(一)线性规划建模与求解
运筹学实验报告
运筹学实验报告中南民族⼤学管理学院学⽣实验报告课程名称：《管理运筹学》年级：2011级专业：会计学指导教师：胡丹丹学号：姓名：实验地点：管理学院综合实验室2012学年⾄2013学年度第2 学期⽬录实验⼀线性规划建模及求解实验⼆运输问题实验三⽣产存储问题实验四整数规划问题实验五⽬标规划实验六⽤lingo求解简单的规划问题实验七实验⼋实验九实验⼗实验（⼀）线性规划建模及求解实验时间：2013-5-18实验内容：某轮胎⼚计划⽣产甲、⼄两种轮胎，这两种轮胎都需要在A、B、C三种不同的设备上加⼯。
每个轮胎的⼯时消耗定额、每种设备的⽣产能⼒以及每件产品的计划如表所⽰。
问在计划内应该如何安排⽣产计划，使总利润最⼤？（1）请建⽴模型。
（2）使⽤“管理运筹学”软件求得结果。
根据“管理运筹学”软件结果，回答下列问题：（3）哪些设备的⽣产能⼒已使⽤完？哪些设备的⽣产能⼒还没有使⽤完？其剩余的⽣产能⼒为多少？（4）三种设备的对偶价格各为多少？请对此对偶价格的含义给予说明。
（5）保证产品组合不变的前提下，⽬标函数中的甲产品产量决策变量的⽬标系数的变化范围是多少？（6）当⼄中轮胎的单位售价变成90元时，最优产品的组合是否改变？为什么？（7）如何在A、B、C三台设备中选择⼀台增加1⼩时的⼯作量使得利润增加最多，请说明理由。
（8）若增加设备C的加⼯时间由180⼩时增加到200⼩时，总利润是否变化？为什么？（9）请写出约束条件中常数项的变化范围。
（10）当甲种轮胎的利润由70元增加到80元，⼄种轮胎的利润从65元增加到75元，请试⽤百分之⼀百法则计算其最优产品组合是否变化？并计算新利润（11）当设备A的加⼯时间由215降低到200，⽽设备B的加⼯时间由205增加到225，设备C的加⼯时间由180降低到150，请试⽤百分之⼀百法则计算原来的⽣产⽅案是否变化，并计算新利润。
实验相应结果：解：(1)设计划⽣产甲⼄两种轮胎的数量分别为x1,x2. 此线性规划的数学模型如下：Max f =70*x1+65*x2约束条件：7*x1+3*x2≤2154*x1+5*x2≤2052*x1+4*x2≤180x1 ≥0 , x2 ≥0(2)⽤运筹学软件求的结果如下：则当x1=20, x2=25时,最⼤利润为3025元(3)由（2）中结果可知，设备A和设备B的⽣产能⼒已经使⽤完，设备C 的⽣产能⼒还没有⽤完，还剩40h。
线性规划问题的建模与求解思路
线性规划问题的建模与求解思路线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济、运筹学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨线性规划问题的建模与求解思路，介绍一些常用的方法和技巧。
一、问题建模在进行线性规划问题的建模时，首先需要明确问题的目标和约束条件。
目标通常是最大化或最小化一个线性函数，而约束条件则是一系列线性等式或不等式。
以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10万元，每单位产品B的利润为8万元。
公司希望最大化总利润，同时满足以下约束条件：1. 产品A和B的生产总量不超过1000单位；2. 产品A的生产量不低于200单位；3. 产品B的生产量不低于300单位。
根据以上信息，我们可以进行如下的建模：设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y，则目标函数为最大化利润：Maximize Z = 10x + 8y同时，需要满足以下约束条件：x + y ≤ 1000x ≥ 200y ≥ 300二、求解思路一般来说，线性规划问题的求解可以采用图形法、单纯形法、内点法等不同的方法。
下面将介绍其中两种常用的方法：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形来求解最优解。
在上述例子中，我们可以将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，找到目标函数与约束条件的交点，进而确定最优解。
2. 单纯形法单纯形法适用于高维线性规划问题，通过迭代计算来逐步接近最优解。
该方法的核心思想是从一个可行解开始，通过不断调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解。
单纯形法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束；（2）构建初始单纯形表，并选择一个初始基本可行解；（3）计算单位利润向量，并判断是否达到最优解；（4）选择一个入基变量和出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。
三、技巧和注意事项在解决线性规划问题时，有一些常用的技巧和注意事项可以帮助我们更高效地求解问题。
线性规划建模
线性规划建模线性规划是一种数学规划方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
线性规划的建模包括确定决策变量、目标函数及约束条件。
首先，需要确定决策变量。
决策变量是问题中需要进行决策的变量。
对于线性规划问题，决策变量是连续变量。
例如，假设我们需要确定生产两种产品的数量，可以将产品1的数量设为x1，产品2的数量设为x2。
其次，需要确定目标函数。
目标函数是问题的最终目标，需要进行最大化或最小化的量。
在线性规划中，目标函数是线性函数。
例如，假设我们希望最大化利润，可以将目标函数设为最大化：目标函数： Maximize 5x1 + 4x2。
最后，需要确定约束条件。
约束条件是问题中需要满足的限制条件。
在线性规划中，约束条件可以是线性函数形式。
