数学：3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》PPT课件(新人教A版-选修2-1)
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高中数学3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
1 2 1 D. (a+b-c) 2
答案:C
【做一做 1-2】 在空间四边形 ABCD 中, ������������ =a-2c, ������������ = 5a+6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别是 E,F,则������������ = .
解析:如图所示,取 AD 的中点 P,连接 EF,EP,FP,结合图形用������������ 和������������表示������������ . ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = (5a+6b-8c) + (a-2c)=3a+3b-5c.
(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
【做一做2-1】 下列说法正确的是( ) A.a(a≠0)与λa方向相同 ������ B.若 a=λb(b≠0),则 λ= ������ C.直线l的方向向量一定在直线l上 D.平行于同一平面的向量,叫做共面向量 解析:选项A中若λ<0,则λa与a反向; 选项B中,两向量不能作除法; 选项C中,方向向量与直线可能平行,不在同一直线上. 答案:D
【做一做2-2】 下列说法正确的是( ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 答案:D
1.向量共线的充要条件及其应用 剖析:(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们 说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条 直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b, 则b∥a. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明 a(或b)上有一点不在b(或a)上. (4)用上述结论证明(或判断)三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实 数 λ,使������������ = ������������������ (或������������ = ������������������ )即可;也可用“对空间任意一点 O,有 ������������ = ������������������ + (1 − ������)������������”来证明三点共线.
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.2空间向量的数乘运算课件(55张)
(1 ) A B B C ( 2 ) A B A D A A1 1 (3 ) A B A D C C 1 2 1 ( 4 ) ( A B A D A A1 ) 3
A A1
D1 B1ຫໍສະໝຸດ C1D BC
例题:
•
P课本 97
习题 3.1
A组
第1题
如图, 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列各表达式， D1 并在图中标出化简结果的向量： C
bba b ) c a (b c ) b ) k a＋ k b
加法结合律： ( a
数乘分配律： k ( a
4、平面向量的加法的推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量；
A A A A A A A A A A 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka ( k > 0 ) ka ( k < 0 )
CA OA OC
空间向量的加减法 空间向量的数乘
新课：一 、空间向量的数乘运算及运算律
1、定义： 实数 λ 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 λ a，并规定： ① λ a 的长度 | λ a | = | λ | · | a |； ② 当 λ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；
线段的起点和终点字母表示.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.
B A C D
一 、平面向量：2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.2空间向量的数乘运算 (共76张PPT)
婚姻的最大杀手不是外遇或出轨，而是一地鸡毛的生活琐事。所以，平时的沟通很重要，而吵架也是另类的沟通，正所谓吵吵闹闹一辈子， 不吵不闹难白首！ 命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎们。 走得最慢的人，只要他不丧失目标，也比漫无目的地徘徊的人走得快。 别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。 立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！
如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世界上20%的人是吃小亏而占大便宜，而80%的人是占小一便宜吃大亏，大多数成功人士都源于那20%。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 用最少的浪费面对现在。 快乐要懂得分享，才能加倍的快乐。 太阳虽有黑点，却在奋力燃烧中树立了光辉的形象。 如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。 为中华之崛起而读书。 读过一本好书，像交了一个益友。 没有热忱，世间便无进步。 生活远没有咖啡那么苦涩，关键是喝它的人怎么品味！每个人都喜欢和向往随心所欲的生活，殊不知随心所欲根本不是生活。 快乐要懂得分享，才能加倍的快乐。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张ppt)
A.O→M＝3O→A－2O→B－O→C
B．O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝ 0 C． M→A＋M→B＋M→C＝0
D．O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
3.下列说法正确的是（ D ）
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其 运算律是否也与平面向量完全相同呢?
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
整过程
方向
资料
筛选Βιβλιοθήκη 认知高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
B．O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝ 0 C． M→A＋M→B＋M→C＝0
D．O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
3.下列说法正确的是（ D ）
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其 运算律是否也与平面向量完全相同呢?
