《大学物理》第七章 静止电荷的电场 (10)
第七章 静电场
er
r
q e ( r R ) 2 r E 4 0 r 0( r R )
q 4 0 R 2
O
R
r
7(14)
例7-7:【书P267例题7-8(1)】求均匀带电球体的电场分布。已 知R，q 。 （设q＞0） 解：电荷分布的球对称性 电场分布的球对称性 选取同心球面为“高斯面”
§7-3 静电场的高斯定理 （重点、难点）
一、静电场的高斯定理
e
S
E dS
q内
0
二、高斯定理的应用 （重点、难点）
解题步骤：
e
S
E dS
q内
0
E
重点：选择一个合适的闭合曲面作为高斯面
要求：高斯面首先应是通过待求场强点的闭合面，其次高斯 面上各点的场强应大小处处相等，方向与高斯面正交；若有的地 方场强大小不等，或不能肯定相等，则应使这部分高斯面上的场 强与高斯面相切。
7(2)
§7-2
静电场 电场强度
（SI）V/m ；1V/m = 1N/c
F 定义场强： E = q0
一、点电荷的场强
F 1 qq0 er 2 4πε0 r
F E q0
E
1 q e 2 r 4πε0 r
7(3)
二、电场强度的计算
1. 点电荷系的场强计算
上 下 侧
r
h
h 0 ( r R ) 0 0 E dS E 2 rh 2 2 侧 hr 0 R r R )
2 r er ( r R ) 0 E r e r R ) 2 0 R 2 r
第七章静止电荷的电场作业题目及解答
（3）金属球的电势
R Q Q Q 1 1 r U E d l dr dr ( ) 2 2 r R R 4 r 4 r 4 R R 0 r 0 0 r
e e e ee e
C F 7-64 电容 的电容器在800V的电 1 4 差下充电，然后切断电源，并将此电容器 的两个极板分别和原来不带电、电容为 的C 6 F 电容器两极板相连，求： 2 （1）每个电容器极板所带电荷量； （2）连接前后的静电场能
0
ε
q´
0
0
题号 结束
7-20 在半径为R，电荷体密度为ρ 的均 匀带电球内，挖去一个半径为 r 的小球，如 图所示。试求：O、O′、P、 P′各点的场 强。 O、O′、P、 P′在一条直线上。
P′.
P O . O . .′ r R
题号 结束
解：
E1 E2
带电荷-ρ 的小球的场强 带电荷ρ 的大球的场强
0 0
r1 . P
O O′ . . r R
0
ρ r2 E2 =
3 ε E1
0
EP = E2 =
r2 P.
3 ε
ρ
r2
0
r3 r12
O O′ . . r R
题号 结束
(4)P ´点的场强： 3 4 r 1 2 π r 1 r E1 4 π 1 = ρ ε 3 r 2 O O ′ P ′ 3 . . ρ . r E1 = r 2 r R 3 ε 1
UP =
4 π ε r> > re a = re cosq
0
1
q (r 1
Байду номын сангаас
2q + q ) r r2 r1 r a
大学物理 第7章 《静止电荷的电场》思考题
第7章 《静止电荷的电场》复习思考题一、填空题1. 在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于每个点电荷电场的 和，这称为场强叠 加原理 . 答案：矢量2.电偶极子的电偶极矩是一个矢量，它的大小是ql （其中l 是正负电荷之间的距离），它的方向是 由 电荷。
答案：负电荷指向正电荷3无限大带电面，面电荷密度σ，则其两面的电场强度大小 。
答案：02σε4. 静电场中某点的电场强度，其数值和方向等于 。
答案：单位正电荷在电场中所受的力5.* 如图所示，正点电荷Q 的电场中，A 点场强为100N/C ，C 点场强为 36N/C ，B 是AC 的中点，则B 点的场强为________N/C 。
答案：56.25N/C6．如图所示, 真空中有两个点电荷, 带电量分别为Q 和Q -, 相距2R 。
若以负电荷所在处O 点为中心, 以R 为半径作高斯球面S , 则通过该球面的电场强度通量e Φ= 。
答案：0/Q ε-7．一均匀静电场，电场强度(400600)V/m E i j =+，则电场通过阴影表面的电场强度通量是___ ___ （正方体边长为 1cm ）。
答案：0.04V/m8．把一个均匀带电量Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 由204q Rπε变为______________。
答案：09. 如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零， 则球内距离球心为r 的P 点处的电势为____________。
答案： RQU 04επ=二、单项选择题1．根据场强定义式0q FE =，下列说法中正确的是：（ ）()A E 的方向可能与F的方向相反。
()B 从定义式中明显看出，场强反比于单位正电荷；()C 做定义式时0q 必须是正电荷；()D 电场中某点处的电场强度就是该处单位正电荷所受的力；答案：D2．真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面。
静止电荷的电场精品PPT课件
F
/
q0
与 q0无关.