例如，假设我们有以下约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0，x1 + x2 ≤ 100，2x1 + 3x2 ≤ 200。
将上述决策变量、目标函数和约束条件整合在一起，即可建立线性规划模型。
根据上述例子，线性规划模型可以表示为：决策变量：x1, x2目标函数：Maximize 5x1 + 4x2约束条件：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，x1 + x2 ≤ 100，2x1 + 3x2 ≤ 200。
最后，利用线性规划求解方法，如单纯形法或内点法，对建立的模型进行求解，得到问题的最优解。
总之，线性规划建模是一种将实际问题转化为数学模型的过程。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，进而利用数学求解方法得到最优解。
线性规划建模的关键在于正确地把握问题的特点和要求，将实际问题转化为适合线性规划求解的数学模型。
实验报告——线性规划建模与求解
exitflag =1
实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）（接上页）：
实验书中的实际问题求解：
解：设a 为0-1变量，表示第i根8M线材
设b 为0-1变量，表示第i根12M线材
X 表示第i根8M线材截得的第j种长度的线材数目
Y 表示第i根12M线材截得的第j种长度的线材数目
5.完成实验中的实际问题求解。
实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
习题求解
1.2将下列线性规划转化为标准型，并用程序求解。
解：转化为标准型如下：
用matlab求解命令如下：
f=[-3,4,-2,5,0,0];
aeq=[4,-1,2,-4,0,0;1,1,2,-1,1,0;-2,3,-1,2,0,-1];
b=[-60,-70,-60,-50,-20,-30]’;
lb=zeros(6,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,a,b,[],[],lb);
解得结果为：
x =[41.9176,28.0824,35.0494,14.9506,9.8606,20.1394]
Z为浪费的线材总长度
又由于150*(8+12)远大于所需线材总长度，故知所用两种线材每种不超过150根
解不出
实验结果报告与实验总结：
对于实验指导书中matlab使用的例题和方法已经基本掌握，《运筹学》书中例题与方法处于基本了解的程度，不能灵活运用，但书后习题全都能独立完成，已经有一定解题能力。且实验书中的实际运用题的简易版问题的解题方法也已经掌握，但此实验题仍很吃力。
fval = 3.6000
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划问题求解----数学建模实验报告
084实验报告1、实验目的：（1)学会用matlab软件解决线性规划问题的最优值求解问题。
（2）学会将实际问题归结为线性规划问题用MATLAB软件建立恰当的数学模型来求解。
（3）学会用最小二乘法进行数据拟合。
（4）学会用MATLAB提供的拟合方法解决实际问题。
2、实验要求：（1）按照正确格式用MATLAB软件解决课本第9页1.1、1.3，第100页5.1、5.3这几个问题，完成实验内容。
（2）写出相应的MATLAB程序。
（3）给出实验结果。
（4）对实验结果进行分析讨论。
（5）写出相应的实验报告。
3、实验步骤：（1)、对于习题1.1:a.将该线性规划问题首先化成MATLAB标准型b．用MATLAB软件编写正确求解程序：程序如下:c=[3,-1,-1];a=[4,-1,-2;1,-2,1]; b=[-3;11]aeq=[-2,0,1]; beq=1;[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))x,y=-y（2)、对于习题1.3:a.建立适当的线性规划模型：对产品I 来说，设以A1，A2完成A 工序的产品分别为x 1，x 2件，转入B 工序时，以B1，B2，B3完成B 工序的产品分别为x 3，x 4，x 5件；对产品II 来说，设以A1，A2完成A 工序的产品分别为x 6，x 7件，转入B 工序时，以B1完成B 工序的产品为x 8件；对产品III 来说，设以A2完成A 工序的产品为x 9件，则以B2完成B 工序的产品也为x 9件。
由上述条件可得x 1+x 2=x 3+x 4+x 5， x 6+x 7=x 8.由题目所给的数据可建立如下的线性规划模型：Min z =(1.25-0.25)( x 1+x 2)+(2-0.35) x 8+(2.8-0.5) x 9-3006000(5x 1+10x 6)-32110000(7x 2+9x 7+12x 9)- 2504000(6x 3+8x 8)-7837000 (4x 4+11x 9)-2004000⨯7x 5s.t.{ 5x 1+10x 6≤60007x 2+9x 7+12x 9≤100006x 3+8x 8≤40004x 4+11x 9≤70007x 5≤4000x 1+x 2=x 3+x 4+x 5 x 6+x 7=x 8x i ≥0,i =1,2,3,…9 b.运用MATLAB 软件编写程序求解：程序如下：c=[0.75,1-(321*7*0.0001),-16*6,(-783*4)/7000,-7/20,-0.5,-321*9*0.0001,1.15,2.3-(321*12*0.0001-(783*11)/7000)]; a=[-5,0,0,0,0,-10,0,0,0;0,-7,0,0,0,0,-9,0,-12;0,0,-6,0,0,0,0,-8,0;0,0,0,-4,0,0,0,0,-11;0,0,0,0,-7,0,0,0,0]; b=[-6000;-10000;-4000;-7000;-4000];aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,1,-1,0];beq=[0;0];[x,y]=linprog(c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))（3)、对于习题5.1:用MATLAB中的三次函数，二次函数，四次函数进行数据拟合，然后与原来结果进行比较。
