第九章第1节简谐振动l讲解
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高二物理简谐振动 振幅、周期、频率 知识精讲 人教版
高二物理简谐振动 振幅、周期、频率 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：第九章 第一节 简谐振动 第二节 振幅、周期、频率二. 知识要点：知道什么是简谐运动以与物体做简谐运动回复力特点，理解位移和回复力的概念，理解简谐运动在一次全振动中位移、回复力、加速度和速度的变化情况。
理解弹簧振子概念与实际物体运动抽象为弹簧振子的条件。
理解回复力kx F -=的意义。
知道振幅、周期、频率是描述振动整体特征的物理量，知道它们的物理意义，理解振幅和位移的区别，理解周期和频率的关系，知道什么是固有周期和固有频率。
三. 重点、难点解析： 1. 机械振动：物体〔或物体的一局部〕在某一位置附近做往复运动，叫做机械振动，简称振动。
物体受力满足2条才能做振动①是每当物体离开振动的中心位置就受到回复力作用力；②是运动中其它阻力足够小。
描述振动的名词。
① 平衡位置：物体振动停止时的位置也就是静止平衡的位置。
② 回复力：振动物体离开平衡位置就受到一个指向平衡位置的力，叫回复力。
回复力是力的作用效果命名的。
它可以是一个力，也可以是某个力的分力或者几个力的合力。
只要物体离开平衡位置回复力就不为零，方向指向平衡位置。
③ 振动位移：以平衡位置为原点〔起点〕的位移。
数值为从平衡到振动物体达到的位置的直线距离方向由平衡位置指向物体位置。
④ 一次全振动：物体以一样的速度经某位置，又以一样的速度回到同一位置，叫完成一次全振动。
2. 简谐振动：① 弹簧振子：一轻弹簧连接一质点，质点运动时不受摩擦阻力。
这样的装置叫弹簧振子。
弹簧振子沿水平方向运动过程分析，取水平坐标轴，平衡位置为原点。
弹簧处原长状③ 回复力：kx F -=。
④ 简谐运动的定义：质点在跟偏离平衡位置的位移成正比，并总指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐运动。
⑤ 简谐运动的动力学特征：kx F -=。
⑥ 运动学特征：x mka -=是变加速运动。
⑦ 整体特征与运动学量变化规律：位移、加速度、速度都按周期性变化。
第1节 简谐运动
mg = kx 0
x0
o x
x
2
F = mg − k( x 0 + x ) = −kx
物体仍受回复力作用，作谐振动。 物体仍受回复力作用，作谐振动。
合力为： 在任意位置 x 处，合力为：
dx 2 2.判断位移与时间是否满足微分方程： 2 + ω x = 0 判断位移与时间是否满足微分方程： 判断位移与时间是否满足微分方程 dt
E
t
弹性力是保守力总机械能守 即总能量不随时间变化。 恒，即总能量不随时间变化。 •谐振能量与振幅的平方成正比。 谐振能量与振幅的平方成正比。 谐振能量与振幅的平方成正比 弹簧振子的 动能的时间平均值: 动能的时间平均值 结论： 动能和势能 T 1 1 1 2 2 2 的平均值相 Ek = ∫ kA sin (ωt + ϕ )dt = kA 4 T 0 2 等，且等于 势能的时间平均值: 势能的时间平均值 1 2 总机械能的 1 T1 2 E P = ∫ kA cos2 (ωt + ϕ )dt = 4 kA 一半。 一半。 0 2 T
θ
l
T
M = −mgl sin θ
“ – ”表示力矩与 θ 张角方向相反。 表示力矩与 张角方向相反。
2
2
mg
dθ dθ M = Iβ = I 2 即： I 2 = −mgl sin θ dt dt 2 d θ mgl + θ =0 当 θ < 5° 时 sin θ ≈ θ 有： 2
dt
I
8
2 d 2θ mgl dθ g 2 + θ = 0 ∵ I = ml ∴ 2 + θ = 0 2 dt I dt l g 2 结论 在角位移很小的 令 ω = l 时候， 时候，单摆的振 2
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版知识精讲
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第九章 机械振动第一节 简谐振动 第二节振幅、周期和频率 第三节 简谐运动的图象二. 知识要点： 〔一〕简谐振动1. 机械振动的定义：物体在某一中心位置两侧所做的往复运动。
2. 回复力的概念：使物体回到平衡位置的力。
注意：回复力是根据力的效果来命名的，可以是各种性质的力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
3. 简谐运动概念：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动。
