第七章 静止电荷的电场 作业题目及解答

d
e r 1
er
(d 0
e 0S
C
)
（2）金属内的场强为： E=0
U (d 0 d ) e0
C
S
U

e 0S
(d 0 d )
d d0
e 0S
C
题号 结束
7-57．在半径为R的金属球之外包有一层 均匀电介质层（如图），外半径为 R 。 er 设 电介质的相对电容率为 ，金属球的电 荷 量为Q，求：（1）电介质层内外的电场 强 度分布；（2）电介质层内、外的电势分 布；（3）金属球的电势
7- 解：（1）利用介质中的高斯定理 57 D d S qi
S S内
rR
D0
Q 4 r 2 Q D 4 r 2
E1 0
E3 E3 D
R r R D r R
e 0e r
D

Q 4e 0e r r 2 Q
er
e0

4e 0 r 2
（2）电介质层内、外的电势分布
2
dr
Q 4e 0 r
（3）金属球的电势
U
r
R E dl
R
Q 4e 0e r r
dr 2

Q 4e 0 r
R
dr 2
Q 4e 0e r
(
1 e r 1 ) R R
7-64 电容 的电容器在800V的电 C1 4F 差下充电，然后切断电源，并将此电容器 的两个极板分别和原来不带电、电容为 的 C2 6F 电容器两极板相连，求： （1）每个电容器极板所带电荷量； （2）连接前后的静电场能
l
d+l
0
0
1 ) d+l 1 )×102 20
题号 结束
=6.75×102 V/m
(2)由对称性Ex =0
dE = dEy
dE .Q d r
1 l dx cos q =4 2 π ε r d d cos q = r = 2 2 12 (x + d )
0
dx
l
d dE = 2 2 12 2 2 4 π ε (x + d ) (x + d ) 1 . l d dx =4 2 2 32 π ε (x + d ) 1
0 0 0
q re
q re
2 r q re .3r re 6 q e 3Q E= =4 4 4 = 6 4 ε r 2 π ε r π π ε r 2
0 0
0
题号 结束
7-8 长 l =15cm的直导线AB上均匀地 分布着线密度为 l = 5×10-9 C/m：的电荷 （如图） 。求： （1）在导线的延长线上与导线一端 B 相 距 d = 5cm处P 点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点 相距 d =5cm处Q点的场强。
E = E 2 E1 =
re
re
r P
-q +2q -q 电偶极子 E =
2 π ε r
0
pe
3
re ) 3 2 r 3 e r ( ) π ε + 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2 3 r r r r r r r r + + + 3 e 4 e 8 e + 2 re q re = 3 2 2 2 π ε (r re 4) 3 r r 2+ 1 r 3 4 e 8 e + 3 2 2 ( r re 4 ) 题号 结束 2 π ε (r
E0 7-52 （1）电介质外的场强为： e0
而电介质内的场强为： Er e 0e r
S
所以，两板间电势差为：
d0
d
er
U (d 0 d ) d e0 e 0e r e 0e r S Q S 那么， C U U d e r (d 0 d )
合场强为： E = E1 + E2 (1)O点的场强： E2 =0
s E1. dS = E1 4 π r1
0
2 3
1 4 π r1 ρ = ε 3 r1 ρ E = E1 = 3 ε
0
R
O O ′ . . r1 r
r2 O O ′ . .
R
2 r E2 4 π 2 3 4 r 1 π 2 ρ =ε 3
0
1
q (r 1
2q + q ) r r2 r1 r a
r2 r + a
+q q -2q re +q a
题号 结束
UP =
4 π ε 1
1
0
=4 π ε q =2 π ε
0
0
2a q 2 2 r a ( ) r 2q 2a r3 2 2 re cos q r3
2
r1 r
P.
r2
7-26 两个同心球面，半径分别为10cm 和30cm。小球面均匀带有正电荷10-8C大球 面带有正电荷1.5×10-8C 。求离球心分别为 20cm、50cm处的电势。
3 ε E1
0
EP = E2 =
r2 P.
3 ε
ρ
r2
0
r3 r12
O O′ . . r R
题号 结束
(4)P ´点的场强： 3 4 r 1 π 2 r 1 r E1 4 π 1 = ρ ε 3 r 2 O O ′ P ′ 3 . . ρ . r E1 = r 2 r R 3 ε 1
0 0
2 r E2 4 π 2
0 0
d l = adq q l =π a y
E = dEx = dE sinq = 0 4 =4
π
q
dq a
l
π ε a0
0
l
π ε
l
0
sin q q d a
π
o
x dE q
sinq dq cosq
π
0
=4
π ε
l
0
a
=2 π
ε
0
2 2 a =2 πε a
0 题号 结束
7-13设点电荷分布的位置是：在 (0 ,0) 处为 5×10-8C 在 ( 3m,0 ) 处为 4×10-8C 以在 (0 ,4m ) 处为 -6×10-8C 计算通过以 ( 0 ,0 )为球心，半径等于5m的球面上的总 E 通量。
0
ε
q´
0
0
题号 结束
7-20 在半径为R，电荷体密度为ρ 的均 匀带电球内，挖去一个半径为 r 的小球，如 图所示。试求：O、O′、P、 P′各点的场 强。 O、O′、P、 P′在一条直线上。
P′.
P O . O . .′ r R
题号 结束
解：
E1 E2
带电荷-ρ 的小球的场强 带电荷ρ 的大球的场强
0 0
x d l . .
题号 结束
dE =
(x + d ) l/2 dx d l E= 2 2 32 -l/2 4 (x + d ) π ε 1 ll . =4 2 2 12 π ε d d +( l 2) 5.0 ×10-9×0.15×9×109 = 212 0.15 -2 -2 2 5.0×10 ( 5.0×10 ) + ( ) 2 =1.50×103 V/m
有：
7-52．为实时检测纺织品、纸张等材料 er 的厚度（待测材料可视作相对电容率为 的电介质），通常在生产流水线上设置如 图所示的传感装置，其中A、B为平板电 容器的导体极板，d0为两极板间的距离， 试说明其原理，并推出直接测量电容C与 间接测量厚度d之间的函数关系，如果要 检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如 何？
R r R
U
r
R E dl
r
1 e r 1 dr dr ( ) 2 2 R 4e 0e r r 4e 0 r 4e 0e r r R Q