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
整过程
方向
资料
筛选Βιβλιοθήκη 认知高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
人教版高中数学选修3.1.2空间向量的数乘运算 (2)ppt课件
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 . 12
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. A 注意：空间任意两个向量是 O 共面的，但空间任意三个向 量就不一定共面的了。 a
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与 向量 a 、 b 共面的 充要条件是存 在唯一的 有 序实数对 ( x, y ) 使 p xa yb .
1 (4) AB AD+ CC1＝AM . 2
6
复习回顾 平面向量共线定理
7
复习回顾 平面向量共线定理
平面任意两个向量 ，使 a b a // b 的 充要条件是存在实数 规定 : o 与任一向量 a 是共线向量
平面向量共线定理：
a
b （ b ≠ 0 ），
即“平面向量的基本定理”就是 空间向量的共面定理
p
b
A
a
B
13
例3 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
O
点评：根据共面向量定理，只要满足下列条件四 点共面。
EG x EH y EF
3.1.2
空间向量的数乘运算
回顾： 上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 . 12
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. A 注意：空间任意两个向量是 O 共面的，但空间任意三个向 量就不一定共面的了。 a
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与 向量 a 、 b 共面的 充要条件是存 在唯一的 有 序实数对 ( x, y ) 使 p xa yb .
1 (4) AB AD+ CC1＝AM . 2
6
复习回顾 平面向量共线定理
7
复习回顾 平面向量共线定理
平面任意两个向量 ，使 a b a // b 的 充要条件是存在实数 规定 : o 与任一向量 a 是共线向量
平面向量共线定理：
a
b （ b ≠ 0 ），
即“平面向量的基本定理”就是 空间向量的共面定理
p
b
A
a
B
13
例3 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
O
点评：根据共面向量定理，只要满足下列条件四 点共面。
EG x EH y EF
3.1.2
空间向量的数乘运算
回顾： 上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运
人教A版高中数学选修2-1课件11.12高二理科《3.1.2空间向量的数乘运算》
空推间论一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x，y，使
MP＝xMA＋yMB
或对空间任一定点O，有 OP＝OM＋xMA＋yMB．
例题讲解
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高中数学课件
复习引入
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新课讲授
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推论 如果l为经过已知点A且平行于已知 非零向量→a的直线，那么对任一点O，点
P在直线l上的充要条件是存在实数t，满
足等式 OP＝OA＋t→a． ① P
例题讲解
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新课讲授
新课讲授
如果两个向量a、b→不共→线，则向量p与向→
量a、b→共面→的充要条件是存在实数对x、y
，使
→p＝x→a＋y→b．
空推间论一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x，y，使
MP＝xMA＋yMB
或对空间任一Байду номын сангаас点O，有 OP＝OM＋xMA＋yMB．
向量→a叫做直线l的方向向量．
a
A
l O
新课讲授
推论 如果l为经过已知点A且平行于已知 非零向量→a的直线，那么对任一点O，点
P在直线l上的充要条件是存在实数t，满
足等式 OP＝OA＋t→a． ① P 向量→a叫做直线l的方向向量． B a
在l上取AB＝a， 则①可化成
A
OP＝OA＋tAB，
l
OP＝(1－t)OA＋tOB． O
新课讲授
OP＝OA＋ta．
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．] (2)根据相等向量的定义知，与向量 A→A′ 相等的向量有 B→B′ ， C→C′，D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
∴������������ − ������������=y(������������ − ������������)+z(������������ − ������������),
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������
−
������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
目标导航
预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������
−
������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
目标导航
预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向
人教A版高中数学选修2-1课件《3.1.2空间向量数乘》.pptx
两个空间向量
a//
b (b
0)
存在实数
,
使得a
b
如图：L为经过已知点A且平行非零向量的a
直线，对空间任意一点O:
点P在直线L上 ⇔ 存在实数 t,使 得AP ta
非零向量a叫 做即直有O线PL的O方A向 向AP量.OA ta①
在L取AB a,得OP OA tAB
②
O •
①、②都称为空间直线的向L 量表示式。
OP xOA yOB zOC(x y z 1)
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
叫做共面向量.