特征是：kx F -=；m kx a /-=。
〔特例：弹簧振子〕4. 简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。
〔参看课本〕〔1〕振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置、大小为这两位置间的直线距离，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零。
〔2〕加速度a 的变化与回F 的变化是一致的，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
〔3〕速度大小v 与加速度a 的变化恰好相反，在两个“端点〞为零，在平衡位置最大。
除两个“端点〞外任一个位置的速度方向都有两种可能。
〔二〕振幅、周期、频率1. 振幅A 的概念：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
2. 周期和频率的概念：振动的物体完成一次全振动所需的时间称为振动周期，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量。
注意：全振动是指物体先后两次运动状态．．．．．．．．〔位移和速度〕完全一样．．．．所经历的过程。
振动物体在一个全振动过程通过的路程等于4个振幅。
3. 周期和频率的关系：fT 1=4. 固有频率和固有周期：物体的振动频率，是由振动物体本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以叫固有频率。
振动周期也叫固有周期。
〔三〕简谐运动的图象 1. 简谐运动的图象：〔1〕作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点。
简谐运动详解ppt课件
（3）在平衡位置上方时，弹簧处于压缩状态（也可能拉伸），
则位移向上为负，小球合力为正，大小为：
F k(x x0 ) mg kx 或：F mg k(x0 x) kx 所以回复力与位移的关系为 F kx
总结：小球在运动过程中所受弹力和重力的合力大小 与小球偏离平衡位置的位移成正比，方向总和位移的
例3、如图5所示，一水平弹簧振子在A、B 间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子 的质量为M.
(1) 简 谐 运 动 的 能 量 取 决 于 _振__幅__ ， 物 体 振 动 时 动 能 和 __弹___性__势_能相互转化，总机械能__守__恒_.
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ABD) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的 作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和 回复力作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡
位置
2.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡 位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30
E
Ek
Ep
1 2
mvm2
E pm
又因为最大势能取决于振幅，所以：
简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越 大；振幅越小，振动能量越小。
若阻力不能忽略不计，则振动能量减小，振幅减小，这不是简 谐运动，而是第4节将学习的阻尼振动。
A A--O O 0—A’ A’ A’--O O
位移的方向
正
正
—
通过分析右图体会一次完整的全振动， 特别要注意的是：一个周期时物体肯定回 到了出发位置，但物体回到出发位置的时 间不一定是一个周期。
则位移向上为负，小球合力为正，大小为：
F k(x x0 ) mg kx 或：F mg k(x0 x) kx 所以回复力与位移的关系为 F kx
总结：小球在运动过程中所受弹力和重力的合力大小 与小球偏离平衡位置的位移成正比，方向总和位移的
例3、如图5所示，一水平弹簧振子在A、B 间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子 的质量为M.
(1) 简 谐 运 动 的 能 量 取 决 于 _振__幅__ ， 物 体 振 动 时 动 能 和 __弹___性__势_能相互转化，总机械能__守__恒_.
