高数下册测试题答案
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《高等数学》(下册)测试题一
一、选择题(每小题3分,本大题共15分)(在括号中填上所选字母)
1.设有直线
3210
:21030x y z L x y z +++=⎧⎨
--+=⎩
及平面:4220x y z π-+-=,则直线L ( A )
A .平行于平面π;
B .在平面π上;
C .垂直于平面π;
D .与平面π斜交.
2.二元函数22
,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy
x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩
在点(0,0)处( C )
A .连续、偏导数存在;
B .连续、偏导数不存在;
C .不连续、偏导数存在;
D .不连续、偏导数不存在.
3.设()f x 为连续函数,1
()d ()d t
t
y
F t y f x x =
⎰
⎰,则(2)F '=( B )
A .2(2)f ;
B .(2)f ;
C .(2)f -
D .0.
4.设∑是平面13
2=++z y
x 由0≥x ,0≥y ,0≥z 所确定的三角形区域,则曲面积分
(326)d x y z S ∑
++⎰⎰=( D )
A .7;
B .
2
21
; C .14; D .21. 5.微分方程e 1x
y y ''-=+的一个特解应具有形式( B )
A .e x
a b +; B .e x
ax b +; C .e x
a bx +; D .e x
ax bx +.
二、填空题(每小题3分,本大题共15分)
1.设一平面经过原点及点(6,3,2)-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为2230x y z +-=;
2.设arctan
1x y
z xy
-=+
,则d |z =24
dx dy
-; 3.设L 为12
2
=+y x 正向一周,则
2
e d x L
y =⎰
0 ;
4.设圆柱面32
2
=+y x ,与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交,且它们的交角为
π
6
,
则正数=
0Z 32
; 5.设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ,若
12y y αβ+也是该方程的解,则应有=+βα 1 .
三、(本题7分)设由方程组e cos e sin u
u
x v
y v
⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ,v 是x ,y 的函数,求x u ∂∂及
x v ∂∂与
y
v
∂∂. 解:方程两边取全微分,则e cos e sin e sin e cos u u
u u
dx vdu vdv
dy vdu vdv
⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u u
u u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪
⎨-⎪=-+=
⎪+⎩
从而
222222,,u x v y v x x x y x x y y x y
∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、(本题7分)已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ,求函数()
3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数.
解:{}21
22,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭
2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫
-=⎨⎬---⎩⎭
,{}3,3,6A gradu =- 从而
{}212,,3,3,62147333u
AB ∂⎧⎫
=-
⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭
五、(本题8分)计算累次积分 2
41
1
2211
d e d d e d x
x
y
y x x y x y y y
+⎰
⎰⎰).
解:依据上下限知,即分区域为
1212,:12,1:24,2
x
D D D D x y D x y =⋃≤≤≤≤≤≤≤≤
作图可知,该区域也可以表示为2
:12,2D y y x y ≤≤≤≤
从而
()22
422221
12112111d e d d e d d e d e e d x x x
y y y
y y x y x y x y y x y y y
y +==-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
()()2
222211
e e 2e e e e y y e =-=---=
六、(本题8分)计算d d d I z x y z Ω
=
⎰⎰⎰
,其中Ω是由柱面12
2=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.
解:先二后一比较方便,1
1
1
2
2
12
2
z
D z I zdz
dxdy z dz ππ
π⋅==⋅⋅==
⎰
⎰⎰⎰
七.(本题8分)计算
3
2()d x
y z S ++∑
⎰⎰,其中∑是抛物面2
22y x z +=被平面2
=z 所截下的有限部分. 解:由对称性
322
d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 从而22
3
2
22()d ()d ()d 2
x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
22
2
220
(2D x y d r
r πθπ=+=
=⎰⎰⎰⎰⎰
(
4
0411315t ππ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰
八、(本题8分)计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y +
-⎰,L 是点ππ
(,)22
A 到点(π,2π)
B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.
解:在上半平面)0(>y 上
22232
22322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y
⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭ 223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Q
x y y y y y y y y x
∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续, 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关,取π
(π,)2
C
22222
22
2
424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y ππ
ππ
πππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