定理
a//
b(a
0)
a
b
a共面b
p
p x yb
推论 OP OA t AB OP xOA yOB(x y 1)
OP OA xAB y AC
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
a 2.共面向量定理：如果两个向量，不共b线，
a 则向量与p向量，共面的充要b 条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
D
C
下 面 我 们 利 用A D，A B，A C 共面来证明。
B
H
G
E
F
▪ 证明: 因为
OE OA
OF OB
OG OC
OH OD
k，
所以 OE kOA，OF kOB，
人教版高中数学选修2-1 3.1.2空间向量的数乘运算教学课件 (共29张PPT)
什么是共面向量？
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）空涉 间中及任空意间两任个意向两量总个是向共量面问的题．，那平 三个 向量呢面？向如何量判中断有三关个结向论量仍是否适共用面它呢们？。
探究： 空间任意不共线的两个向量a,b,
如果p xa yb， 那么向量p与向量a，b有什么位置关系？ 反过来，向量p与a，b有什么位置关系时， 有p xa yb？
方向关系
模的关系
λ>0
方向_相__同___
λ＝0
λa＝_0__，其方向是任意的
λa的模是a的模的 _|λ_|_倍
λ<0
方向_相__反___
自学
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
❖ 即：
(((a例1】 已知在空间四边形 OABC 中，M， N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在
【例2】
题型二 向量共线问题 设两非零向量 e1、e2 不共线，A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋
8e2，C→D＝3(e1－e2)．试问：A、B、D 是否共线，请说明理由．
解 ∵B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)， ∴B→D＝5A→B，又∵B 为两向量的公共点，
问题1
不一定
c
a
b
问题2
共面
a
p
b
O1
a
O2
p b
问题3
共面
a
O2
p b
问题4
存在
必修四学过的 平面向量基本定理
空间向量共面定理
如果两个向量 a,b 不共线，那么p 与a,b 共面的充要条
件是存在惟一的有序实数对（x，y），使p xa yb
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）空涉 间中及任空意间两任个意向两量总个是向共量面问的题．，那平 三个 向量呢面？向如何量判中断有三关个结向论量仍是否适共用面它呢们？。
探究： 空间任意不共线的两个向量a,b,
如果p xa yb， 那么向量p与向量a，b有什么位置关系？ 反过来，向量p与a，b有什么位置关系时， 有p xa yb？
方向关系
模的关系
λ>0
方向_相__同___
λ＝0
λa＝_0__，其方向是任意的
λa的模是a的模的 _|λ_|_倍
λ<0
方向_相__反___
自学
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
❖ 即：
(((a例1】 已知在空间四边形 OABC 中，M， N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在
【例2】
题型二 向量共线问题 设两非零向量 e1、e2 不共线，A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋
8e2，C→D＝3(e1－e2)．试问：A、B、D 是否共线，请说明理由．
解 ∵B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)， ∴B→D＝5A→B，又∵B 为两向量的公共点，
问题1
不一定
c
a
b
问题2
共面
a
p
b
O1
a
O2
p b
问题3
共面
a
O2
p b
问题4
存在
必修四学过的 平面向量基本定理
空间向量共面定理
如果两个向量 a,b 不共线，那么p 与a,b 共面的充要条
件是存在惟一的有序实数对（x，y），使p xa yb
【高中课件】高中数学人教a版选修21312空间向量的数乘运算课件ppt.ppt
答案：2
5．如图 4，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 已知 BE＝13BB1，DF＝13DD1，CG＝23CC1，问 A、E、 G、F 四点是否共面．
图4
解：∵A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→B1，
→ AF
＝A→D＋D→F＝A→D＋13D→D1，A→C
＝A→B＋A→D，
C→G＝23C→C1＝13B→B1＋13D→D1＝B→E＋D→F.
图1
若在 l 上取A→B＝a，则①式可化为O→P＝O→A＋tA→B ＝tO→B＋(1－t)O→A.
