流体力学第四章

R y = ρVr22 A2 sin 60o
R y = ρ (V − U ) A1 sin θ
2
1
= 1.04 × 103 (N )
流体力学
动量矩定理1
V1 , p1 , A1
P = p1A1
动量方程 - y方向
Fy = R y
流体力学
Rx
y
Ry
V2 , pa , A2
x
动量方程11－例题2
动量方程 - y方向
& Fy = R y = ∑ miV yi
(
)
out
& − ∑ miV yi
V1 , p1 , A1
(
)
in
R y = − ρV A2
2 2
水以均匀速度U流入一二维通道，由于通道弯曲 水以均匀速度U流入一二维通道，由于通道弯曲 了90º，在出口端速度分布变为 c(3.5-x/h)。设通 了90º，在出口端速度分布变为 c(3.5-x/h)。设通 道宽度为常数，求 c。定常流动 道宽度为常数，求 c。定常流动
解：定常流动
∫
CS
r r ρV ⋅ ndS = 0
ρw
A2,V2 2
流体力学
动量方程1
动量方程－惯性系
系统的动量定理
系统体积为τ，动量为k，动量定理
r r Dk ∑ F = Dt
初始时刻系统与控制体重合
r ∂ r rr r ∑ F = ∂t ∫CV ρVdτ + ∫CS ρVV ⋅ ndS
流体力学
动量方程2
r ∂ r rr r ∑ F = ∂t ∫CV ρVdτ + ∫CS ρVV ⋅ ndS
A H
ρa
第二项：净流出率
1 A1,V1 h
ρw
∫
流体力学
CS
r r ρV ⋅ ndS
A2,V2 2
= ρ w A2V2 − ρ w A1V1
连续方程－例题2
dh ρ w A + ρ w A2V2 − ρ w A1V1 = 0 dt
ρa
dh A1V1 − A2V2 = dt A
A H
1 A1,V1 h
流体力学
(
)
out
−∑
(
r & miVi
)
in
动量方程13－解题注意事项
正负号的确定 力与速度在各坐标轴上投影的方向同坐标 方向一致时，取正号，反之取负号 大气压强的作用 大气压强作用于闭合控制体四周，所产生 的静压力相互抵消，可采用表压计算压力
流体力学
动量方程14－解题注意事项
管道问题和自由射流问题 管道问题需考虑表压力不为零的情况 运动控制体 CV 做匀速运动，所有运动量均为相对于 CV的，若CV做加速运动或旋转，则需添 加惯性力
V 1 A1 y 2 2 x U Rx Ry
60o
(3) 受力分析 维持叶片做匀速直 线运动的力 Rx，Ry
流体力学
1
动量方程17－运动控制体
(4) 连续方程
Qr 1 = Qr 2
V 1 A1 y 2 2 x U Rx Ry
60o
(5) 动量方程 – x方向
Fx = Rx
=∑
1
(
r & mriVri
CS
控制体上所受的和外力只与流体动量的净 流出率有关
流体力学
动量方程4
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ miVi
(
)
out
−∑
(
r & miVi
)
in
力与速度的正负号 与选定坐标方向一致 者取正，反之取负
流体力学
动量方程5－例题1
P = p1A1
= −0.639 × 103 (N )
Rx
y
Ry
V2 , pa , A2
x
流体力学
动量方程12－解题注意事项
控制体的选择 包含所有进出口，使要求解的力为控制 体所受的外力 定常流动、控制面有限个区域有流体流入 流出，且各进出口参数均布
& ∑m
in
& = ∑ mout
r r & ∑ F = ∑ miVi
∂ ∫CV φdτ ∂t
r r ∂ = ∫ φdτ + ∫ φV ⋅ ndS CS ∂t CV
系统的变量 N 对时间的变化率 控制体变量 N 对时间的变化 率，反应流场的非定常性 变量 N 流出控制体的净流 率，反应流场的不均匀性
∫
CS
r r φV ⋅ ndS
流体力学
雷诺输运方程3
定常流动
DN sys Dt =∫
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
Rx = ρA2Vr22 cos 60o − ρA1Vr2 1
流体力学
动量方程18－运动控制体
Rx = ρ (V − U ) A1 (cosθ − 1) = −599(N )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
动量方程 – y方向
y 2 2 V 1 A1 x U Rx Ry
60o
Fy = R y
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
第四章 流体动力学基础
流体动力学
积分形式控制方程，微分形式控制方程
基础知识
守恒定律、牛顿第二定律、角变形、 线变形、物质导数、描述流体运动的 两种方法
流体力学
概述
系统、控制体、雷诺输运定理 积分形式的控制方程
连续方程、动量、动量矩、能量方程
微分形式的控制方程
连续方程、动量方程－N-S方程
流体力学
4.1 系统、控制体、输运定理
解：(1) 坐标系 (2) 控制体 (3) 受力分析 弯头支撑力Rx，Ry 表压力 P
流体力学
V1 , p1 , A1
P = p 1 A1
Rx
y
Ry
V2 , pa , A2
x
动量方程9－例题2
(4) 连续方程
V1 , p1 , A1
∑Q
in
= ∑ Qout
V1 A1 = V2 A2
P = p 1 A1
y
x
θ
& & = ∑ (miVxi )out − ∑ (miV xi )in
流体力学
动量方程7－例题1
V1Q1 − V0 cos θ Q0 − V2Q2 = 0
Q0 ⎧ ⎪Q1 = 2 (1 + cosθ ) ⎨ Q ⎪Q2 = 0 (1 − cosθ ) 2 ⎩
A1 , Q1 ,V1
