三角函数与三角恒等变换练习题
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【详解】
由题知 对称中心的横坐标满足 ，
将 代入得 ，
因为 ，所以最小值为 ．
故选：A
7．函数 的值域为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
f（x）=sinx-cos(x+ ) ， ， 值域为[- , ].
8．已知： ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.
令 ，
得 ，
令 ，
故函数 在 上单调递减.故C项错误；
令 ，得 ，
令 ，
故直线 是 的一条对称轴.故D项正确.
故选C.
13.sin7°cos37°－sin83°cos53°的值是__________.
14.已知 中， ，则 的大小为________．
．已知 ， ， ， 均为锐角，则 ___________.
【详解】
， ，
可得 ， .
因此， .
故选：A.
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将角 表示为 ，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】
，故选C.
5．已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案.
【详解】
①中 是 的两个零点，即 是 的整数倍，①错误；
②中 ，②正确；故④错误；
③中 ，③正确；
所以正确命题序号是②③.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
三角函数与三角恒等变换练习题
1．若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.
分子分母同时除以 ，即得： .
故选D.
2．已知函数 ，若对于任意的 ，都有 成立，则 的最小值为（）
A．2B．1C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知 是函数的最小值, 是函数的最大值,则 的最小值就是函数的半周期.
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】
由于 都是锐角，所以 ，
所以 ， ，
所以
故答案为：
15． 的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用诱导公式、辅助角公式以及二倍角公式化简即可求解.
【详解】
.
故答案为：4
16．关于函数 有下列命题：①由 可得 必是 的整数倍；② 的图象关于点 对称；③ 的表达式可改写为 ④ 的图象关于直线 对称.其中正确命题的序号是_________.
A． B． 或 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 可得到 ，从而确定 ，由同角三角函数可求解出 和 ，利用两角和差正弦公式可求得结果.
【详解】
且 为锐角
又 ，又
故选：
12．函数 的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）
A． 的最小正周期是 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递增D．直线 是曲线 的一条对称轴
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为 ，最小值为0
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用三角函数基本公式将函数式整理化简为 ，函数的周期为 ；（Ⅱ）由定义域 得到 的取值范围，借助于三角函数单调性可求得函数的最大值和最小值
试题解析：（Ⅰ）
的最小正周期
（Ⅱ）
19．已知函数 .
（1）求函数 的单调减区间和对称轴；
【分析】
根据三角函数定义得到 ，故 ，再利用和差公式得到答案.
【详解】
∵角 的终边过点 ，∴ ， .
∴ .
故选： .
【点睛】
本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.
6．函数 的一个对称中心为 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ,将 代入，结合 ， 即可求 的最小值.
【答案】C
【解析】
【分Fra Baidu bibliotek】
根据图像，可得 ，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果.
【详解】
由图可知， ，
该三角函数的最小正周期 ，
故A项正确；
所以 ，则 .
因为 ，所以该函数的
一条对称轴为 ，
将 代入 ，
则 ，
解得 ，
故 .
令 ，
得 ，
令 ，则
故函数 在 上单调递增.故B项正确；
由 得 ，
即函数 的对称中心为 ，故B错；
由 得 ，
即 的对称轴为 ，故C错；
由 得 ，
即函数 的单调递增区间为 ，D选项显然正确；
故选：D.
10．若 ，且 ，则 等于（）
A．3B．2C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二倍角正余弦公式化简条件，解得结果.
【详解】
故选：B
11．已知 为锐角， ，则 的值为（）
（2）若不等式 在 上有解，求 的取值范围.
【答案】（1） ； ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换以及二倍角化简，然后根据正弦函数的性质进行计算．
（2）由（1）可得 ，再根据正弦函数的性质求出 在区间上的值域，即可得解.
【详解】
解：（1）由题意
．
由 ， ．
整理，可得 ， ．
函数 的单调减区间为： ， ， ．
又 ，解得 ，
函数 的对称轴方程为： ， ．
（2） ．
，
，
．
要使不等式有解，必须 ．
的取值范围为 ， ．
17．已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
试题分析：
(1)利用诱导公式化简 = = ；(2)由诱导公式可得 ，再利用同角三角函数关系求出 即可．
试题解析：
（1）
．
（2）∵ ,
∴ ，
又 为第三象限角，
∴ ，
∴ ．
18．已知函数
（Ⅰ）求 最小正周期；
【详解】
对任意的 , 成立,
所以 , ,
所以 ,
又 的周期 ,
所以 ,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大
3．已知 ，则 （）
A． B．1C． D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两角和的正弦和余弦公式求出 的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出 的值.
【详解】
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选A.
