矩形、梯形法计算定积分的黎曼和
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果定积分是微积分中重要的概念之一，表示在一个区间上函数的面积。
在计算定积分时，有时候我们无法通过解析方法求得精确的结果，这时候可以利用数值方法来进行近似计算。
常见的数值方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
本文将分别对这三种方法进行介绍并进行比较。
1.矩形法（矩形近似法）：矩形法是最简单的数值方法之一，它的基本思想是将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个矩形的面积，然后将这些矩形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
根据矩形法的计算公式可以得到：∫f(x)dx ≈ Δx·(f(x₁)+f(x₂)+...+f(xₙ))其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
2.梯形法（梯形近似法）：梯形法同样是利用近似的思想，将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个梯形的面积，然后将这些梯形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
梯形法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/2）·[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
3.辛普森法（抛物线近似法）：辛普森法是一种基于三次多项式插值的数值积分方法，它通过将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个抛物线的面积，然后将这些抛物线的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
辛普森法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/3）·[f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂)+4f(x₃)+...+4f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
例：计算函数f(x)=√(1+x²)在区间[0,1]上的定积分。
接下来，我们分别利用矩形法、梯形法和辛普森法对这个定积分进行近似计算，并比较计算结果。
1)矩形法：将区间[0,1]平均分为n个小区间，取xᵢ=i/n，其中i=0,1,2,...,n。
黎曼和公式与定积分互换公式
黎曼和公式与定积分互换公式
黎曼和公式（Riemann sum formula）是一种在数学中将极限的概念用于定积分的方法。
它的形式如下：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$ 其中，$\Delta x_i = (b - a) / n$ 表示区间$[a, b]$ 分成$n$ 个子区间后，每个子区间的长度。
$x_i^*$ 表示每个子区间内的某一点，可以是这个子区间的左端点、右端点或中点。
定积分互换公式（integration by substitution）是一种在进行定积分时将原函数表示为另一个函数的柿子的方法。
它的形式如下：$$\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$$ 其中，$u = g(x)$，$du = g'(x) dx$。
这个公式的意思是，如果我们能够找到一个函数$g(x)$，使得$f(g(x)) g'(x)$ 的形式和$f(u)$ 的形式相同，那么我们就可以用这个公式将原来的积分变成另一个函数的积分，这样就可以更方便地计算了。
黎曼和公式和定积分互换公式是两种不同的方法，它们各自都有自己的适用范围和使用方法。
希望这对你有帮助。
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分近似计算方法指的是利用数值计算方法来估算给定函数在一定区间上的积分值。
这些方法常常用于当函数在该区间内无法求得解析式时，或者解析式难以求得的情况下。
下面将介绍常用的数值积分近似计算方法。
一、矩形法矩形法即将积分区间等分为若干小区间，然后在每个小区间中选择一个代表点，将函数在该点的函数值作为近似积分的值。
具体可以分为左矩形法、右矩形法和中矩形法。
1.左矩形法左矩形法即取每个小区间的左端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a) +f(a+Δx) + … + f(a+(n-1)Δx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
2.右矩形法右矩形法即取每个小区间的右端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx) + f(a+2Δx) + … +f(a+nΔx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
3.中矩形法中矩形法即取每个小区间的中点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx/2) + f(a+3Δx/2) + … +f(a+(2n-1)Δx/2)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
二、梯形法梯形法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个梯形来近似计算定积分的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，然后在每个小区间上用两个端点处的函数值拟合成一个梯形，然后将这些梯形的面积加起来即可得到近似的定积分的值。
具体计算公式为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx/2 * [f(a) + 2f(a+Δx) + 2f(a+2Δx)+ … + 2f(a+(n-1)Δx) + f(b)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
三、辛普森法辛普森法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个二次多项式的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每两个相邻区间拟合成一个二次多项式。
高等数学第五讲+黎曼积分
第五讲 黎曼积分（正常积分）§4.1 定积分一、定积分产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和. 二、定积分⎰ba dx x f )(的概念和定义 (一)定积分⎰badx x f )(的概念首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,然后用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.(二) 定积分⎰badx x f )(的定义定义(b a <): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,ΛΛ2110把闭区间],[b a 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =<<<<=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ. 定义(b a >): 函数)(x f 在闭区间],[a b 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,2110ΛΛ把闭区间],[a b 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =>>>>=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[a b 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ. 定义(微元法的定义): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，在),(b a 上任取一点x ，按积分下限到积分上限的方向给点x 一个增量dx ，dx 的绝对值是要多么小有多么小的正数，用dx x f )(表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号⎰badx x f )(表示把闭区间],[b a 上小曲边梯形的代数面积累积起来的曲边梯形的代数面积，如果⎰badx x f )(的值存在，我们称⎰badx x f )(为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分）.由上述两个定义可以看出(1)i T x dx ∆=→lim 0; (2)∑⎰=→=ni T ba10lim ;(3))(lim )(i T f x f ξ0→=.由定义知:①dx 表示函数定义域（x 轴上的区域）上点x 处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;②当b a >时,0>dx ,当b a <时,0<dx ;③⎰badx x f )(表示)(x f y =,a x =,b x =所围成的曲边梯形的面积(0><)(,x f b a 或0<>)(,x f b a )或面积的相反数(0>>)(,x f b a 或0<<)(,x f b a )；④函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续或有有限个间断点，则极限i ni i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，即函数)(x f 在闭区间],[b a 上Riemann 可积；⑤函数)(x f 在闭区间],[b a 上有界，则极限ini iT x f ∆∑=→)(lim10ξ不一定存在，即函数)(x f 在闭区间],[b a 上不一定Riemann 可积, 如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当，为有理数，当x x x D 0,1)(.三、计算: (1)常规计算法 ①牛顿-莱布尼兹公式法)()()()(a F b F a bx F dx x f ba-==⎰,其中)()(x f x F ='. 或[][])()()()()(a F b F abC x F a b dx x f dx x f ba-=+==⎰⎰,其中)()(x f x F =',该式说明为什么函数)(x f 的所有原函数叫做函数)(x f 的不定积分,并且函数)(x f 的不定积分用符号⎰dx x f )(表示.②分步积分法 []()d ()()()()d (),[,]b bba aaf xg x f x g x g x f x x a b =-∈⎰⎰.③换元积分法第一换元积分法()()()()u d u f x d x f dcba⎰⎰=)()(ϕϕ，其中)(x u ϕ=，()c a =ϕ，()d b =ϕ。
[整理]定积分的近似计算