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ABD) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的 作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和 回复力作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡
位置
2.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡 位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30
E
Ek
Ep
1 2
mvm2
E pm
又因为最大势能取决于振幅，所以：
简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越 大；振幅越小，振动能量越小。
若阻力不能忽略不计，则振动能量减小，振幅减小，这不是简 谐运动，而是第4节将学习的阻尼振动。
A A--O O 0—A’ A’ A’--O O
位移的方向
正
正
—
通过分析右图体会一次完整的全振动， 特别要注意的是：一个周期时物体肯定回 到了出发位置，但物体回到出发位置的时 间不一定是一个周期。
简谐振动的动力学特征
= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
22
2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
23
24
§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1
第九章简谐振动 ppt课件
在-π到π之间取值：
22
3
取哪一个值要看初始条件，由于：
v A si n t ()
所以： v0Asin
由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v0>0
因此，应取：
3
于是，此简谐振动的表达式： x0.1c2ots() (S)I
3
利用旋转矢量法求解很直观，
根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
周期T: Period A co t s ) A ( co ( t T s ) []
A co ts (2 )
T2 T2/
频率ν： 1 T 2
Phase 描述运动状态的量
(3)初相位： t
φ为初相位，Initial Phase 11
5、位移、速度和加速度的相位关系
xA c o ts()
2
2
E 1 kA2
Ek
Ep
2
A o A
弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。
29
动能的时间平均值:
E kT 10 T1 2k2 A si2(n t)dt
k2ATsi2(n t)dt1k2A
2T0
4
势能的时间平均值:
E PT 10 T1 2k2 A c o 2( st )dt
k2 A T
c
o 2tsdt1k2 A
2 T0
4
30
总能的时间平均值:
EEk
Ep
1kA2 2
1
EK
Ep
E 2
结论：
* 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半。
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
简谐振动的运动学讲解PPT课件
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运 动.
第17页/共32页
x Acos(t )
t 0
o
A
x0 x
x0 Acos
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运 动.
第18页/共32页
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
(t 2 ) (t 1)
2
1
第25页/共32页
2 1
0同步 x
超前
π 反相 为其它 落后
x
x
o
to
o
t
t
第26页/共32页
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振幅 为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在x=0.04 m 处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；
2
0.04 π)
3
m
t 1.0 s 代入上式得
x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70103 N
A π 3
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x/m
第28页/共32页
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所需要的最短 时间为t
A cos(t π)
2
o
A
a A 2 cos(t )
高三物理简谐振动PPT课件
简谐振动
1
简谐运动的基本概念 1.定义
物体在受到跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总 指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。 表达式为：F= -kx
（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也 就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在 平衡位置处。
（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向 上所受的合力。
振 幅
f
微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千…
0 f′
⑵防止共振的有：机床底座、航海、 军队过桥、高层建筑、火车车厢…
共振曲线
10
gk005.2008年高考江苏卷12B. (3) 12.B⑶（选修模块3—4）描述简谐运动特征的公式 是x＝ Asinωt ．自由下落的篮球经地面反弹后上 升又落下．若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能 量损失，此运动不是 （填“是”或“不是”）简谐 运动. 解析： 简谐运动的特征公式为x = Asinωt，其中A是振幅； 自由落体由反弹起来的过程中，回复力始终为重力， 恒定不变，与偏离平衡位置的位移不是成正比的， 不符合简谐运动的规律。
T与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，表示从 悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。
（3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同. 只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。 这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小 球半径r的差。
（4）秒摆的周期为2秒
9
三、 受迫振动与共振 1.受迫振动 物体在驱动力(即周期性外力)作用下的振动叫受迫振动.
（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的 弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧 弹力和重力的合力。
8
2. 单摆 （1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是 重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但 合力是向心力，指向悬点，不为零。
1
简谐运动的基本概念 1.定义
物体在受到跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总 指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。 表达式为：F= -kx
（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也 就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在 平衡位置处。
（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向 上所受的合力。
振 幅
f
微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千…
0 f′
⑵防止共振的有：机床底座、航海、 军队过桥、高层建筑、火车车厢…
共振曲线
10
gk005.2008年高考江苏卷12B. (3) 12.B⑶（选修模块3—4）描述简谐运动特征的公式 是x＝ Asinωt ．自由下落的篮球经地面反弹后上 升又落下．若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能 量损失，此运动不是 （填“是”或“不是”）简谐 运动. 解析： 简谐运动的特征公式为x = Asinωt，其中A是振幅； 自由落体由反弹起来的过程中，回复力始终为重力， 恒定不变，与偏离平衡位置的位移不是成正比的， 不符合简谐运动的规律。
T与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，表示从 悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。
（3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同. 只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。 这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小 球半径r的差。
（4）秒摆的周期为2秒
9
三、 受迫振动与共振 1.受迫振动 物体在驱动力(即周期性外力)作用下的振动叫受迫振动.
