a b +-的立方根是2-，求458a b -+的立方根．综合运用1．（20200=，则2020()a b -的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．02．（2020a b +的值为______．3．（2020秋•金牛区校级月考）互为相反数，z 是64的平方根，求x y z-+的平方根．4．（2020春•潮安区期中）有一个边长为9cm 的正方形和一个长为24cm 、宽为6cm 的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？5．（2020秋•宝应县期中）求下列各式中x 的值．（1）2(1)2x +=；（2）329203x +=．6．（2020秋•荥阳市期中）已知21x +的算术平方根是04，z 是27-的立方根， 求2x y z ++的平方根．7．（2020秋•吴江区期中）（1）若实数m 、n 满足等式|2|0m -，求23m n +的平方根；（2）已知8y8．（2020春•渝水区校级月考）已知一个正数m 的平方根为21n +和43n -．（1）求m 的值；（2）2|3|()0a c n --=，a b c ++的立方根是多少？。
七年级数学下册【平方根】知识点
七年级数学下册【平方根】知识点1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
平方根知识点
平方根知识点平方根是数学中常见的一个概念，它指的是一个数的平方根是另一个数的平方。
平方根经常在数学、物理、工程等领域中使用，在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍平方根的定义、性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用平方根知识点。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。
对于一个非负数x，如果存在一个非负数y，使得y的平方等于x，那么y就是x的平方根。
平方根通常用符号√来表示，例如√4=2，表示4的平方根为2。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根为非负数。
由于平方根是一个非负数的非负数根，所以一个非负数的平方根一定是非负数。
2. 负数没有实数平方根。
由于平方根是非负数的非负数根，所以负数没有实数平方根。
例如，-4没有实数平方根。
3. 平方根的乘积等于被开方的数。
如果a和b都是非负数，那么√a * √b = √(a * b)。
这个性质可以用来简化复杂的平方根运算。
4. 平方根的和差是两个数的平方根和差。
如果a和b都是非负数，那么√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)。
平方根的和差并不能简化为一个更简单的形式。
5. 平方根的次方等于被开方数的次方除以指数。
如果a是非负数，n是一个正整数，那么(√a)^n = a^(1/n)。
这个性质可以用来计算较大数的平方根。
三、平方根的计算方法1. 通过负指数运算。
例如，√x可以写成x^(1/2)的形式。
2. 通过近似方法。
如果一个数的平方根不能通过简单的数学运算得到，可以通过近似方法来计算。
常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法。
3. 通过计算器或计算软件。
现代科技使得平方根的计算变得更加便捷，我们可以利用计算器或计算软件来计算平方根。
四、平方根的应用平方根在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 几何学中，平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边的平方和的平方根。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。
在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。
本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
让我们从最基础的概念开始。
所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。
开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。
二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。
这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。
在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。
在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。
对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。
开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。
开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。
在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。
3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。
还有一些常见的运算法则需要注意。
如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。
设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。
所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。
12.2 平方根和开平方 讲义
第十二章 第2讲 平方根和开平方学习目标理解平方根、开平方运算、被开方数、根指数的概念和意义，掌握“一个数的平方和平方根”的区别，掌握平方根的符号表示方法；经历平方根的意义推导过程，感受求一个数的平方和平方根的互逆运算，体会文字语言和符号语言的对应关系；在加减、乘除互逆运算基础上，扩充到乘方和开方的互逆运算，而且运算符号法则遵循有理数的法则，知识间存在联系。
知识精要1.平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的两个平方根可以用a ±来表示，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。
2.算术平方根：正数a 的正平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。
平方根与算术平方根的区别与联系：区别：(1)定义不同；(2)结果不同；a ±和a 。
联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负实数；(3)0的平方根和算术平方根均为0。
注意：在平方根的概念中，涉及到平方运算。
我们规定无理数的平方遵循同有理数一样的符号法则。
3.开平方：求一个数a )0(≥a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