思考感悟 1．当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向 线段所在直线一定是同一条直线吗？ 提示：不一定，也可能是两条平行直线． 2．a＝λb 是向量 a 与 b 共线的充要条件吗？ 提示：不是．由 a＝λb 可得出 a，b 共线，而由 a， b 共线不一定能得出 a＝λb，如当 b＝0，a≠0 时．
答案：A
3．在空间四边形 ABCD 中，A→B＝a－2c，C→D＝ 5a＋6b－8c，对角线 AC、BD 的中点分别是 E、F， 则E→F＝________.
图3
解析：如图 3 所示，取 AD 的中点 P，连接 EF、 EP、FP，结合图形用A→B和C→D表示E→F.E→F＝E→P＋P→F ＝12C→D＋12A→B＝12(5a＋6b－8c)＋12(a－2c)＝3a＋3b －5c.
1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个 向量，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
λ的范围 λ>0 λ＝0 λ<0
方向关系
大小关系
方向相同
λa＝0 其方向是任意的
λa的长度是a的 长度的|λ|倍
5．如图 4，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 已知 BE＝13BB1，DF＝13DD1，CG＝23CC1，问 A、E、 G、F 四点是否共面．
图4
解：∵A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→B1，
→ AF
＝A→D＋D→F＝A→D＋13D→D1，A→C
＝A→B＋A→D，
C→G＝23C→C1＝13B→B1＋13D→D1＝B→E＋D→F.
图1
若在 l 上取A→B＝a，则①式可化为O→P＝O→A＋tA→B ＝tO→B＋(1－t)O→A.
思考感悟 1．当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向 线段所在直线一定是同一条直线吗？ 提示：不一定，也可能是两条平行直线． 2．a＝λb 是向量 a 与 b 共线的充要条件吗？ 提示：不是．由 a＝λb 可得出 a，b 共线，而由 a， b 共线不一定能得出 a＝λb，如当 b＝0，a≠0 时．
答案：A
3．在空间四边形 ABCD 中，A→B＝a－2c，C→D＝ 5a＋6b－8c，对角线 AC、BD 的中点分别是 E、F， 则E→F＝________.
图3
解析：如图 3 所示，取 AD 的中点 P，连接 EF、 EP、FP，结合图形用A→B和C→D表示E→F.E→F＝E→P＋P→F ＝12C→D＋12A→B＝12(5a＋6b－8c)＋12(a－2c)＝3a＋3b －5c.
1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个 向量，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
λ的范围 λ>0 λ＝0 λ<0
方向关系
大小关系
方向相同
λa＝0 其方向是任意的
λa的长度是a的 长度的|λ|倍
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张)
探究点2 共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量既可能共面，也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且 只有一对实数 ， 使
C={x|x是实数}. 集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
例如:
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则 这 些向量叫做共线向量或平行向量.
若P为A,B中点, 则
P
aB Alຫໍສະໝຸດ OA lP B
O
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
O
DC
A
B
H
G
E
F
证明
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面；
③若 ∥ ，则存在惟一的实数λ，使 ＝λ .