（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的 弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧 弹力和重力的合力。
8
2. 单摆 （1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是 重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但 合力是向心力，指向悬点，不为零。
简谐振动课件
k/m
2
1 2 2 Ek kA sin (t ) 2
1 2 （3） 总能量 E E k E p kA 2
由此可见，弹簧振子的总能量不随时间变化，即机 械能守恒。
A
2E K
2 k / m 和能量守恒关系可得： 由
E 1 2 1 2 1 k 2 1 2 mv kx v kx 2 2 2 2 2
两质点同时到达极端位置----同相
若(2) 同时到原点但向相反方向运动----反相 若(3) 2 1 0 ,
x2
将先于 x1 到达极大值
x2 超前 x1
［例16-5］ 已知振动曲线求初相位及相位。
如图所示的 x—t 振动曲线，已知
A 振幅A、周期T、且t=0 时 x 求： 2
d 2x 2x 0 dt 2
或 x = Asin(ωt +φ)
这个解就是简谐振子的运动学方程，方程中的A，φ 是两个常数，在数学上叫积分常数，它由初始条件确定。
பைடு நூலகம்
k m
是由简谐振子本身的性质决定的，与振子是否 参加运动无关，称为振动系统的固有角频率。
3 简谐振动
弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动。
恢复力 F 水 gSx
木块动力学方程：
d 2 x 水 gS x0 2 dt m
木块运动学方程：
x xm cos(t )
φ是位相，ω 是角频率：
2
水 gS
m
水 gS 水 Sh
g h
振动的周期
h T 2 g
平衡位置
二．描写简谐振动的三个特征量
(1)该振动的初相位； (2)a、b两点的相位； (3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少? 解： (1) 由题图可知， t=0时，
简谐运动-振幅-周期和频率-相位知识
9-4 简谐运动的能量
9-5 简谐运动的合成
第物理学
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
第五版
四 相位 t
x Acos(t )
相 位 (t) t
初相位 t 0时，(t)
相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振 动状态. 物体经一周期的振动，相位改变 2 .
第九章 振 动
15
物理学
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
第五版
3 弹簧振子的运动分析
F
m
o
x
x
F kx ma
得 d2 x 2 x
dt 2
令 2 k
m 即 a 2 x
简谐运动的特征：加速度 a与位移的大小x
成正比，方向相反
第九章 振 动
5
物理学
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
第五版
解方程
d2 x 2 x
dt 2 设初始条件为:
第五版
五 常数 A和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
初始条件
t0 xx 0
v v0
A
x2 0
v2 0
2
tan v0 x0
对给定振动 系统，周期由系 统本身性质决定， 振幅和初相由初 始条件决定.