线性规划的建模技巧和求解
线性规划的建模技巧和求解线性规划是一种数学优化方法，用于确定一个或多个线性方程的最佳解。
它在许多领域有广泛应用，如生产、物流、金融等。
下面将介绍线性规划的建模技巧和求解方法。
一、线性规划的建模技巧：1. 确定决策变量：首先要确定需要决策的变量，这些变量决定了模型的目标函数和约束条件。
变量可以表示限制条件或可供选择的决策。
2. 确定目标函数：目标函数是需要优化的目标，可以是最大化或最小化。
一般情况下，目标函数是由决策变量的线性组合构成的。
3. 确定约束条件：约束条件是限制决策变量的条件，包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以是资源的限制、技术要求等。
4. 确定约束集：约束集是所有约束条件的集合，它定义了可行解的范围。
在确定约束集时，需要将每个约束条件转化为决策变量的线性等式或不等式。
5. 确定可行域：可行域是约束集在决策变量空间中的几何图形。
可行域是一个多面体或多面体的集合，其中每个面都由一个或多个约束条件定义。
6. 确定边界条件：边界条件是可行域的边界，在边界上的解是目标函数的极值点。
通过分析边界条件，可以确定是否存在最优解以及在哪个边界上可以找到最优解。
二、线性规划的求解方法：1. 图形法：图形法适用于二维情况，可以将可行域和目标函数的等值线绘制在一个坐标系中，通过观察交点找到最优解。
但是，图形法只适用于简单的问题，对于复杂问题无法使用。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过迭代的方式从可行域的某个顶点开始，逐步向更优解迭代，直到找到最优解。
单纯形法的思想是寻找一个可以改进目标函数值的方向，并且每次改进保证不会违反约束条件。
3. 对偶理论：线性规划问题的对偶问题可以通过原问题的约束条件和目标函数得到。
通过对偶问题的求解，可以得到原问题的最优解、最优解的相应目标值以及松弛变量的价值。
4. 整数规划：如果决策变量是整数变量，那么线性规划问题称为整数规划问题。
整数规划问题的求解通常比线性规划问题要困难得多，因为整数变量会引入离散性。
1、线性规划(数学建模)
⎧2 x1 + x2 ≤ 10 ⎪x + x ≤ 8 ⎪ 1 2 s.t.（约束条件） ⎨ ⎪ x2 ≤ 7 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≥ 0
（2）
（1）式被称为问题的目标函数， （2）中的几个不等式 这里变量 x1 , x 2 称之为决策变量， 是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之， 线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下， 求一线性目标函数最大或最 小的问题。 在解决实际问题时， 把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步， 但往往 也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我 们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的 Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值， 也可以是求最小值， 约束条件的不等号可以 是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性 规划的标准形式为
max z = 2 x1 + 3x2 − 5 x3 s.t. x1 + x2 + x3 = 7 2 x1 − 5 x2 + x3 ≥ 10 x1 + 3 x2 + x3 ≤ 12 x1 , x2 , x3 ≥ 0
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解 （i）编写 M 文件 c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x （ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。 （iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。 例3 求解线性规划问题
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、问题形式化、求解方法以及应用领域。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划定义线性规划是一种在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解的数学问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，一般形式为：最大化（或最小化）目标函数约束条件：线性规划的目标函数和约束条件可以包含多个变量和多个约束条件。