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[整理]定积分的近似计算实验⼆定积分的近似计算⼀、问题背景与实验⽬的利⽤⽜顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适⽤于被积函数的原函数能⽤初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的⽅法．在定积分的很多应⽤问题中，被积函数甚⾄没有解析表达式，可能只是⼀条实验记录曲线，或者是⼀组离散的采样值，这时只能应⽤近似⽅法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可⽤．⼆、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显⽰15位有效数字．（注：由于本实验要⽐较近似解法和精确求解间的误差，需要更⾼的精度）．3．double()：若输⼊的是字符则转化为相应的ASCII码；若输⼊的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使⽤*、/、^等运算时要在其前加上⼩数点，即.*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上⾯介绍的函数fun）例：计算0sin()dx xπx=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求⼆重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以⽤inline定义，也可以通过某个函数⽂件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下⾯的Q2，通过计算，⽐较Q1 与Q2结果（或加上⼿⼯验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代⼊⽅法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在⼀个函数⽂件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf （⽂件地址，格式，写⼊的变量）：把数据写⼊指定⽂件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开⽂件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写⼊fclose(fid) %关闭⽂件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab 中的符号运算事实上是借⽤了Maple 的软件包，所以当在Matlab 中要对符号进⾏运算时，必须先把要⽤到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f 关于v 积分，积分区间由a 到b ．11．subs(f ，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x ，并计算出值．若简单地使⽤subs(f)，则将f 的所有符号变量⽤可能的数值代⼊，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每⼀个积分和都可以看作是定积分的⼀个近似值，即1()d ()nbi i a i f x x f x ?==?∑?在⼏何意义上，这是⽤⼀系列⼩矩形⾯积近似⼩曲边梯形的结果，所以把这个近似计算⽅法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有⼀定的精确度．针对不同i ?的取法，计算结果会有不同，我们以 120d 1x x +?为例（取100=n ），（1）左点法：对等分区间b x i na b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，在区间],[1i i x x -上取左端点，即取1-=i i x ?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑?0.78789399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7878939967307840.0031784ππ-=≈（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间],[1i i x x -上取右端点，即取i i x =?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78289399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7828939967307840.0031884ππ-=≈（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间1[,]i i x x -上取中点，即取12i i i x x ?-+=， 12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78540024673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785400246730784 2.653104ππ--=≈? 如果在分割的每个⼩区间上采⽤⼀次或⼆次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到⽐矩形法效果好得多的近似计算公式．下⾯介绍的梯形法和抛物线法就是这⼀指导思想的产物．2．梯形法等分区间b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，na b x -=? 相应函数值为n y y y ,,,10 （n i x f y i i ,,1,0),( ==）．曲线)(x f y =上相应的点为n P P P ,,,10 （n i y x P i i i ,,1,0),,( ==）将曲线的每⼀段弧i i P P 1-⽤过点1-i P ，i P 的弦i i P P 1-（线性函数）来代替，这使得每个],[1i i x x -上的曲边梯形成为真正的梯形，其⾯积为x y y i i ??+-21，n i ,,2,1 =．于是各个⼩梯形⾯积之和就是曲边梯形⾯积的近似值，11 11()d ()22n n b i i i i a i i y y x f x x x y y --==+?≈??=+∑∑?，即 011 ()d ()22bn n a y y b a f x x y y n --≈++++?，称此式为梯形公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 10112 0d ()122n n y y x b a y y x n --≈++++=+?0.78539399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785393996730784 5.305104ππ--=≈? 很显然，这个误差要⽐简单的矩形左点法和右点法的计算误差⼩得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当)(x f y =为凹曲线时，它就偏⼩；当)(x f y =为凸曲线时，它就偏⼤．若每段改⽤与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间],[b a 作n 2等分，分点依次为b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<=2102 ，na b x 2-=?，对应函数值为n y y y 210,,, （n i x f y i i 2,,1,0),( ==），曲线上相应点为n P P P 210,,, （n i y x P i i i 2,,1,0),,( ==）．现把区间],[20x x 上的曲线段)(x f y =⽤通过三点),(000y x P ，),(111y x P ，),(222y x P 的抛物线)(12x p x x y =++=γβα来近似代替，然后求函数)(1x p 从0x 到2x 的定积分：20 1 ()d x x p x x =?20 2 ()d x x x x x αβγ++=?)()(2)(30220223032x x x x x x -+-+-γβα]4)(2)()()[(62022022202002γβαγβαγβα++++++++++-=x x x x x x x x x x 由于2201x x x +=，代⼊上式整理后得 20 1 ()d x x p x x ?)](4)()[(612122202002γβαγβαγβα++++++++-=x x x x x x x x )4(621002y y y x x ++-=)4(6210y y y na b ++-= 同样也有 42 2 ()d x x p x x ?)4(6432y y y na b ++-=……222 ()d n n x n x p x x -?)4(621222n n n y y y na b ++-=-- 将这n 个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： 222 22212 11()d ()d (4)6i i n n b x i i i i a x i i b a f x x p x x y y y n ---==-≈=++∑∑?，即021******* ()d [4()2()]6b n n n a b a f x x y y y y y y y y n---≈++++++++? 这就是抛物线法公式，也称为⾟⼘⽣（Simpson ）公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 102132124222 0d [4()2()]16n n n x b a y y y y y y y y x n ---≈+++++++++?=0.78539816339745，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 160.785398163397454 2.827104ππ--=≈?4. 直接应⽤Matlab 命令计算结果（1）数值计算 120d .1x x +? ⽅法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)⽅法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）⽅法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算 2 12 0 1d d x x y y -+?? ⽅法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）⽅法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法⼆重数值积分）四、⾃⼰动⼿1．实现实验内容中的例⼦，即分别采⽤矩形法、梯形法、抛物线法计算 12 0d 1x x +?，取258=n ，并⽐较三种⽅法的精确程度．2．分别⽤梯形法与抛物线法，计算 2 1d x x，取120=n ．并尝试直接使⽤函数trapz()、quad()进⾏计算求解，⽐较结果的差异．3．试计算定积分 0sin d x x x+∞?．（注意：可以运⽤trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将 120d 1x x +?的近似计算结果与Matlab 中各命令的计算结果相⽐较，试猜测Matlab 中的数值积分命令最可能采⽤了哪⼀种近似计算⽅法？并找出其他例⼦⽀持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出⼀些理论上的⼩结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），⽤某种近似计算⽅法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m 的程序设计⽅法，尝试⽤函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．