第九章 振 动
16
物理学
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
第五版
物理学
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
第五版
一 简谐运动
1 机械振动
物体或物体的某一部分在一定位置
附近来回往复的运动
平衡位置
实例:
心脏的跳动， 钟摆，乐器， 地震等
普通物理9.1简谐振动的定义PPT课件
详细描述
简谐振动的周期性表现为，物体在振动过程中，从任意一个 状态开始，都会在一段时间后回到该状态，这段时间称为周 期。简谐振动的周期是固定的，与振幅和相位无关。
振幅
总结词
振幅是简谐振动中物体离开平衡位置 的最大距离。
详细描述
振幅是描述简谐振动幅度大小的物理量，表 示物体振动强烈程度。在振动曲线中，振幅 表现为曲线的最大值或最小值。振幅的大小 与能量有关，振幅越大，能量越大。
简谐振动的应用
弹簧振荡器
弹簧振荡器是一种利用弹簧的弹性振动原理 来产生振动的装置。在弹簧振荡器中，弹簧 的一端固定，另一端连接质量块。当质量块 在弹簧的弹性力作用下振动时，弹簧的振动 频率和振幅会受到质量块的质量、弹簧的刚 度和阻尼等因素的影响。
弹簧振荡器广泛应用于物理学、工程学和生 物学等领域。在物理学实验中，弹簧振荡器 可以用来研究简谐振动的规律和特性，以及 验证能量守恒定律等基本物理原理。在工程 学中，弹簧振荡器可以用于振动隔离、减震 和振动控制等方面。在生物学中，弹簧振荡 器可以用于研究生物体的振动特性和生理机
观察到弹簧振子在受到周期性外力作用时，会产生周期 性的往复运动。
总结出简谐振动的定义：简谐振动是一种周期性往复运 动，其运动规律可以用正弦或余弦函数描述。
分析振动曲线的形状，发现其呈现正弦或余弦函数的规 律。
通过实验结果，理解简谐振动的物理意义和实际应用。
06
总结与思考Hale Waihona Puke 本节课的重点和难点重点
简谐振动的定义、简谐振动的描 述方式、简谐振动的特点。
难点
如何理解简谐振动的定义，如何 应用简谐振动的描述方式，如何 掌握简谐振动的特点。
下节课预告
主题
简谐振动的运动规律
简谐振动的周期性表现为，物体在振动过程中，从任意一个 状态开始，都会在一段时间后回到该状态，这段时间称为周 期。简谐振动的周期是固定的，与振幅和相位无关。
振幅
总结词
振幅是简谐振动中物体离开平衡位置 的最大距离。
详细描述
振幅是描述简谐振动幅度大小的物理量，表 示物体振动强烈程度。在振动曲线中，振幅 表现为曲线的最大值或最小值。振幅的大小 与能量有关，振幅越大，能量越大。
简谐振动的应用
弹簧振荡器
弹簧振荡器是一种利用弹簧的弹性振动原理 来产生振动的装置。在弹簧振荡器中，弹簧 的一端固定，另一端连接质量块。当质量块 在弹簧的弹性力作用下振动时，弹簧的振动 频率和振幅会受到质量块的质量、弹簧的刚 度和阻尼等因素的影响。
弹簧振荡器广泛应用于物理学、工程学和生 物学等领域。在物理学实验中，弹簧振荡器 可以用来研究简谐振动的规律和特性，以及 验证能量守恒定律等基本物理原理。在工程 学中，弹簧振荡器可以用于振动隔离、减震 和振动控制等方面。在生物学中，弹簧振荡 器可以用于研究生物体的振动特性和生理机
观察到弹簧振子在受到周期性外力作用时，会产生周期 性的往复运动。
总结出简谐振动的定义：简谐振动是一种周期性往复运 动，其运动规律可以用正弦或余弦函数描述。
分析振动曲线的形状，发现其呈现正弦或余弦函数的规 律。
通过实验结果，理解简谐振动的物理意义和实际应用。
06
总结与思考Hale Waihona Puke 本节课的重点和难点重点
简谐振动的定义、简谐振动的描 述方式、简谐振动的特点。
难点
如何理解简谐振动的定义，如何 应用简谐振动的描述方式，如何 掌握简谐振动的特点。
下节课预告
主题
简谐振动的运动规律
简谐运动ppt课件
解：方法1
31.4
15.7
设振动方程为
0
x Acos(t 0 ) 15.7
31.4
1
t(s)
v0 A sin0 15.7cms 1 a0 2 Acos0 0
A vm 31.4cms 1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0
0,则cos0
0
0
6
t 1 v 15.7cms 1 sin( 1 ) v v 1
两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