3. 线性规划的基本假设线性规划的求解过程基于以下假设：- 可行解存在：问题存在满足约束条件的解。
- 目标函数有界：问题存在有限的最优解。
- 线性关系：目标函数和约束条件都是线性的。
三、线性规划的问题形式化1. 目标函数的确定线性规划的目标函数可以是最大化或最小化某个特定的指标，如利润最大化、成本最小化等。
2. 约束条件的确定约束条件是限制问题解的条件，可以包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以来自于问题的实际限制，如资源的有限性、技术要求等。
3. 决策变量的确定决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量的选择应该与问题的实际需求相匹配。
四、线性规划的求解方法1. 图解法图解法是线性规划求解的一种直观方法，通过绘制约束条件的图形和目标函数的等高线，找到目标函数取得最大（或最小）值的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的线性规划求解算法，它通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是通过不断地移动到更优的解，直到找到最优解。
3. 整数规划的分支定界法整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量的取值为整数。
分支定界法是一种用于求解整数规划的方法，它通过将问题分解为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。
五、线性规划的应用领域线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：- 生产计划与调度- 运输与物流管理- 金融投资组合优化- 能源调度与优化- 供应链管理等六、总结线性规划是一种重要的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
线性规划问题建模和求解
线性规划问题建模和求解例 雅致家具厂生产计划优化问题雅致家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。
该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。
问：（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量x 1,x 2,x 3,x 4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。
据此，列出下面的线性规划模型：其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。
①②③④⑤⑥⑦⑧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤≤≤+++≤+++≤++++++=（非负约束）需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具（劳动时间约束）（玻璃约束）（木材约束）0,,,41003502200110040023121000226600224..30402060432143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x MaxZ下面介绍用Excel中的“规划求解”功能求此题。
第一步在Excel中描述问题、建立模型，如下图所示。
第二步在“工具”菜单中选择“规划求解”。
第三步在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。
第四步点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。
第五步选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回下图。
组合优化问题的线性规划建模与求解方法
组合优化问题的线性规划建模与求解方法组合优化问题是指在给定的一组元素中，通过选择和排列这些元素，使得满足一定的约束条件下，所得到的组合具有最优的性质或目标值。
这类问题广泛应用于各个领域，例如物流配送、生产调度、项目管理等。
线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到满足某个目标函数的最佳线性解。
线性规划在组合优化问题中的应用非常广泛，通过建立合适的线性规划模型，可以有效地求解各种组合优化问题。
在组合优化问题中，线性规划建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量表示需要选择或排列的元素，目标函数则衡量所得到的组合的质量或性能指标，约束条件则限制决策变量的取值范围。
以下是一些常见的组合优化问题及其线性规划建模与求解方法：1. 装箱问题（Bin Packing Problem）：将一组物品装入容量有限的容器中，要求最小化使用的容器数量。
该问题可以使用整数线性规划进行建模。
决策变量可以表示物品是否被装入某个容器，目标函数可以表示使用的容器数量，约束条件包括容器的容量限制以及每个物品被装入一个容器的限制。
2. 旅行商问题（Traveling Salesman Problem）：给定一组城市和各城市之间的距离，求解一条最短路径，使得每个城市恰好被访问一次，并回到起始城市。
该问题可以使用混合整数线性规划进行建模。
决策变量可以表示城市之间的连接关系，目标函数可以表示路径的总长度，约束条件包括每个城市的进出度限制以及避免子循环的限制。
3. 生产调度问题（Production Scheduling Problem）：给定一组任务和可用资源，求解最优的任务分配和调度方案，使得总体生产时间最短。
