第10讲 对数与对数函数(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
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即 ，
解得 ；
使得 的 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【例3-3】（2019秋•静宁县校级月考）已知函数 ．
（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga ＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
logab＝ (a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图
【解答】解：
则函数的定义域为： ，即函数图象只出现在 轴右侧；
值域为： 即函数图象只出现在 轴上方；
在区间 上递减的曲线，在区间 上递增的曲线．
分析 、 、 、 四个答案，只有 满足要求
故选： ．
【跟踪训练2-2】（2019•衡水二模）如图，已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过 ， 作 轴的平行线与函数 图象交于 ， 两点，若 轴，则四边形 的面积为．
第10讲对数与对数函数
思维导图
知识梳理
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
A．1B．4C．5D．7
【分析】利用指数对数运算性质即可得出．
【解答】解：原式
．
故选： ．
【跟踪训练2-1】（2020春•兴宁区校级期末）计算： ．
【分析】进行对数的运算即可．
【解答】解：原Байду номын сангаас ．
故答案为：0．
【跟踪训练2-2】（2020•温州模拟）著实数 ， 满足 ，则 ， ．
【分析】由 ，可得 ， ．即可得出 ．
故函数 的图象与x轴的交点是 ，即函数 的图象与x轴的公共点是 ，
考察四个选项中的图象只有 选项符合题意
故选： ．
【例2-2】（2020•九江三模）如图所示，正方形 的四个顶点在函数 ， ， 的图象上，则 ．
【分析】设出各点坐标，根据 平行于 轴得到 ，再结合 平行于 轴得到 ，可得 ， ，再结合边长相等即可得到结论．
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0<x<1时，恒有y<0
当x>1时，恒有y<0；
当0<x<1时，恒有y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
核心素养分析
幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
综上， ．
故选： ．
【例3-2】（2019•陆良县一模）已知函数 ，则使得 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【分析】判断函数 是定义域 上的偶函数，且在 时单调递增，
把不等式 转化为 ，求出解集即可．
【解答】解： 函数 为定义域 上的偶函数，
且在 时，函数单调递增，
等价为 ，
即 ，
两边平方得 ，
【解答】解：由 ，
， ．
．
故答案为：2，2．
【名师指导】
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【分析】设出 、 的坐标，求出 、 的斜率相等利用三点共线得出 、 的坐标之间的关系．再根据 平行 轴， 、 纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出 、 的坐标之间的关系即可求出 的坐标，从而解出 、 、 的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：设点 、 的横坐标分别为 、 由题设知， ， ．
则点 、 纵坐标分别为 、 ．
因为 、 在过点 的直线上，所以 ，
点 、 坐标分别为 ， ， ， ．
由于 平行于 轴知
，
即得 ，
．
代入 得 ．
由于 知 ，
．
考虑 解得 ．
于是点 的坐标为 ， 即 ，
， ， ， ， ， ．
梯形 的面积为 ．
故答案为： ．
【名师指导】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
题型归纳
题型1对数式的化简与求值
【例1-1】（2020•枣庄模拟）已知 ，若 ， ，则
A． B．2C． D．4
【分析】对 两边取以 为底的对数得 ，同理 ，代入 ，即可求出 的值．
【解答】解：对 两边取以 为底的对数，得 ，即 ，
同理有： ，
代入 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
故选： ．
【例1-2】（2019秋•巢湖市期末）计算：
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
题型3对数函数的性质及应用
【例3-1】（2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据 ，可得 ，然后由 和 ，得到 ，再确定 ， ， 的大小关系．
【解答】解： ， ；
， ， ， ；
， ， ， ，
题型2对数函数的图象及应用
【例2-1】（2020春•吉林期末）函数 的图象是
A． B．
C． D．
【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数 的图象可由函数 的图象x轴下方的部分翻折到x轴上部而得到，故首先要研究清楚函数 的图象，由图象特征选出正确选项
【解答】解：由于函数 的图象可由函数 的图象左移一个单位而得到，函数 的图象与x轴的交点是 ，
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
又 ， ，即 ， ，
为正方形， ；
可得 ，
解得 ．
故答案为：2．
【跟踪训练2-1】（2020•怀柔区一模）函数 的图象是
A． B．
C． D．