平方与开平方互为逆运算。
求平方根的方法：根据平方根的定义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。
另外，还可以利用计算器求任意一个正数的正平方根或它的近似值，具体按键顺序参考计算器的使用说明书。
通常使用计算器求a ，正数a 的位数不超过十个。
如果所显示的结果其位数超过5个，那么这个结果是a 的一个近似值；否则是准确值。
4.平方根的性质(1)当0>a 时，a a =2)(，a a =-2)(。
(2)当0≥a 时，a a =2；当0<a 时，a a -=2。
即 ⎩⎨⎧<-≥==.0,,0,2a a a a a a经典题型精讲(一)计算平方根例1.写出下列各数的平方根：(1)1219 (2)2)9(- (3)16925 (4)81 (5)3 (6)51 (7)49.0 (8))0(>a a例2.从1到100之间所有自然数的平方根的和为________．举一反三：一个数的平方根是3x +和12-，求x 的值.例3.写出下列各数的算术平方根(1)225 (2)9 (3)49151 (4)64.0例4.若4a -没有平方根，则a 的取值范围是__________.举一反三：若___________。
八年级开平方知识点
八年级开平方知识点开平方是初中数学课程中的重要知识点，也是高中数学的基础内容。
在八年级的阶段，开平方的知识点主要集中在正整数的平方根以及简单的无理数的近似值的计算上。
一、正整数的平方根正整数平方根是指一个正整数n的平方根在实数范围内的非负解，记为√n。
求正整数的平方根主要有以下两种方法：1. 试除法以求8的平方根为例，可以通过以下步骤进行试除法：（1）从个位开始，取出第一对数字，结果为2，2的平方等于4；（2）将8与4相减，得到余数4；（3）将余数4与下一对数字16合并，结果为416，当做被除数进行下一轮运算；（4）在商数后面再加上一对数0，即20，将其与目前的商数42合并，结果为420，当做新的被除数进行下一轮运算。
最终可以得到8的平方根为2√2。
试除法的精度较低，适用于整数位数较少的情况。
2. 迭代法以求8的平方根为例，迭代法的思路如下：（1）令x为一个初始值，例如x=2；（2）根据x的取值进行迭代运算，得到新的值y=(x+8/x)/2；（3）将y代入迭代公式，再次计算新的值，以此类推，直至精度满足要求。
通过迭代法可以得到8的平方根精确到小数点后若干位。
二、无理数的近似值无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数，其平方根是一种常见的无理数。
在八年级的阶段，学生需要掌握求无理数近似值的方法。
1.小数法小数法主要适用于要求近似值精度较低的情况。
以3的平方根为例，可以通过以下步骤求得其近似值：（1）假设3的平方根为1.7；（2）进行平方运算，得到1.7的平方为2.89，与3相差很大；（3）逐渐调整1.7的值，目标是使其平方接近3，例如将1.7调整为1.8；（4）再次进行平方运算，得到1.8的平方为3.24，与3的差距较小，可以接受。
小数法的优点是简单易行，缺点是精度不高。
2.倍增法倍增法主要适用于要求近似值精度较高的情况。
以3的平方根为例，可以通过以下步骤求得其近似值：（1）假设3的平方根在1和2之间；（2）计算平方根的中间值（即1与2的平均数），得到1.5；（3）将1.5的平方与3进行比较，如果太小就将1.5作为新的下界，否则就将1.5作为新的上界，然后重复步骤（2）。
平方与平方根的概念与计算知识点总结
平方与平方根的概念与计算知识点总结平方和平方根是数学中非常重要的概念和计算知识点，它们在各个领域和实际生活中都有广泛的应用。
本文将对平方和平方根的概念、性质以及计算方法进行总结和讨论。
一、平方的概念与性质平方是指一个数自己乘以自己的运算，用符号“^2”表示，比如2的平方表示为2^2，即2乘以2，结果为4。
1. 平方的定义：对于任意实数a，它的平方记为a^2，表示a与自己相乘的结果。
2. 平方的性质：平方运算具有以下性质：(1) 非负性：任何一个数的平方不小于0，即a^2 ≥ 0。
(2) 正负性：当a为正数时，a的平方仍为正数；当a为负数时，a的平方为正数；当a为0时，a的平方为0。
(3) 平方的运算规律：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为任意实数。
(4) 平方的乘法和除法：(a * b)^2 = a^2 * b^2，(a / b)^2 = a^2 / b^2，其中a、b为任意实数。
二、平方根的概念与性质平方根是指一个数的平方等于该数的运算，记作√，比如√4表示的是平方根，即找到一个数，使得这个数的平方等于4，结果为2。
1. 平方根的定义：对于非负实数a，如果b满足b^2 = a，则b叫做a的平方根，记作√a。
2. 平方根的性质：平方根运算具有以下性质：(1) 非负性：任何一个非负数的平方根不小于0，即对于非负实数a，√a ≥ 0。
(2) 正负性：一个非负实数的平方根可以是正数或者零，不存在负数的平方根。
(3) 平方根的运算规律：√(a * b) = √a * √b，√(a / b) = √a / √b，其中a、b均为非负实数。
三、平方和平方根的计算方法在日常生活中，我们经常需要计算平方和平方根。
下面将介绍几种常见的计算方法：1. 平方的计算方法：计算一个数的平方可以直接进行乘法运算，将这个数与自己相乘即可。
例如，计算3的平方，即3^2 = 3 * 3 = 9。
2. 平方根的计算方法：求一个数的平方根可以使用开方运算，或者借助于计算器等工具进行计算。
算术平方根平方根知识点
算术平方根平方根知识点算数平方根和平方根是数学中的基本概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
本文将详细介绍算数平方根和平方根的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、算术平方根1.定义2.性质(1)非负数的算术平方根是唯一的。
例如，16的算术平方根是4，没有其他数字的平方等于16(2)正数的算术平方根一定是正数。
(3)零的算术平方根是0。
(4)负数没有实数的算术平方根。
3.求算术平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它的平方等于给定数。
例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它的平方与给定数值相近。
例如，√25≈54.算术平方根的应用(1)几何学：算术平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。
(2)物理学：算术平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。
(3)经济学：算术平方根被用于计算方差和标准差，用于测量数据的离散程度。
二、平方根1.定义平方根是指一个数与自身相乘等于给定数的非负根。
例如，4的平方根为2，因为2×2=4、平方根也可以用符号√a来表示。
2.性质(1)非负数的平方根是唯一的。
例如，16的平方根是4，没有其他数字与自身相乘等于16(2)正数的平方根一定是正数。
(3)零的平方根是0。
(4)负数没有实数的平方根。
3.求平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它与自身相乘等于给定数。
例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它与自身相乘与给定数相近。