衡位置的运动。
• 平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿 运动方向受的力）等于0，则此位置称为平 衡位置。
•线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平 衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向 平衡位置，则称此作用力为线性回复力。
若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡
位置的位移，则
f kx
3
a 0.12 2 cos( 0.5 ) 0.103
3
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 cos(t ) 1
13
2
t 2 , 4
133 3
因该时刻速度为负，应舍去
大学物理教案(第五版)下册马文蔚改编09-1简谐振动
θ
θ
l
c mg
dθ mgl = sin θ 2 dt J
2
对转动轴, 对转动轴,
dθ mgl sin θ = J 2 dt
2
M = Jα
dθ mgl θ = 2 J dt 2 d θ mgl + θ =0 2 J dt
2
d θ mgl Z + θ =0 + 2 J dt 2 θ lc mgl d θ 2 2 +ω θ = 0 令ω = 2
d x k + x =0 2 dt m
d 2x 2 +ω x = 0 2 dt
2
k = ω2 令: X m
解此微分方程: 解此微分方程:
x = Acos(ωt +)
A = l2 l1 = 0
x = (l2 l1) cosωt
4)复摆 4)复摆
很小 已知: 已知: 轴至质心的距离 l 摆的质量m及转动惯量 及转动惯量J 摆的质量 及转动惯量
T
a t图
T
t
= ω x
2
Aω
2
三)描述简谐振动的物理量 x = Acos( 1)振幅 : ) 离开平衡位置最大位移的绝对值
ωt +)
x = Acos(ωt +)
类似的
xmax = A
v = Aω sin( ωt +) vm = Aω 速度振幅 ax 2 2 a = Aω cos(ωt +) am = Aω 加速度振幅 ax
2
J
所以小角度复摆作谐振动
dt
J = 2π T= mgl ω
对于单摆
2π
mg
J = ml
2
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在-π到π之间取值：
3
取哪一个值要看初始条件，由于：
v Asin(t )
所以： v0 Asin
由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v0>0
因此，应取：
3
于是，此简谐振动的表达式： x 0.12cos(t ) (SI)
3
利用旋转矢量法求解很直观，
根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
t时刻A矢量在x轴上的投影
A
t
t 0 0
x
x Acos(t 0 )
2.旋转矢量
表示出三个特征量
A
用旋转矢量法处理问题更直观、 动画
O
x
更方便，必须掌握。
[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s， 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正 向运动。 求：(1)此振动的表达式
（3）由初状态v0、x0可得出初
相位φ。
（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。
2、旋转矢量表示法 1.参考圆法
Rotating vector method
沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取 在x轴）的投影的运动为简谐振动。
半径R——振幅A
角速度——角频率ω
初始矢径与x轴的交角—初相位 o
若θ很小，则有： sin
d2
dt2
g
l
0
即：
d2
dt2
2
0
其中：
cos(t )
g
l
T
Ft
mg
动画
[例题2] 半径为R的圆环静止于刀口O点上,令其
o
在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为
谐振,并计算其振动周期.