A．1 B．2
C．3
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
观察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}. (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
人教A版高中数学 选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算 课件 (共13张PPT)
A C D
B
E C
D E
４.向量的模：a
５.特殊向量：零向量和单位向量
６.向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线
７.共线（平行）向量： a // b
A B C D
规定：零向量与任意向量共线 注意：平行向量的基线可能重合
E A
C D
B E
交换a律 b： ba
有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变 结合 (a律 b)c： a(bc)
(1)ABAD AA D
(2)DDABBC
A
(3) AB AD
D
1 ( DD BC )
2
A
C B
M C
B
三个不共面的向量的和等于以这三个向 量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向 量
D
A C
O
B
例2如图M ， ，N分别是四A面 B体 C的 D棱 AB，CD的中点，
a
c
bb
a
a+ b
二、空间向量的加法运算 a
b
平行四边形法则
A
a b
O
B
C
三角形法则
多边形法则 封口向量
a b
A O
B
ab
A
B
D C
A B
D C
三、空间向量的减法运算
三角形法则
a b
A
a
ab
O
b
B
a
A ab
O
ab B
b C
OCab BAab |a||b| |ab| |a||b| |a||b| |ab| |a||b|
不改变向量a的方向（当>0时），也可以改 变向量a的方向（当 <0时）。
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件3
3.1.2 空间向量的数乘运算
回顾
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面 内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
一、空间向量的数乘：
1、定义：
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向
量，称为空间向量的数乘
2、空间向量的数乘的性质
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OEkOA, OFkOB, OGkOC, OHkOD, 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
O E k O A , O F k O B , O G k O C , O H k O D
a
（1）当 0时， a 与 a 同向
（2）当 0 时， a 与 a 反向 （3）当 0 时， a 0
3a 3a
当a 0, 有 0或a 0
(4) | a | | | | a |
3、空间向量的数乘的运算律
（1）数乘分配律1： (ab)ab
2.共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，
则向量 p与向量 ，a共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在有序实数对x,y使AP x AB y AC
Cp
P
b
A aB
对空间任一点O,有 OP OA xAByAC③
bC
p
P
A aB
填空：
O
O P (1-_x-_ y O _ _ A (_ x _ )O _ B (__ y)_O _C _)
回顾
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面 内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
一、空间向量的数乘：
1、定义：
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向
量，称为空间向量的数乘
2、空间向量的数乘的性质
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OEkOA, OFkOB, OGkOC, OHkOD, 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
O E k O A , O F k O B , O G k O C , O H k O D
a
（1）当 0时， a 与 a 同向
（2）当 0 时， a 与 a 反向 （3）当 0 时， a 0
3a 3a
当a 0, 有 0或a 0
(4) | a | | | | a |
3、空间向量的数乘的运算律
（1）数乘分配律1： (ab)ab
2.共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，
则向量 p与向量 ，a共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在有序实数对x,y使AP x AB y AC
Cp
P
b
A aB
对空间任一点O,有 OP OA xAByAC③
bC
p
P
A aB
填空：
O
O P (1-_x-_ y O _ _ A (_ x _ )O _ B (__ y)_O _C _)
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空间向量及其运算(二)
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 a b b a
(a b) c a (b c)
加法结合律
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为 ……. 很奇妙,这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点.
A
P 练习 1 1 2）、（） 96 （）、（ 3
D
F
B E C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
D1 C1 (1) AB BC (2) AB AD AA1 A1 B1 M 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 G 1 (4) AB AD CC1 D C 2 解： AB BC＝AC; (1) B A (2)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1 1 1 (3) ( AB AD AA1 ) AC AG 3 3
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 ( BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C xAC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A A1
D1 B1
C1
D B
C
(1) AB1 A1 D1 C1C xAC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A A1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a 3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即： (a b) a b （ ） a a a ( a) ( )a
D1 B1 C1
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2AD1 BD1 xAC1(3) AC AB1 AD1 xAC1
a
思考(2)
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
l
a
P
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题
课外思考题: 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为 △BCD 的重心,试用 a 、 、 表示下列向量: b c ⑴ DM ⑵ AG
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量) 思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ), a // b R , a b . c b
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1
3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》
教学目标
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的
数乘运算. 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题.. 教学重点：空间向量的数乘运算及运算律. 教学难点：用向量解决立几问题.
空间向量及其运算(二)
(3) AC AB1 AD1
(3) AC AB1 AD1 xAC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1来自1D1， 求满足下列各式的x的值。
C1 B1
x 2.
向量的平行
A
D B
C
向量的平行与重合
1 (4) AB AD+ CC1＝AM . 2
平行六面体
思考2
D1 A1 B1
C1
a
D C B
A
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
1 （ b) c a 2
B
A
1 （ b c) a 3
D
G M C
作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题
D1 A1 B1
C1
D A B
C
x 1.
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) D1 2( AD AB AA1 ) A1 2AC1
b
b
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
a
定义: 数乘空间向量的运算法则
a 仍然是一个向量.
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
复习回顾
数乘运算
思考1
向量的平 行
作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c) 空间向量