3.
说明
1) E
E(r )
E(
x,
y,
z)
是矢量场，是位置的函数
2) 电场强度的大小和方向仅与场源电荷的分布有关,
而与试验电荷的引入和大小无关.
3) 电场强度满足矢量叠加原理： 4) 点电荷在外电场中受电场力
E
i
E
i
F q0 E
三、电场强度的计算
ri
0
q
ri
qi
ri
0
qn
q1 q2
例1：三个点电荷q1=q2=2.0×10-6C , Q=4.0×10-6C ， 求q1 和 q2 对Q 的作用力。
解： q1 和 q2对Q 的作用力的 方向虽然不同，但大小相等：
F
F1
F2
q1Q
4π 0 r12
0.29N
y
q1
r1
0.3
Q
oθ
0.4
0.3
q2 r2
Ex dEx Ey dEy Ez dEz 总场强 E Exi E y j Ezk
E
E
2 x
E
2 y
E
2 z
方向用方向余弦表示
教材 P. 9 例 10.1
例1．电偶极子
y
电偶极如矩图已P知：q、-qq、lr>>l
•B
求：A点及B点的场强
解
场强A点分：别为设E +q和和-q
的
E
q
•
§10－1 电荷 库仑定律
一、对电荷的基本认识
1. 两种电荷 2. 电荷量子化：密立根实验（1906－1917年）
【学习】第七章静止电荷的电场
i 1
i 1
i 1
整理课件
21
电偶极子：
两个带等量异号电荷的点电荷（-q和+q）,相距l, l
很短，这对点电荷称为偶极子。
将从负电荷到正电荷的矢量l与电量q的乘积ql 称为
电偶极子的电矩，用pe表示。
-q l +q
电矩：pe=ql
图8-34
电矩pe是用来表征电偶极子电性质的一个物理量。
整理课件
22
F
1
4o
q1q2 r2
er
库仑定律 (7-1)
F
er
q2
r
q1 图7-1
er 是从点电荷q1指向点电荷q2的单位矢量。
①库仑定律的适用范围：点电荷
若带电体不能视为点电荷，则采用“化整为零，集零 为整”方法处理。
整理课件
6
①库仑定律的适用范围：点电荷
若带电体不能视为点电荷，则采用“化整为零，集零
受到的力.
整理课件
15
具体讲：
q0为正，则 E与q0受力方向相同
q0为负，则 E与q0受力方向相反
q
q0
EF
q
F q0
E
E F q0
q0因极性不同，受力方向不同，但q0所在处场强的方 向是唯一的。由场源电荷q的电性决定.