五、附录附录1：矩形法（左点法、右点法、中点法）（fulu1.m ）format longn=100;a=0;b=1;inum1=0;inum2=0;inum3=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点fxj=subs(fx,'x',xj); %左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %右点值fxij=subs(fx,'x',(xi+xj)/2); %中点值inum1=inum1+fxj*(b-a)/n;inum2=inum2+fxi*(b-a)/n;inum3=inum3+fxij*(b-a)/n;endinum1inum2inum3integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum1 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum1-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum2 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum2-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum3 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum3-integrate)/integrate))附录2：梯形法（fulu2.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录2sum：梯形法（fulu2sum.m），利⽤求和函数，避免for 循环format long n=100;a=0;b=1;syms x fxfx=1/(1+x^2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %所有左点的数组xi=a+i*(b-a)/n; %所有右点的数组fxj=subs(fx,'x',xj); %所有左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %所有右点值f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; %梯形⾯积inum=sum(f) %加和梯形⾯积求解integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录3：抛物线法（fulu3.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点xk=(xi+xj)/2; %中点fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',...。
定积分黎曼定理
定积分黎曼定理定积分黎曼定理（LebesgueIntegralTheorem），简称为黎曼定理，是20世纪初发现的重要数学定理。
由瑞士数学家黎曼发现，它确定了极限积分和定积分之间的关系，标志着计算数学的起源。
黎曼定理是指定积分可以用极限积分来代替，即定积分的积分范围是无穷多的。
也就是说，在定积分中，当积分范围上的点数量变到无穷多时，可以用极限积分来代替定积分。
这也是传统积分的重要推论，并且表明积分也具有统计意义。
许多现代数学的应用都是建立在黎曼定理的基础之上的，特别是微分几何、拓扑学和数学物理学，都基本可以归结为定积分黎曼定理。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而极大简化了数学分析的不变性，降低计算的复杂度，使用的面更宽。
【定积分的基本概念】定积分是定义在实函数上的积分，也叫定义域积分，是积分理论中重要的概念。
定积分是指积分运算时，函数在指定的区间内定义，其实质是用函数曲线下的面积来表示函数的实际值。
定积分的计算一般分成定积分的确定法与定积分的近似计算法。
定积分确定法是按照函数定义、函数特征，使用函数谱、分类归纳等方法，最终计算出某函数的定积分问题；而定积分的近似计算法是按照特定的积分运算方法，假定积分函数是离散的、有规律的，使用数值近似法，将求解的过程转化为数值运算的过程，从而计算出某函数的定积分问题。
【定积分黎曼定理的重要性】定积分黎曼定理是积分概念的大突破，为计算数学的发展和传统积分统计理论提供了基础。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而简化了数学推导过程，提高了计算效率。
黎曼定理也是微分几何、拓扑学和数学物理学的基础，极大地拓展了科学的发掘和应用领域。
有无数的实例表明，定积分黎曼定理的应用确实十分广泛。
例如，它可以用来证明函数的可微性，也可以用来证明某一函数的导数的可积性，以及证明极限积分和定积分之间的某些关系等。
归结起来，可以说，定积分黎曼定理无疑是科学实践中不可缺少的。
【定积分黎曼定理的计算】根据定积分黎曼定理的定义，定积分的计算一般分为两步：确定积分的范围以及确定积分的函数。
(整理)matlab实例教程-比较实用.
实验一特殊函数与图形一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景与实验目的著名的Riemann函数大家都很熟悉了，但是关于它的图像你是否清楚呢除了最上面那几点，其他都很难画吧你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的，是不是也想目睹一下呢这些，都离不开绘图．实际上绘图一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现．比如函数的基本性质，一个图形常可以使之一目了然，非常有效．它虽不能代替严格的分析与证明，但在问题的研究过程中，可以帮助研究人员节约相当一部分精力．此外，它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现，有时，这比科学论证更有说服力．同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图．借助直观的图形，常可以使初学者更容易接受新知识．如数学分析中有不少函数，其解析式着实让人望而生畏，即使对其性质作了详尽的分析，还是感到难明就里；但如果能看到它的图形，再配合理论分析，则问题可以迎刃而解．又如在几何的学习中，会遇到大量的曲线与曲面，也离不开图形的配合．传统的手工作图，往往费力耗时，效果也不尽理想．计算机恰恰弥补了这个不足，使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗，从各个角度进行观察．本实验通过对函数的图形表示和几个曲面（线）图形的介绍，一方面展示它们的特点，另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍．大家将会看到，Matlab 的作图功能非常强大．二、相关函数（命令）及简介1．平面作图函数：plot，其基本调用形式：plot(x,y,s)以x作为横坐标，y作为纵坐标．s是图形显示属性的设置选项．例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,'--rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')图1在使用函数plot时，应当注意到当两个输入量同为向量时，向量x与y必须维数相同，而且必须同是行向量或者同是列向量．绘图时，可以制定标记的颜色和大小，也可以用图形属性制定其他线条特征，这些属性包括：linewidth 指定线条的粗细．markeredgecolor 指定标记的边缘色markerfacecolor 指定标记表面的颜色．markersize 指定标记的大小．若在一个坐标系中画几个函数，则plot的调用格式如下：plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,……)2．空间曲线作图函数：plot3，它与plot相比，只是多了一个维数而已．其调用格式如下：plot3(x,y,z,s)．例如：x=0:pi/30:20*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot3(x,y,z)得到三维螺旋线：图23．空间曲面作图函数：（1）mesh函数．绘制彩色网格面图形．调用格式：mesh(z)，mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c)．其中，mesh(x,y,z,c)画出颜色由c指定的三维网格图．若x、y均为向量，则length(x)=n，length(y)=m，[m,n]=size(z)．（2）surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图．调用格式与mesh类似．（3）ezmesh用符号函数作三维曲面网格图．调用格式：ezmesh(x,y,z)其中x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t)．画图区域默认为： -2*pi < s < 2*pi 且-2*pi < t < 2*pi.或者用格式：ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])（4）ezsurf用符号函数作三维曲面图．调用格式与ezmesh类似．（5）sphere画球体命令．4．meshgrid，调用格式：[x,y]=meshgrid(m,n)，这里的m，n为给定的向量，可以定义网格划分区域和划分方法．矩阵x和矩阵y是网格划分后的数据矩阵．5．图像的修饰与其他函数：（1）axis equal 控制各个坐标轴的分度，使其相等；（2）colormap设置绘图颜色．调用格式：colormap([r g b])其中r,g,b都是0-1之间的数．或者用格式：colormap(s)s颜色映像相应的颜色系颜色映像相应的颜色系autumn红黄色系hsv色调饱和色系gray线性灰色系hot黑红黄白色系cool青和洋红色系pink柔和色系（3（4）find找出符合条件的元素在数组中的位置．调用格式：y=find(条件)例如：输入：a=[4 5 78 121 4 665 225 4 1];b=find(a>7)输出： b =3 4 6 7三、实验内容数学分析中，特别是积分部分，我们接触了不少有趣的函数，由于其中有的不是一一对应的，用上面的方法无法画出它们的图像，这时就只能用参数了．此外还有些图形只能用参数来画，比如空间曲线，在计算机上不接受“两个曲面的交线”这种表示，所以也只能用参数来实现．用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示，尤其是不能有奇点，最好也不要用到开方．所以要找的参数最好是有几何意义的．当然这也不可一概而论，需要多积累经验．1．利用函数plot在一个坐标系中画以下几个函数图像，要求采用不同颜色、不同线形、不同的符号标记．函数为：．程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=sin(2*t);plot(t, x, '--k*', t, y, '-rs', t, z, ':bo')图像如下：图32．绘制类似田螺线的一条三维螺线(方程自己设计)．程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t));y=2*(sin(t)-t.*cos(t));z=*t;plot3(x,y,-z) %取–z 主要是为了画图看起来更清楚axis equal图像如下：图43．利用函数，绘制一个墨西哥帽子的图形．