证明:设圆环偏离角度为θ , M Rmgsin
M
J
J
d2
dt2
(2)角频率ω：angular frequency 振动的快慢
周期T: Period
Acos(t ) Acos[(t T ) ]
Acos(t 2 )
T 2 T 2 /
频率ν： 1 T 2
Phase 描述运动状态的量
(3)初相位： t
φ为初相位，Initial Phase
O
x0 v0
x
(2) v Asin(t ) 0.12 sin(t )
3
a 2 Acos(t ) 0.12 2 cos(t )
(2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间
解:(1)取平衡位置为坐标原点
设 x Acos(t ) 其中 2 s1 A亦为已知，只需求φ
T
由t=0s时，x0=0.06m，可得： x0 Acos cos x0 / A 0.06 / 0.12 1 / 2
在水平方向上： f kx （负号表示力与位移方向相反）
由牛顿第二定律，有： kx m d2 x
令：
k 2,
dt2
m
则有：
d2 x dt2
2
x
0
称作谐振动的微分方程。
k
N
f
m
o
mg
x
X
2、运动学方程：
由：
d2 dt
x
2
2
x
0,
振动曲线
可解得： x C1 sint C2 cos t
一般写成： x Acos(t )
或： x Asin(t ) 本课程采用余弦形式
因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动
简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用
x Acos(t ) 表示，质点的运动称为谐振动。
描述简谐振动的物理量A、ω、φ， 称特征量。
x
t o
x Acos(t )
4、谐振动的三个特征量 (1)振幅A: amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）
第九章 振动和波
第九章 振动和波 Vibration and wave
特点：（1）有平衡点，且具有重复性。 （2）周期性—在 T时间内状态能完全重复。
广义的振动—物理量随时间作周期性变化称为振动。 振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、
声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。
5、位移、速度和加速度的相位关系
x Acos(t )
v d x Asin(t ) 写
dt
成
a d v 2 Acos(t )
dt
x Acos(t )
v Acos(t )
a
2
A cos (t
2
)
以上结果表明：
(1)v,a与x的ω相同
(2) vmax A, amax 2 A
(3)a与x方向相反，且成正比源自x、v、a相位依次差π/2。
振幅
二、初始条件确定振幅和初相位
初始条件： t 0, x0 , v0
x0 Acos
写为：
v0 Asin
v0 Asin
(1)2 (2)2 , 得：
A2
x02
v02
2
(2) /(1), 得： tg v0 / x0
即： arg tg( v0 ) x0
J mR2 md2 2mR2
2mR 2 d2 Rmg sin Rmg
dt2
d2
dt2
g
2R
0
因此所作振动为谐振
g
2R
T 2
2R g
四 、谐振动的其它表示法 1、振动曲线法
（1）振动曲线的峰（或谷）对应 的位移的大小即是振幅 .
（2）振动曲线上表示振动状态 相同的相邻两点对应的时间间隔 就是周期T 。
也可直接由（1）或由（2）求出φ。
(1)
(2)
A
x02
v02
2
Ф有两个值，需（1） 或（2）进行筛选。
三、坐标原点的选取对于振动方程的影响 (以竖直弹簧振子为例)
O自由端, O平衡位置
ky0 mg
以 O为坐标原点:
F
ky
mg
m
d2 y dt2
d2 dt2
(
y
y0
)
k m
(
y
y0
)
0
y Acos(t ) y0
••机械振动—物体在某一位置附近作往复运动。 •• 机械振动分类
按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分 解为一些简谐振动的叠加。
§9-1 简谐振动
一、简谐振动的微分方程和运动方程 1、简谐振动的微分方程
幻灯片 5
弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator
O
y0
O
m
x
y
x
y
m
以O为坐标原点: x y y0 x Acos(t )
在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。
[例题1] 单摆 Simple Pendulum
解：单摆受力如图所示 Ft mg sin
对悬挂点的力矩： M mglsin
由：
M J
ml 2
d2
dt2
mgl sin
3
取哪一个值要看初始条件，由于：
v Asin(t )
所以： v0 Asin
由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v0>0
因此，应取：
3
于是，此简谐振动的表达式： x 0.12cos(t ) (SI)
3
利用旋转矢量法求解很直观，
根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
t时刻A矢量在x轴上的投影
A
t
t 0 0
x
x Acos(t 0 )
2.旋转矢量
表示出三个特征量
A
用旋转矢量法处理问题更直观、 动画
O
x
更方便，必须掌握。
[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s， 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正 向运动。 求：(1)此振动的表达式
（3）由初状态v0、x0可得出初
相位φ。
（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。
2、旋转矢量表示法 1.参考圆法
Rotating vector method
沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取 在x轴）的投影的运动为简谐振动。
半径R——振幅A
角速度——角频率ω
初始矢径与x轴的交角—初相位 o
若θ很小，则有： sin
d2
dt2
g
l
0
即：
d2
dt2
2
0
其中：
cos(t )
g
l
T
Ft
mg
动画
[例题2] 半径为R的圆环静止于刀口O点上,令其
o
在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为
谐振,并计算其振动周期.