q为正，E 背向q
q为负，E 指向q
整理课件
16
3. 场强的计算－叠加原理
若：第i个点电荷在P点激 发的电场为 Ei 则：P点总场强
方向一致
q0
2q0
3q0
nq0
F0
2F0
3F0
nF0
由①知，场中不同点，电场的强弱和方向各不相同。
大学物理chapter-7
q + F p 。 。 -q
E
0, M 0
稳定平衡
π, M 0
非稳定平衡
返回
退出
-
F
F
+
π 0 2 p -
-q 。 。 +q F
F
E
π π 2
+ F
E
p
F
E
在非均匀外电场中 电偶极子所受合力不为零， 力矩不为零。
返回
退出
sin 2 sin 1 Ex 4π 0 a
讨论
cos1 cos 2 Ey 4π 0 a
1. 无限长带电直线： 1 =0 ，2 =
P
Ex 0
E Ey 2 π 0 a
4 π 0 a
返回
退出
2、半无限长带电直线： 1 = 0 ，2 = /2 Ex E y
r a / sin
x a cot
dx a csc 2 d
cos 2 Ex a csc d 2 2 4π 0 a csc
2 1
Ex (sin 2 sin 1 ) 4π 0 a
(cos1 cos 2 ) 同理 E y 4π 0 a
第七章 静止电荷的电场
§7-1 物质的电结构 库仑定律 §7-2 静电场 电场强度
§7-3 静电场的高斯定理
§7-4 静电场的环路定理 电势 §7-5 电场强度与电势梯度的关系 §7-6 静电场中的导体 §7-7 电容器的电容 §7-8 静电场中的电介质 §7-9 有电介质时的高斯定理 电位移 §7-10 静电场的能量
11
《静止电荷的电场》PPT课件
En
n1
i1 4 0
qi ri2
r0
场强叠加原理：点电荷系的场强 =各点电荷单独存在时在该点
产生的场强的矢量和.
推导F：即设i 真FE空i中Ei存14在q0Eq点02ri i电2 ri荷0 q1E，nEq2，inqF1…041qnqF0，01rqi2i试r0Fq验02 电荷Fqq0n0受力
二、电场强度
1.试验电荷 电量要充分地小，线度足够小.
2. 描述电场中各点电场强弱的物理量
定义：
E
F
单位：N.C-1或 V.m-1
q0
q0放在电场中的P
点，受力
F，而比值
F
/
q0
与 q0无关.
3. 说明
1)
E
E(r )
E( x,
y,
z)
是矢量场，是位置的函数
2) 电场强度的大小和方向仅与场源电荷的分布有关,
其中 r12 r21 r
F12 q2
可见：
F12 F21
“SI”中 k 8.99 109 N.m2 .C-2
0
1
4
k
8.85 1012
C2 .N-1.m-2
——真空中的电容率
则
F12
F21
1
4 0
q1q2 r2
r120
分析: qi , q2同号时为斥力, q1 , q2异号时为引力.
F Fi
i
q ri
Fi
1
4 0
qqi ri2
ri
0
qi
ri
大学物理第7章电学
电势零点不同电势不同
3. 电势和电势能的关系
点电荷q0在电场中的电势能为
W q0
电势零点即电势能零点
4. 把电荷q0从a沿任意路径移动到b,静电场力所做的功为
5. 单位
Aab q0 (a b )
SI单位：伏[特](V)
注意
电势是描述电场性质的物理 量，与试验电荷无关；
例：求电矩为
p
ql 的电偶极子在均匀外电场
称为a、b两点的电势差（电压）。为什么这么定义
电势能差 电势差
（电压）
b
Wa
Wb
Aab
b
q0
E dl
a
a b
E dl
a
Uab a b
2. 电场中任意两点a、b的电势差，数值上等于把单位正 电荷从a点沿任意路径移动到b点静电场力所做的功， 等于场强沿任意路径从a点到b点的线积分。