程序如下：[a,b]=meshgrid(-8:.5:8); %先生成一个网格c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,b,z)axis square图像如下：图5思考：这里的 eps 是什么其作用是什么4．利用surf绘制马鞍面图形（函数为：）．程序如下：[x,y]=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=x.^2/9-y.^2/4;surf(x,y,z)title('马鞍面')grid off图像如下：图65．分别用ezmesh和ezsurf各绘制一个圆环面，尝试将两个圆环面放在一个图形界面内，观察它们有什么不同之处．提示：圆环面的方程为：，而圆环面的参数方程为：程序参见附录1．图像如下：图76．绘制黎曼函数图形，加深对黎曼函数的理解．说明：黎曼函数的定义为程序参见附录2．图像如下：图8四、自己动手1．作出下图所示的三维图形：图9提示：图形为圆环面和球面的组合.2．作出下图所示的墨西哥帽子及其剪裁图形：图103．画出球面、椭球面、双叶双曲面、单叶双曲面．4．若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线：时．试重新设计田螺线的参数方程，并画出该田螺线．5．作出下图所示的马鞍面（颜色为灰色，并有一个标题：“马鞍面”）：图116．绘制图8所示的黎曼函数图形，要求分母的最大值的数值由键盘输入（提示：使用input语句）．回目录下一页实验二定积分的近似计算一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容1．矩形法2．梯形法3．抛物线法4. 直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用．二、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字．（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('','w'); %打开文件fprintf(fid,'% %\n',y); %写入fclose(fid) %关闭文件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b．11．subs(f，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式．仍用的近似计算为例，取，，理论值，此时计算的相对误差很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．仍用的近似计算为例，取，=，理论值，此时计算的相对误差4. 直接应用Matlab命令计算结果（1）数值计算方法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)方法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）方法3：x=0::1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算方法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）方法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法二重数值积分）四、自己动手1．实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算，取，并比较三种方法的精确程度．2．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．3．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗为什么）4．将的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法并找出其他例子支持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值6．学习的程序设计方法，尝试用函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．上一页回目录下一页实验三求代数方程的近似根（解）一、问题背景和实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景和实验目的求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．通过本实验希望你能：1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程（组）的解．二、相关函数（命令）及简介1．abs( )：求绝对值函数．2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a')：对变量a求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式．例如：syms x tdiff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)ans=720*sin(x^2)3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式的所有根．例如：求解：．p = [1 -6 -72 -27];r = roots(p)r =4．solve('表达式')：求表达式的解．solve('2*sin(x)=1')ans =1/6*pi5．linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解．例如：A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2];linsolve(A, b)ans=[ 1/9][19/72]6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用．例如：fzero(@sin, 3)ans=7．subs(f, 'x ', a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．例如：subs('x^2 ', 'x ', 2)ans = 4三、实验内容首先，我们介绍几种与求根有关的方法：1．对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．下面的方法可以求出该根：(1)令，计算；(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．若，则令，，若，则令，；．……，有、以及相应的．(3) 若 (为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有以上公式可用于估计对分次数．分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．2. 迭代法1)迭代法的基本思想：由方程构造一个等价方程从某个近似根出发，令，可得序列，这种方法称为迭代法．若收敛，即，只要连续，有即可知，的极限是的根，也就是的根．当然，若发散，迭代法就失败．以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛．定理1：设，在的某个邻域内连续，并且，，则对任何，由迭代决定的序列收敛于．定理2：条件同定理 1，则定理3：已知方程，且(1) 对任意的，有．(2) 对任意的，有，则对任意的，迭代生成的序列收敛于的根，且．以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛(参见附录3)．2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．迭代方程是：其中，令，试确定：当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．b) Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：，是它的根，是其近似根．设，，因为，用差商近似代替，有，解出，得由此得出公式；；，这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）1) 牛顿法的基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．记：是一次多项式，用作为的近似方程．的解为记为，一般地，记即为牛顿法公式.2) 牛顿法的收敛速度：对牛顿法，迭代形式为：注意分子上的，所以当时，，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度．4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve('x^3-3*x+1=0')(2) roots([1 0 -3 1])(3) fzero('x^3-3*x+1', -2)(4) fzero('x^3-3*x+1',(5) fzero('x^3-3*x+1',(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')体会一下，(2)(5) 用了上述 1 3 中的哪一种方法以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录．具体实验1：对分法先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．输入以下命令，可得的图象：f='x^3-3*x+1';g='0';ezplot(f, [-4, 4]);hold on;ezplot(g, [-4, 4]); %目的是画出直线 y=0，即 x 轴grid on;axis([-4 4 -5 5]);hold off请填写下表：实根的分布区间该区间上根的近似值在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1．具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：求方程在附近的根，精确到第 4 位小数．构造等价方程：用迭代公式：，用 Matlab 编写的程序参见附录2．请利用上述程序填写下表：分析：将附录2第4行中的分别改为以及，问运行的结果是什么你能分析得到其中的原因吗看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思．用 Matlab 编写的程序参见附录3．具体实验3：收敛/发散判断设方程的三个根近似地取，和，这些近似值可以用上面的对分法求得．迭代形式一：收敛 (很可能收敛，下同)不收敛 (很可能不收敛，下同)不收敛迭代形式二：收敛不收敛不收敛迭代形式三：不收敛收敛收敛具体实验4：迭代法的加速1——松弛迭代法，，迭代公式为程序参见附录4．具体实验5：迭代法的加速2——Altken迭代法迭代公式为：，，程序参见附录5．具体实验6：牛顿法用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根．提示：，迭代公式：程序参见附录6 （牛顿法程序）．具体实验7：其他方法求下列代数方程（组）的解：（1）命令：solve('x^5-x+1=0')（2）命令：[x, y]=solve('2*x+3*y=0', '4*x^2+3*y=1')(3) 求线性方程组的解，已知，命令：for i=1:5for j=1:5m(i, j)=i+j-1;endendm(5, 5)=0;b=[1:5]'linsolve(m, b)思考：若，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到四、自己动手1．对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗为什么2．对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论3．选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法．求解方程在附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．4．分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程的正的近似根，．(建议取．时间许可的话，可进一步考虑的情况．)上一页回目录下一页。