该问题可以使用整数线性规划进行建模。
决策变量可以表示任务的开始时间和资源的分配情况，目标函数可以表示生产完成时间，约束条件包括资源的可用性和任务之间的时间限制。
4. 资源分配问题（Resource Allocation Problem）：给定一组资源和一组需求，求解最优的资源分配方案，使得满足所有需求的同时最小化资源的使用量。
运筹学例题解析
运筹学例题解析(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x2单位 。
(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。
甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。
（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
解：（1）建立图论——最短路问题模型。
①设点Vi 表示第i年年初，虚设一个点V6，表示第五年年底；②弧(Vi , Vj)表示第i年初购进一台设备一直使用到第j年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(Vi , Vj)上的权数表示第i年初购进一台设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。
数学建模：常见的线性规划问题求解方法
数学建模：常见的线性规划问题求解方法1. 引言在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
它通常用于求解优化问题，在多个约束条件下找到使目标函数最大或最小的变量值。
本文将介绍几种常见的线性规划问题求解方法。
2. 单纯形法单纯形法是一种经典且高效的线性规划问题求解方法。
它通过不断移动基变量和非基变量来搜索可行解集，并在每次移动后更新目标函数值，直到达到最优解。
该方法适用于标准形式和松弛法形式的线性规划问题。
2.1 算法步骤1.初始化：确定基变量和非基变量，并计算初始相应坐标。
2.计算检验数：根据当前基变量计算检验数，选取检验数最小的非基变量作为入基变量。
3.计算转角系数：根据入基变量计算转角系数，并选择合适的出基变量。
4.更新表格：进行行列交换操作，更新表格中的各项值。
5.结束条件：重复2-4步骤，直至满足结束条件。
2.2 优缺点优点： - 单纯形法的时间复杂度较低，适用于小规模线性规划问题。
- 可以处理带等式约束和不等式约束的线性规划问题。
缺点： - 在某些情况下，单纯形法会陷入梯度消失或梯度爆炸的情况，导致无法找到最优解。
- 处理大规模问题时，计算量较大且可能需要较长时间。
3. 内点法内点法是另一种常见的线性规划求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过在可行域内搜索目标函数的最优解。
它使用迭代过程逼近最优解，直到满足停止条件。
3.1 算法步骤1.初始化：选取一个可行解作为初始点，并选择适当的中心路径参数。
2.计算对偶变量：根据当前迭代点计算对偶变量，并更新目标函数值。
3.迭代过程：根据指定的迭代更新方程，在可行域内搜索目标函数的最优解。
4.结束条件：重复2-3步骤，直至满足结束条件。
3.2 优缺点优点： - 内点法相对于单纯形法可以更快地收敛到最优解。
- 在处理大规模问题时，内点法的计算效率更高。
缺点： - 内点法需要选择适当的中心路径参数，不当的选择可能导致迭代过程较慢。
- 对于某些复杂的线性规划问题，内点法可能无法找到最优解。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学建模和优化方法，用于解决具有线性约束条件和线性目标函数的问题。
它可以应用于各种领域，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立方法、解法和应用案例。
二、基本概念1. 线性规划问题的定义线性规划问题是指在一组线性约束条件下，寻找使线性目标函数取得最大（小）值的决策变量的取值。
2. 线性规划问题的数学表达线性规划问题的数学表达可以用如下形式表示：最大化（最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 03. 线性规划问题的基本要素线性规划问题包含以下基本要素：目标函数：决策变量的线性组合，表示待优化的目标。
约束条件：对决策变量的约束，限制了可行解的范围。
决策变量：问题中需要决策的变量。
可行解：满足所有约束条件的决策变量取值。
最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解。
三、模型建立方法1. 确定决策变量根据问题的实际情况，确定需要决策的变量，如生产数量、资源分配比例等。
2. 建立目标函数根据问题的目标，将决策变量线性组合，构建目标函数。
3. 建立约束条件根据问题的约束条件，将决策变量的线性组合与约束条件进行比较，建立约束方程。
4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围，如非负约束条件。
四、解法1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代求解线性规划问题的方法，通过不断移动基变量，找到最优解。
3. 整数规划法整数规划法适用于决策变量需要取整数值的线性规划问题，通过引入整数变量和约束条件，将问题转化为整数规划问题，并应用相应的求解方法。
线性规划问题的建模与求解
线性规划问题的建模与求解线性规划是一种常见的数学优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优化问题。