例如，√25≈54.平方根的应用平方根在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用：(1)数学：平方根被用于解方程和求解二次函数的根。
(2)物理学：平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。
(3)工程学：平方根被用于计算电阻、电容和感应电流等电路的参数。
综上所述，算术平方根和平方根是数学中的重要概念，它们具有丰富的性质和广泛的应用。
了解算数平方根和平方根的定义、性质以及求解方法，有助于加深对数学的理解，并在实际生活和学习中灵活运用。
平方根和开平方(提高)知识讲解
平方根和开平方（提高）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”.要点诠释：a0，a≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、（2016•饶平县期末）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y 的算术平方根．【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解．【答案与解析】解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16，∵x=5∴3×5+y-1=16，解得y ＝2，∴3x+5y=2525的算是平方根为5.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时，下列各式有意义？． 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠有意义． 【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知2b =，求11a b+的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=，∴11a b+= 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．2234+； 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】解：2234+257535==⨯=；110.63035=⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根(0)a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴19x ==±（2）∵()21289x +=∴1x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】（2015春•乌兰察布校级期中）求x 的值：（x ﹣2）2=4．【答案】解：∵， ∴（x ﹣2）2=36，∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，解得：x 1=8，x 2=﹣4．类型四、平方根的综合应用5、（2014秋•沙坪坝区校级期末）若x ，y 为实数，且满足．求的值．【答案与解析】解：∵+|y ﹣|=0，∴x=，y=，则原式． 【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可.举一反三：0=，求20112012x y +的值．【答案】0=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0xy +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ x =∴ 长方形纸片的长为cm .∵ 50＞49,7>.∴ 21>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根，是数学中一个重要的概念，它在解决各种数学问题和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入了解平方根的相关知识。
一、平方根的定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表示为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记为±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
需要注意的是，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
二、平方根的性质1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
2、 0 的平方根是 0。
这是一个比较特殊的情况，因为 0 的平方还是 0 。
3、负数没有平方根。
因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记为√a 。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3 。
三、平方根的表示方法平方根通常用符号“±√”来表示，读作“正负根号”。
例如，±√16 表示 16 的平方根，即 ±4 。
算术平方根则用“√”表示。
四、开平方运算求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 25 的平方根，就是进行开平方运算：±√25 ＝ ±5 。
五、平方根的应用1、在几何中例如，计算正方形的边长。
如果已知正方形的面积为16 平方厘米，那么它的边长就是面积的平方根，即√16 ＝ 4 厘米。
2、在实际生活中比如，在建筑工程中计算面积、体积等问题时，常常会用到平方根。
3、在数学计算中解方程时，也可能会涉及到平方根的运算。
六、平方根与立方根的区别1、定义不同平方根是指一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根；而立方根是指一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
初中数学知识归纳算式的开平方
初中数学知识归纳算式的开平方在初中数学学习中，我们经常会遇到求解算式的开方问题。
开方是一种常见的数学运算，它可以帮助我们求解一些较为复杂的数学问题。
下面，我将对初中数学中关于算式开平方的知识进行归纳总结。
一、算式开平方的基础概念1. 什么是开平方开平方是求一个数的平方根。
如果一个数的平方等于另一个数，那么我们就可以说这个数是另一个数的平方根。
开平方的运算可以用符号√表示。
2. 平方根的性质（1）非负数的平方根是唯一确定的。
（2）一个正数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
（3）一个负数的平方根不存在，因为没有一个数的平方等于负数。
二、开平方的运算规则1. 求解简化的平方根对于一些完全平方数，我们可以直接求其平方根。
例如2的平方等于4，√4等于2。
2. 开平方的运算规则当我们需要开一个数的平方时，可以应用下面的运算规则：（1）如果一个数可以分解成两个因数的乘积，那么这个数可以开方，其平方根等于这两个因数的乘积。
（2）如果一个数的因数中有一个是完全平方数，那么这个数可以开方，其平方根等于完全平方数的平方根与其他因数的乘积。