定积分黎曼定理
定积分黎曼定理定积分黎曼定理是一个在数学上被广泛使用的结果。
它是由德国数学家威廉黎曼于1866年发现的，表达了定积分在一般函数上的性质。
它经常用于数学和物理中解决问题，也被用于做各种类型的数学计算，并且被应用到实际工程中，如流体力学和热力学等。
定积分黎曼定理的精髓在于：在给定的函数的某一段区间上，当函数的导数变成零的时候，定积分也不再变化。
这个定理在实际中有着重要的意义，它可以用来描述定积分的性质，从而帮助我们更快的解决各种问题。
为了证明黎曼定理，我们需要知道一些关于定积分和它的定义的基本知识。
定积分本质上是一个分，它用来表达一个函数在某一段区间内函数值改变的量，这个量可以由定积分求出。
定积分的定义是，如果函数f(x)在离散的点x1， x2，…，xn处有值f(x1)， f(x2)，…，f(xn)，则定积分F(x)定义为：F（x）=∑f（xi）Δxi这里Δxi是指在某一段区间上，变量x增加的量。
黎曼定理告诉我们，当函数f(x)在某一段区间上的导数变成零的时候，定积分F(x)也就不变了。
这一定理有着重要的意义，因为它可以有效的解决许多问题，比如：（1）在电磁学中，它可以用来计算电场强度的变化。
（2）在流体力学中，它可以用来计算流体的动能和冲量。
（3）在热力学中，它可以用来计算温度的变化。
实际应用中，黎曼定理往往结合其他数学工具一起使用，比如函数展开、极限理论、拉格朗日比例、局部极值等，以解决实际问题。
由于定积分黎曼定理的重要性，它也被纳入到数学课程中，学生们可以通过阅读数学论文、参加讨论会，并练习各种函数的定积分。
这样，他们就可以更好的理解它，并将它应用到实际问题中。
总之，定积分黎曼定理是一个非常重要的数学结果，它可以让我们更好的理解定积分，更好的解决实际问题。
它也是一个很必要的结果，经常用于数学和物理学中，并且被应用于实际工程中。
定积分的数值计算
第一讲定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。
【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解：精度与收敛速度引言首先回忆一下函数在区间上的定积分概念的建立过程。
考虑在区间内任意插入个分点的分法：把分割成个小区间，第个子区间的长度为；任取数，做乘积，把所有这些乘积相加得到和式.如果无论区间怎样划分及分点怎样选取，当时，该和式都趋于同一常数，则称函数在区间上可积，且称此常数为在区间上的定积分，即。
称和式为积分和或黎曼和。
在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割和点的选取都是任意的。
显然，对于区间的不同分割或者点的选取不同，得到的和式一般不同。
定积分的定义中要求在对区间无限细分（）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。
这一点初学者较难理解。
我们将通过数值实验来加以理解。
当在区间上连续，为在区间上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式方便地求得。
但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。
而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。
我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。
实验一定积分概念的深化——达布和设函数在区间上有界。
考虑将将区间任意分割成个子区间（）的分法，设在子区间上的上、下确界分别为，称为在子区间上的振幅，和式分别称为关于该分割的达布（Darboux）大和与达布小和。
由定义可知，函数对应于同一分割的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分是数学中重要的概念之一，用于计算曲线下面积、体积、质量等问题。
然而，很多情况下，定积分的精确计算是困难的，因此需要使用近似计算的方法来求解。
下面将介绍一些常用的定积分近似计算方法。
1.矩形法：矩形法是最基本的一种近似计算方法，它将定积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上选择一个代表点，然后计算这些小区间的矩形面积之和。
通常有三种矩形法：左矩形法（取每个小区间左端点的函数值）、右矩形法（取每个小区间右端点的函数值）和中矩形法（取每个小区间中点的函数值）。
它们的近似公式分别为：左矩形法：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)(x_{k+1}-x_k)$右矩形法：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx\sum_{k=1}^{n}f(x_k)(x_k-x_{k-1})$中矩形法：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2})(x_{k+1}-x_k)$2.梯形法：梯形法是一种比矩形法更精确的近似计算方法。
它的基本思想是将定积分区间划分为若干个小区间，在每个小区间上选择两个端点，然后计算这些小区间内的梯形面积之和。
近似公式为：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{k=1}^{n}\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}{2}(x_k-x_{k-1})$3.辛普森法：辛普森法是一种更加精确的近似计算方法，它将定积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上选择三个点，通过连接这三个点构造一个二次插值多项式，然后计算这些二次插值多项式下的曲线面积之和。
近似公式为：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx\frac{h}{3}\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(f(x_{2k})+4f(x_{2k+1})+f(x_{2k+2}))$其中，$h=\frac{b-a}{n}$，$n$为划分小区间的个数。
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分是微积分中的重要概念，它代表了曲线与坐标轴之间的有限面积。
在实际问题中，有时候我们需要计算一些函数在一定范围内的定积分，以获得其中一种物理量或求解其中一种问题的解析解。
然而，有些函数的原函数较复杂甚至难以找到，这时候我们就需要使用定积分的近似计算方法。
下面将介绍几种常用的定积分近似计算方法：1.矩形法：矩形法是最简单的一种近似计算方法。
它的思想是将积分区间等分成若干个小区间，然后在每个小区间上选择一个代表点，通过函数在这些代表点处的函数值与小区间长度的乘积来近似计算定积分。
具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ))其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₁、x₂等为代表点。
当n越大时，近似结果越接近真实结果。
2.梯形法：梯形法是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上构造一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算定积分。
具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₁) + f(x₂))/2 + Δx * (f(x₂) +f(x₃))/2 + ... + Δx * (f(xₙ-1) + f(xₙ))/2其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₁、x₂等为小区间的端点。
3.辛普森法：辛普森法是一种比矩形法和梯形法更精确的近似计算方法。
它的思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上构造一个二次多项式，通过计算这些二次多项式的面积来近似计算定积分。
具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂))/3 + Δx *(f(x₂)+4f(x₃)+f(x₄))/3 + ... + Δx * (f(xₙ-2)+4f(xₙ-1)+f(xₙ))/3其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₀、x₁、x₂等为小区间的端点。
4.蒙特卡洛法：蒙特卡洛法是通过随机抽取点的方法来近似计算定积分。
分别利用矩形法、梯形法、辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果。
称为矩形法。不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度。
b 梯形法
b
f ( x)dx
a
ba 6n
[
y0
y2n
4(
y1
y3
y2n1 )
各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。
2( y2 y4 y2n2 )]
c 辛普森法
b a
f ( x)dx
0.4000 0.4100 0.4200 0.4300 0.4600 0.4700 0.4800 0.4900
0.4400
0.4500
Columns 51 through 60
0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5600 0.5700 0.5800 0.5900
0.5400
0.5500
实验过程纪录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况纪录）
1、 计 算 的
近似值
方法一：矩形法
1 si >>n=100
x=0:1/n:1 left_sum=0; right_sum=0; for i=1:n
if i==1 left_sum=left_sum + 1/n;
else left_sum=left_sum + sin(x(i))/x(i)*(1/n);
a=0;
b=1;
syms x fx
fx=1/（1+x^2）;
i=1:n;
xx=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n); yy=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n); zz=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n); fyy=subs(fx,'x',yy); f=(fxx+4*fyy+fzz)*(b-a)/(6*n); s=sum(f) s =0.7854 方法三 梯形法 >> syms x >> y=1/(1+x^2)； >> yi=eval(int(y,0,1))
定积分的近似计算.