二、电势(Electric Potential)
(3) 分段积分(计算)。
例1：求均匀带电球面的电势分布。设球面半径为R，
带电量为q。 解：场强已由高 E
斯定理求得
0 q
4π 0r 2 er
(r R) (r R)
以无限远为电势零点。由于在球面外直到无穷远处场
强的分布都和电荷集中在球心处的点电荷的场强分布
一样，因此球面外任一点的电势与点电荷的结果相同，
解：在直线上取电荷元dl，它到P点 距离为l，在P点产生的电势为
d dq dl
L
4π 0l 4π 0l
dl
d dL dl
4π 0 d l
ln d L 4π 0 d
d P
l
例5：均匀带电球层，内半径为R1，外半径为R2，体电
大学应用物理第七章读书笔记
⼤学应⽤物理第七章读书笔记静电场本章研究的是电磁运动中最简单的情况—静电场，所采⽤的研究⽅法为：从库仑定律开始，建⽴静电场的概念，从置于电场中的电荷所受的⼒和⼒做功的情况，研究静电场的性质，引⼊电场强度和电势两个重要的物理量。
建⽴场强叠加原理、⾼斯定理、环路定理等。
⼀、概念静电场：任何电荷周围都存在着电场，相对观察者为静⽌的电荷所激发的电场。
电场的特点(1) 电荷之间的相互作⽤是通过电场来传递(2) 对位于其中的带电体有⼒的作⽤(3) 带电体在电场中运动,电场⼒要作功——电场是种物质，具有能量、质量和动量。
电场强度：放⼊电场中某点的电荷所受静电⼒F跟它的电荷量⽐值，叫做该点的电场强度。
定义式：E=F/q ，F为电场对试探电荷的作⽤⼒，q为放⼊电场中检验电荷（试探电荷）的电荷量。
电场强度的⽅向：规定为放在该点的正电荷受到的静电⼒⽅向。
与正电荷受⼒⽅向相同，与负电荷受⼒⽅向相反电场⼒：电荷之间的相互作⽤是通过电场发⽣的。
只要有电荷存在，电荷的周围就存在着电场，电场的基本性质是它对放⼊其中的电荷有⼒的作⽤，这种⼒就叫做电场⼒判断⽅向⽅法：正电荷沿电场线的切线⽅向，负电荷沿电场线的切线⽅向的反⽅向。
计算：电场⼒的计算公式是F=qE，其中q为点电荷的带电量，E为场强。
或由W=Fd，也可以根据电场⼒做功与在电场⼒⽅向上运动的距离来求。
电磁学中另⼀个重要公式W=qU（其中U为两点间电势差），可由此公式推导得出。
静电⼒作功的特点：单个点电荷产⽣的电场中任意带电体系产⽣的电场中电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有结论：电场⼒作功只与始末位置有关，与路径⽆关，所以静电⼒是保守⼒，静电场是保守⼒场。
电通量：通过电场中任意给定⾯积的电场线的数⽬，叫做通过该⾯积的电场强度通量，简称电通量。
（它是研究电场性质的常⽤物理量）公式：电通量密度是通过垂直于电场⽅向的单位⾯积的电通量，它等于该处电场的⼤⼩E 。
电通量密度精确地描述了电⼒线的疏密。
大学物理普通物理学chapter-7
e r 12
k
q1q2 r3
r12
k 1 9109 N m2/C2 4πε0
0 = 8.8510-12 C2 ·N-1·m-2
真空介电常量
F1 2
F21
1
4π 0
q1q 2 r2
er12
1
4π 0
q1q 2 r3
r1 2
返回 退出
F1 2
F21
1
4π 0
q1q 2 r2
er12
• 电场中各处的力学性质不同。
2. 在电场中的同一点上放不同的
试验 电荷。
•
F q0
与q0无关。
电场强度（intensity
of electric field）：
F
E
q0
返回 退出
F
E
q0
场强的大小： F/q0 场强的方向：正电荷在该处所受 电场力的方向。
讨论
1.