它在工业、经济、管理等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的建模过程以及求解方法，并通过实例来说明其应用。
一、线性规划问题的定义线性规划问题可以定义为在一定的约束条件下，寻找一组决策变量的最优解，使得目标函数达到最大或最小值。
其中，目标函数和约束条件均为线性的。
在建模过程中，首先需要明确决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量是我们需要确定的决策因素，可以是某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。
目标函数是我们希望最大化或最小化的量，可以是利润、收益、成本等。
约束条件是对决策变量的限制条件，可以是资源约束、技术约束等。
二、线性规划问题的建模过程线性规划问题的建模过程一般包括以下几个步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要确定的决策因素，例如某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。
2. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。
如果是最大化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之和；如果是最小化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之差。
3. 确定约束条件：根据问题中的限制条件，建立约束条件的数学表达式。
约束条件一般包括资源约束、技术约束等。
每个约束条件都可以表示为决策变量的线性组合与某个常数之间的关系。
4. 确定决策变量的取值范围：根据实际问题的限制条件，确定决策变量的取值范围。
例如，某个产品的生产数量不能为负数，某个投资项目的投入金额有上限等。
5. 建立数学模型：将上述步骤中确定的决策变量、目标函数和约束条件组合起来，建立线性规划问题的数学模型。
三、线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法：对于二维或三维空间中的线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中画出目标函数的等高线和约束条件的边界线，最后确定最优解所在的交点。
01线性规划数学建模
01-线性规划(数学建模) 线性规划是一种数学建模技术，用于解决一类特定的优化问题。
这些问题通常涉及到在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。
线性规划的应用广泛，包括诸如生产计划、货物运输、资源分配等问题。
线性规划的基本模型由以下三个要素组成：1.决策变量：这是我们希望优化的变量。
它们通常是连续的实数变量，可以在问题中自由设定其范围。
2.目标函数：这是我们希望最大化或最小化的函数。
目标函数通常是决策变量的线性函数。
3.约束条件：这些是限制决策变量选择的条件。
它们通常是由决策变量的线性不等式或等式表示。
线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数: c^T x在满足以下条件的情况下：Ax = bx >= lbx <= ub其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧常数向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。
线性规划问题的求解方法有很多种，其中最常用的方法是使用单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过在约束条件下不断迭代，寻找最优解。
在每次迭代中，我们根据目标函数的系数和约束条件，计算出每个约束条件的"优势"，然后选择具有最大优势的约束条件进行扩展，直到找到最优解或确定无解。
线性规划问题在现实世界中的应用非常广泛。
例如，我们可以使用线性规划来安排生产计划，使得总成本最低。
我们也可以使用线性规划来分配资源，使得某种资源的需求总和不超过供应总和。
下面是一个具体的例子：假设我们有一个公司，生产三种产品：A、B和C。
每种产品都有各自的生产成本（单位成本），以及各自的预期销售量（单位售价）。
我们希望确定每种产品的生产量，以使得总生产成本最低，同时总销售收入最高。
这个问题可以通过一个线性规划来解决。
我们可以将生产量作为决策变量，将总生产成本和总销售收入分别作为目标函数和约束条件。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优的生产计划。
线性规划建模求解
现在要解决的问题是如何确定各种广告活动的 水平（levels）以取得最有效的广告组合
（advertising mix）。相关数据如下：
资源
广告 预算 计划 预算 电视 时段 单位 贡献
工厂1每周可用时间在[4-2，+∞]之间发生变 化时，影子价格恒为0，对目标函数值无影响；
工厂2每周可用时间在[12-6，12+6]之间发生 变化时，影子价格恒为150，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加150，
工厂3每周可用时间在[18-6，18+6]之间发生 变化时，影子价格恒为100，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加100。
（4）学会看灵敏度分析报告。
数学模型为：
Max z=300D+500W
2W ≤12 s.t.