x2 n
x2 n 2
b
相加即得：
a
f ( x )dx
i 1 n
x2 i 2
f ( x )dx
ba ( y2i 2 4 y2i 1 y2i ) i 1 6n
14
数学软件与数学实验
抛物线法
整理后可得：
b
a
b a f ( x)dx [ y0 y2n 4( y1 y3 y2n1 ) 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令：
x1 x2 xn
则 S
b a
b
a
h ba n n n n yi 1 yi yi 1 yi f ( x )dx Si xi h 2 2 i 1 i 1 i 1
==>
yn y0 f ( x)dx h y1 yn1 2 2
dx y0 y1 0 1 x 2 h 2
1
0.78539399673078
yn yn1 2
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
11
数学软件与数学实验
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
数学软件与数学实验
专题 定积分的近似计算
数学软件与数学实验
专题 定积分的近似计算
问题背景和实验目的
定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的几种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法；蒙特卡洛随机投点法和蒙特卡洛样 本均值法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。
大一高数定积分知识点归纳
大一高数定积分知识点归纳在大一高数中，定积分是一个非常重要的概念和工具，它不仅在学习数学理论中被广泛应用，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。
本文将对大一高数定积分的知识点进行归纳和总结，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、定积分的概念和基本性质定积分是对函数在某个区间上的平均值进行求和的极限过程，可以看作是对变量范围内曲线下面积的近似求和。
定积分的计算方法包括上求和法、下求和法和黎曼和等。
定积分有以下基本性质：1. 线性性质：定积分具有线性运算性质，即对于常数k，函数f(x)和g(x)，有∫[a,b] (kf(x) + g(x))dx = k∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx。
2. 区间可加性：对于区间[a,b]和[b,c]，有∫[a,b] f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx。
3. 零函数的积分：如果函数f(x)在区间[a,b]上恒为0，则有∫[a,b] f(x)dx = 0。
二、定积分的计算方法1. 几何法：对于几何形状较为简单的曲线，可以通过几何图形的面积进行求解，如矩形法、梯形法、圆柱法等。
2. 分割求和法：将求和区间进行等分，用每个小区间的函数值乘以小区间的长度得到小区间的面积，再将所有小区间的面积相加即可。
当小区间的数量趋向于无穷大时，可以得到准确的定积分值。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：定积分可以通过原函数求导的方法进行计算，即∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。
这一方法适用于已知函数的原函数的情况。
三、定积分的应用定积分在实际问题中有广泛的应用，可以用来求解曲线下面积、物体的质量、电量、工作量等。
以下是一些常见的应用：1. 曲线长度：通过定积分可以计算曲线上两点之间的弧长，即L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)^2)dx。
2. 面积计算：通过定积分可以计算曲线与坐标轴所围成的面积，即S = ∫[a,b]|f(x)|dx。
高等数学第五讲+黎曼积分
------------------------------------------------------------------------------------------------------------第五讲 黎曼积分（正常积分）§4.1 定积分一、定积分产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和. 二、定积分⎰ba dx x f )(的概念和定义 (一)定积分⎰badx x f )(的概念首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,然后用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.(二) 定积分⎰badx x f )(的定义定义(b a <): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,ΛΛ2110把闭区间],[b a 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =<<<<=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ.定义(b a >): 函数)(x f 在闭区间],[a b 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,2110ΛΛ把闭区间],[a b 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =>>>>=Λ210，------------------------------------------------------------------------------------------------------------1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[a b 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ. 定义(微元法的定义): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，在),(b a 上任取一点x ，按积分下限到积分上限的方向给点x 一个增量dx ，dx 的绝对值是要多么小有多么小的正数，用dx x f )(表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号⎰badx x f )(表示把闭区间],[b a 上小曲边梯形的代数面积累积起来的曲边梯形的代数面积，如果⎰badx x f )(的值存在，我们称⎰badx x f )(为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分）.由上述两个定义可以看出(1)i T x dx ∆=→lim 0; (2)∑⎰=→=ni T ba10lim ;(3))(lim )(i T f x f ξ0→=.由定义知:①dx 表示函数定义域（x 轴上的区域）上点x 处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;②当b a >时,0>dx ,当b a <时,0<dx ;③⎰badx x f )(表示)(x f y =,a x =,b x =所围成的曲边梯形的面积(0><)(,x f b a 或0<>)(,x f b a )或面积的相反数(0>>)(,x f b a 或0<<)(,x f b a )；④函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续或有有限个间断点，则极限i ni i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，即函数)(x f 在闭区间],[b a 上Riemann 可积；⑤函数)(x f 在闭区间],[b a 上有界，则极限ini iT x f ∆∑=→)(lim10ξ不一定存在，即函数)(x f 在闭区------------------------------------------------------------------------------------------------------------间],[b a 上不一定Riemann 可积, 如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当，为有理数，当x x x D 0,1)(.三、计算: (1)常规计算法 ①牛顿-莱布尼兹公式法)()()()(a F b F a bx F dx x f ba-==⎰,其中)()(x f x F ='. 或[][])()()()()(a F b F abC x F a b dx x f dx x f ba-=+==⎰⎰,其中)()(x f x F =',该式说明为什么函数)(x f 的所有原函数叫做函数)(x f 的不定积分,并且函数)(x f 的不定积分用符号⎰dx x f )(表示.②分步积分法 []()d ()()()()d (),[,]b bba aaf xg x f x g x g x f x x a b =-∈⎰⎰.③换元积分法第一换元积分法()()()()u d u f x d x f dcba ⎰⎰=)()(ϕϕ，其中)(x u ϕ=，()c a =ϕ，()db =ϕ。
定积分的近似计算
定积分的近似计算定积分的近似计算是数学中一种常用的方法，它可以帮助我们计算具体函数在一定区间上的面积或曲线长度。
在实际应用中，定积分的近似计算有多种方法，包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
本文将侧重介绍这些方法的原理和应用。