矢量场
E
E
r
E
x,y ,z
返回 退出
使用Matlab求解得到的两个 超越方程 F=0的位置x =0.94m 排斥力最大的位置x =1.25m
返回 退出
补充例7-1 设原子核中的两个质子相距4.0×10-15 m， 求此两个质子之间的静电力。
解：两个质子之间的静电力是斥力：
Fe
1
4π 0
q1q 2 r2
9.0 109
按库仑定律，电子和质子之间的静电力为
Fe
1 4πε 0
e2 r2
8.89
109
(1.60 1019 )2 (0.529 1010 )2
8.22108 (N)
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大学物理_下_练习题
xyoa •••a−(0,)P y q q−大 学 物 理（下）练 习 题第七章 静止电荷的电场第一部分 真空中的电场1．如图所示，在点((,0)a 处放置一个点电荷q +，在点(,0)a −处放置另一点电荷q −。
P 点在y 轴上，其坐标为(0,)y ，当a y >>时，该点场强的大小为 [ ](A) 204qy πε； (B) 202qy πε；(C)302qay πε； (D)304qay πε.2．将一细玻璃棒弯成半径为R 的半圆形，其上半部均匀分布有电量Q +, 下半部均匀分布有电量Q −，如图所示。
求圆心o 处的电场强度。
3．带电圆环的半径为R ,电荷线密度0cos λλφ=,式中00λ>，且为常数。
求圆心O 处的电场强度。
4．一均匀带电圆环的半径为R ，带电量为Q ，其轴线上任一点P 到圆心的距离为a 。
求P 点的场强。
5．关于高斯定理有下面几种说法，正确的是 [ ](A) 如果高斯面上E处处为零，那么则该面内必无电荷；(B) 如果高斯面内无电荷，那么高斯面上E处处为零；(C) 如果高斯面上E处处不为零，那么高斯面内必有电荷；(D) 如果高斯面内有净电荷，那么通过高斯面的电通量必不为零；(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。
6．点电荷Q 被闭合曲面S 所包围，从无穷远处引入另一点电荷q 至曲面S 外一点,如图所示，则引入前后，下面叙述正确的是 [ ](A) 通过曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强不变；(B) 通过曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强不变；(C) 通过曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强变化；(D) 通过曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强变化。
7．如果将带电量为q 的点电荷置于立方体的一个顶角上，则通过与它不相邻的每个侧面的电场强度的通量为 [ ](A) 06q ε； (B) 012q ε； (C) 024q ε； (D) 048q ε.yxq i SQ i8．如图所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，A 面上的电荷面密度721.7718A C m σ−−=−×⋅，B 面上的电荷面密度723.5418B C m σ−−=×⋅。
第七章 静止电荷的电场(6-10)_9
上G底 G 下底
侧面
∫=
E⋅dS +0+0
上底
=
E外表面 ⋅ S底
v∫ ∑ G G
由高斯定理 ΨΕ =
E ⋅ dS =
S
q /ε0 = σ ⋅ S底 /ε0
故 E 外表面
=
σ ε0
,
GS 矢量式：E外表面
=
σ ε0
G en
G en 为导体表面
法向矢量
对于孤立带电导体,电荷在其表面上的分布由 导体表面的曲率决定。
−
σ3 2ε 0
−
σ4 2ε 0
=
0
对P2 得
E
=
σ1 2ε 0
+
σ2 2ε 0
+
σ3 2ε 0
−
σ4 2ε 0
=0
σ1 = σ 4 ,σ 2 = −σ 3
A
B
可见，平行放置的带电大金属板
相向两个面上电荷面密度大小相 等，符号相反；相背两个面上电 σ1 σ 2
σ3 σ4
荷面密度大小相等，符号相同。
(σ1 + σ 2 )S = QA , (σ 3 + σ 4 )S = QB, P1
曲率愈大），电荷面密度愈大。
例题7-20 两平行放置的带电大金属板A和B，面积 均为S，A板带电QA，B板带电QB，忽略边缘效应，求 两块板四个面的电荷面密度。
解：设两板四个面的电荷面密度
A
B
分别为 σ 1 ，σ 2 ，σ 3 ，σ 4 。
在两个板内各选一点P1、P2，由 于静电平衡，导体内任一点电
σ1
σ2
σ3 σ4
场强度为零
Ep1 = 0 Ep2 = 0
静止电荷的电场PPT课件
E
s 2
0
1
x R2 x2
12
(1)当 x << R，圆盘 “无限大”带电平板
(2)当x>>R，圆盘点电荷
E s 2 0
E q
4 0 x2
21
第21页/共53页
22
§1.5-6 电通量 高斯定理
面元法向单位矢量
一、电通量(Flux)
n
1、通过面元 S 的电通量
q q S
E
ES
定义面元矢量
EdS
dS E
S
S
23
第23页/共53页
EdS
S
0 ：电通量向外“流”
0 ：电通量向内“流”
二、高斯定理
—电通量与电量的关系
dS E
Q
qi
S
在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电量的 代数和的 1/0 倍
S
EdS
1
0
qi
(S)
其中S为任意闭合曲面—高斯面。
cosq
S
E Sn
Sn
，则有
Scosq
E S
通过面元的电通量的符号，与面元矢量方向的定义有关。