三、开平方的实例应用1. 简单的开平方运算例如，对于算式√9，我们可以得出其结果为3。
因为3的平方等于9。
2. 复杂数字的开平方运算对于一些较复杂的算式，可以通过运用开平方的运算规则来求解。
例如，对于算式√75，我们可以将75分解成25和3的乘积。
而25是一个完全平方数，其平方根等于5。
因此，√75可以简化为5√3。
3. 开平方的应用开平方在解决实际问题中具有广泛的应用。
例如，在测量正方形的对角线长度时，我们可以通过知道正方形的边长求解其对角线的长度，此时就需要运用到开平方的知识。
四、开平方的注意事项1. 结果的表示在进行开平方运算后，我们通常需要对结果进行简化或者以最简形式表示。
这需要我们对所得结果进行进一步的约分或合并。
2. 范围的限定在开平方运算中，我们需要注意对所求数的范围进行限定。
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平方根和开平方（提高）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果2x a
=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
2.算术平方根的定义
正数a
的两个平方根可以用“
表示a的正平方根（又叫算术平
方根），读作“根号a”
；a的负平方根，读作“负根号a”.
要点诠释：
a
0，a≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2
）结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
||00
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
===
⎨
⎪-<
⎩
()
2
a a
=≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
250
=
25
=
2.5
=
0.25
=.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y 的算术平方根．
【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解．
【答案与解析】
解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5
由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16，
∵x=5
∴3×5+y-1=16，
解得y ＝2，
∴3x+5y=25
25的算是平方根为5.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根．
举一反三：
【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.
【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22
212111a -=⨯-=
②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ 2x 4x -11x x +-1x -． 【答案与解析】
解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x -
(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨
-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．
(4)由题意可知：1030
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．
所以当1x ≥且3x ≠1x -有意义． 【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．
举一反三：
【变式】已知4322232b a a =-+-+，求
11a b +的算术平方根． 【答案】
解：根据题意，得320,230.
a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以
b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b
+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值．
(1)2222252434-+；(2)111200.36900435
--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1)22
22252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
（1）23610;x -= （2）()2
1289x +=； （3）()2
932640x +-=
【答案与解析】
解：（1）∵23610x -=
∴2361x =
∴36119x ==±
（2）∵()21289x +=
∴1289x +=
∴x ＋1＝±17
x ＝16或x ＝－18.
（3）∵()2
932640x +-= ∴()2
64329
x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）
（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三：
【变式】求x 的值：（x ﹣2）2=4．
【答案】解：∵，
∴（x ﹣2）2=36，
∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，
解得：x 1=8，x 2=﹣4．
类型四、平方根的综合应用
5、若x ，y 为实数，且满足
．求的值．
【答案与解析】
解：∵+|y ﹣|=0， ∴x=，y=，
则原式2211111114+4+=++=14422424⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可.
举一反三：
【高清课堂：389316 平方根：例5练习】
2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】
2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．
①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．
②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．
【高清课堂：389316 平方根：例6】
6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得
32300x x ⋅=.
26300x =.
250x =.
∵ x ＞0，
∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .
∵ 50＞49,
507>.
∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .
由正方形纸片的面积为400 2
cm , 可知其边长为20cm ,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。