1-1 0-0
自由射流：已知Q00 ,, V00 ,, ρ＝const，重力和摩擦 自由射流：已知Q V ρ＝const，重力和摩擦 力可以忽略，V11 = V22 = V00，求： Q11 ,, Q22 以及液 力可以忽略，V = V = V ，求： Q Q 以及液 体对平板的作用力。 体对平板的作用力。
解：(1) 坐标系 (2) 控制体 (3) 受力分析 平板对控制体 的力 F，y 方向
4.2 对控制体的积分方程
连续方程
系统的质量守恒
系统体积为τ，质量为M，质量守恒
DM =0 Dt
初始时刻系统与控制体重合
r r DM ∂ = ∫ ρdτ + ∫ ρV ⋅ ndS = 0 CS Dt ∂t CV
流体力学
连续方程2
r r ∂ ∫CV ρdτ + ∫CS ρV ⋅ ndS = 0 ∂t
r ∑F
作用在控制体上的外力之和 控制体中流体的动量 对时间的变化率 流出CV的流体动量净流率
r ∂ ∫CV ρVdτ ∂t
∫
流体力学
CS
rr r ρVV ⋅ ndS
动量方程3
定常流动
r rr r ∑ F = ∫ ρVV ⋅ ndS
CS
r r ∑ Fx = ∫CS ρ uV ⋅ ndS r r ∑ Fy = ∫CS ρ vV ⋅ ndS r r ∑ Fz = ∫ ρ wV ⋅ ndS
d2 d1 1 Fy α y x
A1, Q1, v1
v2
Fx β d3 v3
1
y
A0, Q0 v0
x
1-1
y V 1
2 2 x U
60o
0-0
2-2
A2, Q2, v2
θ
A1
1
流体力学
系统的物质导数
物理定律通常应用于系统 系统的物质导数
DN D = ∫sys φdτ Dt Dt
dτ
N
系统体积内包含的总物理量 单位体积流体的物理量分布函数
Uh
= ∫ c (3.5 − x / h)dx
h 0
c=U 3
流体力学
连续方程－例题2
如图所示一水箱，水均匀垂直流入流出，求水的 如图所示一水箱，水均匀垂直流入流出，求水的 深度随时间的变化率dh/dt。 深度随时间的变化率dh/dt。
解：第一项
∂ dh ∫CV ρdτ = ρ w A dt ∂t
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
∫
CV
φ dτ + ∫
CS
系统某物理量随时间的变化率和控制体 上物理量变化之间的关系
流体力学
Rx
y
V2 , pa , A2
A2 V1 = V2 = 4(m/s ) A1
流体力学
Ry
x
动量方程10－例题2
(5) 动量方程 - x方向
& & Fx = Rx + P = ∑ (miVxi )out − ∑ (miV xi )in
R x = − p1m A1 − ρV12 A1 = −1.36 × 103 (N )
CS
r r φV ⋅ ndS
系统变量N的变化只取决于控制面上的流 动，与控制体内的流动无关 运动控制体
DN sys Dt
流体力学
r r ∂ = ∫ φdτ + ∫ φVr ⋅ ndS CS ∂t CV
积分方法的优点
积分方法无需了解内部细节，甚至允许物 理量在内部发生间断，只利用 CV 和 CS， 花很少时间就能获得有价值的结果 方法简单，计算量小 适于研究大范围内的流体运动，特别是求 解对有限区域固体边界的总体作用
∂ ∫CV ρdτ ∂t
CV中流体质量对时间的变化率 流出CV的流体质量的净流率
∫
CS
r r ρV ⋅ ndS
单位时间CV内流体质量的增加与净流出CV 的流体质量流量之和为零
流体力学
连续方程3
定常流动 均质不可压缩
∫
CS
r r ρV ⋅ ndS = 0 r r ∫ V ⋅ ndS = 0
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
& ∑m
流体力学
in
& = ∑ mout
∑Q
in
= ∑ Qout
连续方程4
运动控制体
r r ∂ ∫CV ρdτ + ∫CS ρVr ⋅ ndS = 0 ∂t
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
∑ ( ρV A )
r
in
= ∑ (ρVr A)out
流体力学
连续方程－例题1
系统
某一确定流体质点集合的总体
与外界无质量交换 随流体质点的运动而运动 边界形状、包围空间大小 随流体质点的运动而变化 拉格朗日方法下的概念
流体力学
控制体1
控制体
流场中某一确定的空间区域
与外界有质量交换 空间位置相对于某参照系不变 边界形状、包围空间大小一般是确定的 欧拉方法下的概念
流体力学
控制体2
流体力学
0-0
A0 , Q0 ,V0
A1 , Q1 ,V1
1-1
r F
2-2
A2 , Q2 ,V2
y
x
θ
动量方程6－例题1
(4) 连续方程
A1 , Q1 ,V1
∑Q
in
= ∑ Qout
1-1 0-0
A0 , Q0 ,V0
Q0 = Q1 + Q2
r F
(5) 动量方程 - x方向
Fx = 0
2-2
A2 , Q2 ,V2
A0 , Q0 ,V0
r F
动量方程 - y方向
Fy = F
2-2
A2 , Q2 ,V2
y
x
θ
& = ∑ miV yi
流体力学
(
)
out
& − ∑ miV yi
(
)
in
F = ρV0 Q0 sin θ
动量方程8－例题2
管道流动：已知A11 = 0.01m22 ,, A22 = 0.0025m22 ,, V22 = 管道流动：已知A = 0.01m A = 0.0025m V = 16m/s ， ρ ＝ 999kg/m33， p11 = 221kPa ， paa = 16m/s ， ρ ＝ 999kg/m ， p = 221kPa ， p = 101kPa，忽略重力和摩擦力。求弯头所受支撑力 101kPa，忽略重力和摩擦力。求弯头所受支撑力