第22页/共53页
2、通过曲面 S 的电通量
S 面元 可定义两个指向 i
lim S 0
i
Ei
Si
Si Ei
S
EdS
S
的正负依赖于面元指向的定义
3、通过闭合曲面S的电通量
dS 规定 的方向指向外为正
kgs2
0.531010m 2
3.71047N
库仑力>>引力：
Fe Fg 1039
静止电荷的电场
压电效应——某些固态晶体被压缩、伸长时，表面会出现 宏观极化电荷分布，因而产生电场。
逆效应——在交变电场作用下，某些晶体会发生机械形变（
振动），表面极化电荷的振动产生电磁振荡（晶振）
压缩
伸长
----------
+ + + + + + ++ + +
2021/1/10
9
位移极化：每个分子的
正负电荷中心发生相对位 移，形成电偶极子。
每个分子的电偶极矩不再为
零，都沿电场E0 方向有序排
列，因而显示出宏观电偶 极矩，介质两个端面出现极 化电荷。
E0
E0
q
q
p
2021/1/10
10
2.有极分子
pi
0
2021/1/10
H 2O O 2
H 104 .7
+ + + + + + ++ + +
----------
2021/1/10
压电效应
24
3、永电体（驻极体）
永电体：外界条件撤去后，能长期保留其极化状态， 且不受外电场的影响的一类电介质。
永电体的制备方法： 热驻极法、电驻极法、光和磁驻极法等
永电体的应用： 永电体换能器（传感器）。
2021/1/10
H
q
q
p ql
11
取向极化：有极分子在
外电场作用下发生转动，
E0 F
使分子电矩转向外电场方
F
向排列。
E0
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S
1 e0
s
0 S1
-
1 e0
rr P ?dS
S
令 q0 0S1 代入上式并移项，得
( ) 蝌Ò r r r
S
e0E + P ?dS
q0
定义：电位移矢量 D 0E P
蝌Ò 则可得有电介质
时的高斯定理
rr
D ?dS
S
q0
电位移线的描画方法同电场线的描画。垂直于电
位移线单位面积上通过的电位移线数目等于该点
1
( ) e0
s 0S1 -
rr
蝌 蝌 P?dS
S2
s
¢S2
+
E
+
+
+
+
+
+
+
P
+
+
Pr?d0Sr- - - - - - - - -
S
S1
由于S1在导体中，P 0
S2
又 P
rr
rr
蝌Ò P?dS S
蝌 P?dS S2
PS2
S2
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蝌乙 蝌 r r
q0
4r 2
er
电极化强度
0
P
与
q0
40 rr 2
er
q0
4r 2
r
r
1
er
r 有关，是非均匀极化。在电介
质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布
在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表
面在无限远处），其电荷面密度为
P
en
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P 0(r 1)E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 求出电位移矢量。
（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
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例题7-28 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均 匀“无限大”电介质（电容率为ε ），求球外任一点P
E2d2
d1
1
d2
2
q S
d1
1
d2
2
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
q
S
C VA－VB d1 d 2
1 2
可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可
以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层
的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电
例题7-29 平行板电容器两板极的面 +
积为S，如图所示，两板极之间充有
两层电介质，电容率分别为ε1 和ε2 ，
1
厚度分别为d1 和d2 ，电容器两板极
S2
上自由电荷面密度为±σ。求（1）
E1
在各层电介质的电位移和场强，（2） D1 两层介质表面的极化电荷面密度（3）
电容器的电容.AΒιβλιοθήκη d1S1 2
1
S2 ，如图中左边虚线所示，这一闭合 面内的自由电荷等于正极板上的电荷，
S2
按有电介质时的高斯定理，得
E1
D1
S1
2
E2 D2
D S D1 S＝S
A
再S1 利用D1＝1E1
,
D2＝
2
E2
可求得
d1
d2
B
E1 1 r1 0
E2 2 r 2 0
即在D两1电＝介质1E内1，, D电2位＝移D2 E1和2
D2
的量值相等。由于
所以 E1 2 r 2 E2 1 r1
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和
电容率（或相对电容率）成反比。
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为了求出电介质中电位移和场强 +
的大小，我们可另作一个高斯闭合面
电位移的量值，称为电通量。