1. 矩形法（Reimann和法）：矩形法是定积分近似计算的最简单方法之一、其基本思想是将给定区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间内选择一个代表点，以该点处函数值与小区间长度的乘积作为该小区间的面积近似值，然后对所有小区间的面积近似值求和得到最终的近似计算结果。
具体而言，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将该区间分为n个小区间：x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, ..., xn=a+nh=b其中h=(b-a)/n，xi为每个小区间的代表点。
此时，对于每个小区间，我们可以将其面积近似为S_i=h*f(xi)，然后对所有小区间的面积进行求和，即：S=a*h*f(x0)+a*h*f(x1)+...+a*h*f(xn-1)对于当n趋向于无穷大时，通过这一方法可以得到函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值。
2.梯形法：梯形法是定积分近似计算的另一种常用方法。
与矩形法类似，梯形法也是将给定区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间内用该区间两个端点处的函数值构造出一个梯形，以该梯形的面积作为小区间面积的近似值，最终对所有小区间的面积进行求和得到近似计算结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将该区间分为n个小区间，并选取区间端点[a,b]分别作为梯形的上底和下底，连线得到梯形。
此时，对于每个小区间，梯形的面积可以近似表示为：S_i=(h/2)*(f(xi)+f(xi+1))其中h=(b-a)/n，xi为每个小区间的起点。
最后，对于所有小区间的面积近似值进行求和，即：S=(h/2)*[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(b-h)+f(b)]对于当n趋向于无穷大时，通过这一方法也可以得到函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值。
矩形、梯形法计算定积分的黎曼和
钦州学院数学与计算机科学学院数 学 实 验 报 告实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。
[实验题目及内容]实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2的黎曼和；（2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的速度。
内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2黎曼和即面积。
当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的面积之和可近似代替定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2黎曼和。
因此可通过计算梯形或矩形面积求出定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2的黎曼和。
定积分dx x f ba⎰)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围成的曲边梯形的面积。
解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。
当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。
[模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。
数学实验之求定积分的黎曼和
钦州学院数学与计算机科学学院数 学 实 验 报 告专业 :数学与应用数学 班级 姓名 学号 ：实验完成日期 :2010 年 11 月 4 日，第 十 周，星期 四成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。
[实验题目及内容]实验题目：求定积分 ⎰++-=bax x x f 32.0)(2 的黎曼和实验内容：通过矩形法和梯形法求定积分的黎曼和。
[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 求定积分的黎曼和，可通过数学公式求原函数，再另取取值范围内两点来求和。
矩形法和梯形法求定积分黎曼和是利用靠分割面积的方法来使得所求面积逼近真实面积来求和。
分割的模块越多越精细，所求的面积越靠近真实的面积。
通过比较两种方法不同的分割值n 来确定哪种方法逼近真实面积的速度更快，从而选择速度快的一种方法来计算定积分的黎曼和。
[模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。
）1.要求定积分的黎曼和，首先要绘制出函数在坐标轴上的图，定义坐标，将参数选项 定义为十万分之一，新建函数并绘制函数图像。
2.在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标A x 、B x ；计算)(A x f 和)(B x f ；以A x 为横坐标，以)(A x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点C ；以B x 为横坐标，以)(B x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点D 。
作线段AC 和BD 。
3.新建参数2=n ，计算1-n 、n 1，以点A 为中心，以n1为标记比对点B 进行缩放得象点B '，求出点B '的横坐标B x '，计算)(B x f '；以B x '为横坐标，以)(B x f '为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点E ；作直线E B '。
matlab定积分的近似计算
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令：
x1 x2 xn h b a
n
则
S
b a
f (x)dxi n 1S ii n 1yi 12 yi xihi n 1yi 12 yi
==>
a bf(x)dxh y 2 0y1 yn 1y 2 n
梯形公式
fuluB.m
梯形公式与中点公式有什么区别 ?
tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6
f 可以是： 字符串；inline 定义的内联函数；函数句柄
[a,b] 是 第一积分变量 的积分区间， [c,d] 是 第二积分变量 的积分区间
Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内 具有直到n+1阶的导数，
f(x)f(x0)f'(x0)x(x0)f"( 2x0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n (fn(n 1)(1))( !x0)n1
当n=0 得，微分中值定理 f(x) - f(x0) = f’() (x- x0)
左点法 右点法
中点法
矩形法
x1 x2
b
n
f(x)dx
a
f(i)xi
i1
xi
xn
x0 步长
x1
x2
xi
h
ba n
x i1 x i
x n1
x iaih , i1 ,2 , n
xn 节点
b
n
n
f(x)dx
a
f(xi-1) xih f(xi 1)
i 1
i 1
左点法
b
n
n
f(x)dx
主要内容
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
推导黎曼和的计算方法
推导黎曼和的计算方法黎曼和是数学中的一种重要概念，它可以用于解决一些复杂的积分计算问题。
在本文中，我将介绍一种推导黎曼和的计算方法，希望对读者有所启发。
首先，我们需要了解什么是黎曼和。
黎曼和是指当分割一个区间后，将每个子区间的长度乘上该子区间上某个函数值的和。
黎曼和可以近似地表示函数在整个区间上的积分值。
在计算黎曼和时，我们可以采用以下步骤：步骤一：将区间进行等分。
假设我们需要计算的函数在区间[a, b]上，我们将该区间等分成n个子区间，每个子区间的长度为Δx = (b - a)/n。
步骤二：确定子区间的代表点。
对于每个子区间 [x(i-1), x(i)]，我们可以选择该子区间中任意一点xi，作为该子区间的代表点。
步骤三：计算子区间上的函数值。
对于每个代表点xi，计算它对应的函数值f(xi)。
步骤四：计算黎曼和。
将每个子区间的长度Δx与代表点的函数值f(xi)相乘，再将所有乘积相加，即可得到黎曼和的近似值。
用数学公式表示为：Σf(xi)Δx，其中Σ表示求和。
通过以上步骤，我们可以得到函数在区间[a, b]上的黎曼和的近似值。
当我们将子区间的数量n无限增大时，黎曼和的近似值将趋向于准确的积分值，从而得到了函数在整个区间上的积分结果。
需要注意的是，由于黎曼和是通过近似计算得到的，其结果可能并不完全准确。
对于某些特殊的函数，在计算黎曼和时可能会出现较大的误差。
因此，在应用黎曼和的计算方法时，需要谨慎并结合具体问题进行分析和判断。
综上所述，推导黎曼和的计算方法是一种有效的数学工具，可以用于解决一些积分计算问题。
通过合理的分割和近似计算，我们可以得到函数在区间上的积分值的近似结果。
然而，需要注意的是近似结果可能存在一定的误差，需要谨慎使用并结合具体问题进行分析和判断。
推导黎曼和的计算方法为数学学科的发展提供了重要的工具和思路，它的应用领域涵盖了多个学科。
相信随着研究的不断深入和发展，黎曼和的计算方法将继续发挥重要的作用，并为解决更加复杂的数学问题提供帮助。