【分析】要想判断函数 的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
解得 ；
使得 的 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【例3-3】（2019秋•静宁县校级月考）已知函数 ．
（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga ＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
logab＝ (a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图
【解答】解：
则函数的定义域为： ，即函数图象只出现在 轴右侧；
值域为： 即函数图象只出现在 轴上方；
在区间 上递减的曲线，在区间 上递增的曲线．
分析 、 、 、 四个答案，只有 满足要求
故选： ．
【跟踪训练2-2】（2019•衡水二模）如图，已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过 ， 作 轴的平行线与函数 图象交于 ， 两点，若 轴，则四边形 的面积为．
第10讲对数与对数函数
思维导图
知识梳理
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
A．1B．4C．5D．7
【分析】利用指数对数运算性质即可得出．
【解答】解：原式
．
故选： ．
【跟踪训练2-1】（2020春•兴宁区校级期末）计算： ．
【分析】进行对数的运算即可．
【解答】解：原Байду номын сангаас ．
故答案为：0．
【跟踪训练2-2】（2020•温州模拟）著实数 ， 满足 ，则 ， ．
【分析】由 ，可得 ， ．即可得出 ．
故函数 的图象与x轴的交点是 ，即函数 的图象与x轴的公共点是 ，
考察四个选项中的图象只有 选项符合题意
故选： ．
【例2-2】（2020•九江三模）如图所示，正方形 的四个顶点在函数 ， ， 的图象上，则 ．
【分析】设出各点坐标，根据 平行于 轴得到 ，再结合 平行于 轴得到 ，可得 ， ，再结合边长相等即可得到结论．
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0<x<1时，恒有y<0
当x>1时，恒有y<0；
当0<x<1时，恒有y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
核心素养分析
幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
综上， ．
故选： ．
【例3-2】（2019•陆良县一模）已知函数 ，则使得 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【分析】判断函数 是定义域 上的偶函数，且在 时单调递增，
把不等式 转化为 ，求出解集即可．
【解答】解： 函数 为定义域 上的偶函数，
且在 时，函数单调递增，
等价为 ，
即 ，
两边平方得 ，
【解答】解：由 ，
， ．
．
故答案为：2，2．
【名师指导】
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【分析】设出 、 的坐标，求出 、 的斜率相等利用三点共线得出 、 的坐标之间的关系．再根据 平行 轴， 、 纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出 、 的坐标之间的关系即可求出 的坐标，从而解出 、 、 的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：设点 、 的横坐标分别为 、 由题设知， ， ．
则点 、 纵坐标分别为 、 ．
因为 、 在过点 的直线上，所以 ，
点 、 坐标分别为 ， ， ， ．
由于 平行于 轴知
，
即得 ，
．
代入 得 ．
由于 知 ，
．
考虑 解得 ．
于是点 的坐标为 ， 即 ，
， ， ， ， ， ．
梯形 的面积为 ．
故答案为： ．
【名师指导】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
题型归纳
题型1对数式的化简与求值
【例1-1】（2020•枣庄模拟）已知 ，若 ， ，则
A． B．2C． D．4
【分析】对 两边取以 为底的对数得 ，同理 ，代入 ，即可求出 的值．
【解答】解：对 两边取以 为底的对数，得 ，即 ，
同理有： ，
代入 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
故选： ．
【例1-2】（2019秋•巢湖市期末）计算：
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
题型3对数函数的性质及应用
【例3-1】（2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据 ，可得 ，然后由 和 ，得到 ，再确定 ， ， 的大小关系．
【解答】解： ， ；
， ， ， ；
， ， ， ，
题型2对数函数的图象及应用
【例2-1】（2020春•吉林期末）函数 的图象是
A． B．
C． D．
【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数 的图象可由函数 的图象x轴下方的部分翻折到x轴上部而得到，故首先要研究清楚函数 的图象，由图象特征选出正确选项
【解答】解：由于函数 的图象可由函数 的图象左移一个单位而得到，函数 的图象与x轴的交点是 ，
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
又 ， ，即 ， ，
为正方形， ；
可得 ，
解得 ．
故答案为：2．
【跟踪训练2-1】（2020•怀柔区一模）函数 的图象是
A． B．
C． D．
【分析】要想判断函数 的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．