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从有电介质时的高斯定理可知：通过电介质中任一 闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代 数和。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E线
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
D线
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电场线起于正电荷、止于 负电荷，包括自由电荷和 极化电荷。
方向都是由左指向右。
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（2）由于介质内场强
E1 E0 E
即：
r1 0 0 0
所以
1
1
1
r1
2
1
1
r2
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（3）正、负两极板A、B间的电势差为
VA－VB＝E1d1
q0
4R2
r
r
1
因为εr >1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界 面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为
q0
r 1
r
q0
q0
r
总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球 心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
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§7-9 有电介质时的高斯定理 电位移
一、有电介质时的高斯定理 电位移
在有电介质存在的电场中，高斯定理仍成立，
但要同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场
总电场
自由电荷
òÑ å r r
E ?dS
S
1 e0
Sn
( q0 + q¢)
极化电荷
上式中由于极化电荷一般也是未知的，用其求解电
场问题很困难，为便于求解，引入电位移矢量，使
D
q0
4r 2
er
因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为
E
D
q0
4 r 2
er
q0
40 rr 2
er
E0
r
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结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介
质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍, 可求出电极化强 度为
P
电位移线起于正的自由电 荷，止于负的自由电荷。
+
+
+
+
电极化强度矢量线起于正的 极化电荷，止于负的极化电 荷。只在电介质内部出现。
+
+ + +
+
+
P线
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二、D、E、P 三矢量之间关系
D 0E P
D 0r E E
E2 D2
d2
B
解：（1）设场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1 和D2 ，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两 层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内 的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得
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D
dS
D1S＋D2S＝0
S1
所以 D1＝D2
的场强及极化电荷分布。
解:
金属球是等势体，介质以球体
P
r
球心为中心对称分布，可知电
场分布必仍具球对称性，用有 电介质时的高斯定理来。
R Q0
S
高斯面：过P点作一半径为r
并与金属球同心的闭合球面S，
由高斯定理知
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D
dS
D4r 2
q0
所以
D
q0
4r 2
写成矢量式为
容器两极板的表面相平行）。
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选择进入下一节 §7-0 教学基本要求 §7-1 物质的电结构 库仑定律 §7-2 静电场 电场强度 §7-3 静电场的高斯定律 §7-4 静电场的环路定律 电势 §7-5 电场强度与电势梯度的关系 §7-6 静电场中的导体 §7-7 电容器的电容 §7-8 静电场中的电介质 §7-9 有电介质时的高斯定律 电位移 §7-10 静电场的能量
右端只包含自由电荷。
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设无限大平行板间充满均匀电介质,两极板所带自由电 荷面密度为 0
电介质极化后两表面极化电荷面密度为
取圆柱形高斯面如图中虚线 所示,则
0
+ -
+ -
+ -
+ -
+S1+ + --
+ -
+ -
+ -
蝌 Ò
r E
r ?dS
S
蝌Ò
r P
r ?dS