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钦州学院数学与计算机科学学院数 学 实 验 报 告实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。
[实验题目及内容]实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2的黎曼和；（2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的速度。
内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2黎曼和即面积。
当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的面积之和可近似代替定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2黎曼和。
因此可通过计算梯形或矩形面积求出定积分⎰++-=bax xx f 32.0)(2的黎曼和。
定积分dx x f ba⎰)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围成的曲边梯形的面积。
解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。
当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。
[模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。
）利用几何画板作图：图1.图2.矩形分割法图3.梯形分割法[实验结果]（通过数学表达式、 列表或图形图像的方式显示实验结果。
） （1）图4.矩形法图4.通过矩形法得出定积分()dx x x ba ⎰++-32.02的值为22.10687。
（2）图5. 梯形法图5.通过梯形法得出定积分()dx x x ba ⎰++-32.02的值也是22.10687。
（3）当梯形法和矩形法中A x 、B x 的取值相同时，现在取55562.0-=A x ，5052979=B x ，当n 变化时，I y 、)()(A B x g x g -的变化情况如下表1：表1：通过比较10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值，可得出梯形法比矩形法更逼近定积分的速度。
[结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析； 对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延； 给出自己的意见和合理建议。
）（1） 由表1看出：几何画板矩形法和梯形法画出的图形得到的定积分()dx x xba⎰++-32.02的结果都是22.10687。
小长方形面积的和（即黎曼和）I y 的值都是随着n 的增大而变大并逐渐逼近于定积分()dx x x ba⎰++-32.02的值。
梯形法比矩形法计算出的黎曼和I y 的值更加逼近定积分的值，梯形法求面积的误差比矩形法小。
（2） 矩形法作图：作图过程步骤（6）中作直线E B '与作线段E B '的区别，作直线作EB '的结果就是上面所得出的实验结果。
如果是作线段E B '，则当点E 的迭代点在开口向下的抛物线32.0)(2++-=x x x f 上方时与垂线j 没有交点，如图6所示，部分图形显示不出来，这可以区别于上述图4所示，此时作图过程中若是构造四边形FC B A '内部面积，则结果有偏差，原因是在抛物线外的点的矩形面积没有算进来；如果是用nx x x f AB A -⋅)(计算四边形面积，则结果没有影响。
图6.（3）梯形法作图：作图步骤（6）中无论是作直线E B '还是作线段E B '都没有上述矩形法的偏差，因为梯形总是在抛物线内侧，其面积可以全部计算出来。
（4）除了几何画板之外，还可以利用Visual Basic 求解或者Matlab 计算面积。
[求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。
对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。
） 1.矩形法计算定积分32.0)(2++-=⎰x xx f ba的黎曼和的步骤如下：（1）将参数选项“其他（斜率，比…）”单位的精确度设为十万分之一。
定义坐标系，隐藏网格。
（2）新建函数32.0)(2++-=x x x f ，并绘制函数)(x f 的图像。
（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标A x 、B x ；计算)(A x f 和)(B x f ；以A x 为横坐标，以)(A x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点C ；以B x 为横坐标，以)(B x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点D 。
作线段AC 和BD 。
（4）新建参数2=n ，计算1-n 、n1。
（5）以点A 为中心，以n1为标记比对点B 进行缩放得象点B '。
（6）求出点B '的横坐标B x '，计算)(B x f '；以B x '为横坐标，以)(B x f '为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点E ；作直线E B '。
（7）过点C 作E B '的垂线j ，并作j 和E B '的交点F 。
（8）隐藏直线j 和直线E B '（暂不隐藏点F ）；作线段F B '和CF ，构建四边形FC B A '内部，并由nx x x f AB A -⋅)(计算四边形FC B A '的面积。
将C 、F 、E 、D 四点隐藏。
（9）新建参数0=s ，计算+s nx x x f AB A -⋅)(。
（10）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标G x ，以G x 为横坐标，以+s 四边形EC B A '的面积为纵坐标，绘制点H 。
（11）依次选定参数2=n 、0=s 、点A 、点G 和1-n ，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为1-n 、+s nx x x f AB A -⋅)(、点B '、点H 。
选择“完整迭代”；在【结构】下拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。
（12）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。
求出点I 的纵坐标I y ，I y 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。
（13）新建函数x xxx g 321151)(23++-=，)(x g 即32.0)(2++-=x xx f 的原函数。
计算出)()(A B x g x g -的值，这个值就是定积分()dx x x ba⎰++-32.02的黎曼和。
2.类似的利用梯形法计算定积分32.0)(2++-=⎰x xx f ba的黎曼和步骤如下：（1）将参数选项“其他（斜率，比…）”单位的精确度设为十万分之一。
定义坐标系，隐藏网格。
（2）新建函数32.0)(2++-=x x x f ，并绘制函数)(x f 的图像。
（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标A x 、B x ；计算)(A x f 和)(B x f ；以A x 为横坐标，以)(A x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点C ；以B x 为横坐标，以)(B x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点D 。
作线段AC 和BD 。
（4）新建参数2=n ，计算1-n 、n1。
（5）以点A 为中心，以n1为标记比对点B 进行缩放得象点B '。
（6）求出点B '的横坐标B x '，计算)(B x f '；以B x '为横坐标，以)(B x f '为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点E ；作直线E B '、线段CE 。
（7）构建四边形EC B A '内部，并由[]nx x x f x f A B B A 2)()()(-+'计算四边形EC B A '的面积。
（8）新建参数0=s ，计算+s []nx x x f x f A B B A 2)()()(-+'。
（9）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标G x ，以G x 为横坐标，以+s 四边形EC B A '的面积为纵坐标，绘制点H 。
（10）依次选定参数2=n 、0=s 、点A 、点G 和1-n ，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为1-n 、+s []nx x x f x f A B B A 2)()()(-+'、点B '、点H 。
选择“完整迭代”；在【结构】下拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。
（11）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。
求出点I 的纵坐标I y ，I y 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。
（12）新建函数x xxx g 321151)(23++-=，)(x g 即32.0)(2++-=x xx f 的原函数。
计算出)()(A B x g x g -的值，这个值就是定积分()dx x x ba⎰++-32.02的黎曼和。