《正弦定理的发现与证明教学方案设计

《正弦定理的发现与证明》微课教学设计

教学背景：

本节课是人教版必修5第二章解三角形的第一节课的内容.“正弦定理”是初中“解直角三角形”内容的直接延伸，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的客观规律，是三角函数知识和平面向量知识在三角形中的交汇运用，也是解决实际生活中三角形问题的重要工具，具有广泛的应用价值.对于定理的学习，在以往的教学中发现大部分学生只关注定理的内容和应用，而根本不知道定理是如何证明的.本节课分两课时，本次微课是第一课时，主要任务是引入并证明正弦定理，而定理的应用放到下一节课.

学情分析：

学生学习本节课以前，已经掌握了如何解直角三角形，并学习了平面几何、三角函数、三角恒等变换、向量等知识，有一定的观察分析、解决问题的能力.但学生对前后知识间的联系、理解、以及综合应用所学知识上还有所欠缺，思维也不够缜密.尤其向量、三角函数知识学过的时间较长，学生不容易把三角和向量自然的连接在一起.

教学目标：

知识与技能：通过对三角形边长和角度关系的探索，发现并证明正弦定理.

过程与方法：经历完整的正弦定理的发现和获得过程，让学生体会分类讨论、化归、类比、猜想以及由特殊到一般等数学思想方法，提高解决问题的能力.

情感态度与价值观：通过利用向量证明正弦定理，了解向量的工具性，体会知识的内在联系，体会事物之间相互联系与辩证统一.

教学重点：正弦定理的形成和获得过程;

教学难点：正弦定理的证明方法.

教学方法：

采用探究式教学模式，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化.借助多媒体和几何画板，激发学生学习的兴趣，设计符合学生知识水平和学习心理的教学，鼓励学生大胆猜想，积极探索.

学法分析：

指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究.增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度.

教学过程：

一、展示图片，引出课题：

展示生活中的三角形图片，回忆初中所学三角形中经常用到的结论，如“大边对大角，小边对小角”，是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系呢？从而引出课题.

【设计意图】从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构.

二、观察特例，发现猜想:

1.探讨直角三角形中，角与边的关系，得出直角三角形中各个边与它所对的角之间存在着某一确定的数量关系.提出猜想：对于任意一个三角形，

sin sin sin a b c A B C

==关系式成立吗？ 【设计意图】以直角三角形这个特例作为切入点，符合从特殊到一般思维的过程.

2.对于猜想用几何画板进行验证.任意画出一个三角形，度量出三边的长度和三个角的度数，计算显示出一组的值，然后不断拖动三角形的一个顶点，改变三角形形状，观察各组比值的变化.

【设计意图】通过几何画板的演示，学生能直观地而主动地投入到数学发现的过程中来，另外注意引导学生数学实验只能作为对数学猜想的检验，不能作为猜想的证明.

三、证明猜想，得出定理:

用平面几何“作高法”对猜想进行证明，分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三大类分别证明.得出正弦定理的文字叙述和符号表达.

【设计意图】通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形，把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题，引导学生体会利用已有知识解决新的知识的数学思想.让学生感受“观察--猜想--证明”的科学研究问题的思路.

四、探求其他证明方法：

1.向量法：向量融长度和角度于一体，借向量为载体证明正弦定理.

2.外接圆法：利用外接圆法不仅可以证明正弦定理，而且可以得出各个比值等于三角形外接圆的直径2R.

【设计意图】了解向量的工具性，体会知识间的内在联系.

五、课堂小结：

1.正弦定理的发现过程：由特殊到一般，观察——猜想——检验——证明.

2.正弦定理的证明过程：①作高法；②向量法；③外接圆法.

【设计意图】明确本节课所学的知识和数学思想方法.

六、课后思考题：

1.你还能用其它方法证明正弦定理吗？

【设计意图】除了本节介绍的三个证法，启发学生还可以考虑用其他方法，比如面积法等证明正弦定理.

2.正弦定理可以解决哪类实际问题呢？请举例说明.

【设计意图】此问题即为正弦定理的应用，为下节课做铺垫.

七、教学总结：

本节课的设计使学生经历了“观察——猜想——检验——证明——应用”的思维历程，让学生学会研究数学问题的基本思想方法.从初中学习过的三角形的边角定性关系出发，对三角形的边角关系进行定量探索，从特殊的直角三角形入手，结合学生的已有知识经验，进行发散式猜想与探究，提出猜想，并通过几何画板进行数学检验.其次，在证明猜想的教学环节，通过建立新旧知识的有机联系，力求引导学生寻求合理的证明思路与策略,在证明过程中，让学生体会分类讨论、数形结合等数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力.

教学特色：运用PPT的动态效果和几何画板的直观显示，激发学生学习的兴趣；设计符合学生知识水平和学习心理的教学，使学生掌握“观察——猜想——检验——证明——应用”的研究数学问题的基本思想方法；通过让学生经历正弦定理的发现过程，让学生体会类比、猜想以及由特殊到一般等数学思想方法；运用多种方法证明正弦定理，让学生知识之间的内在联系，体会分类讨论、化归、数形结合等思想，提高解决问题的能力.

八，作业课本p36,5

课后练习，学案p32