第九章第1节简谐振动l讲解

（3）由初状态v0、x0可得出初
相位φ。
（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。
2、旋转矢量表示法 1.参考圆法
Rotating vector method
沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取 在x轴）的投影的运动为简谐振动。
半径R——振幅A
角速度——角频率ω
初始矢径与x轴的交角—初相位 o
第九章 振动和波
第九章 振动和波 Vibration and wave
特点：（1）有平衡点，且具有重复性。 （2）周期性—在 T时间内状态能完全重复。
广义的振动—物理量随时间作周期性变化称为振动。 振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、
声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。
J mR2 md2 2mR2
2mR 2 d2 Rmg sin Rmg
dt2
d2
dt2
g
2R
0
因此所作振动为谐振
g
2R
T 2
2R g
四 、谐振动的其它表示法 1、振动曲线法
（1）振动曲线的峰（或谷）对应 的位移的大小即是振幅 .
（2）振动曲线上表示振动状态 相同的相邻两点对应的时间间隔 就是周期T 。
••机械振动—物体在某一位置附近作往复运动。 •• 机械振动分类
按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分 解为一些简谐振动的叠加。
§9-1 简谐振动
一、简谐振动的微分方程和运动方程 1、简谐振动的微分方程
幻灯片 5
弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator
(2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间
解:(1)取平衡位置为坐标原点
设 x Acos(t ) 其中 2 s1 A亦为已知，只需求φ
T
由t=0s时，x0=0.06m，可得： x0 Acos cos x0 / A 0.06 / 0.12 1 / 2
或： x Asin(t ) 本课程采用余弦形式
因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动
简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用
x Acos(t ) 表示，质点的运动称为谐振动。
描述简谐振动的物理量A、ω、φ， 称特征量。
x
t o
x Acos(t )
4、谐振动的三个特征量 (1)振幅A: amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）
若θ很小，则有： sin
d2
dt2
g
l
0
即：
d2
dt2
2
0
其中：
cos(t )
g
l
T
Ft
mg
动画
[例题2] 半径为R的圆环静止于刀口O点上,令其
o
在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为
谐振,并计算其振动周期.
证明:设圆环偏离角度为θ , M Rmgsin
M
J
J
d2
dt2
t时刻A矢量在x轴上的投影
A
t
t 0 0
x
x Acos(t 0 )
2.旋转矢量
表示出三个特征量
A
用旋转矢量法处理问题更直观、 动画
O
x
更方便，必须掌握。
[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s， 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正 向运动。 求：(1)此振动的表达式
O
y0
O
m
x
y
x
y
m
以O为坐标原点: x y y0 x Acos(t )
在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。
[例题1] 单摆 Simple Pendulum
解：单摆受力如图所示 Ft mg sin
对悬挂点的力矩： M mglsin
由：
M J
ml 2
d2
dt2
mgl sin
(2)角频率ω：angular frequency 振动的快慢
周期T: Period
Acos(t ) Acos[(t T ) ]
Acos(t 2 )
T 2 T 2 /
频率ν： 1 T 2
Phase 描述运动状态的量
(3)初相位： t
φ为初相位，Initial Phase
(3)a与x方向相反，且成正比
x、v、a相位依次差π/2。
振幅
二、初始条件确定振幅和初相位
初始条件： t 0, x0 , v0
x0 Acos
写为：
v0 Asin
v0 Asin
(1)2 (2)2 , 得：
A2
x02
v02
2
(2) /(1), 得： tg v0 / x0
即： arg tg( v0 ) x0
O
x0 v0
x
(2) v Asin(t ) 0.12 sin(t )
3
a 2 Acos(t ) 0.12 2 cos(t )
在-π到π之间取值：
3
取哪一个值要看初始条件，由于：
v Asin(t )
所以： v0 Asin
由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v0>0
因此，应取：
3
于是，此简谐振动的表达式： x 0.12cos(t ) (SI)
3
利用旋转矢量法求解很直观，
根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
也可直接由（1）或由（2）求出φ。
(1)
(2)
A
x02
v02
2
Ф有两个值，需（1） 或（2）进行筛选。
三、坐标原点的选取对于振动方程的影响 (以竖直弹簧振子为例)
O自由端, O平衡位置
ky0 mg
以 O为坐wk.baidu.com原点:
F
ky
mg
m
d2 y dt2
d2 dt2
(
y
y0
)
k m
(
y
y0
)
0
y Acos(t ) y0
在水平方向上： f kx （负号表示力与位移方向相反）
由牛顿第二定律，有： kx m d2 x
令：
k 2,
dt2
m
则有：
d2 x dt2
2
x
0
称作谐振动的微分方程。
k
N
f
m
o
mg
x
X
2、运动学方程：
由：
d2 dt
x
2
2
x
0,
振动曲线
可解得： x C1 sint C2 cos t
一般写成： x Acos(t )
5、位移、速度和加速度的相位关系
x Acos(t )
v d x Asin(t ) 写
dt
成
a d v 2 Acos(t )
dt
x Acos(t )
v Acos(t )
a
2
A cos (t
2
)
以上结果表明：
(1)v,a与x的ω相同
(2) vmax A, amax 2 A