9．已知函数 ，则下列结论中正确的是（）．
A． 的一个周期为 B． 的图像关于点 对称
C． 的图像关于直线 对称D． 在区间 上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以最小正周期为 ，故A错；
由题知 对称中心的横坐标满足 ，
将 代入得 ，
因为 ，所以最小值为 ．
故选：A
7．函数 的值域为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
f（x）=sinx-cos(x+ ) ， ， 值域为[- , ].
8．已知： ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.
令 ，
得 ，
令 ，
故函数 在 上单调递减.故C项错误；
令 ，得 ，
令 ，
故直线 是 的一条对称轴.故D项正确.
故选C.
13.sin7°cos37°－sin83°cos53°的值是__________.
14.已知 中， ，则 的大小为________．
．已知 ， ， ， 均为锐角，则 ___________.
【详解】
， ，
可得 ， .
因此， .
故选：A.
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将角 表示为 ，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】
，故选C.
5．已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案.
【详解】
①中 是 的两个零点，即 是 的整数倍，①错误；
②中 ，②正确；故④错误；
③中 ，③正确；
所以正确命题序号是②③.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
三角函数与三角恒等变换练习题
1．若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.
分子分母同时除以 ，即得： .
故选D.
2．已知函数 ，若对于任意的 ，都有 成立，则 的最小值为（）
A．2B．1C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知 是函数的最小值, 是函数的最大值,则 的最小值就是函数的半周期.
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】
由于 都是锐角，所以 ，
所以 ， ，
所以
故答案为：
15． 的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用诱导公式、辅助角公式以及二倍角公式化简即可求解.
【详解】
.
故答案为：4
16．关于函数 有下列命题：①由 可得 必是 的整数倍；② 的图象关于点 对称；③ 的表达式可改写为 ④ 的图象关于直线 对称.其中正确命题的序号是_________.
A． B． 或 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 可得到 ，从而确定 ，由同角三角函数可求解出 和 ，利用两角和差正弦公式可求得结果.
【详解】
且 为锐角
又 ，又
故选：
12．函数 的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）
A． 的最小正周期是 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递增D．直线 是曲线 的一条对称轴
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为 ，最小值为0
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用三角函数基本公式将函数式整理化简为 ，函数的周期为 ；（Ⅱ）由定义域 得到 的取值范围，借助于三角函数单调性可求得函数的最大值和最小值
试题解析：（Ⅰ）
的最小正周期
（Ⅱ）
19．已知函数 .
（1）求函数 的单调减区间和对称轴；
【分析】
根据三角函数定义得到 ，故 ，再利用和差公式得到答案.
【详解】
∵角 的终边过点 ，∴ ， .
∴ .
故选： .
【点睛】
本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.
6．函数 的一个对称中心为 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ,将 代入，结合 ， 即可求 的最小值.
【答案】C
【解析】
【分Fra Baidu bibliotek】
根据图像，可得 ，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果.
【详解】
由图可知， ，
该三角函数的最小正周期 ，
故A项正确；
所以 ，则 .
因为 ，所以该函数的
一条对称轴为 ，
将 代入 ，
则 ，
解得 ，
故 .
令 ，
得 ，
令 ，则
故函数 在 上单调递增.故B项正确；
由 得 ，
即函数 的对称中心为 ，故B错；
由 得 ，
即 的对称轴为 ，故C错；
由 得 ，
即函数 的单调递增区间为 ，D选项显然正确；
故选：D.
10．若 ，且 ，则 等于（）
A．3B．2C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二倍角正余弦公式化简条件，解得结果.
【详解】
故选：B
11．已知 为锐角， ，则 的值为（）
（2）若不等式 在 上有解，求 的取值范围.
【答案】（1） ； ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换以及二倍角化简，然后根据正弦函数的性质进行计算．
（2）由（1）可得 ，再根据正弦函数的性质求出 在区间上的值域，即可得解.
【详解】
解：（1）由题意
．
由 ， ．
整理，可得 ， ．
函数 的单调减区间为： ， ， ．
又 ，解得 ，
函数 的对称轴方程为： ， ．
（2） ．
，
，
．
要使不等式有解，必须 ．
的取值范围为 ， ．
17．已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
试题分析：
(1)利用诱导公式化简 = = ；(2)由诱导公式可得 ，再利用同角三角函数关系求出 即可．
试题解析：
（1）
．
（2）∵ ,
∴ ，
又 为第三象限角，
∴ ，
∴ ．
18．已知函数
（Ⅰ）求 最小正周期；
【详解】
对任意的 , 成立,
所以 , ,
所以 ,
又 的周期 ,
所以 ,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大
3．已知 ，则 （）
A． B．1C． D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两角和的正弦和余弦公式求出 的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出 的值.
【详解】
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选A.
9．已知函数 ，则下列结论中正确的是（）．
A． 的一个周期为 B． 的图像关于点 对称
C． 的图像关于直线 对称D． 在区间 上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以最小正周期为 ，故A错；