3D+2W ≤18
其中，D、W分别表示生产的门和窗 的个数。
运算结果报告解释
列出目标单元格和可变单元格以及它们 的初始值、最终结果、约束条件和有关 约束条件的信息。
其中，目标单元格和可变单元格是用其 行和列命名的，约束单元格是用其列命 名的。初值和终值分别指单元格在本次 求解前的数值和求解后的数值。
生产每个单位
所需时间（小时）
门
窗
1Leabharlann 0023
2
300
500
每周可用时 间（小时）
4 12 18
任务：
（1）列出问题数学模型，求取总利润最 大时的两种产品产量，并练习制作命令 按钮；
（2）当门和窗的单位利润分别在什么范 围内变动时，公司的最优生产计划不变？
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(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x 2单位 。
(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。
甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。
（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
解：（1）建立图论——最短路问题模型。
①设点V i 表示第i 年年初，虚设一个点V 6，表示第五年年底；②弧(V i , V j )表示第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(V i , V j )上的权数表示第i 年初购进一台设备，一直使用到第j 年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。
例如：弧(V 1, V 4)上的费用权数30=11+(5+6+8)-3=27(万元)。
模型如图2所示：（2）用Dijkstra 法求解从V 1到V 6的最短路。
给起点V 1标号（0,v 1）；1.I={v 1} ; J={v 2,v 3,v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 2]、[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6]} s 12=l 1+b 12=0+8=8;s 13=l 1+b 13=0+16=16;s 14=l 1+b 14=0+27=27; s 15=l 1+b 15=0+41=41;s 16=l 1+b 16=0+59=59∵min{s 12,s 13,s 14,s 15,s 16}=min{8,16,27,41,59}=8= s 12=l 2 ∴给v 2标号（8,v 1） 2.I={v 1,v 2} J={ v 3,v 4,v 5,v 6}弧集合{[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[ v 2,v 3]、[v 2,v 4]、[v 2,v 5]、[v 2,v 6]} s 23=l 2+b 23=8+8=16;s 24=l 2+b 24=8+16=24;s 25=l 2+b 25=8+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49∵min{s 13,s 14,s 15,s 16,s 23,s 24,s 25,s 26}=min{16,27,41,59,16,24,35,49}=16= s 13或s 23=l 3 ， ∴任选一个s 13，选择给v 3标号（16, v 1）。
3.I={v 1,v 2,v 3} J={v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 4]、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 4]、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、 [v 3,v 4]、[v 3,v 5] 、[v 3,v 6] }s 34=l 3+b 34=16+9=25; s 35=l 3+b 35=16+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49∵min{s 14,s 15,s 16,s 24,s 25,s 26,s 34,s 35,s 36}=min{27,41,59,24,35,49,25,35,49}=24=s 24=l 4 ∴给v 4标号（24,v 2）4.I={v 1,v 2,v 3,v 4} J={v 5,v 6} 弧集合{ [v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、 [v 3,v 5] 、[v 3,v 6]、[v 4,v 5] 、[v 4,v 6 }s 45=l 4+b 45=24+9=33; s 46=l 4+b 46=24+17=41∵min{s 15,s 16,s 25,s 26,s 35,s 36,s 45,s 46}=min{41,59,35,49,35,49,33,41}=33=s 45=l 5 ∴给v 5标号（33,v 4）5.I={v 1,v 2,v 3,v 4,v 5} J={v 6} 弧集合{ [v 1,v 6]、[v 2,v 6]、[v 3,v 6]、[v 4,v 6]、[v 5,v 6] }s 56=l 5+b 56=33+10=43 ∵min{s 16,s 26,s 36,s 46,s 56}=min{59,49,49,41,43}=41=s 46=l 6 ∴给v 6标号（41,v 4）表2171741 28 27 41 v 6 v 5 27v 4 v 2 v 3 1616 98 8 v 1 10 959图26.I={Φ} J={Φ} 计算终止。