Q
Q
r R
U

r
E dl
r
Q 4e 0 r
7-64 解（1）C1充电后极板上的电荷量为
Q C1U 0 3.2 10 C
6
3
并连电容器的电容量和电压为
C C1 C2 10 10 F
2
题号 结束
（1）已知：V x 2 xy Ex = U = ( x 2 2 xy) (2 x 2 y) x x Ey = U = ( x 2 2 xy) 2 x y y U U E i j (2 x 2 y )i 2 xj x y
0
r
E = E2 =
ρ r2
3 ε
0
题号 结束
(3)P 点的场强： 3 4 r 1 π 2 r E1 4 π 1 = ρ ε 3 3 ρ r E1 = 2 r 3 ε 1 3 4 r 1 π 2 2 r E2 4 π 2 = ρ ε 3
0 0
r1 . P
O O′ . . r R
0
ρ r2 E2 =
题号 结束
已知：q1 = 5×10-8C; q2 = 4×10-8C q3 = -6×10-8C; 求： Φe
Φe = s E . dS -8 q 3 × 10 Σ = = ε 8.85×10-12
0
=3.4×103 V.m
题号 结束
7-17 在半径分别为10cm和20cm的两层 假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度 为ρ =0.529×10-9 C/m3的正电荷。求离球 心5cm、15cm、50cm处的电场强度。
7-7 如图所示的电荷分布称为电四极 子，它由两个相同的电偶极子组成。证明 在电四极子轴线的延长线上离中心为r (r ＞＞re ) 的 P 点处的电场强度为 E = 3Q 4 4 π e0r r