证明:设圆环偏离角度为θ , M Rmgsin
M
J
J
d2
dt2
(2)角频率ω：angular frequency 振动的快慢
周期T: Period
Acos(t ) Acos[(t T ) ]
Acos(t 2 )
T 2 T 2 /
频率ν： 1 T 2
Phase 描述运动状态的量
(3)初相位： t
φ为初相位，Initial Phase
O
x0 v0
x
(2) v Asin(t ) 0.12 sin(t )
3
a 2 Acos(t ) 0.12 2 cos(t )
(2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间
解:(1)取平衡位置为坐标原点
设 x Acos(t ) 其中 2 s1 A亦为已知，只需求φ
T
由t=0s时，x0=0.06m，可得： x0 Acos cos x0 / A 0.06 / 0.12 1 / 2
在水平方向上： f kx （负号表示力与位移方向相反）
由牛顿第二定律，有： kx m d2 x
令：
k 2,
dt2
m
则有：
d2 x dt2
2
x
0
称作谐振动的微分方程。
k
N
f
m
o
mg
x
X
2、运动学方程：
由：
d2 dt
x
2
2
x
0,
振动曲线
可解得： x C1 sint C2 cos t
一般写成： x Acos(t )
或： x Asin(t ) 本课程采用余弦形式
因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动
简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用
x Acos(t ) 表示，质点的运动称为谐振动。
描述简谐振动的物理量A、ω、φ， 称特征量。
x
t o
x Acos(t )
4、谐振动的三个特征量 (1)振幅A: amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）
第九章 振动和波
第九章 振动和波 Vibration and wave
特点：（1）有平衡点，且具有重复性。 （2）周期性—在 T时间内状态能完全重复。
广义的振动—物理量随时间作周期性变化称为振动。 振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、
声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。
5、位移、速度和加速度的相位关系
x Acos(t )
v d x Asin(t ) 写
dt
成
a d v 2 Acos(t )
dt
x Acos(t )
v Acos(t )
a
2
A cos (t
2
)
以上结果表明：
(1)v,a与x的ω相同
(2) vmax A, amax 2 A
(3)a与x方向相反，且成正比源自x、v、a相位依次差π/2。
振幅
二、初始条件确定振幅和初相位
初始条件： t 0, x0 , v0
x0 Acos
写为：
v0 Asin
v0 Asin
(1)2 (2)2 , 得：
A2
x02
v02
2
(2) /(1), 得： tg v0 / x0
即： arg tg( v0 ) x0
J mR2 md2 2mR2
2mR 2 d2 Rmg sin Rmg
dt2
d2
dt2
g
2R
0
因此所作振动为谐振
g
2R
T 2
2R g
四 、谐振动的其它表示法 1、振动曲线法
（1）振动曲线的峰（或谷）对应 的位移的大小即是振幅 .
（2）振动曲线上表示振动状态 相同的相邻两点对应的时间间隔 就是周期T 。
也可直接由（1）或由（2）求出φ。
(1)
(2)
A
x02
v02
2
Ф有两个值，需（1） 或（2）进行筛选。
三、坐标原点的选取对于振动方程的影响 (以竖直弹簧振子为例)
O自由端, O平衡位置
ky0 mg
以 O为坐标原点:
F
ky
mg
m
d2 y dt2
d2 dt2
(
y
y0
)
k m
(
y
y0
)
0
y Acos(t ) y0
••机械振动—物体在某一位置附近作往复运动。 •• 机械振动分类
按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分 解为一些简谐振动的叠加。
§9-1 简谐振动
一、简谐振动的微分方程和运动方程 1、简谐振动的微分方程
幻灯片 5
弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator
O
y0
O
m
x
y
x
y
m
以O为坐标原点: x y y0 x Acos(t )
在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。
[例题1] 单摆 Simple Pendulum
解：单摆受力如图所示 Ft mg sin
对悬挂点的力矩： M mglsin
由：
M J
ml 2
d2
dt2
mgl sin