矩形、梯形法计算定积分的黎曼和

钦州学院数学与计算机科学学院

数 学 实 验 报 告

实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容]

实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分⎰

++-=

b

a

x x

x f 32.0)(2

的黎曼和；

（2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的

速度。

内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作

[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）

将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2

++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分⎰

++-=

b

a

x x

x f 32.0)(2

黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的

面积之和可近似代替定积分⎰

++-=b

a

x x

x f 32.0)(2

黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形

面积求出定积分⎰

++-=

b

a

x x

x f 32.0)(2

的黎曼和。

定积分dx x f b

a

⎰)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围

成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。）

利用几何画板作图：

图1.

图2.矩形分割法

图3.梯形分割法

[实验结果]（通过数学表达式、 列表或图形图像的方式显示实验结果。） （1）

图4.矩形法

图4.通过矩形法得出定积分()dx x x b

a ⎰++-32.02

的值为22.10687。

（2）

图5. 梯形法

图5.通过梯形法得出定积分()dx x x b

a ⎰++-32.02

的值也是22.10687。

（3）当梯形法和矩形法中A x 、B x 的取值相同时，现在取55562

.0-=A x ，5052979

=B x ，

当n 变化时，I y 、)()(A B x g x g -的变化情况如下表1：

表1：

通过比较10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值，可得出梯形法比矩形法更逼近定积分的速度。

[结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析； 对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延； 给出自己的意见和合理建议。）

（1） 由表1看出：几何画板矩形法和梯形法画出的图形得到的定积分

()

dx x x

b

a

⎰++-32.02

的结果都是22.10687。小长方形面积的和（即黎曼和）I y 的

值都是随着n 的增大而变大并逐渐逼近于定积分()dx x x b

a

⎰++-32.02

的值。梯形

法比矩形法计算出的黎曼和I y 的值更加逼近定积分的值，梯形法求面积的误差比矩形法小。

（2） 矩形法作图：作图过程步骤（6）中作直线E B '与作线段E B '的区别，作直线作E

B '的结果就是上面所得出的实验结果。如果是作线段E B '，则当点E 的迭代点在开口向下的抛物线32.0)(2

++-=x x x f 上方时与垂线j 没有交点，如图6所示，部分图形显示不出来，这可以区别于上述图4所示，此时作图过程中若是构造四边形

FC B A '内部面积，则结果有偏差，原因是在抛物线外的点的矩形面积没有算进来；

如果是用n

x x x f A

B A -⋅

)(计算四边形面积，则结果没有影响。

图6.

（3）梯形法作图：作图步骤（6）中无论是作直线E B '还是作线段E B '都没有上述矩形法的偏差，因为梯形总是在抛物线内侧，其面积可以全部计算出来。

（4）除了几何画板之外，还可以利用Visual Basic 求解或者Matlab 计算面积。

[求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。） 1.矩形法计算定积分32.0)(2

++-=

⎰

x x

x f b

a

的黎曼和的步骤如下：

（1）将参数选项“其他（斜率，比…）”单位的精确度设为十万分之一。定义坐标系，隐藏

网格。

（2）新建函数32.0)(2

++-=x x x f ，并绘制函数)(x f 的图像。

（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标A x 、B x ；计算)(A x f 和)(B x f ；以A x 为横坐标，以)(A x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点C ；以B x 为横坐标，以)(B x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点D 。作线段AC 和BD 。 （4）新建参数2=n ，计算1-n 、n

1。

（5）以点A 为中心，以

n

1为标记比对点B 进行缩放得象点B '。

（6）求出点B '的横坐标B x '，计算)(B x f '；以B x '为横坐标，以)(B x f '为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点E ；作直线E B '。

（7）过点C 作E B '的垂线j ，并作j 和E B '的交点F 。

（8）隐藏直线j 和直线E B '（暂不隐藏点F ）；作线段F B '和CF ，构建四边形FC B A '内

部，并由n

x x x f A

B A -⋅

)(计算四边形FC B A '的面积。将C 、F 、E 、D 四点隐藏。

（9）新建参数0=s ，计算+s n

x x x f A

B A -⋅

)(。

（10）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标G x ，以G x 为横坐标，以+s 四边形EC B A '的面积为纵坐标，绘制点H 。

（11）依次选定参数2=n 、0=s 、点A 、点G 和1-n ，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为1-n 、+s n

x x x f A

B A -⋅

)(、点B '、点H 。选择“完整迭代”；在【结构】下

拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。

（12）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。求出点I 的纵坐标I y ，I y 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。 （13）新建函数x x

x

x g 32

115

1)(2

3

++

-

=，)(x g 即32.0)(2

++-=x x

x f 的原函数。

计算出)()(A B x g x g -的值，这个值就是定积分()dx x x b

a

⎰++-32.02

的黎曼和。