由终点v 6标号反向追踪，可得到v 1到v 6的最短路：v 1→v 2→v 4→v 6,长度为l 6=41,即5年内该设备的最小总支出金额为41万元。
B.考题复习知识点：1.最短路问题求解的基本思想？请查阅课本或其他参考书籍，自行简答总结。
2.掌握用上述“Dijkstra 标号法”求解的步骤和处理方法，考试时书写格式请参照本样题。
3.掌握最短路确定的反向追踪方法和最短距离。
考试题比此题计算量小。
4.掌握图论问题建模的程序，会说明图论模型各组分（弧或边、节点、权数）的实际涵义。
（三）动态规划——“复合系统工作可靠性问题”建模和求解）A ．正考样题及其解答：某厂设计一种电子设备，由三种元件D 1、D 2、D 3组成。
已知这三种元件的单位价格、单位重量和可靠性如表4，要求在设计中所使用元件的费用不超过105元，重量不超过21克。
问应如何设计使设备的可靠性达到最大。
解：（1）建立动态规划模型①按元件的种类数划分阶段，k ＝1,2,3。
每阶段阶段第k 种元件并联几个。
②状态变量x k 表示第k 阶段初尚未使用的费用；状态变量y k 表示第k 阶段初剩余的可增加重量。
显然x 1=105,y 1=21,x k >0,y k >0 。
③决策变量u k 表示第k 阶段元件D k 并联的个数。
允许决策集合：c k 表示第k 种元件的单位费用；w k 表示第k 种元件的单位重量； ④状态转移方程：x k+1＝ x k -c k ·u k ； y k+1＝y k -w k ·u k 。
⑤阶段指标函数d k (u k )表示元件D k 正常工作的概率 ；最优指标函数f k (x k ,y k )表示从元件D k 到元件D 3 正常运行的最大概率。
⑥逆序解法的基本方程如下： （2）用逆序解法求解 ①第3阶段，k=3②第2阶段，k=2 ③第1阶段，k=1④由于x 1=105,y 1=21,故问题为求出f 1(105,21)即可。
而3333333]]⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑kkkkj=k+1j=k+1kkkkkkkx -c y -w 1≤u ≤min([ ],[,k =1,2c w D (x , y )=u x y1≤u ≤min([ ],[c w k u k k k d (u )=1-(1-p )[]111(,)444f (,)max ()(,) k=3,2,1(,)1+++∈⎧=⋅⎪⎨=⎪⎩k k k k k k k k k k k k u D x y x y d u f x y f x y []33333f (,)=max ()⎛⎫ ⎪⎝⎭=x y d u 3333u xy 1≤u ≤=min [ ],[]2051-(1-0.5)22223222222205f (,)max [](,)--⎡⎤=⋅--⎣⎦x y f x c u y w u 222u x y 1≤u ≤min([ ],[])1541-(1-0.8)11121111201554f (,)max [](30,3)----⎡⎤=⋅--⎣⎦x y f x u y u 1111u x y 1≤u ≤min([ ],[])3031-(1-0.9)∴状态转移图如下：结论：求得u*1=1, u*2=2,u*3=2为最优方案，即D1、D2、D3三种元件分别并联1个、2 个和2个。
总费用为100元，总重量为21克，可靠性为0.648。
B.正考复习知识点：1.会按照样题解答那样分六步建立动态规划模型。
文字说明方面：准确说明各种变量的实际涵义；数学表达方面：能正确、规范地写出逆序解法的基本方程，阶段变量必须逆着写取值，明确边界条件；在建模时对取值明确的状态变量应该说明其具体值；会以规范的集合语言写出允许决策集合的具体形式；具体写出状态转移方程函数形式；写出阶段指标函数的数学表达式。
考试题目比此题的计算量要小，而且未必会考两个状态的情形。
2.比照样题中的解答步骤来书写答题过程，会绘制“状态转移图”并以此得出结论，会得出全过程最优指标函数值并给出依据。
3.清华大学教材编写组编写《运筹学》第三版237-238页例8计算过程可以参考（但f k(s k)中x k的范围有错，请按照课件第四章50-53张例4.6.1来改正，答题格式也须参照后者。
（四）线性目标规划或运输问题的建模和求解A.正考样题——非标准运输问题的建模与“表上作业法求解”有三个发电站产地B1，B2，B3需要从两个煤矿A1，A2购买煤炭，各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价（千元）如表5所示。